《動量守恒》PPT課件.ppt

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1、1 笫 四 章 動 量 定 理 動 量 與 動 量 定 理 ； 質 心 與 質 心 運 動 定 理 ； 動 量 守 恒 定 律 ； 變 質 量 物 體 的 運 動 .目 錄 近 代 科 學 的 始 祖笛 卡 兒 哲 學 原 理 2 引 言 動 力 學 問 題 運 動 學 問 題 力 的 瞬 時 效 果 力 的 位 置 函 數 牛 頓 定 律 適 用 質 點 ， 應 用 于 質 點 系 存 在 困 難 ； 引 進 新 概 念 和 物 理 量 該 量 新 規(guī) 律 ？ 關 系 三 大 定 理 與 守 恒 定 律 （ 普 遍 定 理 ） 動 力 學 普 遍 定 理 及 守 恒 律 （ 動 量 定 理

2、、 能 量 定 理 、 角 動 量 定 理 ） ： 建 立了 表 現 運 動 特 征 的 量 （ 動 量 、 能 量 、 角 動 量 ） 和 表 現 力 作 用 效 果 的 量（ 沖 量 、 功 、 沖 量 矩 ） 之 間 的 關 系 ； 普 遍 定 理 及 守 恒 律 應 用 ： 解 決 實 際 問 題 時 ， 不 僅 運 算 簡 單 ， 而 且 各 個 量都 具 有 明 確 的 物 理 意 義 ， 便 于 深 入 研 究 范 圍 更 廣 的 運 動 規(guī) 律 。( , , )mr f r r t 累 積 效 果空 間時 間力 作 用 效 果 量表 現 運 動 特 征 量 MAJLEp 3 動

3、 量 與 動 量 定 理動 量 是 描 述 一 定 運 動 狀 態(tài) 下 物 體 “ 運 動 量 ” 的 概 念 ， 比速 度 更 能 全 面 、 確 切 地 反 映 物 體 的 運 動 狀 態(tài) ， 稱 為 狀 態(tài) 量 。牛 頓 第 二 定 律作 用 在 質 點 上 的 外 力 等 于 質 點 動 量 隨 時 間 的 變 化 率 。p mv 一 、 動 量定 義 動 量 ： 牛 頓 定 律 表 明 ， 力 的 瞬 時 效 應 是 受 力 物 體 獲 得 加 速 度 ， 而 任何 運 動 必 定 經 歷 空 間 和 時 間 。 因 此 ， 應 用 牛 頓 定 律 于 質 點 組 ，研 究 力 作

4、用 的 時 間 累 積 效 應 與 空 間 累 積 效 應 ， 從 中 尋 求 某 些 規(guī)律 ， 便 成 為 動 力 學 理 論 進 一 步 向 前 發(fā) 展 的 一 個 方 向 。dtpddtvmdF )( 4 二 、 質 點 動 量 定 理2 2 1 1 2 1( )t pt pF t dt dp p p dpF dt 由 Fdt dp 動 量 定 理微 分 形 式定 義 dJ=Fdt為 力 的 元 沖 量 ， 則 沖 量 J為 力 對 時 間 的 積 分 21 2 1dt ttJ F t mv mv 動 量 定 理積 分 形 式 動 量 定 理 常 用 于 碰 撞 過 程 ,在 碰 撞 、

5、 打 擊 瞬 間 用 平 均 沖力 概 念 2 12 11 ( )tt pF F t dtt t t 5 三 、 質 點 系 動 量 定 理1. 對 兩 質 點 系 統(tǒng) (如 圖 )內 力 ：外 力 ： 1F 21F 2F12F1 2考 慮 牛 頓 笫 三 定 律 ， (1)+(2)得 :1 2F F 、12 21F F 、質 點 1質 點 2 ）（ 1 1211 FFp 2 2 21 2p F F （ ） 2121 FFpp 21 021 221121 tt exexex PPdtFdtPdFFFF vmvmppP 或 6 2. 對 多 質 點 系 統(tǒng)質 點 系 的 動 量 定 理 作 用

6、于 系 統(tǒng) 的 合 外 力 在 一 段 時 間 內 的 總 沖 量 等 于 系 統(tǒng) 動 量 的 增 量 。設 質 點 組 由 N個 質 點 組 成 ， 對 第 i個 質 點 應 用 動 量 定 理 ， 有對 所 有 質 點 的 動 量 定 理 表 式 求 和 ， 則 有由 于 所 有 內 力 的 矢 量 和 為 零 ， 即 nnnnn nnFFFFp FFFFp FFFFp . .321 2232212 1131211 ,1, 1 0n m iji j F 1 2 1 2. .n np p p F F F 01 1 01n ni i i ti i ex exn tex iiP p mv dPF

7、 F dt P PdtF F 或 7(2) 系 統(tǒng) 內 力 不 改 變 系 統(tǒng) 總 動 量 ， 但 可 使 系 統(tǒng) 內 各 質 點 的動 量 變 化 ； (1) 只 有 外 力 對 系 統(tǒng) 動 量 的 增 量 有 貢 獻 ；說 明 ： 動 量 定 理 與 牛 頓 定 律 的 關 系 ： 對 一 個 質 點 ， 牛 頓 定 律 表 示 的 是 力 的 瞬 時 效 應 ， 而 動量 定 理 表 示 的 是 力 對 時 間 的 積 累 效 果 ； 牛 頓 定 律 只 適 用 于 質 點 ， 不 能 直 接 用 于 質 點 系 ， 而 動量 定 理 可 適 用 于 質 點 系 ； 牛 頓 定 律 和

8、動 量 定 理 都 只 適 用 于 慣 性 系 ， 要 在 非 慣 性系 中 應 用 動 量 定 理 ， 必 須 考 慮 慣 性 力 的 沖 量 。在 無 限 小 的 時 間 間 隔 內 ： 質 點 系 動 量 定理 的 微 分 形 式PddtFex dtPdFex 8 例 題 4.1、 如 圖 ， 小 球 m自 由 落 體 h距 離 ， 能 將 重 物 M提 升 到 多 少 高 度 ?解 ： 設 繩 子 為 柔 軟 鋼 絲 繩 ， 全 過 程 分 為 三 段 分 析 ： 軟 繩 由 松 到 緊 ， M不 動 ， 小 球自 由 下 落 ， 獲 得 末 速 度2v gh 軟 繩 被 繃 緊 ，

9、在 此 瞬 間 m, M均 受 到 繩 子 張 力 T的 作 用 ， 達 到 同 一 末 速 度 V。 M mh mM 1T2T 1G2G 9解 出 ： 根 據 動 量 定 理 有 m、 M一 同 運 動 ， 位 移 H ， 應 用 勻 加 速 直 線 運 動 公 式 以 及 第 二 定 律 ， 有 2 2v asmvV m M tTMV tTmvmV 0 )( HMMgTV Hm TmgV )(20 )(2-0 22 1)(2 222 22 mM hhmM mgVmM mMH 10 分 析 ： 這 是 一 個 質 點 系 的 動 量 問 題 ， 可 用 體 系 動 量 定 理 求 解 。例

10、題 4.2、 柔 軟 鏈 條 自 桌 上 小 孔 自 由 下 落 ， 求 下 落 速 度與 落 下 距 離 之 間 關 系 。根 據 Fex=dP/dt 得 yOy ymyvvmp yggmF y yex dyyvdvdydydtyvdyg )()( 解 ： 如 圖 ， 建 立 坐 標 系 ,令 線 密 度 ,則 在 某 時 刻 11 兩 端 同 乘 以 y：兩 端 積 分 ： 得 ： yOyym)(yvvdygdy )(2 yvyvddygy y yv yvyvddyyg 0 02 )(23 )(2131 yvgy 21)32( gyv 12 4.3、 長 為 l， 線 密 度 為 的 柔

11、軟 繩 索 ， 原 先 兩 端 A、 B并 合 一 起 ，懸 掛 在 支 點 上 ， 現 讓 B端 支 點 自 由 下 落 ， 求 當 B端 下 落 了 x時 ， 支點 上 所 受 的 力 ？解 ： 整 條 繩 索 作 為 體 系 ， 受 到 重 力 （ 向 下 ） 和 支 點 的 拉 力 （ 向 上 ） 兩 個 外 力作 用 。 在 合 力 作 用 下 ， 體 系 的 動 量 不 斷 變 化 。體 系 的 動 量 也 就 是 右 半 部 分 繩 索 的 動 量 。 由 于 右 半 部 分 （ 未 成 為 左 半 部 分 ）的 運 動 不 受 左 半 部 分 影 響 ， 并 作 自 由 落 體

12、 運 動 。 )()(2232lglg 232lglg,2 222 下 落 的 拖 力左 半 重 力則動 量 定 理 gxgxlgxF gxglFdtdPF： gdtdvgxvdtdx dtdvxldtdxvdtdPvxlP T TT 說 明 ：（ 1） 質 點 系 動 量 定 理 可 用 來 直 接 用 于 牛 頓 定 律 所 不 能 解 決 的 問 題 ；（ 2） 后 面 再 從 另 一 角 度 來 討 論 這 個 問 題 。 A Bv xl=(l-x)/2x 13 2. 質 心 與 質 心 運 動 定 律一 、 質 心質 心 位 置及 其 求 法 ：質 點 系 動 量 定 理 的 微 分

13、 形 式 ：對 質 點 系 而 言 存 在 一 個 特 殊 點 c， 滿 足是 該 特 殊 點 的 加 速 度 ， c稱 為 質 心 cF Ma ca ： 兩 個 質 點 組 成 的 體 系 1 1 2 21 1 2 2 1 21 2m a m aF m a m a m mm m 從 總 體 反 映 質 點 系 運 動 的 宏 觀 特 點 ， 需 要 引 入 質 心概 念 ,并 討 論 質 心 運 動 具 有 的 若 干 獨 特 的 規(guī) 律 。 2 1 1 2 21 2 2 1 2m r m rdm m dt m m i ipdtddtPdF 14可 見 質 心 位 矢 是 質 點 位 矢 的

14、 帶 權 平 均 值 ， 這 個 “ 權 ” 與 質 點 的質 量 分 布 位 置 有 關 。 由 此 得 1 1 2 21 2c m r m rr m m n個 質 點 系 統(tǒng) i iic ii mrr m 分 量 形 式 i i i i i ii i ic c ci i ii i im x m y m zx y zm m m 15 對 質 量 連 續(xù) 分 布 的 物 體 ， 其 質 心 位 矢 由 上 式 推 廣 得c rdm rdVr dm dV 分 量 形 式 為 c c cxdm ydm zdmx y zdm dm dm 若 一 個 物 體 由 A、 B兩 部 分 組 成 ， 依 質

15、 心 xyz方 向 表 達 式 分 別 改 寫 為 i i i ii i A Bc i i iA Bm x m xm xX m m m 16 A A B Bc cc A BZ m Z mZ m m A A B Bc cc A BY m Y mY m m 同 樣 Y、 Z方 向 質 心 位 置 分 別 為質 心 的 性 質 只 有 在 體 系 的 運 動 與 外 力 的 關 系 中 才 體 現 出 來 。因 此 ， 質 心 并 不 是 一 個 幾 何 學 或 運 動 學 的 概 念 ， 而 是 一 個 動 力學 概 念 。 ( ) ( )i i i iA BA BA B A c A B c Bc

16、 A B A Bm x m xm mm m X m X mX m m m m 17 例 題 4.3 求 半 徑 為 a的 均 質 半 圓 球 的 質 心 .解 ： 如 圖 ， 以 球 心 O為 原 點 建 立 坐 標 系 .將 半 球 體 劃 分 為 若 干 半 徑 為 r厚 為 dz的 薄 圓 平 板 狀 體 積 元 dV.而 xzsina cosa Oa 設 ， 則cosu dzrdV 2 cossin azar )(cos)cos1( )cos()sin( 23 2 da adadV auua a uduuaVzdVdVzdVz VVc 834223 32 )1(1 04102 310

17、24 18 例 題 4.4 如 圖 ， 在 半 徑 為 R的 均 質 等 厚 大 圓 板 的 一 側 挖 掉半 徑 為 R/2的 小 圓 板 ， 大 小 圓 板 相 切 ， 求 余 下 部 分 的 質 心 。解 ： 選 擇 如 圖 坐 標 系 ， 考 慮 對 稱 性 ， 余下 部 分 質 心 的 y坐 標 為 零 ， 僅 需 求 x坐 標大 圓 板 質 量 為 ， 質 心 坐 標 為 xc=0小 圓 板 質 量 為 ， 質 心 坐 標 為 x1c=R/2余 下 的 質 量 為 ， 質 心 坐 標 用 x 2c 表 示 ， 則2 6c Rx O xy2RM 21 41 Rm 22 43 Rm 2

18、 222 432410 R xRRR c 19 二 、 體 系 動 量 定 理 與 質 心 運 動 定 理引 入 質 心 概 念 ， 質 點 系 動 量 則 可 表 示 為體 系 動 量 定 理 可 寫 成 21 0 0t c ct Fdt P P Mv Mv 上 述 結 論 亦 稱 為 質 心 運 動 定 理 ， 其 微 分 形 式 c cd dF P Mr Mrdt dt cci iiii ii ii vMrMM rmdtdMrmvmP 20 (3)不 論 體 系 如 何 復 雜 ， 體 系 質 心 的 行 為 與 一 個 質 點相 同 。 從 這 個 意 義 上 說 ， 牛 頓 定 律

19、所 描 繪 的 不 是 體系 中 任 一 質 點 的 運 動 ， 而 是 質 心 的 運 動 。 而 質 心 的存 在 ， 正 是 任 意 物 體 在 一 定 條 件 下 可 以 看 成 質 點 的物 理 基 礎 ； 幾 點 說 明 : (2)質 心 運 動 定 理 表 明 牛 頓 定 律 具 有 一 種 獨 特 的 性質 ， 即 如 果 它 在 某 一 小 尺 度 范 圍 內 是 正 確 的 ， 那 么在 大 尺 度 范 圍 內 也 將 是 正 確 的 ； (1) 質 心 運 動 定 理 實 際 上 是 矢 量 方 程 ， 可 以 寫 成三 個 分 量 方 程 ， 運 動 的 獨 立 性 同

20、 樣 成 立 ；(4)質 心 運 動 定 理 和 牛 頓 三 定 律 的 適 用 范 圍 相 同 。 21 物 體 相 對 固 定 參 照 系 的 運 動 可 分 解 為 它 相 對 質 心 系 的 運動 與 質 心 系 相 對 固 定 參 照 系 的 運 動 ； 質 心 坐 標 系 在 討 論 質 點 系 的 力 學 問 題 中 十 分 有 用 。 對 于 孤 立 體 系 或 所 受 外 力 的 矢 量 和 為 零 的 體 系 ：其 質 心 坐 標 系 為 慣 性 系 .對 于 受 外 力 作 用 的 體 系 ， 則 是 非 慣 性 系 ； 三 、 質 心 坐 標 系？ 質 心 坐 標 系

21、： 把 原 點 取 在 質 心 上 ， 坐 標 軸 的 方 向 始 終 與 某 固定 參 照 系 （ 慣 性 系 ） 的 坐 標 軸 保 持 平 行 的 平 動 坐 標 系constvconstvMP cc , 22 例 4.5 一 根 完 全 柔 軟 的 質 量 均 勻 分 布 的 繩 子 豎 直 的 懸掛 著 ， 其 下 端 剛 與 地 面 接 觸 。 此 時 放 開 繩 子 ， 從 靜止 狀 態(tài) 開 始 下 落 。 已 知 繩 子 質 量 為 m,長 為 l， 求 下 落到 所 剩 長 度 為 z時 ， 地 面 對 這 段 繩 子 的 作 用 力 。解 ： 解 法 一 （ 質 心 法 ）

22、 把 繩 子 看 作 一 質 點 系 。 當 繩 子 下 落到 剩 長 度 為 z時 ， 所 以 其 質 心 高 度 和 速 度分 別 為 所 謂 完 全 柔 軟 的 繩 子 ,指 的 是 繩 子 上 端 的 下 落 速 度 v=dz/dt與 一 個 質 點 自 由 下 落 的 速 度 相 同 ， 即 zO zl zlzzdlmzmz zc 21 20 lzvdtdzlzdtdzv cc 23 由 此 可 得 質 心 加 速 度 為 設 地 板 對 上 段 繩 子 的 作 用 力 為 F， 對 整 根 繩 子 應 用 質 心運 動 定 理 ， 則 有 gdtdvzlgv )(2 lzggdtd

23、vlzlv lzvdtddtdva cc 32)(2 )1(3)( lzmgagmF mamgF cc 24忽 略 二 級 小 量 ， 并 考 慮 dt內 落 地 繩 子 的 長 度 為 -vdt， 可 得加 上 已 經 落 地 的 一 段 繩 子 所 受 到 的 支 持 力 ， 總 的 作 用 力 為 繩 子 上 端 的 下 落 速 度 為 ， 而 緊 靠 地 面的 質 元 dm與 地 面 相 碰 時 其 動 量 由 vdm變 為 零 。 故 若 設 該 質元 受 到 的 支 持 力 為 F1， 根 據 質 點 動 量 定 理 有 2v g l z 解 法 二 ： （ 動 量 法 ） vdm

24、dtgdmF 0)1（ lzmglmvdtlmvdtvdtdmvF -121 21 lzmgglmzlFF 13)(1 25 3. 動 量 守 恒 定 律一 、 動 量 守 恒 定 律由 體 系 動 量 定 理若 Fex= 0,則幾 點 說 明 ： 內 力 對 體 系 的 動 量 無 貢 獻 ， 但 內 力 對 體 系 動 量 的 具 體 分配 有 重 要 作 用 。 當 體 系 所 受 外 力 矢 量 和 為 零 時 ,但 由 于 內 力 作 用 ， 可 以 有 constppppP . 2121 ,.2211 , pppp 210 tt exdtFPP constvmP ini i 1 2

25、6 動 量 守 恒 定 律 雖 可 由 牛 頓 定 律 導 出 ， 但 它 比 牛 頓 定 律 的 適 用 范 圍 更 廣 ； 尤 其 是 微 觀 領 域 的 某 些 過 程 中 ， 牛 頓 定 律 也 許 不成 立 ， 但 動 量 守 恒 定 律 仍 然 成 立 。 動 量 守 恒 是 矢 量 式 ， 它 有 三 個 分 量 ， 各 分 量 可 以 分 別 守 恒 ； 在 某 些 過 程 （ 如 爆 炸 、 碰 撞 ） 中 ， 體 系 雖 受 外 力 ， 但 外 力有 限 ， 過 程 時 間 很 短 ， 外 力 沖 量 很 小 ； 而 其 間 內 力 很 大 ， 體 系內 每 一 部 分 的

26、 動 量 變 化 主 要 來 自 內 力 的 沖 量 ， 外 力 的 沖 量 可 忽略 不 計 ， 故 可 以 利 用 動 量 守 恒 定 律 研 究 體 系 內 部 各 部 分 間 的動 量 再 分 配 問 題 。 000 x xy yz zF P constF P constF P const 27 炮 身 反 沖 運 動4.7、 設 炮 車 以 仰 角 發(fā) 射 炮 彈 ， M（ 炮 身 ） ， m（ 炮 彈 ） ， 炮 彈 在 出 口 處 相對 炮 身 的 速 率 為 v， 試 求 炮 身 的 反 沖 速 度 ， 設 地 面 摩 擦 力 可 略 。解 ： 炮 身 和 炮 彈 體 系 ，

27、在 豎 直 方 向 受 到 重 力 和 地 面 支 承 力的 作 用 ， 在 開 炮 瞬 間 ， 兩 者 的 大 小 并 不 相 等 （ 支 承 力 可 很大 ） ， 但 在 水 平 方 向 （ 取 為 x） 不 受 外 力 的 作 用 ， 故 水 平方 向 體 系 的 動 量 守 恒 。由 于 炮 彈 的 速 度 是 相 對 炮 身 ， 須 將 利 用 相 對 運 動 公 式 化 為相 對 地 面 。 y m xM0v v 0v v v cos0cos0cos 00000 00 vmMMvmvMvvMmvMv vvv vvv xx 討 論 ： 相 對 同 一 慣 性 系 （ 相 對 地 面

28、或 取 反 沖 結 束 后 炮 身 ） 。思 考 題 ： 試 用 反 沖 結 束 后 炮 身 作 為 參 考 系 來 重 解 該 題 。 是 否 可 以 在 整 個 過 程 中 均 取炮 身 （ 而 不 是 反 沖 結 束 后 炮 身 ） 為 參 考 系 解 題 ？ 為 什 么 ？ 只 要 開 炮 的 時 間 很 短 ， 體 系 在 豎 直 方 向 的 動 量 也 應 守 恒 。 你 認 為 對 嗎 ？ 為 什 么 ？ 28 例 4.8 質 量 為 M=500kg、 長 為 4m的 木 船 浮 在 靜 止 水 面上 ， 一 質 量 為 m=50kg的 人 站 在 船 尾 。 此 人 以 時 快

29、 時 慢的 不 規(guī) 則 速 率 從 船 尾 走 到 船 頭 ， 問 船 相 對 岸 移 動 了 多少 距 離 ?設 船 與 水 之 間 的 摩 擦 忽 略 。分 析 ： 由 于 體 系 原 來 靜 止 ， 沒 有 外 力 作 用 ， 質 心 加 速 度 為 零 ，質 心 在 水 平 方 向 的 位 置 保 持 不 變 , 故 宜 用 質 心 概 念 求 解 。解 ： 解 法 一 （ 質 心 法 ） 取 x軸 沿 水 平 方 向 ， 取 原 來 船 的 中 點 為 坐 標 原 點 ， 以 人 的行 走 方 向 為 x正 方 向 。 人 在 船 尾 時 ， 體 系 質 心 的 坐 標 x c為cx

30、 L x0y )(112505002 450)(2 02 mMmmL Mm MLmMm Mxmxx Mmc 29 當 人 走 到 船 頭 后 ， 設 船 的 中 心 坐 標 為 x，則 體 系 質 心 坐 標 為 2c Lm x Mxx m M 質 心 水 平 位 置 不 變 ， 即 xc= xc，故 x 0 x0 cx L x0故 船 相 對 岸 移 動 了 4/11m。 22 11mLx xm M 4 ( )11x m 30再 設 u為 人 對 船 的 速 度 ， 則 如 圖 ， 人 在 t0t時 間 內 從 船 的 一 端 走 到 另 一 端 ， 距 離 為 L,人和 船 對 岸 的 移

31、 動 距 離 分 別 為 x1、 x2 ， 則 可 寫 出 下 面 三 個 運 動學 關 系 式 解 法 二 （ 動 量 守 恒 法 ）在 水 平 方 向 上 系 統(tǒng) 不 受 外 力 ， 動 量 守 恒 ， 故 其 中 v1、 v2分 別 為 某 時 刻 人 和 船 對 岸 的 速 度 。 Lu 2x 1x x)1(021 Mvmv )2(21 vuv dtvxdtvx tttt 00 2211 3102 1 1 411ttm m mx v dt x L mM M m M （ ） 由 式 （ 1） 得 v2， 并 代 入 式 （ 2） ， 得dtuL tt 0 11121 vM mMvMmvv

32、vu 11 0 xM mMdtvM mML tt LmMMx 1 32 ?變 質 量 :是 指 體 系 在 運 動 過 程 中 不 斷 與 外 界 交 換 質 量 。對 這 樣 體 系 的 運 動 過 程 分 析 思 路 ： 可 分 解 為 一 系 列 元 過 程 ； 在 元 過 程 中 ， 其 組 成 是 確 定 的 ， 質 量 是 不 變 的 ， 體 系 動 量變 化 服 從 體 系 動 量 定 理 ； 由 此 即 可 導 出 主 體 的 運 動 方 程 。一 、 變 質 量 物 體 的 運 動 4.變 質 量 物 體 的 運 動mm v v m mF F F m m mFmF vut時

33、刻 t+ t時 刻 33這 就 是 變 質 量 質 點 （ 即 主 體 ） 運 動 方 程 。 （ 變 質 量 動 量 定 理 ）令 ， 則 ， 上 式 取 極 限得 0t 0v 如 圖 ， 在 t時 刻 ， 主 體 m與 附 體 m是 分 離 的 ； 經 過 t時 間 ， 附 體 并 入 主 體 。 于 是 ， 由 體 系 的 動 量 定 理 ， 有 tFumvmvvmm tmvFtmvutvm Fdtdmvudtvdm 34 幾 點 說 明 ： 方 程 中 外 力 ， 附 體 對 主 體 的 作 用 力為 。當 u=v時 ， 方 程 形 式 上 與 牛 頓 第 二 定 律 一 樣 ， 但

34、注 意 m是變 量 。 m mF F F /u v dm dt 當 u=0時 ， 方 程 變 為 上 式 是 在 的 情 況 下 導 出 ， 但 當 時 ，結 論 仍 然 正 確 。 0dm dt 0dmdt FdtPdvmdtddtdmvdtvdm )( 35 例 4.9 試 以 變 質 量 物 體 運 動 的 觀 點 重 新 求 解 例 4.3。解 ： 因 為 要 求 支 點 上 的 拉 力 Fr， 取 左 半 部 分 的 繩 索 為 主 體 較 方 便 。 以 豎直 向 下 為 x正 方 向 ， 在 B端 下 落 x的 瞬 時 ， 主 體 速 度 為 0。因 為 單 位 時 間 內 右

35、部 分 繩 索 下 落 u， 其 中 只 有 一 半 充 入 左半 部 分 ， 另 一 部 分 仍 在 右 半 部 分 （ 使 右 部 分 下 端 降 低 ） 。gxudtdmgxu 2222 作 用 在 體 系 上 的 外 力 為 ： rex FgxlF 2 于 是 由 主 體 運 動 方 程 ： gxlgxF Fgxlgxgxr r2 )( 22220 36 二 、 火 箭 飛 行 原 理 M 設 火 箭 噴 出 的 氣 體 相 對 速 度u-v沿 火 箭 軌 道 切 向 ， 且 為 一常 量 vr； 火 箭 飛 行 中 不 受 外 力 作 用 ； 火 箭 起 始 質 量 為 M,燃 料

36、燒盡 后 質 量 為 m。根 據 變 質 量 質 點 運 動 方 程 ， 有由 于 是 一 維 運 動 ， ， 且 與 v的 方 向 相 反 ， 得 rv u v 1rdm dvm v v dv uM dmv dtdmvudtvdm dtdmvdtdvm r u 37 注 意 ： 上 式 中 dm0,積 分 得通 常 M/m6,vr2000-3000m.s-1,故 vf至 多 可 達 4000-5000m.s-1。 要 提 高 vf ,可 用 多 級 火 箭 。 對 于 二 級 火 箭 vf可 達實 際 發(fā) 射 火 箭 還 將 克 服 地 球 引 力 的 影 響 和 空 氣 阻 力 的 影 響

37、 ， 情 況 要 復 雜 得 多 。 mMvvdvvm rfvr f ln1dm- 0mM 21 21ln lnln mMmMv mMmMvv rrf 38 例 4.10 雨 滴 開 始 自 由 下 落 時 質 量 為 m0,在 下 落 的 過 程 中 ,單 位 時 間 凝 聚 的 水 汽 質 量 為 k,忽 略 空 氣 阻 力 ,求 雨 滴 經時 間 t 下 落 的 距 離 。解 ： 設 水 汽 附 著 于 水 滴 前 的 速 度 u=0， 依 題 意 可 得 ：gktmvktmdtd )()( 00 利 用 初 始 條 件 ： t=0時 ， v=0 ， 由 該 方 程 可 解 得 ： )(

38、2221,)21( 02000 20 ktmk gmkgmgtdtdxktm gkttmv 即對 上 式 積 分 ， 并 利 用 初 始 條 件 ： t=0時 ， x=0 ， 得 ：)1ln()(2121 02002 tmkkmtkmtgx 附 ： 由 原 方 程 可 得 ： gkttmtc ktm tcvktm kvdtdvgktm kvdtdv )21()(:)1( ,)(,0),1( 20 000 得代 入 得先 求 補 充 習 題1、 有 N個 人 站 在 鐵 路 上 靜 止 的 平 板 車 上 ， 每 人 的 質 量為 m， 平 板 車 的 質 量 為 M。 他 們 以 相 對 于

39、平 板 車 的速 度 u跳 離 平 板 車 的 某 端 ， 平 板 車 無 摩 擦 地 沿 相 反方 向 滑 動 。 則 （ A） 若 所 有 的 人 同 時 跳 車 ， （ B）若 一 個 一 個 地 跳 離 ， 平 板 車 的 最 終 速 度 是 多 少 ？2、 40 本 章 基 本 要 求 進 一 步 掌 握 動 量 和 沖 量 的 概 念 及 動 量 定 理 ， 特別 是 它 們 的 矢 量 性 ； 進 一 步 掌 握 動 量 守 恒 定 律 解 決 問 題 的 思 路 和 方法 ， 特 別 是 二 維 問 題 ； 理 解 質 心 的 概 念 及 質 心 運 動 定 理 ， 掌 握 質

40、 心 的計 算 方 法 ， 初 步 掌 握 利 用 質 心 概 念 處 理 問 題 ； 理 解 變 質 量 物 體 的 運 動 規(guī) 律 ， 掌 握 火 箭 運 動 速度 的 計 算 41 第 四 章 動 量 定 理 小 結一 、 理 論 體 系 ： 0 0tex c c ex c c c ctdPF M r F dt M v M vdt 出 發(fā) 點 ：二 、 內 容 ：1、 質 點 系 動 量 定 理 ：2、 質 點 系 動 量 守 恒 ： 返 回 首 頁3、 質 心 運 動 定 理 ： 動 量 定 理 、 動 量 守 恒 定 律 、 質 心 運 動 定 理 、變 質 量 運 動 方 程 2

41、1 0tex extF dt dP F dt P P 0ex iiF P p const 42 4、 兩 個 物 理 量 ： 體 系 （ 質 點 系 ） 的 動 量 。5、 三 種 性 質 ：(1) 矢 量 性 (2) 瞬 時 性(3) 相 對 性 ： 引 入 慣 性 力 沖 量 ， 可 將 慣 性 系 中 的 動 量 定理 拓 展 到 非 慣 性 系 中 。 返 回 首 頁 P( )J t 質 點 系 沖 量 ， , 力 在 時 間 累 積 。 0t extJ t F dt ( ) ex i i ex c ciF dt dP d mv F M adv dmm u v Fdt dt 43 dv

42、 dmm u v Fdt dt 0 0, tex extd mvF F dt dP F dt P Pdt 0exF iiP p const ( )ex i i ex c ciF dt dP d mv F M a 總 結 圖 44 總 結 圖 簡 述 力 的 時 間 積 累 效 應 ： 當 力 對 質 點 作 用 持 續(xù) 一 段 時 間 后 ， 質 點 的 動量 就 發(fā) 生 變 化 。 質 點 動 量 定 理 ： 力 對 質 點 所 施 的 沖 量 等 于 質 點 的 動 量 增 量 。 質 點 系 動 量 定 理 ： 外 力 對 質 點 系 所 施 的 沖 量 等 于 體 系 的 動 量 增

43、量 。 無 需 知 道 內 力 詳 情 ， 也 不 必 對 每 個 質 點 的 運 動 一 一 求 解 就 能 獲 得 體 系 運 動 信 息 。 體 系 運 動 信 息 兩 種 重 要 表 述 形 式 ： 質 心 運 動 定 律 ： 變 質 量 物 體 運 動 方 程 ： 質 點 系 動 量 守 恒 定 理 ： 當 外 力 的 矢 量 和 為 零 時 ， 質 點 系 動 量 定理 演 變 為 動 量 守 恒 定 律 ； 動 量 守 恒 定 律 有 著 廣 泛 的 應 用 ， 且 是 比 動 量 定 理 和 牛 頓 定 律 更 為 普 遍 而 基本 定 律 。 Fdtdmvudtvdm 21 0 0t c ct Fdt P P Mv Mv 45力 學 啟 迪 您 的 智 慧 !