高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一篇 專題通關(guān)攻略 專題四 數(shù)列 14_2 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用課件 理 新人教版

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1、第二講數(shù)列求和及綜合應(yīng)用 【 知 識(shí) 回 顧 】1.常 用 的 拆 項(xiàng) 公 式 (其 中 n N*) 11 _.n n 11 1 1 12 ( ).n n k k n n k13 _.2n 1 2n 1 1 1n n 1 1 1 1( )2 2n 1 2n 1 n n n 1 n n 1n n 2 n n 2 1 1 14 a d, _( )a a a a1 1 1_( ).a a a a1 1 1 15 .n n 1 n 2 2 n n 1 n 1 n 216 _.n n 117 _( n k n).n n k 若 等 差 數(shù) 列 的 公 差 為 則 ；1d12d n 1 n 1k 2.常

2、見 的 求 和 方 法(1)公 式 法 求 和 :適 合 求 等 差 數(shù) 列 或 等 比 數(shù) 列 的 前 n項(xiàng) 和 .對(duì) 等 比 數(shù) 列 利 用 公 式 法 求 和 時(shí) ,一 定 注 意 公 比 q是 否 取 1.(2)錯(cuò) 位 相 減 法主 要 用 于 求 數(shù) 列 an bn的 前 n項(xiàng) 和 ,其 中 an,bn分別 是 等 差 數(shù) 列 和 等 比 數(shù) 列 . (3)裂 項(xiàng) 相 消 法把 數(shù) 列 和 式 中 的 各 項(xiàng) 分 別 裂 開 后 ,消 去 一 部 分 從 而 計(jì)算 和 的 方 法 ,適 用 于 求 通 項(xiàng) 為 的 數(shù) 列 的 前 n項(xiàng) 和 .n n 11a a (4)分 組 求 和

3、法一 個(gè) 數(shù) 列 既 不 是 等 差 數(shù) 列 ,也 不 是 等 比 數(shù) 列 ,若 將 這 個(gè)數(shù) 列 適 當(dāng) 拆 開 ,重 新 組 合 ,就 會(huì) 變 成 幾 個(gè) 可 以 求 和 的 部分 ,分 別 求 和 ,然 后 再 合 并 . 【 易 錯(cuò) 提 醒 】1.裂 項(xiàng) 求 和 的 系 數(shù) 出 錯(cuò) :裂 項(xiàng) 時(shí) ,把 系 數(shù) 寫 成 它 的 倒 數(shù)或 忘 記 系 數(shù) 導(dǎo) 致 錯(cuò) 誤 .2.求 通 項(xiàng) 公 式 忽 略 驗(yàn) 證 第 一 項(xiàng) 致 誤 :利 用an= 忽 略 n 2的 限 定 ,忘 記 第 一 項(xiàng) 單 獨(dú) 求解 與 檢 驗(yàn) .1n n 1S ,n 1S S ,n 2 ， ， 3.求 項(xiàng) 數(shù) 致

4、 誤 :錯(cuò) 位 相 減 法 求 和 時(shí) ,易 漏 掉 減 數(shù) 式 的 最后 一 項(xiàng) . 【 考 題 回 訪 】1.(2016 浙 江 高 考 )如 圖 ,點(diǎn) 列 An,Bn分 別 在 某 銳角 的 兩 邊 上 ,且 |AnAn+1|=|An+1An+2|,An An+2,n N*,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,Bn Bn+2,n N*(P Q表 示 點(diǎn) P與 Q不重 合 ).若 dn=|AnBn|,Sn為 AnBnBn+1的 面 積 ,則 ( ) A.Sn是 等 差 數(shù) 列 B. 是 等 差 數(shù) 列C.dn是 等 差 數(shù) 列 D. 是 等 差 數(shù) 列2nS 2nd 【 解 析 】 選

5、 A.先 求 出 三 角 形 的 面 積 ,再 利 用 等 差 數(shù) 列 的定 義 判 斷 數(shù) 列 是 否 為 等 差 數(shù) 列 .作 A1C1,A2C2,A3C3, ,AnCn, 垂 直 于 直 線 B1Bn,垂 足 分 別為 C1,C2,C3, ,Cn, 則 A1C1 A2C2 AnCn , 因 為 |AnAn+1|=|An+1An+2|,所 以 |CnCn+1|=|Cn+1Cn+2|,設(shè) |A1C1|=a,|A2C2|=b,|B1B2|=c,則 |A3C3|=2b-a, ,|AnCn|=(n-1)b-(n-2)a(n 3), 所 以 Sn= c(n-1)b-(n-2)a= c(b-a)n+(

6、2a-b),所 以 Sn+1-Sn= c(b-a)(n+1)+(2a-b)-(b-a)n-(2a-b)= c(b-a),又 S1= ac,S2= bc,S3= c(2b-a),S2-S1= c(b-a),S3-S2= c(b-a),所 以 數(shù) 列 Sn是 等 差 數(shù) 列 .12 121212 12 12 1212 12 2.(2016 浙 江 高 考 )設(shè) 數(shù) 列 an的 前 n項(xiàng) 和 為 Sn.若S2=4,an+1=2Sn+1,n N*,則 a1=_,S5=_. 【 解 析 】 由 題 意 得 ,a1+a2=4,a2=2a1+1,解 得 a1=1,a2=3,再 由 an+1=2Sn+1,an

7、=2Sn-1+1(n 2),所 以 an+1-an=2an,an+1=3an,又 a2=3a1, 所 以 an+1=3an(n 1),S5= =121.答 案 :1 12151 31 3 熱 點(diǎn) 考 向 一 求 數(shù) 列 的 通 項(xiàng) 公 式命 題 解 讀 :主 要 考 查 等 差 數(shù) 列 與 等 比 數(shù) 列 的 定 義 、 有 關(guān)性 質(zhì) 以 及 邏 輯 推 理 和 各 種 變 形 能 力 ,一 直 是 高 考 的 重 點(diǎn)和 熱 點(diǎn) .以 選 擇 題 、 填 空 題 、 解 答 題 為 主 . 【 典 例 1】 (1)(2016 武 漢 一 模 )已 知 數(shù) 列 an中 ,a1=3,滿 足 ,則

8、數(shù) 列 an的 通 項(xiàng) 公 式 為 _.(2)(2016 全 國(guó) 卷 )已 知 各 項(xiàng) 都 為 正 數(shù) 的 數(shù) 列 an滿 足 a1=1, -(2an+1-1)an-2an+1=0. 求 a2,a3. 求 an的 通 項(xiàng) 公 式 .nn 1 n2a 11a a 2na 【 解 題 導(dǎo) 引 】 (1)將 變 形 ,構(gòu) 造 等 差 數(shù) 列 求解 .(2) 將 a1=1代 入 遞 推 關(guān) 系 式 求 得 a2,將 a2的 值 代 入 遞 推關(guān) 系 式 可 求 得 a3; 將 已 知 的 遞 推 關(guān) 系 式 進(jìn) 行 因 式 分 解 ,由 題 設(shè) 條 件 可 判 斷 數(shù) 列 an為 等 比 數(shù) 列 ,由

9、 此 可 求 得 數(shù)列 an的 通 項(xiàng) 公 式 . nn 1 n2a 11a a 【 規(guī) 范 解 答 】 (1)由 ,得 =2,所 以 數(shù) 列 是 首 項(xiàng) 為 ,公 差 為 2的 等 差 數(shù) 列 .所 以 = +(n-1) 2=2n- ,所 以 an= .答 案 :an= nn 1 n2a 11a a n 1 n1 1a a n1a 13n1a 13 5336n 536n 5 (2) 由 題 意 可 得 a2= ,a3= . 由 -(2an+1-1)an-2an+1=0,得 2an+1(an+1)=an(an+1).因 為 an的 各 項(xiàng) 都 為 正 數(shù) ,所 以 故 an是 首 項(xiàng) 為 1,

10、公 比 為 的 等 比 數(shù) 列 ,因 此 an= 12 142na n 1na 1.a 2 12 n 11 .2 【 母 題 變 式 】1.本 例 (1)改 為 :若 數(shù) 列 an的 前 n項(xiàng) 和 為 Sn,且a1=1,an+1=3Sn(n 1),求 a6的 值 . 【 解 析 】 因 為 an+1=3Sn,所 以 an=3Sn-1(n 2),兩 式 相 減 得 ,an+1-an=3an,即 =4(n 2),所 以 數(shù) 列 a2,a3,a4, 構(gòu) 成 以 a2=3S1=3a1=3為 首 項(xiàng) ,以 4為公 比 的 等 比 數(shù) 列 ,所 以 a6=a2 44=3 44=768.n 1naa 2.本

11、 例 (1)改 為 :已 知 數(shù) 列 an中 ,a1=1,an=2an-1+1(n 2),求 數(shù) 列 an的 通 項(xiàng) 公 式 .【 解 析 】 由 an=2an-1+1(n 2)得 an+1=2(an-1+1),即 =2,所 以 數(shù) 列 an+1是 首 項(xiàng) 為 2,公 比 為 2的 等 比數(shù) 列 ,所 以 an+1=2n,所 以 an=2n-1.nn 1a 1a 1 【 規(guī) 律 方 法 】 求 通 項(xiàng) 的 常 用 方 法(1)歸 納 猜 想 法 :已 知 數(shù) 列 的 前 幾 項(xiàng) ,求 數(shù) 列 的 通 項(xiàng) 公 式 ,可 采 用 歸 納 猜 想 法 .(2)已 知 Sn與 an的 關(guān) 系 ,利 用

12、 an= 求 an.1n n 1S ,n 1S S ,n 2 ， (3)累 加 法 :數(shù) 列 遞 推 關(guān) 系 形 如 an+1=an+f(n),其 中 數(shù) 列f(n)前 n項(xiàng) 和 可 求 ,這 種 類 型 的 數(shù) 列 求 通 項(xiàng) 公 式 時(shí) ,常用 累 加 法 (疊 加 法 ).(4)累 乘 法 :數(shù) 列 遞 推 關(guān) 系 形 如 an+1=g(n)an,其 中 數(shù) 列g(shù)(n)前 n項(xiàng) 積 可 求 ,此 數(shù) 列 求 通 項(xiàng) 公 式 一 般 采 用 累 乘法 (疊 乘 法 ). (5)構(gòu) 造 法 : 遞 推 關(guān) 系 形 如 an+1=pan+q(p,q為 常 數(shù) )可 化 為 an+1+ (p 1

13、)的 形 式 ,利 用 是 以 p為 公 比 的 等 比 數(shù) 列 求 解 . 遞 推 關(guān) 系 形 如 an+1= (p為 非 零 常 數(shù) )可 化 為 的 形 式 . nq qp(a )p 1 p 1 n qa p 1 nnpaa pn 1 n1 1 1a a p 【 題 組 過 關(guān) 】1.(2016 合 肥 一 模 )已 知 正 項(xiàng) 數(shù) 列 an滿 足 a1=1,(n+2) -(n+1) +anan+1=0,則 它 的 通 項(xiàng) an=( )2n 1a 2na1 2 n 1A. B. C. D.nn 1 n 1 2 【 解 析 】 選 B.由 (n+2) -(n+1) +anan+1=0,可

14、得 (n+2) =n+1,又 因 為 an0,所 以 又 a1=1,則 an= a12n 1a 2na2n 1 n 1n na a( )a a n 1na n 1.a n 2 n n 1n 1 n 2a aa a 21aan n 1 2 21 .n 1 n 3 n 1 2.(2016 銀 川 一 模 )已 知 數(shù) 列 an的 前 n項(xiàng) 和 為 Sn,且Sn=4an-3(n N*).(1)證 明 :數(shù) 列 an是 等 比 數(shù) 列 .(2)若 數(shù) 列 bn滿 足 bn+1=an+bn(n N*),且 b1=2,求 數(shù) 列bn的 通 項(xiàng) 公 式 . 【 解 析 】 (1)依 題 意 Sn=4an-3

15、(n N*),當(dāng) n=1時(shí) ,a1=4a1-3,解 得 a1=1.因 為 Sn=4an-3,則 Sn-1=4an-1-3(n 2),所 以 當(dāng) n 2時(shí) ,an=Sn-Sn-1=4an-4an-1,整 理 得 an= an-1.又 a1=1,所 以 an是 首 項(xiàng) 為 1,公 比 為 的 等 比 數(shù) 列 .43 43 (2)由 (1)知 an= 由 bn+1=an+bn(n N*),得 bn+1-bn=可 得 bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+ +(bn-bn-1)n 14( )3 ， n 14( ) .3 =2+ =3 -1(n 2).當(dāng) n=1時(shí) 也 滿 足 ,所 以 數(shù) 列 b

16、n的 通 項(xiàng) 公 式 為 bn=3 -1(n N*).n 14( )3 n 141 ( )341 3 n 14( )3 【 加 固 訓(xùn) 練 】1.(2016 三 亞 二 模 )已 知 數(shù) 列 an的 前 n項(xiàng) 和 為 Sn,且a1=a2=1,若 nSn+(n+2)an為 等 差 數(shù) 列 ,則 an= ( )n 1 n 1 n n 1n n 1 2n 1 n 1A. B. C. D.2 2 1 2 1 2 【 解 析 】 選 A.設(shè) bn=nSn+(n+2)an,則 數(shù) 列 bn為 等 差 數(shù)列 .由 b1=4,b2=8,可 得 bn=4n,則 bn=nSn+(n+2)an=4n,即 Sn+ a

17、n=4.當(dāng) n 2時(shí) ,Sn-Sn-1+ an- an-1=0,所 以 an= an-1,即 2 ,所 以 數(shù) 列 是 以 為 公 比 ,1為 首 項(xiàng) 的 等 比 數(shù) 列 ,則即 an= 2(1 )n 2(1 )n 2(1 )n-1 2 n 1n n 1n 1 n n 1a an n 1na n 12 n 1na 1n 2 ( ) ，n 1n .2 2.(2016 三 亞 一 模 )設(shè) Sn為 等 比 數(shù) 列 an的 前 n項(xiàng) 和 .若 a1=1,且 3S1,2S2,S3成 等 差 數(shù) 列 ,則 an=_. 【 解 析 】 設(shè) 等 比 數(shù) 列 an的 公 比 為 q(q 0),依 題 意 得a

18、2=a1q=q,a3=a1q2=q2,S1=a1=1,S2=1+q,S3=1+q+q2.又 3S1,2S2,S3成 等 差 數(shù) 列 ,所 以 4S2=3S1+S3,即 4(1+q)=3+1+q+q2,所 以 q=3(q=0舍 去 ),所 以 an=a1qn-1=3n-1.答 案 :3n-1 3.(2016 成 都 一 模 )已 知 數(shù) 列 an滿 足 : =n2(n 1,n N*).(1)求 a1,a2及 a2 016.(2)求 數(shù) 列 an的 通 項(xiàng) 公 式 .1 2 3 n1 1 1 1a a a a 【 解 析 】 (1)由 =n2(n 1,n N*),得 a1=1,a2= , =2 0

19、152, =2 0162, 由 - ,得 =2 0162-2 0152=4 031,所 以 a2 016= 1 2 3 n1 1 1 1a a a a 131 2 3 20151 1 1 1a a a a 1 2 3 20161 1 1 1a a a a 20161a 1 .4 031 (2)由 =n2(n 1,n N*),得 =(n-1)2(n 2,n N*),兩 式 相 減 得 =n2-(n-1)2=2n-1(n 2,n N*),所 以 an= (n 2,n N*).當(dāng) n=1時(shí) ,a1=1也 滿 足 上 式 ,所 以 an= (n N*).1 2 3 n1 1 1 1a a a a 1

20、2 3 n-11 1 1 1a a a a n1a12n 1 12n 1 熱 點(diǎn) 考 向 二 求 數(shù) 列 的 前 n項(xiàng) 和命 題 解 讀 :試 題 一 般 設(shè) 置 兩 個(gè) 問 題 ,其 中 第 一 問 考 查 等差 、 等 比 數(shù) 列 的 基 本 運(yùn) 算 ,屬 于 保 分 題 ;第 二 問 的 區(qū) 分度 較 大 ,一 般 與 數(shù) 列 的 求 和 有 關(guān) ,方 法 較 靈 活 ,主 要 是 錯(cuò)位 相 減 、 裂 項(xiàng) 相 消 等 方 法 .以 解 答 題 的 形 式 出 現(xiàn) ,屬 于中 、 高 檔 題 目 . 命 題 角 度 一 裂 項(xiàng) 相 消 求 和【 典 例 2】 (2015 全 國(guó) 卷 )S

21、n為 數(shù) 列 an的 前 n項(xiàng)和 .已 知 an0, +2an=4Sn+3.(1)求 an的 通 項(xiàng) 公 式 .(2)設(shè) bn= ,求 數(shù) 列 bn的 前 n項(xiàng) 和 .2nan n 11a a 【 解 題 導(dǎo) 引 】 (1)由 +2an=4Sn+3及 an+1=Sn+1-Sn確 定an的 通 項(xiàng) 公 式 .(2)由 (1)及 bn= 利 用 裂 項(xiàng) 法 求 和 .2nan n 11a a 【 規(guī) 范 解 答 】 (1)由 +2an=4Sn+3,可 知 +2an+1=4Sn+1+3.可 得 - +2(an+1-an)=4an+1,即2(an+1+an)= - =(an+1+an)(an+1-an

22、).2na2n+1a2n+1a 2na 2n+1a 2na 由 于 an0,可 得 an+1-an=2.又 +2a1=4a1+3,解 得 a1=-1(舍 去 ),a1=3.所 以 an是 首 項(xiàng) 為 3,公 差 為 2的 等 差 數(shù) 列 ,通 項(xiàng) 公 式 為an=2n+1.21a (2)由 an=2n+1可 知 bn= 設(shè) 數(shù) 列 bn的 前 n項(xiàng) 和 為 Tn,則Tn=b1+b2+ +bn n n 11 1 1 1 1( ).a a 2n 1 2n 3 2 2n 1 2n 3 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( )2 3 5 5 7 2n 1 2n 3n .3 2n 3 命 題 角

23、 度 二 錯(cuò) 位 相 減 求 和【 典 例 3】 (2016 山 東 高 考 )已 知 數(shù) 列 an的 前 n項(xiàng)和 Sn=3n2+8n,bn是 等 差 數(shù) 列 ,且 an=bn+bn+1.(1)求 數(shù) 列 bn的 通 項(xiàng) 公 式 .(2)令 cn= 求 數(shù) 列 cn的 前 n項(xiàng) 和 Tn. n 1n nna 1 ,b 2 【 解 題 導(dǎo) 引 】 解 答 本 題 第 (2)問 ,可 拆 解 成 兩 個(gè) 小 題 :若 cn= 求 cn. cn的 前 n項(xiàng) 和 為 Tn,求 Tn. n 1n nna 1 ,b 2 【 解 析 】 (1)由 題 意 知 ,當(dāng) n 2時(shí) ,an=Sn-Sn-1=6n+5

24、.當(dāng) n=1時(shí) ,a1=S1=11=6n+5.所 以 an=6n+5.設(shè) 數(shù) 列 bn的 公 差 為 d,則a1=2b1+d=11,a2=b2+b2+d=2b1+3d=17.解 得 b1=4,d=3,所 以 bn=4+(n-1) 3=3n+1. (2)由 (1)知 ,cn= =3(n+1) 2n+1.所 以 Tn=c1+c2+ +cn n 1n(6n 6)3n 3 2 3 n 13 4 n 2n3 2 2 3 2 (n 1) 2 ,2T 3 2 2 3 2 (n 1) 2 , 兩 式 相 減 :-Tn=3 2 22+23+24+ +2n+1-(n+1) 2n+2 =-3n 2n+2.所 以 T

25、n=3n 2n+2. n n 24(1 2 )3 4 n 1 2 1 2 【 規(guī) 律 方 法 】1.分 組 求 和 中 的 分 組 策 略(1)根 據(jù) 等 差 、 等 比 數(shù) 列 分 組 .(2)根 據(jù) 正 號(hào) 、 負(fù) 號(hào) 分 組 . 2.裂 項(xiàng) 相 消 的 規(guī) 律(1)裂 項(xiàng) 系 數(shù) 取 決 于 前 后 兩 項(xiàng) 分 母 的 差 .(2)裂 項(xiàng) 相 消 后 前 、 后 保 留 的 項(xiàng) 數(shù) 一 樣 多 . 3.錯(cuò) 位 相 減 法 的 關(guān) 注 點(diǎn)(1)適 用 題 型 :等 差 數(shù) 列 an與 等 比 數(shù) 列 bn對(duì) 應(yīng) 項(xiàng) 相乘 (an bn)型 數(shù) 列 求 和 .(2)步 驟 : 求 和 時(shí) 先

26、 乘 以 數(shù) 列 bn的 公 比 ; 把 兩 個(gè) 和 的 形 式 錯(cuò) 位 相 減 ; 整 理 結(jié) 果 形 式 . 【 變 式 訓(xùn) 練 】 (2016 漳 州 二 模 )已 知 數(shù) 列 an的 前n項(xiàng) 和 是 Sn,且 Sn+ an=1(n N*).(1)求 數(shù) 列 an的 通 項(xiàng) 公 式 .(2)設(shè) bn=log4(1-Sn+1)(n N*),Tn= 求 使 Tn 成 立 的 最 小 的 正 整 數(shù) n的 值 .13 1 2 2 3 n n 11 1 1b b b b b b ，1 0072 016 【 解 析 】 (1)當(dāng) n=1時(shí) ,a1=S1,由 S1+ a1=1 a1= ,當(dāng) n 2時(shí)

27、 ,Sn+ an=1 ,Sn-1+ an-1=1 , - ,得 an+ an- an-1=0,13 3413 13 1313 即 an= an-1,所 以 an是 以 為 首 項(xiàng) , 為 公 比 的 等 比 數(shù) 列 .故 an= 14 34 14n 1 n3 1 1( ) 3( ) (n N*).4 4 4 (2)由 (1)知 1-Sn+1= an+1= ,bn=log4(1-Sn+1)=log4 =-(n+1),n 11( )4 13 n 11( )4 n n 11 1 1 1 ,b b n 1 n 2 n 1 n 2 故 使 Tn 成 立 的 最 小 的 正 整 數(shù) n的 值 為 2014

28、.n 1 2 2 3 n n 11 1 1T b b b b b b1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( )2 3 3 4 n 1 n 21 1 ,2 n 21 1 1 007 n 2 014,2 n 2 2 016 1 0072 016 【 加 固 訓(xùn) 練 】(2016 惠 州 一 模 )設(shè) 數(shù) 列 an的 前 n項(xiàng) 和 為 Sn，已 知 a1=1， ， n N*.(1)求 a2的 值 .(2)求 數(shù) 列 an的 通 項(xiàng) 公 式 .(3)證 明 ： 對(duì) 一 切 正 整 數(shù) n， 有2n n 12S 1 2a n nn 3 3 1 2 n1 1 1 7 .a a a 4 【 解 析 】 (

29、1)由 題 意 ， 得 2S1=a2- -1- ，又 S1=a1=1， 所 以 a2=4.(2)當(dāng) n 2時(shí) ， 2Sn=nan+1- n3-n2- n，2Sn-1=(n-1)an- (n-1)3-(n-1)2- (n-1)，兩 式 相 減 得2an=nan+1-(n-1)an-n2-n，整 理 得 (n+1)a n=nan+1-n(n+1)， 13 2313 2313 23 即 =1， 又 =1，故 數(shù) 列 是 首 項(xiàng) 為 =1， 公 差 為 1的 等 差 數(shù) 列 ，所 以 =1+(n-1) 1=n， 所 以 an=n2，所 以 數(shù) 列 an的 通 項(xiàng) 公 式 為 an=n2， n N*.n

30、 1 na an 1 n 2 1a a2 1na n 1a1nan (3)=所 以 對(duì) 一 切 正 整 數(shù) n， 有1 1 1 11 4 2 3 3 4 n(n 1) 2 2 21 2 3 n1 1 1 1 1 1 1 11a a a a 4 3 4 n 1 1 1 1 1 1 11 4 2 3 3 4 n 1 n 5 1 1 7 1 74 2 n 4 n 4 ， 1 2 n1 1 1 7 .a a a 4 熱 點(diǎn) 考 向 三 與 數(shù) 列 求 和 有 關(guān) 的 綜 合 問 題命 題 解 讀 :數(shù) 列 的 綜 合 應(yīng) 用 主 要 體 現(xiàn) 在 以 下 兩 點(diǎn) :(1)以 等 差 、 等 比 數(shù) 列

31、的 知 識(shí) 為 紐 帶 ,在 數(shù) 列 與 函 數(shù) 、方 程 、 不 等 式 的 交 匯 處 命 題 ,主 要 考 查 利 用 函 數(shù) 觀 點(diǎn) 解決 數(shù) 列 問 題 以 及 用 不 等 式 的 方 法 研 究 數(shù) 列 的 性 質(zhì) . (2)數(shù) 列 與 解 析 幾 何 交 匯 的 命 題 ,往 往 會(huì) 遇 到 遞 推 數(shù) 列 ,通 常 以 解 析 幾 何 作 為 試 題 的 背 景 ,從 解 析 幾 何 的 內(nèi) 容 入手 ,導(dǎo) 出 相 關(guān) 的 數(shù) 列 關(guān) 系 ,再 進(jìn) 一 步 地 解 答 相 關(guān) 的 問 題 .試 題 難 度 大 都 在 中 等 偏 上 ,有 時(shí) 會(huì) 以 壓 軸 題 的 形 式 出

32、 現(xiàn) . 【 典 例 4】 (1)(2016 哈 爾 濱 一 模 )設(shè) n N*,an是 曲 線y=x2n+2+1在 點(diǎn) (1,2)處 的 切 線 與 x軸 交 點(diǎn) 的 橫 坐 標(biāo) ,設(shè)bn= ,則 數(shù) 列 bn前 n項(xiàng) 和 Sn=_.n2an (2)(2016 棗 莊 一 模 )已 知 數(shù) 列 an的 前 n項(xiàng) 和 為 Sn,數(shù)列 bn的 前 n項(xiàng) 和 為 Tn,且 有 Sn=1-an(n N*),點(diǎn) (an,bn)在 直 線 y=nx上 . 求 Tn; 試 比 較 Tn和 2- 的 大 小 ,并 說 明 理 由 .2nn2 【 解 題 導(dǎo) 引 】 (1)根 據(jù) 導(dǎo) 數(shù) 的 幾 何 意 義

33、求 出 曲 線 的 切 線方 程 ,從 而 得 出 數(shù) 列 bn的 通 項(xiàng) 公 式 ,利 用 裂 項(xiàng) 法 求 數(shù)列 bn前 n項(xiàng) 和 . (2)【 題 目 拆 解 】 本 題 第 問 可 拆 成 三 個(gè) 小 題 : 求 an的 通 項(xiàng) 公 式 ; 求 bn的 通 項(xiàng) 公 式 ; 求 Tn. 【 規(guī) 范 解 答 】 (1)y =(2n+2)x2n+1,曲 線 y=x2n+2+1在 點(diǎn)(1,2)處 的 切 線 的 斜 率 為 2n+2,從 而 切 線 方 程 為 y-2=(2n+2) (x-1),令 y=0,解 得 切 線 與 x軸 交 點(diǎn) 的 橫 坐標(biāo) an= ,則 bn= ,所 以Sn= 答

34、案 : 1 n1 n 1 n 1 1n n 11 1 1 1 1 1 n(1 ) ( ) ( ) 1 .2 2 3 n n 1 n 1 n 1 nn 1 (2) 當(dāng) n=1時(shí) ,a1=S1=1-a1,解 得 a1= .當(dāng) n 2時(shí) ,an=Sn-Sn-1=(1-an)-(1-an-1),則 有 2an=an-1,即 所 以 數(shù) 列 an是 以 a1= 為 首 項(xiàng) , 為 公 比 的 等 比 數(shù) 列 .所 以 an= (n N*). 12nn 1a 1a 2 ，12 12n1( )2 因 為 點(diǎn) (an,bn)在 直 線 y=nx上 ,所 以 bn=nan= nn .2n 1 2 3 nn 2

35、3 4 n 1n 1 2 3 n n 1nn 1 2 n 1 n n n1 2 3 nT 2 2 2 21 1 2 3 nT2 2 2 2 21 1 1 1 1 nT2 2 2 2 2 2111 1 1 n n n 22T 1 2 .12 2 2 2 2 21 2 ， ， 由 得 ， ，所 以 令 Bn=2- ,則 Tn-Bn= 所 以 當(dāng) n=1時(shí) ,T1-B10,所 以 T10,所 以 TnBn.2nn2 2n nn 2 n2 2 2 n nn 2 n 1n n 22 2 ， 綜 上 所 述 ,當(dāng) n=1時(shí) ,Tn2- .2nn2 2nn22nn2 【 規(guī) 律 方 法 】 數(shù) 列 與 函

36、數(shù) 交 匯 問 題 的 常 見 類 型 及 解 法(1)已 知 函 數(shù) 條 件 ,解 決 數(shù) 列 問 題 ,此 類 問 題 一 般 利 用 函數(shù) 的 性 質(zhì) 、 圖 象 研 究 數(shù) 列 問 題 .(2)已 知 數(shù) 列 條 件 ,需 構(gòu) 造 函 數(shù) ,利 用 函 數(shù) 知 識(shí) 解 決 問 題 ,解 決 此 類 問 題 一 般 要 充 分 利 用 數(shù) 列 的 范 圍 、 分 式 、 求和 方 法 對(duì) 式 子 化 簡(jiǎn) 變 形 .另 外 ,解 題 時(shí) 要 注 意 數(shù) 列 與 函數(shù) 的 內(nèi) 在 聯(lián) 系 ,靈 活 運(yùn) 用 函 數(shù) 的 思 想 方 法 求 解 . 【 題 組 過 關(guān) 】1.(2016 棗 莊

37、一 模 )已 知 函 數(shù) f(x)滿 足 f(x+1)= +f(x)(x R),且 f(1)= ,則 數(shù) 列 f(n)(n N*)前 20項(xiàng)的 和 為 ( )A.305 B.315 C.325 D.335 3252 【 解 析 】 選 D.因 為 f(1)= ,f(2)= + ,f(3)= + + , ,f(n)= +f(n-1),所 以 f(n)是 以 為 首 項(xiàng) , 為 公 差 的 等 差 數(shù) 列 .所 以 S20= 52325252 5232 3232 32 20 20 15 320 335.2 2 2 2.(2016 煙 臺(tái) 二 模 )已 知 數(shù) 列 an的 前 n項(xiàng) 和 為 Sn，

38、點(diǎn) 在 直 線 y= 上 .數(shù) 列 bn滿 足 bn+2-2bn+1+bn=0(n N*)， 且 b3=11， 前 9項(xiàng) 和 為 153.(1)求 數(shù) 列 an， bn的 通 項(xiàng) 公 式 .(2)設(shè) cn= ， 求 數(shù) 列 cn的 前 n項(xiàng) 和 Tn.nS(n )n， 1 11x2 2n n3(2a 11)(2b 1) 【 解 析 】 (1)由 題 意 ， 得即 Sn=故 當(dāng) n 2時(shí) ， 有 an=Sn-Sn-1當(dāng) n=1時(shí) ， a1=S1=6， 且 n+5=6，所 以 an=n+5(n N*). nS 1 11nn 2 2 ，21 11n n.2 22 21 11 1 11( n n) (

39、n 1) (n 1) n 5.2 2 2 2 又 由 題 意 知 bn+2-2bn+1+bn=0，即 bn+2-bn+1=bn+1-bn(n N*)，所 以 bn為 等 差 數(shù) 列 ，于 是由 b3=11， 得 b7=23， d= =3，因 此 bn=b3+3(n-3)=3n+2，即 b n=3n+2(n N*).1 9 3 79(b b ) 9(b b ) 153.2 2 23 117 3 (2)cn=所 以 Tn=c1+c2+ +cnn n3 3(2a 11)(2b 1) 2(n 5) 112(3n 2) 1 1 1 1 1( ).(2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1 1 1

40、n(1 ) .2 2n 1 2n 1 1 1 1 1 1 1 1 1(1 ) ( ) ( ) ( )2 3 3 5 5 7 2n 1 2n 1 【 加 固 訓(xùn) 練 】1.設(shè) 等 差 數(shù) 列 an的 前 n項(xiàng) 和 為 Sn,若 S10=0,S15=25,則 當(dāng)nSn取 最 小 值 時(shí) ,n= ( )A.5 B.6 C.7 D.8 【 解 析 】 選 C.設(shè) 等 差 數(shù) 列 an的 公 差 為 d,由 題 意 得 解 得 a1=-3,d= ,所 以 Sn=-3n+ 即 nSn= 11 10 9d10a 0215 14d15a 252 ， ，23 2n n 1 2 n 10n2 3 3 ，3 2n

41、10n3 ， 令 f(n)= 則 f (n)=n2- ,令 f (n)=n2- 0,得 n ,令 f (n)=n2- 0,得 0n0)， 以 點(diǎn)(n， f(n)為 切 點(diǎn) 作 函 數(shù) 圖 象 的 切 線 ln(n N*)， 直 線x=n+1與 函 數(shù) y=f(x)圖 象 及 切 線 ln分 別 相 交 于 An， Bn，記 an=|AnBn|.(1)求 切 線 ln的 方 程 及 數(shù) 列 an的 通 項(xiàng) 公 式 .(2)設(shè) 數(shù) 列 nan的 前 n項(xiàng) 和 為 Sn， 求 證 ： Sn0)求 導(dǎo) ， 得 f (x)=1- ， 則 切 線 ln的 方 程 為 ：即 y= .易 知由 an=|AnBn|知 an= 1x21x 21 1y (n ) (1 )(x n)n n ，21 2(1 )xn n n 1A (n 1 n 1 )n 1 ， ，n 2n 1B (n 1 n 1 )n ， ， 2 21 n 1 1| | .n 1 n n (n 1) (2)因 為 nan=所 以 Sn=a1+2a2+ +nan=1 1 1n(n 1) n n 1 ，1 1 1 1 1 11 1 1.2 2 3 n n 1 n 1