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1、 1. 回憶以前學過的長方體的體積公式2. 學生活動: 取一摞書堆放在桌面上,組成一個長方體,然后不改變書的疊放秩序,改變書的疊放樣式,觀察比較改變形狀前后這摞書的體積是否有變化? 思考:關于兩物體體積,你可以得到怎樣的結論?本課件只是用于打印的,所有動畫都被我處理了(幾何畫板插件,不處理你們看不到),敬請諒解! - qq:229612196 體積可看成是由面積疊加而成,用一組平行平面截兩個空間圖形,若在任意等高處的截面面積都對應相等,則兩空間圖形的體積必然相等 祖暅,又名祖暅之,是祖沖之的兒子,他的活動期大約在504526年祖氏父子在數(shù)學和天文學上都有杰出的貢獻 祖暅主要是修補編輯了祖沖之的
2、綴術,并十分巧妙的推導了球的體積公式 祖暅原理的原文是“夫疊棊成立積,緣冪勢既同,則積不容異” 這里的“冪”指水平截面的面積,“勢”指高這句話的意思是:體積可看成是由面積疊加而成,用一組平行平面截兩個空間圖形,若在任意等高處的截面面積都對應相等,則兩空間圖形的體積必然相等(可惜的是綴術不久便失傳) 祖暅原理在西方文獻中稱為“卡瓦列里原理”,1635年意大利數(shù)學家卡瓦列里(B.Cavalieri)提出了相同的原理,為微積分學創(chuàng)立做了準備 用平行于底面的平面截柱體,所得截面之間有何關系?若一個柱體和一個長方體滿足: 高相等; 底面積相等則 它們在任意等高處平行于底面的截面面積有何關系? 它們的體積
3、有何關系?V 長方體=V棱柱=V圓柱=Sh V棱柱=Sh(其中V棱柱、S 和 h 分別表示棱柱的體積、底面面積和高)V圓柱=Sh= r2h(其中V 圓柱、S、r 和 h 分別表示圓柱的體積、底面面積、底面半徑和高) 探究一:等底等高的兩個三棱錐體積有何關系?OA OB OC hOA OB OC h A B B C C A hAB BC CA h A B C ABC 2( )A B CABCS hS h D E FDEFSS A B C D E FS S 探究二:一個三棱柱可分割成幾個三棱錐? 這幾個三棱錐體積大小關系如何?結論: 一個三棱柱可分割成三個體積相等的三棱錐. 三棱錐的體積等于與它等
4、底等高的三棱柱體積的三分之一.V三棱錐= Sh 13 探究三:一個 n 棱錐可分割成幾個三棱錐? 這些三棱錐的高和體積各自為多少? 1 2 3 2 1 2 3 21 1 1 13 3 3 3n nV V V V V S h S h S h S h 1 2 3 21 1( )3 3nS S S S h Sh 探究四:若一個三棱錐與一個圓錐底面積相等、高相等,則它們體積有何關系?結論:若一個三棱錐與一個圓錐底面積相等、高相等,則它們體積相等V 圓錐 13 Sh 213 r h (其中V棱錐、S 和 h 分別表示棱錐的體積、底面面積和高)(其中V圓錐、S、r 和 h 分別表示圓錐的體積、底面面積、底
5、面半徑和高)V圓錐 13 Sh 213 r hV棱錐 13 Sh V柱體 = Sh V錐體 1 3 Sh 例1:已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面為直角三角形,兩直角邊AC與BC的長分別為4cm與3cm,側棱AA1的長為10cm,求滿足下列條件的三棱柱體積: 側棱AA1垂直于底面; 側棱AA1與底面所成角為60 例2:若圓柱體的高為 10 cm,體積為 250 cm3,求圓柱體的底面半徑 變: 若圓錐體的高為 10 cm,體積為 250 cm3,求圓錐體的底面半徑注意:柱體體積公式與錐體體積公式的不同 例3:在棱長為 a 的正方體 ABCD-A1B1C1D1 中, 求三棱錐 B1-ABC 的體積; 中三棱錐的體積是正方體體積的幾分之幾? 求點B到平面AB1C的距離 1. 祖暅原理及利用祖暅原理推導體積公式;2. 柱體(棱柱、圓柱)的體積公式;3. 錐體(棱錐、圓錐)的體積公式;4. 三棱柱與三棱錐體積間的關系