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1、第 二 講 基 本 初 等 函 數(shù) 的 圖 象 與 性 質(zhì) 1.求函數(shù)的定義域主要考慮以下幾點(diǎn)：分母不能為0；偶次根號(hào)下的式子不小于0；對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0，底數(shù)大于0且不等于1；a0中a不等于0；注意實(shí)際問題中變量的范圍等 2.函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)性質(zhì)中最活躍的性質(zhì)，它的運(yùn)用主要體現(xiàn)在不等式方面，如比較大小，解抽象函數(shù)不等式等 判斷函數(shù)的單調(diào)性的主要方法(研究函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，單調(diào)區(qū)間應(yīng)是定義域的子集)： (1)定義法，即作差法(主要步驟為：取值作差變形判符號(hào)下結(jié)論)；(2)圖象法；(3)單調(diào)性的運(yùn)算性質(zhì)(實(shí)質(zhì)上是不等式的性質(zhì))；(4)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷法則；(5)導(dǎo)數(shù)法 3判斷
2、一個(gè)函數(shù)的奇偶性時(shí)，要注意函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱若定義域關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，那么該函數(shù)一定不具有奇偶性若奇函數(shù)yf(x)在x0處有定義，則f(0)0，靈活使用這一結(jié)論可以簡(jiǎn)化運(yùn)算過程若函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，則f(x)f(|x|)，利用這個(gè)性質(zhì)，可以避免一些分類討論，有利于靈活利用函數(shù)的單調(diào)性 4解決與分段函數(shù)有關(guān)的問題，最重要的就是掌握邏輯劃分思想，即將問題分段解決，還要熟練掌握研究分段函數(shù)性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性等)的一般方法；解決與抽象函數(shù)有關(guān)的問題時(shí)，最重要的是掌握賦值法，并善于根據(jù)題目條件尋找該函數(shù)的一個(gè)原型，幫助探求結(jié)論，找到解題的思路和方法 5函數(shù)的周期性的定義及常用結(jié)論 一般地，對(duì)
3、于函數(shù)f(x)，如果對(duì)于定義域中的任意一個(gè)x的值， 若f(xT)f(x)(T0)，則f(x)是周期函數(shù)，T是它的一個(gè)周期； 若f(xa)f(xb)(ab)，則f(x)是周期函數(shù)，|ba|是它的一個(gè)周期； 若f(xa)f(x)(a0)，則f(x)是周期函數(shù)，2a是它的一個(gè)周期； 7對(duì)稱性與周期性之間的關(guān)系 周期性與對(duì)稱性是相互聯(lián)系、緊密相關(guān)的一般地， 若f(x)的圖象有兩條對(duì)稱軸xa和xb(ab)，則f(x)必為周期函數(shù)，且2|ba|是它的一個(gè)周期； 若f(x)的圖象有兩個(gè)對(duì)稱中心(a,0)和(b,0)(ab)，則f(x)必為周期函數(shù)，且2|ba|是它的一個(gè)周期； 類型一函數(shù)的圖象與性質(zhì) 【例1
4、】函 數(shù) f(x) axm(1 x)n在 區(qū) 間 0,1上 的 圖 象 如 圖 所 示 ， 則 m， n 的 值 可 能 是 ( ) Am1，n1Bm1，n2 Cm2，n1 Dm3，n1 解析由于本題是選擇題，可以用代入法來做，由圖得，原函數(shù)的極大值點(diǎn)小于0.5. 答案B 解析：若0，則f()24，2.若 0，則f()4，4.答案：B 答案1 變式練習(xí)： 考點(diǎn)三：函數(shù)的奇偶性 考點(diǎn)四:函數(shù)的周期性 類型五抽象函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)及其應(yīng)用 【例5】定 義 在 R 上 的 函 數(shù) f(x)滿 足 f(x y) f(x) f(y) 2xy(x， y R)， f(1) 2， 則 f( 3) _. 分析：先
5、用 特 殊 值 法 求 一 些 關(guān) 鍵 的 函 數(shù) 值 ， 再 利 用 函 數(shù) 值 的 遞 推 關(guān) 系 ， 逐 步 靠 到 f( 3)上 去 解析：令xy0 f(0)0，令xy1 f(2)2f(1)26，令x2，y1 f(3)f(2)f(1)412，再令x3，y3 f(0)f(33)f(3)f(3)180 f(3)18f(3)6.答案：6 解析：211f(3)f(3)f(9)，由f(x)f(x8)2，可得fx(x8)f(9)，因?yàn)閒(x)是定義在(0，)上的增函數(shù)，所以有x0且x80且x(x8)9，解得8x9.故選B.答案：B 怎樣利用周期法解題 有些數(shù)學(xué)問題，表面上看與周期毫無關(guān)系，但實(shí)際上
6、隱含著周期性，一旦提示了周期，問題便迎刃而解下面舉例說明如下 【例1】設(shè)f(x)是(，)上的奇函數(shù)，f(x2)f(x)，當(dāng)0 x1時(shí)，f(x)x，則f(7.5)等于() A0.5 B 0.5 C1.5 D1.5 解析 f(x2)f(x)，所以f(x4)f(x2)f(x) f(x)是以4為一個(gè)周期的函數(shù)由于f(x)是奇函數(shù)，且0 x 1時(shí)，f(x)x，可得f(7.5)f(240.5)f(0.5)f(0.5)0.5，故選B. 答案B D 答案：D 2(2011安徽)設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)2x2x，則f(1)() A3 B1 C1 D3解析：由已知：f(1)f(1)， f(1)f(1)而f(1)2(1)2(1)3， f(1)3.答案：A 答案：A 答案：B B B
基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)
