高考數(shù)學二輪復習 專題六 概率與統(tǒng)計 第2講 隨機變量及其分布課件 理

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1、第2講隨機變量及其分布高 考 定 位 概率模型多考查獨立重復試驗、相互獨立事件、互斥事件及對立事件等；對離散型隨機變量的分布列及期望的考查是重點中的“熱點”，多在解答題的前三題的位置呈現(xiàn)，常考查獨立事件的概率，超幾何分布和二項分布的期望等. 真 題 感 悟(2016全國卷)某 公 司 計 劃 購 買 2臺 機 器 ， 該 種 機 器 使 用 三 年后 即 被 淘 汰 ， 機 器 有 一 易 損 零 件 ， 在 購 進 機 器 時 ， 可 以 額 外購 買 這 種 零 件 作 為 備 件 ， 每 個 200元 .在 機 器 使 用 期 間 ， 如 果 備件 不 足 再 購 買 ， 則 每 個 5

2、00元 .現(xiàn) 需 決 策 在 購 買 機 器 時 應 同 時 購買 幾 個 易 損 零 件 ， 為 此 搜 集 并 整 理 了 100臺 這 種 機 器 在 三 年 使用 期 內(nèi) 更 換 的 易 損 零 件 數(shù) ， 得 下 面 柱 狀 圖 ： 以 這 100臺 機 器 更 換 的 易 損 零 件 數(shù) 的 頻 率 代 替 1臺 機 器 更 換的 易 損 零 件 數(shù) 發(fā) 生 的 概 率 ， 記 X表 示 2臺 機 器 三 年 內(nèi) 共 需 更換 的 易 損 零 件 數(shù) ， n表 示 購 買 2臺 機 器 的 同 時 購 買 的 易 損 零件 數(shù) .(1)求 X的 分 布 列 ；(2)若 要 求 P(

3、X n) 0.5， 確 定 n的 最 小 值 ；(3)以 購 買 易 損 零 件 所 需 費 用 的 期 望 值 為 決 策 依 據(jù) ， 在 n 19與 n 20之 中 選 其 一 ， 應 選 用 哪 個 ？ 解 (1)由 柱 狀 圖 并 以 頻 率 代 替 概 率 可 得 ， 一 臺 機 器 在 三 年內(nèi) 需 更 換 的 易 損 零 件 數(shù) 為 8， 9， 10， 11的 概 率 分 別 為 0.2，0.4， 0.2， 0.2， 從 而P(X 16) 0.2 0.2 0.04；P(X 17) 2 0.2 0.4 0.16；P(X 18) 2 0.2 0.2 0.4 0.4 0.24；P(X

4、19) 2 0.2 0.2 2 0.4 0.2 0.24；P(X 20) 2 0.2 0.4 0.2 0.2 0.2；P(X 21) 2 0.2 0.2 0.08；P(X 22) 0.2 0.2 0.04； 所 以 X的 分 布 列 為X 16 17 18 19 20 21 22P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04(2)由 (1)知 P(X 18) 0.44， P(X 19) 0.68， 故 n的 最 小 值 為 19.(3)記 Y表 示 2臺 機 器 在 購 買 易 損 零 件 上 所 需 的 費 用 (單 位 ： 元 ).當 n 19時 ， E(Y) 19

5、 200 0.68 (19 200 500) 0.2(19 200 2 500) 0.08 (19 200 3 500) 0.04 4 040. 當 n 20時 ，E(Y) 20 200 0.88 (20 200 500) 0.08 (20 2002 500) 0.04 4 080.可 知 當 n 19時 所 需 費 用 的 期 望 值 小 于 n 20時 所 需 費 用 的期 望 值 ， 故 應 選 n 19. 考 點 整 合1.條 件 概 率2.相 互 獨 立 事 件 同 時 發(fā) 生 的 概 率 P(AB) P(A)P(B).3.獨 立 重 復 試 驗 4.超 幾 何 分 布 5.離 散

6、型 隨 機 變 量 的 分 布 列 x1 x2 x3 xi P p1 p2 p3 pi 為 離 散 型 隨 機 變 量 的 分 布 列 .(2)離 散 型 隨 機 變 量 的 分 布 列 具 有 兩 個 性 質(zhì) ： p i 0； p1 p2 pi 1(i 1， 2， 3， ).(3)E() x1p1 x2p2 xipi xnpn為 隨 機 變 量 的 數(shù) 學期 望 或 均 值 . D() (x1 E()2p1 (x2 E()2p2 (xi E()2pi (xn E()2pn叫 做 隨 機 變 量 的 方 差 .(4)性 質(zhì) E(a b) aE() b， D(a b) a2D()； X B(n，

7、 p)， 則 E(X) np， D(X) np(1 p)； X服 從 兩 點 分 布 ， 則 E(X) p， D(X) p(1 p). 熱點一相互獨立事件、獨立重復試驗概率模型 微 題 型 1 相 互 獨 立 事 件 的 概 率【例11】 (2016北京卷)A， B， C三 個 班 共 有 100名 學 生 ， 為 調(diào)查 他 們 的 體 育 鍛 煉 情 況 ， 通 過 分 層 抽 樣 獲 得 了 部 分 學 生 一 周的 鍛 煉 時 間 ， 數(shù) 據(jù) 如 下 表 (單 位 ： 小 時 )： (1)試 估 計 C班 的 學 生 人 數(shù) ；(2)從 A班 和 C班 抽 出 的 學 生 中 ， 各 隨

8、 機 選 取 1人 ， A班 選 出 的 人 記為 甲 ， C班 選 出 的 人 記 為 乙 .假 設 所 有 學 生 的 鍛 煉 時 間 相 互 獨 立 ，求 該 周 甲 的 鍛 煉 時 間 比 乙 的 鍛 煉 時 間 長 的 概 率 ；(3)再 從 A， B， C三 個 班 中 各 任 取 一 名 學 生 ， 他 們 該 周 的 鍛 煉 時間 分 別 是 7， 9， 8.25(單 位 ： 小 時 ).這 3個 新 數(shù) 據(jù) 與 表 格 中 的 數(shù) 據(jù)構(gòu) 成 的 新 樣 本 的 平 均 數(shù) 記 為 1， 表 格 中 數(shù) 據(jù) 的 平 均 數(shù) 記 為 0， 試判 斷 0和 1的 大 小 (結(jié) 論

9、不 要 求 證 明 ). 探究提高對于復雜事件的概率，要先辨析事件的構(gòu)成，理清各事件之間的關系，并依據(jù)互斥事件概率的和，或者相互獨立事件概率的積的公式列出關系式；含“至多” “至少”類詞語的事件可轉(zhuǎn)化為對立事件的概率求解；并注意正難則反思想的應用(即題目較難的也可從對立事件的角度考慮). 微 題 型 2 獨 立 重 復 試 驗 的 概 率【例12】 一 家 面 包 房 根 據(jù) 以 往 某 種 面 包 的 銷 售 記 錄 ， 繪 制 了日 銷 售 量 的 頻 率 分 布 直 方 圖 ， 如 圖 所 示 . 將 日 銷 售 量 落 入 各 組 的 頻 率 視 為 概 率 ， 并 假 設 每 天 的

10、 銷 售 量相 互 獨 立 .(1)求 在 未 來 連 續(xù) 3天 里 ， 有 連 續(xù) 2天 的 日 銷 售 量 都 不 低 于 100個 且 另 1天 的 日 銷 售 量 低 于 50個 的 概 率 ；(2)用 X表 示 在 未 來 3天 里 日 銷 售 量 不 低 于 100個 的 天 數(shù) ， 求 隨機 變 量 X的 分 布 列 ， 期 望 E(X)及 方 差 D(X). 解(1)設 A1表 示 事 件 “日 銷 售 量 不 低 于 100個 ”， A2表 示 事 件 “日銷 售 量 低 于 50個 ” ， B表 示 事 件 “在 未 來 連 續(xù) 3天 里 ， 有 連 續(xù) 2天的 日 銷 售

11、 量 都 不 低 于 100個 且 另 1天 的 日 銷 售 量 低 于 50個 ”， 因 此P(A1) (0.006 0.004 0.002) 50 0.6，P(A2) 0.003 50 0.15， P(B) 0.6 0.6 0.15 2 0.108. 分 布 列 為 X 0 1 2 3P 0.064 0.288 0.432 0.216因 為 X B(3， 0.6)， 所 以 期 望 E(X) 3 0.6 1.8， 方 差 D(X) 3 0.6 (1 0.6) 0.72.探究提高在解題時注意辨別獨立重復試驗的基本特征：(1)在每次試驗中，試驗結(jié)果只有發(fā)生與不發(fā)生兩種情況；(2)在每次試驗中，

12、事件發(fā)生的概率相同. 【訓練1】 某 超 市 為 了 解 顧 客 的 購 物 量 及 結(jié) 算 時 間 等 信 息 ， 安排 一 名 員 工 隨 機 收 集 了 在 該 超 市 購 物 的 100位 顧 客 的 相 關 數(shù) 據(jù) ，如 下 表 所 示 .一 次 購 物量 1至 4件 5至 8件 9至 12件 13至 16件 17件 及 以 上顧 客 數(shù) (人 ) x 30 25 y 10結(jié) 算 時 間(分 種 /人 ) 1 1.5 2 2.5 3 已 知 這 100位 顧 客 中 一 次 購 物 量 超 過 8件 的 顧 客 占 55%.(1)確 定 x， y的 值 ， 并 求 顧 客 一 次 購

13、 物 的 結(jié) 算 時 間 X的 分 布 列與 數(shù) 學 期 望 ；(2)若 某 顧 客 到 達 收 銀 臺 時 前 面 恰 有 2位 顧 客 需 結(jié) 算 ， 且 各 顧客 的 結(jié) 算 相 互 獨 立 ， 求 該 顧 客 結(jié) 算 前 的 等 候 時 間 不 超 過 2.5分 鐘 的 概 率 .(注 ： 將 頻 率 視 為 概 率 ) 解(1)由 已 知 得 25 y 10 55， x 30 45， 所 以 x 15， y 20.該 超 市 所 有 顧 客 一 次 購 物 的 結(jié) 算 時 間 組 成 一 個 總 體 ，所 收 集 的 100位 顧 客 一 次 購 物 的 結(jié) 算 時 間 可 視 為

14、總 體 的 一 個容 量 為 100的 簡 單 隨 機 樣 本 ， 將 頻 率 視 為 概 率 得 X的 分 布 列 為 熱點二離散型隨機變量的分布列微 題 型 1 利 用 相 互 獨 立 事 件 、 互 斥 事 件 的 概 率 求 分 布 列 (1)小 明 兩 次 回 球 的 落 點 中 恰 有 一 次 的 落 點 在 乙 上 的 概 率 ；(2)兩 次 回 球 結(jié) 束 后 ， 小 明 得 分 之 和 X的 分 布 列 與 數(shù) 學 期 望 . 可 得 隨 機 變 量 X的 分 布 列 為 ： 探究提高解答這類問題使用簡潔、準確的數(shù)學語言描述解答過程是解答得分的根本保證.引進字母表示事件可使得

15、事件的描述簡單而準確，或者用表格描述，使得問題描述有條理，不會有遺漏，也不會重復；分析清楚隨機變量取值對應的事件是求解分布列的關鍵. 微 題 型 2 二 項 分 布 (1)若 小 明 選 擇 方 案 甲 抽 獎 ， 小 紅 選 擇 方 案 乙 抽 獎 ， 記 他 們 的累 計 得 分 為 X， 求 X 3的 概 率 ；(2)若 小 明 、 小 紅 兩 人 都 選 擇 方 案 甲 或 都 選 擇 方 案 乙 進 行 抽 獎 ，問 ： 他 們 選 擇 何 種 方 案 抽 獎 ， 累 計 得 分 的 數(shù) 學 期 望 較 大 ？ (2)設 小 明 、 小 紅 都 選 擇 方 案 甲 所 獲 得 的 累

16、 計 得 分 為 X1， 都選 擇 方 案 乙 所 獲 得 的 累 計 得 分 為 X2， 則 X1， X2的 分 布 列 如 下 ： 微 題 型 3 超 幾 何 分 布【例23】 (2016合肥二模)為 推 動 乒 乓 球 運 動 的 發(fā) 展 ， 某 乒乓 球 比 賽 允 許 不 同 協(xié) 會 的 運 動 員 組 隊 參 加 .現(xiàn) 有 來 自 甲 協(xié) 會的 運 動 員 3名 ， 其 中 種 子 選 手 2名 ； 乙 協(xié) 會 的 運 動 員 5名 ， 其中 種 子 選 手 3名 .從 這 8名 運 動 員 中 隨 機 選 擇 4人 參 加 比 賽 .(1)設 A為 事 件 “ 選 出 的 4人

17、中 恰 有 2 名 種 子 選 手 ， 且 這 2名 種子 選 手 來 自 同 一 個 協(xié) 會 ” ， 求 事 件 A發(fā) 生 的 概 率 ；(2)設 X為 選 出 的 4人 中 種 子 選 手 的 人 數(shù) ， 求 隨 機 變 量 X的 分布 列 和 數(shù) 學 期 望 . 探究提高抽取的4人中，運動員可能為種子選手或一般運動員，并且只能是這兩種情況之一，符合超幾何概型的特征，故可利用超幾何分布求概率. 【訓練2】 (2014新課標全國卷)從 某 企 業(yè) 生 產(chǎn) 的 某 種 產(chǎn) 品 中抽 取 500件 ， 測 量 這 些 產(chǎn) 品 的 一 項 質(zhì) 量 指 標 值 ， 由 測 量 結(jié) 果得 如 下 頻

18、率 分 布 直 方 圖 ： 1.概 率 P(A|B)與 P(AB)的 區(qū) 別(1)發(fā) 生 時 間 不 同 ： 在 P(A|B)中 ， 事 件 A， B的 發(fā) 生 有 時 間 上的 差 異 ， B先 A后 ； 在 P(AB)中 ， 事 件 A， B同 時 發(fā) 生 .(2)樣 本空 間 不 同 ： 在 P(A|B)中 ， 事 件 B成 為 樣 本 空 間 ； 在 P(AB)中 ，樣 本 空 間 仍 為 總 的 樣 本 空 間 ， 因 而 有 P(A|B) P(AB).2.求 解 離 散 型 隨 機 變 量 的 數(shù) 學 期 望 的 一 般 步 驟 為 ：第 一 步 是 “ 判 斷 取 值 ” ， 即

19、 判 斷 隨 機 變 量 的 所 有 可 能 取 值 ，以 及 取 每 個 值 所 表 示 的 意 義 ； 第 二 步 是 “ 探 求 概 率 ” ， 即 利 用 排 列 組 合 、 枚 舉 法 、 概 率 公 式(常 見 的 有 古 典 概 型 公 式 、 幾 何 概 型 公 式 、 互 斥 事 件 的 概 率 和 公式 、 獨 立 事 件 的 概 率 積 公 式 ， 以 及 對 立 事 件 的 概 率 公 式 等 )， 求出 隨 機 變 量 取 每 個 值 時 的 概 率 ；第 三 步 是 “ 寫 分 布 列 ” ， 即 按 規(guī) 范 形 式 寫 出 分 布 列 ， 并 注 意 用 分布 列

20、 的 性 質(zhì) 檢 驗 所 求 的 分 布 列 或 某 事 件 的 概 率 是 否 正 確 ；第 四 步 是 “ 求 期 望 值 ” ， 一 般 利 用 離 散 型 隨 機 變 量 的 數(shù) 學 期 望 的定 義 求 期 望 的 值 ， 對 于 有 些 實 際 問 題 中 的 隨 機 變 量 ， 如 果 能 夠 斷定 它 服 從 某 常 見 的 典 型 分 布 (如 二 項 分 布 X B(n， p)， 則 此 隨 機變 量 的 期 望 可 直 接 利 用 這 種 典 型 分 布 的 期 望 公 式 (E(X) np)求 得 .因 此 ， 應 熟 記 常 見 的 典 型 分 布 的 期 望 公 式 ， 可 加 快 解 題 速 度 .