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1、數(shù)學 分數(shù)應用題
數(shù)學復習分數(shù)應用題
【本講教育信息】
一. 教學內容:
復習分數(shù)應用題
分數(shù)乘、除法應用題屬于同一個整體,它們有同一個基本結構,它們的解題思路,解題方法都有一個共同的特點。本周講述如何利用分數(shù)乘法的意義把它們統(tǒng)一起來。并從多方面加強訓練,提高解答分數(shù)應用題的能力。
二. 重點、難點:
分數(shù)應用題是數(shù)學教學重要的內容之一,其中“求一個數(shù)的幾分之幾是多少?”和“已知一個數(shù)的幾分之幾是多少,求這個數(shù)”。這兩類分數(shù)乘除法應用題,比整數(shù)、小數(shù)應用題有了擴展,數(shù)量關系抽象復雜,是教學中的難點,先“找關鍵句”,確定知“1”或求“1”再選擇用乘法還是用除法。利用基本結構解好簡單
2、分數(shù)應用題,進一步掌握較復雜的分數(shù)應用題,以分散難點,提高解題能力。
A、加強兩種意義
“分數(shù)的意義”是教學分數(shù)乘除法應用題的起點,“一個數(shù)乘以分數(shù)的意義”是解答分數(shù)乘除法應用題的依據?!扒笠粋€數(shù)的幾分之幾”和“已知一個數(shù)的幾分之幾是多少,求這個數(shù)”的應用題,都是根據這個意義列出乘法算式或方程的。因此,要切實理解和掌握“分數(shù)的意義”和“一個數(shù)乘以分數(shù)的意義”,是進行分數(shù)應用題的關鍵所在。
(一)強化分數(shù)意義:
所謂“分數(shù)”就是把單位“1”平均分成若干份,表示這樣的一份或幾份的數(shù),叫做分數(shù)。這個概念中有三個知識點:①、單位“1”:把要平均分的任何事物看做一個整體,用單位“1”表示,又稱整
3、體“1”。②、平均分:分數(shù)是建立在平均分的基礎上的。③、表示平均分的一份或幾份的數(shù)才叫分數(shù)。
例:說出下面每句話中分數(shù)表示的意義
1、五(1)班男生人數(shù)占全班人數(shù)的3/5。(3/5表示把全班人數(shù)看做整體,平均分成5份,其中的3份是男生。)
2、實際比計劃超產1/4。(1/4表示把計劃產量看做一個整體平均分成4份,超產的是這樣的1份。)
3、一臺電視機降價1/5。(1/5表示把電視機原價平均分成5份,降價的是1份。)
(二)強化分數(shù)乘法意義:
學好分數(shù)乘法意義,對學好分數(shù)應用題至關重要。
1、溝通整數(shù)乘法意義與分數(shù)乘法意義的聯(lián)系:
例:一桶油100千克,2桶油重多少千克?列式:1
4、002=200(千克)。(就是求100的2倍是多少?)
一桶油100千克,1.5桶油重多少千克?列式:1001.5=150(千克)。(就是求100的1.5倍是多少?)
一桶油100千克,1/ 2桶油重多少千克?列式:1001/2=50(千克)。就是求100的1/2是多少? 應注意當倍數(shù)不滿1時,“倍”字略去。即把100千克平均分成2份表示這樣的1份。)
一桶油100千克,3/4桶油重多少千克?列式:1003/4=75(千克)。就是求100的3/4是多少?即把100千克平均分成4份表示這樣的3份。)這樣就溝通了求一個數(shù)的幾倍和求一個數(shù)的幾分之幾之間的聯(lián)系,其實質是一樣的。
2、強化分數(shù)乘
5、法意義的訓練:
例:說出算式表示的意義:
301/4(表示30的1/4是多少。)
6米3/5(表示6米的3/5是多少米。)
A5/6(表示A的5/6是多少。)
B、尋找等量關系的訓練
(一)尋找單位“1”的訓練
例:在下面的句子中,用橫線畫出單位“1”的量。
(1)看了一本書的1/3;
(2)一批青菜,其中1/4是白菜。
(3)四月份比三月份節(jié)約用電1/5。
(4)水結冰體積膨脹1/11。
(二)尋找分率對應量的訓練
例:看了一本書的1/3。
全書的(1/3)和(已看的頁數(shù))相對應。
全書的(1-1/3)和(剩下的頁數(shù))相對應。
全書的(1-1/32)和(剩下的
6、頁數(shù)比已看的多的頁數(shù))相對應。
透徹理解分率的意義,找出相對應的量與分率是解答分數(shù)應用題的突破口。
(三)畫線段圖的訓練
有了初步的對應思想,線段圖又具有形象直觀的特點,是幫助學生進一步理解數(shù)量關系,提高分析能力的有利手段。要正確解答分數(shù)乘除法應用題,必須學會畫線段圖。
例(1):一本書共有300頁,看了全書的2/5,看了多少頁?(此題是部總關系的題)
分三步畫圖:(1)、畫出單位“1”的量;(2)、再畫和它相比的量;(3)、標出相應的條件和問題。
若把“看了多少頁”改為“還剩多少頁”就是稍復雜的分數(shù)應用題,也一樣會畫出線段圖(如圖)。
例(2):學校有科技書200本,文藝書
7、是科技書的3/4。文藝書有多少本?(此題是比較關系的,比較關系是兩條線段做比較,畫圖時一般將標準量畫在上面,比較量畫在下面,讓學生通過畫圖體會比較關系的幾種情況)
若把是科技書的3/4改成比科技書少1/4;求少多少或是多少。或把是科技書的3/4改成比科技書多1/4,求多多少或求是多少。
(四)找準等量關系的訓練
1、訓練內容明確:
尋找等量關系,要緊緊地聯(lián)系實際,首先明確是部總關系還是比較關系。如:部總關系,已知單位“1”的量,和一部分分率,求一部分量;求另一部分量;求一部分量比另一部分量多(少)多少?;蚍粗梅匠虒ふ业攘筷P系。
又如:比較關系,已知單位“1”的量,是標準量的幾分之幾
8、求是多少;比標準量多幾分之幾求多多少,是多少;比標準量少幾分之幾,求少多少,是多少。
寫等量關系式:
例:實際用電比原計劃節(jié)約了1/9。
等量關系式:原計劃1/9=節(jié)約的;
原計劃(1-1/9)=實際用電等等。
(五)變換單位“1”的訓練
在解答分數(shù)乘除法應用題時,對“1”的理解、掌握和運用也是關鍵的一環(huán)。尤其是對單位“1”變化規(guī)律的掌握,
例:五(1)班男生人數(shù)是女生人數(shù)的4/5。
①女生人數(shù)為單位“1”,男生人數(shù)是女生人數(shù)的4/5。
②男生人數(shù)為單位“1”,女生人數(shù)是男生人數(shù)的5/4,女生人數(shù)比男生人數(shù)多1/4。
③全班人數(shù)為單位“1”,男生人數(shù)占全班人數(shù)的4/9,女生
9、人數(shù)占全班人數(shù)的5/9,男生人數(shù)比女生人數(shù)少全班的1/9。
C、加強綜合訓練
(一)一題多問
例:某工廠五月份計劃生產鋼材2400噸,上旬完成了計劃的1/3,中旬完成了計劃的3/8,?
(二)一題多解
像上例一題多問后,每一問又可有多種解法,這種訓練可拓展到倍數(shù)、方程、比例等應用題
(三)進行補條件、和編題訓練
(四)打破定勢,建立思維的可逆性
心理學認為:學生是否建立思維的可逆性是衡量其思維能力的重要標志。在分數(shù)應用題教學中學生出現(xiàn)逆向思維障礙是長期進行順向思維訓練形成思維定勢造成的。
【典型例題】
較復雜的分數(shù)應用題,題型廣博,變化多端。拓寬思路,提高解題能力。一、從確
10、定對應入手找出解題方法
分數(shù)應用題中有一個“量率對應”的明顯特點,對一個單位“1”來說,每個分率都對應著一個具體的數(shù)量,而每一個具體的數(shù)量,也同樣對應著一個分率,因此,正確地確定“量率對應”是解題的關鍵。我們要學會和掌握“明確對應,找準對應分率”的解題方法。
例:小冬看一本故事書,第一天看了總頁數(shù)的1/6,第二天看了總頁數(shù)的1/3,還剩78頁沒有看,這本故事書共有多少頁?
把這本故事書的總頁數(shù)看作單位“1”,要求這本故事書共有多少頁,就要求出剩下的78頁的對應分率。根據已知條件,第一、二天看了總頁數(shù)的(1/6+1/3),還剩下78頁的對應分率是(1-1/6-1/3),求這本故事書共有多少
11、頁,就是已知單位“1”的(1-1/6-1/3)是78頁,求單位“1”。于是列式為:78(1-1/6-1/3)=156(頁)
二、通過統(tǒng)一標準量找出解題方法
在一道分數(shù)應用題中,如果出現(xiàn)了幾個分率,而且這些分率的標準量不同,量的性質相異,在解題時,必須以題中的某一個量為標準量,將其余量的對應分率統(tǒng)一到這個標準量上來,才可列式解答。
例:果園里有蘋果樹和梨樹共420棵,蘋果樹棵數(shù)的1/3等于梨樹的4/9,問這兩種果樹各有多少棵?
題中的1/3是以蘋果樹為標準量,4/9是以梨樹為標準量,解題時必須統(tǒng)一成一個標準量。
若以蘋果樹為單位“1”,則有11/3=梨樹4/9,那么梨樹就相當于單位“1
12、”的1/34/9,兩種果樹的總棵數(shù)就相當于單位“1”的(1+1/34/9),于是列式為:
420(1+1/34/9)=240(棵)……蘋果樹
240(1/34/9)=180(棵)……梨樹
也可以把梨樹看作單位“1”,或把兩種果樹的總棵數(shù),或者相差棵數(shù)看作單位“1”。
三、通過假設推算找出解題方法
有些分數(shù)應用題,如果按題中所給條件直接去思考,就難以找到解題方法,如果在解題時先假設一個主觀上所需要的條件,然后按照題目里的數(shù)量關系推算,所得的結果則發(fā)生與題目條件不同的矛盾,再進行適當?shù)恼{整,即可找到正確的答案。
例:紅花村修一條水渠,第一周修了全長的2/5多10米,第二周修了全長的1/
13、4少5米,還剩下282米沒有修。這條水渠長多少米?
假設第一周修的恰好是全長的2/5,這樣第一、二周修后剩下的282米中就要增加10米;假設第二周修的恰好是全長的1/4,這樣第一、二周修后剩下的282米中又要減少5米,于是條件變?yōu)榈谝恢苄蘖巳L的2/5,第二周修了全長的1/4,還剩下(282+10-5)米沒有修。把這條水渠全長看作單位“1”,那么(282+10-5)米的對應分率就是(1-2/5-1/4)。于是列式為:(282+10-5)(1-2/5-1/4)=820(米)
四、通過逆推找出解題方法
有些分數(shù)應用題,如果按從始至終的先后順序去分析,很難達到解決問題的目的,甚至陷入絕境。不妨
14、“反過來想一想“進行逆推,便容易打開思路,順利解題。
例:有一個油桶里的油,第一次倒出1/3后加入20千克,第二次倒出油的1/6多5千克,這時桶里剩下油95千克。問原來桶里有油多少千克?
從最后條件出發(fā)思考:95+5=100(千克),即為現(xiàn)存油的5/6,故現(xiàn)在桶里有油1005/6=120,再從第一個條件思考,120-20=100(千克),即為原存油的2/3,因此,原來桶里有油1002/3=150(千克)。綜合算式:[(95+5)(1-1/6)-20](1-1/3)=150(千克)
五、借助線段圖找出解題方法
分數(shù)應用題的數(shù)量關系比較抽象、隱蔽,如果根據題意畫出線段圖,可使抽象變具體,隱
15、蔽明朗化,從而借助線段圖揭示的數(shù)量關系可直觀地找出解題方法,甚至有的題還可找到簡捷的解法。
例:甲乙兩人共存人民幣若干元,其中甲占3/5,若乙給甲60元后,則乙余下的錢占總數(shù)的1/4,甲乙兩人各存人民幣多少元?
60元的對應分率是(1-3/5-1/4),于是可求出甲乙兩人共存人民幣多少元,進而可求出甲乙兩人各存人民幣多少元。
60(1-3/5-1/4)=400(元)……甲乙兩人共存
4003/5=240(元)……甲
400(1-3/5)=160(元)……乙
或400-240=160(元)
六、抓住不變量找出解題方法
對于標準量不統(tǒng)一的分數(shù)應用題,如果我們能從題中找到一個不變量,
16、就以不變量為突破口,便能夠很快找到解題方法。
例:一個車間有工人360人,其中女工占3/5,后來又招進一批女工,這時女工人數(shù)占全車間工人總人數(shù)的5/8,又招進女工多少人?
從題中可知,女工人數(shù)起了變化,引起全車間工人總人數(shù)起了變化,但是男工人數(shù)始終沒有增減,因此,抓住男工人數(shù)沒有變化這個不變量來分析。當全車間工人為360人時,女工占3/5,則男工占1-3/5=2/5,為3602/5=144(人)。又招進一批女工后,女工人數(shù)占這時全車間工人總人數(shù)的5/8,則男工人數(shù)占這時全車間工人總人數(shù)的1-5/8=3/8,因此,這時全車間有工人1443/8=384(人)。原來全車間有工人360人,現(xiàn)在增加
17、到384人,增加的原因是由于招進了一批女工,故又招進女工384-360=24(人)。綜合算式:360(1-3/5)(1-5/8)-360=24(人)
七、通過轉變條件找出解題方法
有些分數(shù)應用題,可以通過改變看問題的角度,將題中某些已知數(shù)量轉換成與之有關聯(lián)的另一個數(shù)量,使之成為一個較為熟悉的簡單的問題,從而找到解題的新方法。
例:有兩缸金魚,如果從第一缸取出15尾放入第二缸,這時第二缸內的金魚正好是第一缸的5/7,已知第二缸內原有金魚35尾,第一缸內原有金魚多少尾?
這道題可以轉化為熟悉的“歸一”問題。題中的5/7根據分數(shù)的意義,表示把這時第一缸內的金魚尾數(shù)平均分成7份,這時第二缸內金
18、魚的尾數(shù)占其中的5份,這5份共35+15=50(尾),則每份是505=10 (尾),因此,這時第一缸內有金魚107=70(尾),那么第一缸內原有金魚70+15=85(尾)。綜合算式:
(35+15)57+15=85(尾)
拓展提高:
鬼谷算
我國漢代有位大將,名叫韓信。他每次集合部隊,只要求部下先后按l~3、1~5、1~7報數(shù),然后再報告一下各隊每次報數(shù)的余數(shù),他就知道到了多少人。他的這種巧妙算法,人們稱為鬼谷算,也叫隔墻算,或稱為韓信點兵,外國人還稱它為“中國剩余定理”。到了明代,數(shù)學家程大位用詩歌概括了這一算法,他寫道:
三人同行七十稀,五樹梅花廿一枝,
七子團圓月正半,除百零五便得知。
這首詩的意思是:用3除所得的余數(shù)乘上70,加上用5除所得余數(shù)乘以21,再加上用7除所得的余數(shù)乘上15,結果大于105就減去105的倍數(shù),這樣就知道所求的數(shù)了。
比如,一籃雞蛋,三個三個地數(shù)余1,五個五個地數(shù)余2,七個七個地數(shù)余3,籃子里有雞蛋一定是52個。算式是:
170+221+315=157
157-105=52(個)
請你根據這一算法計算下面的題目。
新華小學訂了若干張《中國少年報》,如果三張三張地數(shù),余數(shù)為1張;五張五張地數(shù),余數(shù)為2張;七張七張地數(shù),余數(shù)為2張。新華小學訂了多少張《中國少年報》呢?