2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第一章 算法初步 1.4 算法案例課件 蘇教版必修3

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1、第1章算法初步1.4算法案例 學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解解決“韓信點(diǎn)兵孫子問題”的算法思想;2.理解輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的數(shù)學(xué)原理;3.能用偽代碼實(shí)現(xiàn)二分法求方程的近似解. 題型探究問題導(dǎo)學(xué)內(nèi)容索引 當(dāng)堂訓(xùn)練 問題導(dǎo)學(xué) 知識(shí)點(diǎn)一本節(jié)涉及的內(nèi)置函數(shù)就像木工不必自己造鋸一樣,VB也把一些常用基礎(chǔ)工具做成內(nèi)置函數(shù),以備使用者直接調(diào)用,下面是本節(jié)涉及的內(nèi)置函數(shù):函數(shù)功能例子Mod(a,b)得到a除以b的余數(shù)Mod(9,2)1Val()將字符串轉(zhuǎn)換為數(shù)值Int(x)表示不超過x的最大整數(shù)Int(3.9)3 思考知識(shí)點(diǎn)二“ 韓信點(diǎn)兵一孫子問題” 的數(shù)學(xué)本質(zhì)“三三數(shù)之剩二”是什么意思?如何用代數(shù)式表示?“三三數(shù)之剩

2、二”意思是一堆東西,三個(gè)三個(gè)地分組,余二個(gè).設(shè)這堆東西數(shù)目為m,則m3x2,其中x指組數(shù). 答案 梳理“韓信點(diǎn)兵孫子問題”是求關(guān)于x,y,z的一次不定方程組_的正整數(shù)解. 思考知識(shí)點(diǎn)三輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的算法原理我們知道20485234.為什么204與85的最大公約數(shù)就是85與34的最大公約數(shù)?設(shè)204與85的最大公約數(shù)為a,則a能整除204,故能整除85234.又因?yàn)閍也是85的約數(shù),故a能整除852,所以a必能整除34,即a是34的約數(shù),從而是85與34的最大公約數(shù),顯然,204與85的公約數(shù)問題轉(zhuǎn)化成了85與34的公約數(shù)問題,問題難度降低了.答案 梳理一般地,有2種算法求兩個(gè)正整數(shù)的

3、最大公約數(shù):(1)輾轉(zhuǎn)相除法的運(yùn)算步驟:第一步,給定.第二步,計(jì)算 .第三步, .第四步,若r0,則m,n的最大公約數(shù)等于 ;否則,返回.第二步兩個(gè)正整數(shù)m,n(mn)m除以n所得的余數(shù)rm n,n r m (2)更相減損術(shù)的運(yùn)算步驟:第一步,任意給定兩個(gè)正整數(shù),判斷它們是否都是.若是,用約簡;若不是,執(zhí)行.第二步,以的數(shù)減去的數(shù),接著把所得的差與的數(shù)比較,并以大數(shù)減小數(shù),繼續(xù)這個(gè)操作,直到所得的數(shù)為止,則這個(gè)數(shù)(等數(shù))或這個(gè)數(shù)與約簡的數(shù)的乘積就是所求的最大公約數(shù).相等偶數(shù)2第二步較大較小較小 思考知識(shí)點(diǎn)四二分法的實(shí)現(xiàn)你還能回憶起二分法的作用和原理嗎?二分法是用來求方程近似解的,其原理是先確定

4、一個(gè)解所在的大致區(qū)間,然后借助零點(diǎn)存在定理,不斷縮小這個(gè)區(qū)間.答案 梳理求方程f(x)0在區(qū)間a,b上的近似解的步驟為:S1取a,b的中點(diǎn)x0(ab),將區(qū)間一分為二.S2若 ,則x0就是方程的根,否則判斷根x*在x0的左側(cè)還是右側(cè):若 ,則x* (x0,b),以x0代替a;若 ,則x* (a,x0),以x0代替b.S3若|ab|0f(a)f(x0)b)的最大公約數(shù)的一個(gè)算法嗎?并畫出流程圖,編寫偽代碼.類型二輾轉(zhuǎn)相除法的現(xiàn)代實(shí)現(xiàn) 解答 算法如下:S1輸入兩個(gè)正整數(shù)a,b;S2若Mod(a,b) 0,那么轉(zhuǎn)S3,否則轉(zhuǎn)S6;S3r Mod(a,b);S4a b;S5b r,轉(zhuǎn)S2;S6輸出b.

5、流程圖如圖: 偽代碼如下:Reada,bWhileMod(a,b) 0r Mod(a,b)a bb rEndWhilePrintb 利用輾轉(zhuǎn)相除法求給定的兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù),即利用帶余除法,用數(shù)對(duì)中較大的數(shù)除以較小的數(shù),若余數(shù)不為零,則將余數(shù)和較小的數(shù)構(gòu)成新的數(shù)對(duì),再利用帶余除法,直到大數(shù)被小數(shù)除盡,則這時(shí)的較小數(shù)就是原來兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù). 反 思 與 感悟 跟蹤訓(xùn)練2用輾轉(zhuǎn)相除法和更相減損術(shù)求261和319的最大公約數(shù). 解答 輾轉(zhuǎn)相除法:3192611(余58),261584(余29),58292(余0),所以319與261的最大公約數(shù)為29.更相減損術(shù):31926158,2615820

6、3,20358145, 1455887,875829,582929,29290,所以319與261的最大公約數(shù)是29. 類型三求方程 f(x)0近似解的算法例3畫出用區(qū)間二分法求方程x3x10在區(qū)間1,1.5上的一個(gè)近似解(誤差不超過0.001)的一個(gè)算法流程圖并編寫偽代碼. 解答 流程圖如圖:a 1b 1.5c 0.001Do f(a) a3 a 1Iff(x0) 0ThenExitDoIff(a)f(x0)0Then b x 0Else a x0EndIfUntil|a b|cEndDoPrintx0 偽代碼如圖: 在此算法中用到了條件語句和循環(huán)語句,所以用“ Do”是因?yàn)橐獔?zhí)行再判斷是否

7、滿足條件,因?yàn)椴恢h(huán)次數(shù),所以也不宜用“ For”語句.反 思 與 感悟 跟蹤訓(xùn)練3改造例3中偽代碼,用來求f(x)lnx2x1在區(qū)間a,b上的一個(gè)近似解(誤差不超過c). 解析 偽代碼如圖:Read a, b, cDo f(a) lna 2a 1 f(x0) lnx0 2x0 1If f(x0) 0 Then Exit DoIf f(a)f(x0)0 Then b x0Else a x 0End IfUntil |a b|cEnd DoPrint x0 當(dāng)堂訓(xùn)練 2 3 41 1.m是一正整數(shù),對(duì)兩個(gè)正整數(shù)a,b,若ab是m的倍數(shù),則稱模m同余,用符號(hào)a b(Modm)表示.則a 5(Mo

8、d27)中,a的取值最小為_. 答案32 2.用更相減損術(shù)求36與134的最大公約數(shù),第一步應(yīng)為_. 36與134都是偶數(shù),第一步應(yīng)為:先除以2,得到18與67.先除以2,得到18與67 2 3 41答案 解析 3.求方程x5y3(其中y為自然數(shù))的所有小于100的x的正整數(shù)解,用偽代碼表示.算法的偽代碼如圖:解答y 0 x 0Whilex100 x 5y3Printxy y1EndWhile 2 3 41 4.求兩個(gè)正數(shù)8251和6105的最大公約數(shù).8251610512146;6105214621813;214618131333;18133335148;333148237;1483740;則37為8251與6105的最大公約數(shù). 解答 2 3 41 規(guī) 律 與 方法1.求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)時(shí),用輾轉(zhuǎn)相除法進(jìn)行設(shè)計(jì)的關(guān)鍵是:將“輾轉(zhuǎn)”的過程用循環(huán)語句表示.為了避免求循環(huán)次數(shù)(對(duì)兩個(gè)具體的正整數(shù),循環(huán)次數(shù)可以求出,但會(huì)使程序更為復(fù)雜),最好使用“ While”語句.2.用二分法求方程近似解,必須先判斷方程在給定區(qū)間上是否有解.3.二分法的過程是一個(gè)多次重復(fù)的過程,故可用循環(huán)結(jié)構(gòu)處理.4.二分法過程中需要對(duì)中點(diǎn)(端點(diǎn))處函數(shù)值的符號(hào)進(jìn)行判定,故實(shí)現(xiàn)算法需用選擇結(jié)構(gòu),即用條件語句進(jìn)行分支選擇. 本課結(jié)束

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