點線面綜合作圖題投影變換法圖學應用教程

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1、1 基 本 要 求 換 面 法 的 基 本 概 念 新 投 影 面 的 選 擇 原 則 點 的 投 影 變 換 投 影 變 換 的 六 個 基 本 問 題 掌 握 換 面 法 的 基 本 原 理 和 投 影 變 換 規(guī) 律 ； 掌 握 用 換 面 法 求 線 段 實 長 、 平 面 圖 形 實 形 以及 它 們 對 投 影 面 的 傾 角 的 作 圖 方 法 ； 掌 握 用 換 面 法 解 決 一 般 空 間 幾 何 元 素 間 的 定位 和 度 量 問 題 。 3 當 直 線 或 平 面 相 對 于 投 影 面 處 于 一 般 位 置 時 ， 它 們 的 投 影 不 反 映 真 實 形 狀

2、， 也 不 具 有積 聚 性 ， 但 當 它 們 相 對 于 投 影 面 處 于 特 殊 位 置 （ 平 行 或 垂 直 ） 時 ， 則 其 投 影 或 反 映 真實 形 狀 （ 平 行 時 ） 或 具 有 積 聚 性 （ 垂 直 時 ） 。aa bb aa bbccddbaa bccddaa bbcc aa bb 線 段 實 長 aa bbcc平 面 實 形 aa bbcc dd 直 線 與 平 面 的 交 點a bcda bcd 兩 平 面 夾 角啟 示 ： 當 圖 解 一 般 位 置 的 直 線 、 平 面 及 其 相 互 間 的 定 位 和 度 量 問 題 時 ， 若 能 將 它 們

3、變成 特 殊 位 置 直 線 、 平 面 ， 就 有 可 能 較 容 易 地 解 決 問 題 。 換 面 法 便 源 于 此 。 保 持 空 間 幾 何 元 素 的 位 置 不 動 ， 建 立 新 的 直 角 投 影 體系 ， 使 幾 何 元 素 在 新 投 影 面 體 系 中 處 于 有 利 解 題 的 位置 ， 然 后 用 正 投 影 法 獲 得 幾 何 元 素 的 新 投 影 。VA H CB c b X aa bc V1X1 c1 b1a1 5 VA H CB c b X aa bc V1X 1 c1 b1a1 新 投 影 面 必 須 垂 直 于 某 一 個 原 有 的 投 影 面 ，

4、 以 構 成 一個 相 互 垂 直 的 兩 投 影 面 新 體 系 ； 新 投 影 面 對 空 間 幾 何 元 素 應 處 于 有 利 于 解 題 的 位 置 。 6 V H XHX 1V1 a1 aAa a1 aX VH aX 1 HV 1 點 的 新 投 影 和 不 變 投 影 的 連 線 ， 必 垂 直 于 新 投 影 軸 ； 點 的 新 投 影 到 新 投 影 軸 的 距 離 等 于 被 變 換 舊 投 影 到 舊 投影 軸 的 距 離 。 7 V HX H1X1 X1 H1V a1X VH aaa1a Aa 8 VX H a2aa a1XVH X 1H V 1V1 X 1 X2 H2

5、V1H2 X2a2 a1a Aa 必 須 注 意 投 影 面 要 交 替 進 行 更 換 9 投 影 變 換 的 將 一 般 位 置 直 線 變 為 投 影 面 平 行 線 將 投 影 面 平 行 線 變 為 投 影 面 垂 直 線 將 一 般 位 置 直 線 變 為 投 影 面 垂 直 線 將 一 般 位 置 平 面 變 為 投 影 面 垂 直 面 將 投 影 面 垂 直 面 變 為 投 影 面 平 行 面 將 一 般 位 置 平 面 變 為 投 影 面 平 行 面 10 VH XA aB b a bV1X1 a1 b1 a1b1 X 1V 1 H ba b aX VH新 投 影 軸 X1必

6、 須 平 行 于 ab,但 和 ab間 距 的 距 離 可 以 任 意 選 取 。 11 b ab aX HV X 1H 1V a1b1將 一 般 位 置 直 線 變 為 投 影 面 平 行 線 ： 水 平 線 12 V HX a A ab Bb H 1 X1 X1 H1Va1b1 X VHaa a1b b 13X Ha Aa b b BV V1X1H2a2 b2 a1 b1 14X H2V1 aaXVH bb a2 b2XH V 1 a1 b1 一 般 位 置 直 線 變 為 投 影 面 垂 直線 ， 需 更 換 兩 次 投 影 。 第 一 次 把 一般 位 置 直 線 變 為 投 影 面

7、V1的 平 行 線 ；第 二 次 再 把 投 影 面 平 行 線 變 為 投 影面 H 2的 垂 直 線 。 15 aaX b bcc X H2V1aaX VH bb a2 b2XH V1 a 1 b1 提 示 16 aaX bb c dc d X H2V1aaX VH bb a2 b2XH V1 a 1 b1V 提 示 17X2 H2V1X1H V1 a2b2d2 c2b1a1 d1c1 112121 ba b dcaX VH dc 21 1 222 H2 18 a cX VH bb a c V H X cba b CA c Ba dd DX1 H1a1 c1b1 d1 dX1 H1V d

8、b1 a1 c1d1 一 般 位 置 直 線 變 為 投 影 面 垂 直 線 ， 需 更 換 兩 次 投影 。 把 投 影 面 平 行 線 變 為 投 影 面 垂 直 線 只 需 更 換 一 次投 影 面 。 因 此 ， 任 取 一 條 投 影 面 平 行 線 (正 平 線 )為 輔 助線 ， 取 與 它 垂 直 的 H 1面 為 新 投 影 面 ， 三 角 形 也 就 和 新投 影 面 垂 直 。 19 k1X1 H1V b1 a1 c1 d1s1a cb ba c ddss 20a c b ba c e nk e n ddX1V H1 b1 a1 c1d1k1k e1 21H X VCA

9、cbaBX 1V1 c1 b1a1 V1 c1b1a1X 1 22 a1c1 b1X1 bca b a cX V H a cb XX1V1 c1 b1a1 b ca 23a cX VH bba c d d b1 a1 c1d1X1 H1V a2c2b2 d2 X2V2H1 若 取 新 投 影 面 平 行于 一 般 平 面 ， 可 以 反 映實 形 ， 但 是 新 投 影 面 也為 一 般 平 面 。 第 一 次 把 一 般 平 面 變 為 投 影 面垂 直 面 。 第 二 次 再 把 投 影 面 垂 直 面變 為 投 影 平 行 面 。 24a cX VH bba c d d b1 a1 c1

10、d1X1 H1V a2c2b2 d2 X2V2H115 15ee e1 e2 25X O Z Y兩 點 的 相 對 位 置兩 點 中 X 值 大 的 點 ： 在 左兩 點 中 Y 值 大 的 點 ： 在 前兩 點 中 Z 值 大 的 點 ： 在 上 a a a b b b X Z YWY HO a a ab b b B A 例 題 2 已 知 A點 在 B點 之 前 5毫 米 ， 之 上 9毫 米 ， 之 右 8毫 米 ， 求 A點 的 投 影 。a a aX Z YWYHOb b b 985 27A Bbbaa CX O2、 求 線 段 的 實 長 及 對 正 立 投 影 面 的 傾 角 |

11、YA-YB| aX a bbabABABab |Y A-YB| |YA-YB| AB |YA-YB| 用 哪 個 投 影 面 的 投 影 作 為 一 直 角 邊 ， 另一 直 角 邊 為 線 段 兩 端 點 離 該 投 影 面 的 距 離 差 。 28 直 線 上 的 點 具 有 兩 個 特 性 ： 1. 從 屬 性 ： 若 點 在 直 線 上 ， 則 點 的 各 個 投 影 必 在 直 線 的 各 同 面投 影 上 。 利 用 這 一 特 性 可 以 在 直 線 上 找 點 ， 或 判 斷 已 知 點 是 否 在直 線 上 。 2. 定 比 性 ： 從 屬 于 線 段 上 的 點 分 割 線

12、 段 之 比 等 于 其 投 影 之 比 。即 ： A C: C B = a c : c b= ac : cb = ac : c b。 利 用 這 一 特 性 ，在 不 作 側 面 投 影 的 情 況 下 ， 可 以 在 側 平 線 上 找 點 或 判 斷 已 知 點 是否 在 側 平 線 上 。直 線 上 的 點 的 投 影 特 性 A BbbaaX Occ Cc 29 例 題 3 已 知 點 C的 水 平 投 影 且 其 在 線 段 AB上 ， 求點 C的 正 面 投 影 。 bX abacc cbacX OA Bbbaac CcHV 30 四 、 交 叉 兩 直 線 上 重 影 點 的

13、可 見 性X OBDA C bb aa c c dd(3)41(2) 433412 12 判 斷 重 影 點 的 可 見 性時 ， 需 要 看 重 影 點 在另 一 投 影 面 上 的 投 影 ，坐 標 值 大 的 點 投 影 可見 ， 反 之 不 可 見 ， 不可 見 點 的 投 影 加 括 號表 示 。 31 例 題 6 判 斷 兩 直 線 的 相 對 位 置 。baa cd dc bX 11d 1c 1 32 例 題 7 判 斷 兩 直 線 重 影 點 的 可 見 性 。bbc ddcX aa 3(4)34121(2) 33 一 、 兩 直 線 平 行1、 兩 平 行 直 線 在 同 面 投 影 上 的 投 影 仍 平 行 。 反 之 ， 若 兩 一 般 直 線在 兩 個 同 面 投 影 上 的 投 影 相 互 平 行 ， 則 該 兩 直 線 平 行 ； 當 兩 直 線 為投 影 面 平 行 線 時 ， 判 斷 兩 直 線 是 否 平 行 要 觀 察 第 三 個 同 面 投 影 。 2、 平 行 兩 線 段 之 比 等 于 其 投 影 之 比 (兩 直 線 共 面 為 前 提 )。X baa db bcc X baa b dc dcA B C D 34