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1、1.5 獨立試驗概型 二項概率公式 太原理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院 1.5 獨立試驗概型 二項概率公式 在隨機試驗中，經(jīng)常會碰到這樣一類試驗， 每次試驗的可能結(jié)果為有限個，且各次試驗的 就是在相同條件下重復(fù)進行 次的試驗， n 結(jié)果互不影響，此 次試驗顯然是相互獨立 . n 這種概率模型稱作 重獨立試驗。特別地， n 當(dāng)每次試驗只有兩次結(jié)果 和 ，且 A A pAP )( 時，稱為 重伯努利 試驗 ， )10(1)( ppAP n 每次摸出一個，觀察摸出球的顏色后再放回 回的摸球，而且每次摸到的球或為紅色或為 努利概型 . 也可稱為 重伯努利概型，它是一種很重要 n 的具有廣泛應(yīng)用的概率模型 .比如從
2、裝有 3 個紅球、 個白球的口袋中有放回的摸球， 4 口袋重新摸球 .如此重復(fù) 次，因為是有放 n 白色，只有兩種可能的結(jié)果，顯然為 重伯 n 恰好發(fā)生 次的概率可歸結(jié)為以下定理 . k 一般地，在 重伯努利試驗中，事件 n A 定理 1 在伯努利試驗中，事件 在 nA 次試驗中恰好發(fā)生 次的概率為 k ,)1(),;( knkkn ppCpnkb .,2,1,0 nk 件 發(fā)生，而其余 次試驗中事件 不發(fā) A Akn 生 ” ， 表示事件 “ 在第 次試驗中 發(fā)生 ” ， 則 iA Ai 證明 設(shè) 表示事件 “ 在前 次試驗中事 kB ,11 nkk AAAAB 事件 的概率為 B knkn
3、kk ppAAAAPBP )1()()( 11 易見， 次試驗中 “ 在某 次 發(fā)生，而其余 kn A 次 未發(fā)生 ” 的概率與到底在哪 次發(fā) kn A k 生無關(guān)，都等于 ，而事件 發(fā)生 knk pp )1( A 在某 次共有 種不同的選擇，故 次試驗 k nk nC 中事件 恰好發(fā)生 次的概率為 A k ,)1(),;( knkKn ppCpnkb .,2,1,0 nk 該公式正好與 的二項展開式中第 npp )1( 發(fā) 生 次的概率為 k 類似可得 重伯努利試驗中事件 至少 n A n ki inii n ppC )1( 項完全相同，故有時又稱之為參數(shù)為 1k n 和 的二項概率公式 .
4、 p 樣品中恰好有三件次品及至多有三件次品的 重復(fù)抽樣，共抽取五件樣品，分別計算這五件 概率 . 由已知，利用二項概率公式可得恰好有三件 中恰好由零件、一件、兩件、三件次品事件， 次品的概率 解 設(shè) 、 、 、 分別表示五件樣品 0A 1A 2A 3A 例 1 一批產(chǎn)品中有 的次品，現(xiàn)進行 %20 至多有三件次品的概率為 定理 2（二項分布的 Poisson逼近）在 ,0 51 2.0)2.01()2.0()( 23353 CAP 3 0 5 5 3 0 ,9933.0)8.0()2.0( i iii i i CAP 驗中發(fā)生的概率，它與 有關(guān)，如果 n 重伯努利試驗中，以 代表事件 在一次
5、試 Anp 則 )0(lim nn np 證明過程用到微積分學(xué)中重要極限公式 .在 .!)1(lim ekppC k kn n k n k nn 證明 記 ,nn np kn n k nkn n k n k n nnk knnnppC 1 ! )1()1(1 )( kn n k n nn k nk 11111! ,! ek k .n 以利用下面的近似公式： 例 2 自某工廠的產(chǎn)品中進行重復(fù)抽樣檢 件廢品，問能否相信該工廠產(chǎn)品廢品率不超 實際問題中當(dāng) 相當(dāng)小，而 比較大時，可 n p .!)()1( )( np k knkk n ek npppC 查，共取 件樣品，檢查結(jié)果發(fā)現(xiàn)其中有 200 4
6、 過 ？ 005.0 根據(jù)人們在長期實踐中總結(jié)出來的一條 概率的實際不可能原理） .現(xiàn)在，可以認(rèn)為 幾乎是不可能發(fā)生的（概率論中稱之為小 原理：概率很小的事件在一次試驗中實際上 易算得 件產(chǎn)品中出現(xiàn) 件廢品的概率為 200 4 解 假設(shè)該工廠產(chǎn)品廢品率為 ，容 005.0 .01 5.099 5.000 5.0)00 5.0,20 0;4( 1 9 6442 0 0 Cb 當(dāng)工廠產(chǎn)品廢品率為 時，抽檢 件產(chǎn) 200005.0 在一次試驗中就發(fā)生了，因此有理由懷疑假 是不可信的 . 利用 Poisson逼近 可見與前面計算結(jié)果符合的比較好 . 品出現(xiàn) 件廢品是一概率很小的事件，而它 4 定的正確性，即工廠產(chǎn)品廢品率不超過 005.0 由于 相當(dāng)小 ,而 比較大， 005.0p 200n .01 53.0 !4!99 5.000 5.0 1 19644 200 ee k npC npk
《復(fù)變函數(shù)》教學(xué)資料第一章
