【備戰(zhàn)2014】高中數(shù)學(xué)第36講基本不等式配套試題(含解析)理新人教B版
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1、 [ 第 36 講 基本不等式 ] ( 時(shí)間: 45 分鐘 分值: 100 分 ) 基礎(chǔ)熱身 1.已知直角三角形的面積等于 50,則兩直角邊 的和的最小值是 ( ) A. 25 B . 20 C. 16 D . 10 2.[2013 青島模擬 ] 已知 >0, >0,且 2 + = 4,則 1 的最小值為 () a b a b ab 1 1
2、A. 4 B . 4 C. 2 D . 2 3.[2013 福建卷 ] 下列不等式一定成立的是 ( ) 2 1 A. lg x +4 > lg x( x> 0) 1 x≥ 2( x≠ kπ , k∈ Z) B. sin x+ sin C. x2+1≥2| x|( x∈ R) 1 D. x2+ 1>1( x∈ R) 4.[2013 鄭州質(zhì)檢 ] 設(shè) a
3、>0, b>0,若 a b 1 1 3是 3 與 3 的等比中項(xiàng),則 a+ b的最小值為 ________. 能力提升 5.已知函數(shù) g( x) = 2x ,且有 g( a) g( b) = 2,若 a>0 且 b>0,則 ab 的最大值為 ( ) 11 A. 2 B. 4 C. 2 D . 4 6.下列函數(shù)中,最小值為 2 的函數(shù)是 () 2 1 A. y = x + 2+ x2+ 2 B. y = x2+ 1 x
4、 C. y=x(2 2- x)(0< x<2 2) D. = x2+ 2 x2+ 1 y a 7.[2013 福州質(zhì)檢 ] 設(shè) a>0,若關(guān)于 x 的不等式 x+ x- 1≥ 5 在 (1 ,+∞ ) 上恒成立, 則 a 的最小 值為 ( ) 1 A. 16 B . 9 C. 4 D . 2 1 1 8.已知向量 a= ( x,- 1) , b= ( y- 1, 1) , x, y∈R+ ,若 a∥b,則 t
5、 = x+ x+y+ y的 最小值是 ( ) A. 4 B . 5 C . 6 D . 8 9.某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品,每批的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用為 800 元.若每批生產(chǎn) x 件,則平 x 1 元.為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi) 均倉(cāng)儲(chǔ)時(shí)間為 8天,且每件產(chǎn)品每天的倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用為 用與倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用之和最小,每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品( ) A. 60 件 B . 80 件 C. 100 件 D .120 件
6、 10.公差為 ,各項(xiàng)均為正整數(shù)的等差數(shù)列中,若 1 = 1, n= 51,則 n + d 的最小值等 d a a 于 ________. 11.[2013 寧波質(zhì)檢 ] 已知點(diǎn) A( m, n) 在直線 x+ 2y- 1= 0 上,則 2m+ 4n 的最小值為 ________. x≤ 1, 12 .已知不等式組 x+ y+2≥0,表示的平面區(qū)域?yàn)? Ω ,其中 k ≥ ,則當(dāng) Ω 的面積最 0 kx - y≥0
7、 小時(shí)的 k 為_(kāi)_______. 13.[2013 興化二模 ] 已知 f ( x) =log 2( x- 2) ,若實(shí)數(shù) m, n 滿足 f ( m) + f (2 n) = 3, 則 m+ n 的最小值為 ________. 14. (10 分 ) 已知 a, b,c 都是正實(shí)數(shù),且滿足 log 9(9 a+ b) =log 3 ab,求使 4a+ b≥ c 恒成立的 c 的取值范圍. 15.(13 分)[2013 煙臺(tái)一調(diào) ] 某商店預(yù)備在
8、一個(gè)月內(nèi)分批購(gòu)入每張價(jià)值為 20 元的書(shū) 桌共 36 張,每批都購(gòu)入 x 張 ( x 是正整數(shù) ) ,且每批均需付運(yùn)費(fèi) 4 元,儲(chǔ)存購(gòu)入的書(shū)桌一個(gè) 月所付的保管費(fèi)與每批購(gòu)入書(shū)桌的總價(jià)值 ( 不含運(yùn)費(fèi) ) 成正比 ,若每批購(gòu)入 4 張,則該月需 用去運(yùn)費(fèi)和保管費(fèi)共 52 元,現(xiàn)在全月只有 48 元資金可以用于支付運(yùn)費(fèi)和保管費(fèi). (1) 求該月需用去的運(yùn)費(fèi)和保管費(fèi)的總費(fèi)用f ( x) ; (2) 能否恰當(dāng)?shù)匕才琶颗M(jìn)貨的數(shù)量,使資金夠用?寫(xiě)出你的結(jié)論,并說(shuō)明理由. 2
9、 難點(diǎn)突破 16.(12 分)[2013 江蘇卷 ] 如圖 K36-1,建立平面直角坐標(biāo)系 xOy,x 軸在地平面上, y 軸垂直于地平面,單位長(zhǎng)度為 1 km,某炮位于坐標(biāo)原點(diǎn).已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程 y = kx - 1 (1 +k2) x2( k> 0) 表示的曲線上, 其中 k 與發(fā)射方向有關(guān). 炮的射程是指炮彈落地點(diǎn) 20 的橫坐標(biāo). (1) 求炮的最大射程; (2) 設(shè)在第一象限有一飛行物 ( 忽略其大小 ) ,其飛行高度為 3.2 km ,試問(wèn)它的橫
10、坐標(biāo) a 不超過(guò)多少時(shí),炮彈可以擊中它?請(qǐng)說(shuō)明理由. 圖 K36- 1 3 )
11、 4 課時(shí)作業(yè) ( 三十六 ) 【基礎(chǔ)熱身】 1 1. B [ 解析 ] 設(shè)兩直角邊長(zhǎng)為
12、a,b,則 2ab= 50,即 ab= 100, ∴ a+ b≥2 ab= 20,當(dāng)且僅當(dāng) a=b= 10 時(shí), a+ b 有最小值,最小值為 20,故選 B. 1 4 2a+ b 1 1 1 1 1 1 2. C [ 解析 ] 因?yàn)?a>0,b>0,則 = = 4ab = + ≥ 2 ,即 ≥ . ab 4ab 2b 4a 2b 4a ab 2 當(dāng)且僅當(dāng) b= 2 a,即 a=
13、1, b= 2 時(shí),等號(hào)成立,故選 C. . 解析 ] 對(duì)于 A 選項(xiàng),當(dāng) x = 1時(shí), lg x2+ 1 = lg x ;所以 A 不一定正確; B 選項(xiàng), 3 C [ 2 4 需要滿足當(dāng) sin x>0 時(shí),不等式成立,所以 B 也不正確; C 選項(xiàng)顯然正確; D 不正確,∵ x2 1
14、 +1≥1,∴ 0< x2+ 1≤ 1,所以正確的是 C. 4. 4 [ 解析 ] 由 3是 3a 與 3b 的等比中項(xiàng),得 3a 3b= ( 3) 2,即 a + = 1, b b a ∴ a+b= ( a+ b) a+ b = 2+a+ b1111 b a 1 1 1 ≥ 2+ 2 a b= 4,當(dāng)且僅當(dāng) a= b= 2時(shí),等號(hào)成立
15、,即 a+b的最小值為 4. 【能力提升】 a b a+ b + b 2 1 5. B [ 解析 ] a ∵2 2 = 2 = 2,∴ + = 1, ≤ = ,故選 B. a b ab 2 4
16、 6.D [ 解析 ] 這 是用基本不等式求最值的問(wèn)題,選項(xiàng) A 中等號(hào)成立時(shí)的方程 x2+ 2= 1 x <0 時(shí),函數(shù)沒(méi)有最小值;選項(xiàng) C 中函數(shù)沒(méi)有最小值;所以只有選 無(wú)解;選項(xiàng) B 中, x2+ 2 項(xiàng) D 正確,故選 D. 7. C [ 解析 ] 由 x∈(1 ,+∞ ) ,得 x- 1>0, a
17、 a ∴ x- 1+ x- 1≥2 a,當(dāng)且僅當(dāng) x- 1= x-1,即 x=1+ a時(shí),等號(hào)成立, 則 2 a≥ 4,即 a≥4,故選 C. 8. B [ 解析 ] 由已知可得 x+ y= 1,利用基本不等式可得 1 1 1 1 x+ y 1 1 2= 5. 故選 B. t = x+ x+ y+ y= 1+ y+ x=1+ xy = 1+ xy≥ 1+ x+ y
18、 2 9.B [ 解析 ] 若每批生產(chǎn) x 件產(chǎn)品,則每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用是 800 x ,倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用是 , x 8 總的費(fèi)用是 800 x ≥2 800 x 800 x x= 80,故選 B. x + x = 20,當(dāng)且僅當(dāng) =
19、 時(shí)取等號(hào),得 8 8 x 8 10. 16 [ 解析 ] 由 a = 51,得 a 1+ ( - 1) = 51,即 ( - 1) d = 50, n d n n ∴ n+ d= n- 1+d+1≥2 ( n- 1) d+ 1= 10 2+1,當(dāng)且僅當(dāng) n- 1= d 時(shí),等號(hào)成立, 又?jǐn)?shù)列各項(xiàng)為整數(shù),則公差也是整數(shù),故
20、 d = 5, = 11 時(shí), + d 有最小值,最小值等 n n 于 16. 11. 2 2 [ 解析 ] 由點(diǎn) A( m, n) 在直線 x+2y- 1= 0 上, 得 +2 = 1, m n ∴ m n m 2n m+ 2n 2 + 4 ≥2 2 2 = 2 2 = 2 2,
21、 1 mn 當(dāng)且僅當(dāng) m= 2n= 2時(shí),等號(hào)成立,故 2 + 4 的最小值為 2 2. 12 . 1 [ 解析 ] Ω 表示 的是三角 形,其頂 點(diǎn)坐 標(biāo)分別為 (1 , k) , (1 , - 3) , 5 2 2k 1 2 1 2 - k + 1,- + 1 ,則面積 S= 2 k + 1+1 ( k+ 3) = k + 1+1 [( k+1) + 2] k
22、 2 1 4 1 4 = 2 4+ k+ 1+( k+1) ≥2 4+ 2 k+ 1( k+ 1) = 4, 4 當(dāng)且僅當(dāng) k+ 1=k+ 1,即 k= 1 時(shí)等號(hào)成立. 13. 7 [ 解析 ] 由 f ( ) + (2 ) =3, m f n 得 log 2( m- 2) + log 2(2 n- 2) =3
23、,即 ( m- 2)( n- 1) =4( m>2, n>1) , ∴ m+ n= ( m- 2) + ( n- 1) +3≥2 ( m- 2)( n- 1)+ 3= 7,當(dāng)且僅當(dāng) m- 2= n- 1,即 m= 4,n= 3 時(shí),等號(hào)成立, 故 m+n 的最小值 為 7. 14.解:因?yàn)? , b 都是正實(shí)數(shù), log 9(9 a + ) = log 3 ,則 a b ab log (9 a+b) = log 9 1
24、 3 ( ab) ,得 9a+ b= ab,即 b+ a= 1, 3 ∴ 4 a + = (4 a + ) 9 + 1 =13+ 36a b 36a b b a + ≥ 13+ 2 = 25,即 4 + ≥25, b b b a b a a b 36a b
25、
當(dāng)且僅當(dāng) b =a,即 b=6a 時(shí)等號(hào)成立.
而 c>0,所以要使
4a+ b≥ c 恒成立, c 的取值范圍為 0 26、= x +4x(0< x≤36, x ∈ N ) .
144 *
(2) 由 (1) 知 f ( x) = x +4x(0< x≤36, x∈N ) ,
144
∴ f ( x) ≥2x 4x= 48( 元 ) ,
當(dāng)且僅當(dāng)
144
=4
x,即 x=6 時(shí),上式等號(hào)成立.
x
故每批購(gòu)入
6 張書(shū)桌,可以使資金夠用.
【難點(diǎn)突破】
1
2
2
16.解: (1) 令 y= 0,得 kx- 20(1 + 27、 k ) x = 0,由實(shí)際意義和題設(shè)條件知
x>0, k>0,
故 x=
20k
20
20
= 10,當(dāng)且僅當(dāng) k= 1 時(shí)取等號(hào).
1+ k
2=
1
≤
2
k+ k
所以炮的最大射程為
10 km.
(2) 因?yàn)?a>0,所以
1
2
2
炮彈可擊中目標(biāo) ?
存在 k>0,使 3.2 = ka-20(1 + k ) a
成立
2
2
2
? 關(guān)于 k 的方程 a
k
- 20ak+a + 28、 64= 0 有正根
? 判別式
= ( - 20
)
2- 4a2( a2+64) ≥0
a
? a≤ 6.
6
所以當(dāng) a 不超過(guò) 6 km 時(shí),可擊中目標(biāo).
7
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