高考數(shù)學二輪復習 專題七 數(shù)學思想方法 第2講 分類討論思想、轉化與化歸思想課件

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1、第2講分類討論思想、轉化與化歸思想高 考 定 位 分類討論思想，轉化與化歸思想近幾年高考每年必考，一般體現(xiàn)在解析幾何、函數(shù)與導數(shù)解答題中，難度較大. 1.中 學 數(shù) 學 中 可 能 引 起 分 類 討 論 的 因 素(1)由 數(shù) 學 概 念 而 引 起 的 分 類 討 論 ： 如 絕 對 值 的 定 義 、 不 等 式的 定 義 、 二 次 函 數(shù) 的 定 義 、 直 線 的 傾 斜 角 等 .(2)由 數(shù) 學 運 算 要 求 而 引 起 的 分 類 討 論 ： 如 除 法 運 算 中 除 數(shù) 不為 零 ， 偶 次 方 根 為 非 負 數(shù) ， 對 數(shù) 運 算 中 真 數(shù) 與 底 數(shù) 的 要 求

2、 ，指 數(shù) 運 算 中 底 數(shù) 的 要 求 ， 不 等 式 中 兩 邊 同 乘 以 一 個 正 數(shù) 、 負數(shù) ， 三 角 函 數(shù) 的 定 義 域 ， 等 比 數(shù) 列 an的 前 n項 和 公 式 等 . (3)由 性 質 、 定 理 、 公 式 的 限 制 而 引 起 的 分 類 討 論 ： 如 函 數(shù)的 單 調 性 、 基 本 不 等 式 等 .(4)由 圖 形 的 不 確 定 性 而 引 起 的 分 類 討 論 ： 如 二 次 函 數(shù) 圖 象 、指 數(shù) 函 數(shù) 圖 象 、 對 數(shù) 函 數(shù) 圖 象 等 .(5)由 參 數(shù) 的 變 化 而 引 起 的 分 類 討 論 ： 如 某 些 含 有 參

3、 數(shù) 的 問題 ， 由 于 參 數(shù) 的 取 值 不 同 會 導 致 所 得 的 結 果 不 同 ， 或 者 由于 對 不 同 的 參 數(shù) 值 要 運 用 不 同 的 求 解 或 證 明 方 法 等 . 2.常 見 的 轉 化 與 化 歸 的 方 法轉 化 與 化 歸 思 想 方 法 用 在 研 究 、 解 決 數(shù) 學 問 題 時 ， 思 維 受 阻或 尋 求 簡 單 方 法 或 從 一 種 狀 況 轉 化 到 另 一 種 情 形 ， 也 就 是 轉化 到 另 一 種 情 境 使 問 題 得 到 解 決 ， 這 種 轉 化 是 解 決 問 題 的 有效 策 略 ， 同 時 也 是 獲 取 成 功

4、 的 思 維 方 式 .常 見 的 轉 化 方 法 有 ：(1)直 接 轉 化 法 ： 把 原 問 題 直 接 轉 化 為 基 本 定 理 、 基 本 公 式 或基 本 圖 形 問 題 .(2)換 元 法 ： 運 用 “ 換 元 ” 把 式 子 轉 化 為 有 理 式 或 使 整 式 降 冪等 ， 把 較 復 雜 的 函 數(shù) 、 方 程 、 不 等 式 問 題 轉 化 為 易 于 解 決 的基 本 問 題 . (3)數(shù) 形 結 合 法 ： 研 究 原 問 題 中 數(shù) 量 關 系 (解 析 式 )與 空 間 形 式(圖 形 )關 系 ， 通 過 互 相 變 換 獲 得 轉 化 途 徑 .(4)等

5、 價 轉 化 法 ： 把 原 問 題 轉 化 為 一 個 易 于 解 決 的 等 價 命 題 ，達 到 化 歸 的 目 的 .(5)特 殊 化 方 法 ： 把 原 問 題 的 形 式 向 特 殊 化 形 式 轉 化 ， 并 證明 特 殊 化 后 的 問 題 、 結 論 適 合 原 問 題 .(6)構 造 法 ： “ 構 造 ” 一 個 合 適 的 數(shù) 學 模 型 ， 把 問 題 變 為 易于 解 決 的 問 題 . (7)坐 標 法 ： 以 坐 標 系 為 工 具 ， 用 計 算 方 法 解 決 幾 何 問 題 是轉 化 方 法 的 一 個 重 要 途 徑 .(8)類 比 法 ： 運 用 類

6、比 推 理 ， 猜 測 問 題 的 結 論 ， 易 于 確 定 .(9)參 數(shù) 法 ： 引 進 參 數(shù) ， 使 原 問 題 轉 化 為 熟 悉 的 形 式 進 行 解決 .(10)補 集 法 ： 如 果 正 面 解 決 原 問 題 有 困 難 ， 可 把 原 問 題 的 結果 看 做 集 合 A， 而 把 包 含 該 問 題 的 整 體 問 題 的 結 果 類 比 為 全集 U， 通 過 解 決 全 集 U及 補 集 UA獲 得 原 問 題 的 解 決 ， 體 現(xiàn)了 正 難 則 反 的 原 則 . 熱點一分類討論思想的應用微 題 型 1 由 性 質 、 定 理 、 公 式 的 限 制 引 起

7、的 分 類【例11】 (1)設 數(shù) 列 an的 前 n項 和 為 Sn， 已 知 2Sn 3n 3， 求數(shù) 列 an的 通 項 an _. 探究提高由性質、定理、公式的限制引起的分類整合法往往是因為有的數(shù)學定理、公式、性質是分類給出的，在不同的條件下結論不一致的情況下使用，如等比數(shù)列的前n項和公式、函數(shù)的單調性等. 微 題 型 2 由 數(shù) 學 運 算 要 求 引 起 的 分 類【例12】 (1)不 等 式 |x| |2x 3| 2的 解 集 是 ( ) (2)已 知 m R， 求 函 數(shù) f(x) (4 3m)x2 2x m在 區(qū) 間 0， 1上 的最 大 值 為 _. 探究提高由數(shù)學運算要求

8、引起的分類整合法，常見的類型有除法運算中除數(shù)不為零，偶次方根為非負，對數(shù)運算中真數(shù)與底數(shù)的要求，指數(shù)運算中底數(shù)的要求，不等式兩邊同乘以一個正數(shù)、負數(shù)問題，含有絕對值的不等式求解，三角函數(shù)的定義域等，根據(jù)相應問題中的條件對相應的參數(shù)、關系式等加以分類分析，進而分類求解與綜合. 微 題 型 3 由 參 數(shù) 變 化 引 起 的 分 類【例13】 (2015全國卷)已 知 函 數(shù) f(x) ln x a(1 x).(1)討 論 f(x)的 單 調 性 ；(2)當 f(x)有 最 大 值 ， 且 最 大 值 大 于 2a 2時 ， 求 a的 取 值 范 圍 . 探究提高由參數(shù)的變化引起的分類整合法經常用

9、于某些含有參數(shù)的問題，如含參數(shù)的方程、不等式，由于參數(shù)的取值不同會導致所得結果不同，或對于不同的參數(shù)值要運用不同的求解或證明方法. 熱點二轉化與化歸思想微 題 型 1 換 元 法【例21】 已 知 實 數(shù) a， b， c滿 足 a b c 0， a2 b2 c2 1， 則 a的 最 大 值 是 _. 探究提高換元法是一種變量代換，也是一種特殊的轉化與化歸方法，是用一種變數(shù)形式去取代另一種變數(shù)形式，是將生疏(或復雜)的式子(或數(shù))，用熟悉(或簡單)的式子(或字母)進行替換；化生疏為熟悉、復雜為簡單、抽象為具體，使運算或推理可以順利進行. 微 題 型 2 特 殊 與 一 般 的 轉 化 答案C 探

10、究提高一般問題特殊化，使問題處理變得直接、簡單.特殊問題一般化，可以使我們從宏觀整體的高度把握問題的一般規(guī)律，從而達到成批處理問題的效果. 微 題 型 3 常 量 與 變 量 的 轉 化【例23】 對 任 意 的 |m| 2， 函 數(shù) f(x) mx2 2x 1 m恒為 負 ， 則 x的 取 值 范 圍 為 _.解析對任意的|m| 2，有mx22x1m0恒成立，即|m| 2時，(x21)m2x10恒成立.設g(m)(x21)m2x1，則原問題轉化為g(m)0恒成立(m 2，2). 探究提高在處理多變元的數(shù)學問題時，我們可以選取其中的參數(shù)，將其看做是“主元”，而把其它變元看做是常量，從而達到減少

11、變元簡化運算的目的. 微 題 型 4 正 與 反 的 相 互 轉 化 探究提高否定性命題，常要利用正反的相互轉化，先從正面求解，再取正面答案的補集即可，一般地，題目若出現(xiàn)多種成立的情形，則不成立的情形相對很少，從反面考慮較簡單，因此，間接法多用于含有“至多”、“至少”及否定性命題情形的問題中. 1.分 類 討 論 思 想 的 本 質 是 “ 化 整 為 零 ， 積 零 為 整 ” .用 分 類 討 論的 思 維 策 略 解 數(shù) 學 問 題 的 操 作 過 程 ： 明 確 討 論 的 對 象 和 動 機 確 定 分 類 的 標 準 逐 類 進 行 討 論 歸 納 綜 合 結 論 檢 驗 分 類

12、是否 完 備 (即 分 類 對 象 彼 此 交 集 為 空 集 ， 并 集 為 全 集 ).做 到 “ 確 定對 象 的 全 體 ， 明 確 分 類 的 標 準 ， 分 類 不 重 復 、 不 遺 漏 ” 的 分 析討 論 .常 見 的 分 類 討 論 問 題 有 ：(1)集 合 ： 注 意 集 合 中 空 集 討 論 . 2.轉 化 與 化 歸 思 想 遵 循 的 原 則 ：(1)熟 悉 已 知 化 原 則 ： 將 陌 生 的 問 題 轉 化 為 熟 悉 的 問 題 ， 將未 知 的 問 題 轉 化 為 已 知 的 問 題 ， 以 便 于 我 們 運 用 熟 知 的 知識 、 經 驗 和 問

13、 題 來 解 決 .(2)簡 單 化 原 則 ： 將 復 雜 問 題 化 歸 為 簡 單 問 題 ， 通 過 對 簡 單問 題 的 解 決 ， 達 到 解 決 復 雜 問 題 的 目 的 ， 或 獲 得 某 種 解 題的 啟 示 和 依 據(jù) . (3)和 諧 統(tǒng) 一 原 則 ： 轉 化 問 題 的 條 件 或 結 論 ， 使 其 表 現(xiàn) 形 式更 符 合 數(shù) 與 形 內 部 所 表 示 的 和 諧 統(tǒng) 一 的 形 式 ； 或 者 轉 化 命題 ， 使 其 推 演 有 利 于 運 用 某 種 數(shù) 學 方 法 或 符 合 人 們 的 思 維規(guī) 律 .(4)正 難 則 反 原 則 ： 當 問 題 正 面 討 論 遇 到 困 難 時 ， 應 想 到 問題 的 反 面 ， 設 法 從 問 題 的 反 面 去 探 討 ， 使 問 題 獲 得 解 決 .