高中數(shù)學 第一章 導數(shù)及其應用 1_3_3 函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)課件 新人教A版選修2-2

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1、1.3.3函數(shù)的最大(小)值與導數(shù) 自主學習 新知突破 1借助函數(shù)圖象，直觀地理解函數(shù)的最大值和最小值的概念2弄清函數(shù)最大值、最小值與極大值、極小值的區(qū)別與聯(lián)系，理解和熟悉函數(shù)f(x)必有最大值和最小值的充分條件3會用導數(shù)求在給定區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值 1如圖為yf(x)，x a，b的圖象 問題1試說明yf(x)的極值提示1f(x1)，f(x3)為函數(shù)的極大值，f(x2)，f(x4)為函數(shù)的極小值問題2你能說出yf(x)，x a，b的最值嗎？提示2函數(shù)的最小值是f(a)，f(x2)，f(x4)中最小的，函數(shù)的最大值是f(b)，f(x1)，f(x3)中最大的 2函數(shù)yg(x)，yh(x)在閉

2、區(qū)間a，b的圖象都是一條連續(xù)不斷的曲線(如圖所示)問題兩函數(shù)的最值分別是什么？提示yg(x)的最大值為極大值，最小值為g(a)，yh(x)的最大值為h(a)，最小值為h(b) 一般地，如果在區(qū)間a，b上函數(shù)yf(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有_與_函數(shù)的最大(小)值 最大值最小值 1函數(shù)最值的理解(1)函數(shù)的最值是一個整體性的概念函數(shù)極值是在局部上對函數(shù)值的比較，具有相對性；而函數(shù)的最值則是表示函數(shù)在整個定義域上的情況，是對整個區(qū)間上的函數(shù)值的比較 (2)函數(shù)在一個閉區(qū)間上若存在最大值或最小值，則最大值或最小值只能各有一個，具有唯一性，而極大值和極小值可能多于一個，也可能沒有，例如

3、：常數(shù)函數(shù)就既沒有極大值也沒有極小值(3)極值只能在區(qū)間內(nèi)取得，最值則可以在端點處取得，有極值的不一定有最值，有最值的也未必有極值；極值有可能成為最值，最值只要不在端點處取必定是極值 1求函數(shù)yf(x)在(a，b)內(nèi)的_；2將函數(shù)yf(x)的_與_處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個就是_，最小的一個就是_求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，b上的最值的步驟： 極值各極值端點最大值最小值 2求函數(shù)最值需注意的問題(1)求函數(shù)的最值，顯然求極值是關(guān)鍵的一環(huán)但僅僅是求最值，可用下面簡化的方法求得求出導數(shù)為零的點比較這些點與端點處函數(shù)值的大小，就可求出函數(shù)的最大值和最小值 (2)若函數(shù)在閉區(qū)間a，

4、b上連續(xù)單調(diào)，則最大、最小值在端點處取得(3)若連續(xù)函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)只有一個極值點時，這個點的函數(shù)值必然是最值例如在(， )上函數(shù)只有一個極值，那么這個極值也就是最值 1函數(shù)f(x)4xx4在x 1,2上的最大值、最小值分別是()Af(1)與f(1)Bf(1)與f(2)Cf(1)與f(2) Df(2)與f(1) 解析：f(x)44x3，f(x)0，即44x30 x1，f(x)1，f(x)4xx4在x1時取得極大值，且f(1)3，而f(1)5，f(2)8，f(x)4xx4在1,2上的最大值為f(1)，最小值為f(2)，故選B.答案：B 2函數(shù)f(x)2xcos x在(， )上()

5、A無最值 B有極值C有最大值 D有最小值解析：f(x)2sin x0恒成立，所以f(x)在(， )上單調(diào)遞增，無極值，也無最值答案：A 合作探究 課堂互動 求函數(shù)的最值 求下列函數(shù)的最值思路點撥要求區(qū)間a，b上函數(shù)的最值，只需求出函數(shù)在(a，b)內(nèi)的極值，最后與端點處函數(shù)值比較大小即可 (1)f(x)2x312x， 導數(shù)法求函數(shù)最值要注意的問題：(1)求f(x)，令f(x)0，求出在(a，b)內(nèi)使導數(shù)為0的點，同時還要找出導數(shù)不存在的點(2)比較三類點處的函數(shù)值：導數(shù)不存在的點，導數(shù)為0的點及區(qū)間端點的函數(shù)值，其中最大者便是f(x)在a，b上的最大值，最小者便是f(x)在a，b上的最小值特別提

6、醒：比較極值與端點函數(shù)值的大小時，可以作差、作商或分類討論 1求下列各函數(shù)的最值(1)f(x)x42x23，x 3,2；(2)f(x)x33x26x2，x 1,1解析：(1)f(x)4x34x，令f(x)4x(x1)(x1)0得x1，或x0，或x1. 當x變化時，f(x)及f(x)的變化情況如下表：當x3時，f(x)取最小值60；當x1或x1時，f(x)取最大值4.x3 (3，1)1 (1,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2f(x)000f(x)60 極大值4 極小值3 極大值4 5 (2)f(x)3x26x63(x22x2)3(x1)23，f(x)在1,1內(nèi)恒大于0，f(x)在1,1上

7、為增函數(shù)故x1時，f(x)最小值12；x1時，f(x)最大值2.即f(x)的最小值為12，最大值為2. 已知函數(shù)的最值求參數(shù) 解決由函數(shù)的最值來確定參數(shù)問題的關(guān)鍵是利用函數(shù)的單調(diào)性確定某些極值就是函數(shù)的最值，同時由于系數(shù)a的符號對函數(shù)的單調(diào)性有直接的影響，其最值也受a的符號的影響，因此，需要進行分類討論本題是運用最值的定義，從逆向出發(fā)，由已知向未知轉(zhuǎn)化，通過待定系數(shù)法，布列相應的方程，從而得出參數(shù)的值 2已知函數(shù)f(x)ax36ax2b在1,2上有最大值3，最小值29，求a，b的值解析：依題意，顯然a0.因為f(x)3ax212ax3ax(x4)，x1,2，所以令f(x)0，解得x10，x24

8、(舍去) (1)若a0，當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：由上表知，當x0時，f(x)取得最大值，所以f(0)b3.又f(2)16a3，f(1)7a3，故f(1)f(2)，所以當x2時，f(x)取得最小值，即16a329，a2. x1 (1,0) 0 (0,2) 2f(x)0f(x)7ab 極大值16ab 與最值有關(guān)的恒成立問題已知函數(shù)f(x)ax4ln xbx4c(x0)在x1處取得極值3c，其中a，b，c為常數(shù)若對任意x0，不等式f(x)2c2恒成立，求c的取值范圍思路點撥 有關(guān)恒成立問題，一般是轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題求解時要確定這個函數(shù)，看哪一個變量的范圍已知，即函數(shù)是以已

9、知范圍的變量為自變量的函數(shù)一般地，f(x)恒成立 f(x)max；f(x)恒成立 f(x)min. 3已知函數(shù)f(x)x33x29xc，當x 2,6時，f(x)2|c|恒成立，求c的取值范圍解析：f(x)x33x29xc，f(x)3x26x9.當x變化時，f(x)，f(x)隨x的變化如下表：x (，1)1 (1,3) 3 (3，)f(x)00f(x) 極大值c5 極小值c27 而f(2)c2，f(6)c54，當x2,6時，f(x)的最大值為c54，要使f(x)2|c|恒成立，只要c542|c|即可，當c0時，c5454；當c0時，c542c，c18.c(，18)(54， )，此即為參數(shù)c的取值

10、范圍 求函數(shù)f(x)x33x29x5，x 5,6的最大值和最小值【錯解】f(x)3x26x9.令f(x)3x26x90，解得x1或x3.當x變化時，f(x)與f(x)的變化情況如下表：從上表可知，函數(shù)f(x)的最大值為10，最小值為22.x (5，1)1 (1,3) 3 (3,6)f(x)00f(x) 10 22 【錯因】錯解的原因在于忽視閉區(qū)間端點的函數(shù)值將f(x)的各極值與函數(shù)端點值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個就是最大值，最小的一個就是最小值如果僅僅是求最值，還可將上面的辦法簡化，只需將所有可能為極值點的函數(shù)值與端點函數(shù)值進行比較，最大的即為最大值，最小的即為最小值函數(shù)f(x)在閉區(qū)間上一定存在最大值與最小值，且一定不要忽略端點的函數(shù)值【正解】由f(x)的定義域為閉區(qū)間5,6，而f(5)150，f(6)59，與函數(shù)的極值比較，可知函數(shù)f(x)的最大值為59，最小值為150.