大學(xué)物理2第二章第一節(jié) 牛頓定律

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1、 大 學(xué) 物 理 第 一 節(jié) 牛 頓 定 律第 二 節(jié) 功 和 能 機 械 能 守 恒 定 律第 三 節(jié) 動 量 和 沖 量 動 量 守 恒 定 律 第 一 節(jié) 牛 頓 定 律 牛 頓 運 動 定 律 不 僅 是 研 究 宏 觀 低 速 質(zhì) 點 動力 學(xué) 的 基 礎(chǔ) ， 而 且 也 是 描 述 物 體 作 機 械 運 動 的前 提 。 本 節(jié) 討 論 牛 頓 運 動 定 律 及 其 應(yīng) 用 。 杰 出 的 英 國 物 理 學(xué) 家 、 數(shù) 學(xué)家 、 天 文 學(xué) 家 ， 經(jīng) 典 物 理 學(xué) 的 奠基 人 ， 是 科 學(xué) 發(fā) 展 史 上 舉 世 聞 名的 巨 人 。 是 微 積 分 的 創(chuàng) 始 人

2、之 一 。發(fā) 現(xiàn) 了 牛 頓 三 定 律 、 萬 有 引 力 定律 、 冷 卻 定 律 、 光 的 色 散 、 色 差 ；制 作 出 了 牛 頓 環(huán) 裝 置 和 反 射 式 望遠(yuǎn) 鏡 ， 創(chuàng) 建 了 光 的 微 粒 學(xué) 說 。1687年 發(fā) 表 了 具 有 巨 大 影 響 力 的 自 然 哲 學(xué) 的 數(shù) 學(xué) 原 理 一 書 ，標(biāo) 志 著 經(jīng) 典 力 學(xué) 體 系 的 建 立 。牛 頓 Issac Newton （ 1643 1727） 任 何 物 體 都 要 保 持 靜 止 或 勻 速 直 線 運 動狀 態(tài) ， 直 到 外 力 迫 使 它 改 變 運 動 狀 態(tài) 為 止 。1.牛 頓 第 一 定

3、 律 （ 慣 性 定 律 ）2. 慣 性 和 力 的 概 念時 ， 恒 矢 量v0F3. 慣 性 參 考 系 ： 如 果 物 體 在 一 個 參 考 系 中不 受 其 它 物 體 作 用 而 保 持 靜 止 或 勻 速 直 線 運動 ， 這 個 參 考 系 就 稱 為 慣 性 參 考 系 。1.一 、 牛 頓 定 律 tmtpF d )(ddd v 2.牛 頓 第 二 定 律作 用 在 物 體 上 的 合 外 力 ， 等 于 物 體 動 量 對 時 間 的 變化 率 。 力 的 方 向 與 物 體 動 量 變 化 的 方 向 一 致 。 當(dāng) 時 ， 為 常 量 ，cvm amtmF ddv v

4、 mp合 外力宏 觀 低 速 動 力 學(xué) 基 本 方 程 ktmjtmitmF yx dddddd zvvv xx maF yy maF zz maF kmajmaimaF yx z 即 amtmF ddv直 角 坐 標(biāo) 系 中 注 ： 為 A處 曲 線 的曲 率 半 徑 。 22dddd tsmtmF v自 然 坐 標(biāo) 系 中 nmtmaamamF 2n dd)( vv 2n vmF a n A (1) 牛 頓 第 二 定 律 是 瞬 時 關(guān) 系(2) 牛 頓 第 二 定 律 適 用 于 質(zhì) 點 或 可 看 作 整體 的 質(zhì) 點 系 321 aaaa 321 FFFF(3) 適 用 于 力

5、的 疊 加 原 理 2211 amFamF 注 意 兩 個 物 體 之 間 的 作 用 力 和 反 作 用 力 ， 沿 同一 直 線 ， 大 小 相 等 ， 方 向 相 反 ， 分 別 作 用 在 兩 個 物體 上 。 F FFF （ 物 體 間 相 互 作 用 規(guī) 律 ）3.牛 頓 第 三 定 律 F F作 用 力 與 反 作 用 力 特 點 ： (1)大 小 相 等 、 方 向 相 反 ， 分 別 作 用 在 不 同物 體 上 ， 同 時 產(chǎn) 生 、 同 時 消 失 ， 不 能 相 互 抵 消 。 (2) 性 質(zhì) 相 同 。 (3) 任 何 參 考 系 都 成 立 。 牛 頓 第 二 定

6、律 適 用 的 參 考 系火 車 做 勻 速 直 線 運 動以 火 車 為 參 考 系 ： 小 球 受外 力 作 用 的 矢 量 和 為 零 ，小 球 靜 止 或 者 做 勻 速 直 線運 動 。以 地 面 為 參 考 系 ： 小 球 受外 力 作 用 的 矢 量 和 為 零 ，小 球 靜 止 或 者 做 勻 速 直 線運 動 ； 火 車 做 加 速 直 線 運 動地 面 上 的 觀 察 者 ： 觀 察 到 小 球做 勻 速 直 線 運 動 ；火 車 上 的 觀 察 者 ： 觀 察 到 小 球向 后 加 速 運 動 而 不 再 保 持 靜 止?fàn)?態(tài) 。 牛 頓 第 二 定 律 適 用 的 參

7、考 系想 一 想做 一 做 火 車 做 變 速 運 動 時 牛 頓 第 二 定 律 的表 達(dá) 形 式 是 否 會 有 變 化 ？ 為 什 么 會 有 變化 ？ 根 據(jù) 運 動 速 度 的 合 成 公 式 ， 試 推 導(dǎo)在 加 速 運 動 參 照 系 中 牛 頓 第 二 定 律 改 變后 的 形 式 。問 題 一 牛 頓 第 二 運 動 定 律 在 一 切 勻 速 直線 運 動 參 考 系 的 表 述 形 式 是 否 相 同 ？ 4.力 學(xué) 相 對 性 原 理u vv FamamF xut xx y yz z oo u x Paa 為 常 量tt dddd vv u (2) 對 于 不 同 慣

8、性 系 ， 牛 頓 力 學(xué) 的 規(guī) 律 都具 有 相 同 的 形 式 ， 與 慣 性 系 的 運 動 無 關(guān) 。 (1) 凡 相 對 于 慣 性 系 作 勻 速 直 線 運 動 的 一切 參 考 系 都 是 慣 性 系 。伽 利 略 相 對 性 原 理注 意 四 種 相 互 作 用 的 力 程 和 強 度 的 比 較注 ： 表 中 強 度 是 以 兩 質(zhì) 子 間 相 距 為 時 的 相 互 作 用 強度 為 1給 出 的 。 m10 15種 類 相 互 作 用 粒 子 強 度力 程 /m引 力 作 用 所 有 粒 子 、 質(zhì) 點 3910弱 相 互 作 用 帶 電 粒 子 1210310電 磁

9、 作 用 核 子 、 介 子 等 強 子 1810強 相 互 作 用 強 子 等 大 多 數(shù) 粒 子 1510 110二 、 自 然 界 的 四 種 相 互 作 用 和 常 見 的 力 溫 伯 格薩 拉 姆格 拉 肖 弱 相 互 作 用電 磁 相 互 作 用 電 弱 相 互作 用 理 論三 人 于 1979年 榮 獲 諾 貝 爾 物 理 學(xué) 獎 。 魯 比 亞 , 范 德 米 爾 實 驗 證 明 電 弱 相 互 作 用 ，1984年 獲 諾 貝 爾 獎 。電 弱 相 互 作 用強 相 互 作 用萬 有 引 力 作 用 “ 大 統(tǒng) 一 ” （ 研 究 之 中 ） 02 21 rrmmGF 1.萬

10、 有 引 力引 力 常 數(shù) 2211 kgmN1067.6 G m1 m2r 重 力 ,mgP 2rGmg E 2sm80.9 - 2RGmg E地 表 附 近 2.彈 性 力 （ 電 磁 力 ）常 見 彈 性 力 有 ： 正 壓 力 、 張 力 、 彈 簧 彈 性 力 等 。xkF 彈 簧 彈 性 力 胡 克 定 律因 為 物 體 形 變 而 產(chǎn) 生 的 力 。3.摩 擦 力 （ 電 磁 力 ） 0 一 般 情 況 Nf FF 滑 動 摩 擦 力 N0f0m FF 最 大 靜 摩 擦 力即 滑 動 摩 擦 力 小 于 最 大 摩 擦 力問 題 ： 火 車 啟 動 時 為 什 么 先 倒 退

11、再 前 進(jìn) ？ 1.解 題 步 驟 （ 1） 已 知 力 求 運 動 方 程（ 2） 已 知 運 動 方 程 求 力2.兩 類 常 見 問 題 Far raF 隔 離 物 體 受 力 分 析 建 立 坐 標(biāo) 列 方 程 解 方 程 結(jié) 果 討 論三 、 牛 頓 定 律 的 應(yīng) 用 例 2.2質(zhì) 量 為 的 跳 水 運 動 員 從 高 的 跳 臺 上 由 靜 止跳 下 落 入 水 中 。 運 動 員 入 水 后 垂 直 下 沉 ， 水 對 其 阻 力為 ， 為 常 量 。 以 水 面 上 一 點 為 坐 標(biāo) 原 點 ， 豎 直 向下 為 軸 ， 求 運 動 員 在 水 中 的 速 率 與 的 關(guān)

12、 系 。 m h2bv b OOy v y【 解 】 取 向 下 為 正 方 向 ghv 20 dydvmvdtdydydvmdtdvmbvmgfmg 2 vvy bvmgmvdvdy 0 20 v 例 2.3 質(zhì) 量 為 的 物 體 ， 由 地 面 以 初 速 度 豎 直 向 上 發(fā) 射 ， 物 體 受 到 的 空 氣 阻 力 為 ，且 。 求 ：（ 1） 物 體 發(fā) 射 到 最 大 高 度 所 需 的 時 間 ；（ 2） 最 大 高 度 是 多 少 ？kg0.45 10.60 smkvf 1/03.0 smNk【 知 識 點 和 思 路 】 本 題 的 知 識 點 是 考 查 牛 頓 第

13、二定 律 的 應(yīng) 用 。 物 體 同 時 受 重 力 和 阻 力 作 用 ， 阻 力是 速 率 的 函 數(shù) ， 是 變 力 ， 應(yīng) 該 用 微 分 方 程 求 解 。 【 解 】 （ 1） 設(shè) 向 上 為 正 方 向 dtdvmkvmg 由 初 始 條 件 ， 最 大 高 度 時 ，00 vvt 時 0v 00 0vt kvmgdvmdt smgkvkmt 11.61ln 0 （ 2） 由 速 度 的 定 義 式 可 得dtdyv dydvvdtdydydvdtdv 00 0vy kvmgmvdvdy mkvmgkvmgkmy 1831ln 002 力 學(xué) 的基 本 單 位我 國 的 法 定

14、單 位 制 為 國 際 單 位 制 （ SI） 。物 理 量 長 度 質(zhì) 量 時 間單 位 名 稱 米 千 克 秒符 號 m kg s*四 、 單 位 制國 際 單 位 制 規(guī) 定 了 七 個 基 本 單 位 ， 其 中力 學(xué) 的 基 本 單 位 有 三 個 。電 流 安 【 培 】 A熱 力 學(xué) 溫 度 T開 【 爾 文 】 K物 質(zhì) 的 量 n摩 【 爾 】 mol發(fā) 光 強 度 I坎 【 德 拉 】 cd 1.1m是 光 在 真 空 中 1s/299 792 458時 間 間 隔 內(nèi) 所 經(jīng)過 的 路 程 的 長 度 。2.1s是 銫 的 一 種 同 位 素 133 Cs原 子 發(fā) 出

15、的 一 個 特 征頻 率 光 波 周 期 的 9 192 631 770倍 。3.“ 千 克 標(biāo) 準(zhǔn) 原 器 ” 是 用 鉑 銥 合 金 制 造 的 一 個 金屬 圓 柱 體 ， 保 存 在 巴 黎 度 量 衡 局 中 。其 它 力 學(xué) 物 理 量 都 是 導(dǎo) 出 量 ， 如速 率 ts/ddv 1sm -amF 2smkg1N1 -力 rFW dd mN1J1 功 0 實 際 長 度 實 際 質(zhì) 量可 觀 察 宇 宙 半 徑 宇 宙地 球 半 徑 太 陽說 話 聲 波 波 長 地 球可 見 光 波 波 長 宇 宙 飛 船原 子 半 徑 最 小 病 毒質(zhì) 子 半 徑 電 子夸 克 半 徑 光

16、子m1026 m104.6 6 m104 1 m106 7 m101 10 m101 15 m101 20 kg1053 kg100.2 30 kg100.6 24kg104 kg109 14 kg101.9 31（ 靜 ） 實 際 過 程 的 時 間宇 宙 年 齡 約 (140億 年 )地 球 公 轉(zhuǎn) 周 期 s102.3 7人 脈 搏 周 期 約 s.90最 短 粒 子 壽 命 s10 25 s102.4 17 力 的 累 積 效 應(yīng) EWF pIF ， 對 時 間 積 累對 空 間 積 累動 能 、 功 、 動 能 定 理 、 機 械 能 守 恒動 量 、 沖 量 、 動 量 定 理 、

17、 動 量 守 恒第 二 節(jié) 功 和 能 機 械 能 守 恒 定 律 一 、 功 1.恒 力 的 功 SFW cosrFW dcosd Frd *B*A2.變 力 的 功 rFW dd BABA sFrFW dcosd rs dd sFW dcosd AF BFSF 說 明（ 1） 功 是 過 程 量 ， 一 般 與 路 徑 有 關(guān) 。（ 2） 合 力 的 功 ）（ zdddd zyB A xBA FyFxFrFW zFyFxF BABABA zz zyy yxx x ddd zWWWW yx kFjFiFF zyx kjyixr zdddd BABA sFrFW dcosd 等 于 各 分 力

18、 的 功 的 代 數(shù) 和 。 tWP 平 均 功 率瞬 時 功 率 v FtWtWP t ddlim0 cosvFP 功 率 的 單 位 ： 瓦 特 W10kW1 31sJ1W1 3.功 率 例 2.4 設(shè) 作 用 在 質(zhì) 量 為 2kg的 物 體 上 的 力 F=6t(N)。如 果 物 體 由 靜 止 出 發(fā) 沿 直 線 運 動 ， 問 在 開 始 2s時 間內(nèi) ， 這 個 力 對 物 體 所 做 的 功 ?！?知 識 點 和 思 路 】 本 題 知 識 點 是 考 察 功 的 定義 及 第 一 類 運 動 學(xué) 問 題 。 加 速 度 是 運 動 學(xué) 和力 的 橋 梁 ， 本 題 可 首 先

19、 求 出 ， 進(jìn) 而 利 用 加 速度 和 速 度 的 定 義 式 即 可 寫 出 位 移 表 達(dá) 式 ， 再利 用 功 的 定 義 即 可 求 解 。 【 解 】 根 據(jù) 牛 頓 第 二 定 律 可 知 物 體的 加 速 度 為 200 5.13 ttdtdv tv JdttdtttFdxW 3695.16 2 0 32 【 問 題 延 伸 】 對 于 更 復(fù) 雜 的 情 況 ， 如 ，仍 然 對 上 述 質(zhì) 點 做 功 ， 你 還 會 計 算 嗎 ？ jxiyF 24 dttdx 25.1 maF ttmFdtdva 326 tdtdv 3 例 2.5一 個 質(zhì) 點 沿 如 圖 所 示 的

20、 路 徑 運 行 ， 求 力 (SI)對 該 質(zhì) 點 所 做 的 功 ， （ 1） 沿 ODC； （ 2） 沿 OBC。B CO D22【 知 識 點 和 思 路 】 本 題 知 識 點 是考 察 力 沿 不 同 路 徑 做 功 問 題 。 雖然 同 樣 是 從 O點 出 發(fā) C點 終 止 ， 但是 所 經(jīng) 兩 條 路 徑 不 同 ， 同 一 個 力所 做 的 功 要 分 別 按 照 功 的 定 義 式計 算 ， 不 能 簡 單 認(rèn) 為 結(jié) 果 一 樣 。解 ： iyF )24( Fx=4-2y Fy=0 JdxrdFrdFW DCODODC 80)024(20 （ 2） OB段 ： Fy=0

21、， BC段 ： y=2（ 1） OD段 ： y=0， dy=0， DC段 ： x=2， Fy=000)224(20 dxrdFrdFW BCBOOBC 【 問 題 延 伸 】 由 本 題 我 們 可 得 出 結(jié) 論 ： 力 做 功 與 路 徑有 關(guān) ， 即 同 一 個 力 沿 不 同 的 路 徑 所 做 的 功 是 不 同 的 。那 么 是 不 是 所 有 的 力 做 功 都 與 路 徑 有 關(guān) 呢 ？ 有 沒 有 做功 與 路 徑 無 關(guān) 的 力 呢 ？ rFW d tmmaF ddcos v 2 122 2121 vv mm 二 、 質(zhì) 點 的 動 能 定 理 vvv v d21 mdsd

22、tdvmW dsF cos 1vA B 2vF rd cosF1k2k2122 2121 EEmmW vv 2vmEk 21dsF cos （ 1） 功 是 過 程 量 ， 動 能 是 狀 態(tài) 量 ；合 外 力 對 質(zhì) 點 所 作 的 功 ， 等 于 質(zhì) 點 動 能 的 增 量 （ 2） 功 和 動 能 依 賴 于 慣 性 系 的 選 取 ， 但 對 不 同 慣 性 系 動 能 定 理 形 式 相 同 。注 意 質(zhì) 點 的 動 能 定 理 1k2k2122 2121 EEmmW vv 例 2.6 一 質(zhì) 量 為 m的 小 球 系 在 長 為 l的細(xì) 繩 下 端 ， 繩 的 上 端 固 定 在

23、天 花 板 上 。起 初 把 繩 子 放 在 與 鉛 直 線 成 0角 處 ，然 后 放 手 使 小 球 沿 圓 弧 下 落 。 試 求 繩與 鉛 直 線 成 角 時 ， 小 球 的 速 率 。【 知 識 點 和 思 路 】 本 題 知 識 點 是 考 察 變 力 做 功 和動 能 定 理 的 應(yīng) 用 。 小 球 下 落 過 程 中 受 拉 力 和 重 力共 同 作 用 ， 但 拉 力 始 終 垂 直 于 位 移 所 以 不 做 功 ，因 此 只 有 重 力 做 功 。 再 利 用 動 能 定 理 即 可 求 得 小球 速 度 。 解 ： 計 算 外 力 所 做 的 功 。 小 球 受 力 如

24、圖 。 由 分 析 可 知 為 變 力 做 功 ： rdPrdTrdFW rrrrrr 000 0 0 rdTrr rrrrrr drPdrPrdP 000 sincos lddr 0coscossinsin 00 mgldmgldrmgW rr 由 動 能 定 理 ， 得 ： 22020 212121coscos mvmvmvmglW 故 繩 與 鉛 直 線 成 角 時 ， 小 球 的 速 率 為 ： 0coscos2 glv【 問 題 延 伸 】 本 題 中 重 力 做 功 的 結(jié) 果 有 一 個 特 點 ： 做 功與 路 徑 無 關(guān) 。 你 認(rèn) 為 這 是 巧 合 還 是 規(guī) 律 ？ 你

25、 能 再 舉 出 幾個 例 子 解 一 下 看 看 重 力 做 功 是 否 都 有 相 同 的 特 點 嗎 ？ 例 2.7 一 質(zhì) 量 為 10g、 速 度 為 200m/s的 子 彈 水 平地 射 入 鉛 直 的 墻 壁 內(nèi) 0.04m后 而 停 止 運 動 。 若 墻 壁的 阻 力 是 一 恒 量 ， 求 墻 壁 對 子 彈 的 作 用 力 ?！?知 識 點 和 思 路 】 本 題 知 識 點 是 考 察 動 能 定 理的 應(yīng) 用 。 雖 然 本 題 可 以 用 牛 頓 第 二 定 律 求 解 ，但 比 較 復(fù) 雜 ， 用 動 能 定 理 比 較 簡 單 。 在 許 多 問題 中 動 能

26、定 理 是 比 牛 頓 定 律 更 實 用 的 處 理 方 法 ，是 我 們 應(yīng) 優(yōu) 先 考 慮 的 工 具 。 解 ： 20 21 mvEk 負(fù) 號 表 示 力 的 方 向 與 運 動 的 方 向 相 反 。得由 動 能 定 理阻 力 對 子 彈 做 功子 彈 末 態(tài) 動 能子 彈 初 態(tài) 動 能 0kE 20 210 mvEEW kk Nsmvf 322 10504.02 20001.02 【 問 題 延 伸 】 本 題 中 如 果 阻 力 不 是 恒 力 ， 比如 ， 你 還 能 解 出 結(jié) 果 嗎 ？0, kkvf fsW 例 2.8 在 一 截 面 積 變 化 的 彎 曲 管 中 ，

27、 穩(wěn) 定 流 動 著不 可 壓 縮 的 密 度 為 的 流 體 ， 如 圖 所 示 。 在 圖 中 a處 的 壓 強 為 p1、 截 面 積 為 A1； 在 點 b處 的 壓 強 為 p2、截 面 積 為 A2。 由 于 點 a和 點 b之 間 存 在 壓 力 差 ， 流體 在 管 中 移 動 。 在 a和 b處 的 速 率 分 別 為 v1和 v2，求 流 體 的 壓 強 和 速 率 之 間 的 關(guān) 系 。y xo2y1y 2p1p 1v 2va b1A 2A 【 知 識 點 和 思 路 】 本 題 知 識 點 是 通 過 對 伯 努 利 方 程 的 推導(dǎo) 來 考 察 動 能 定 理 的 應(yīng)

28、 用 。 壓 強 體 現(xiàn) 在 壓 力 中 ， 速 率 體現(xiàn) 在 動 能 中 ， 壓 力 和 重 力 做 功 改 變 流 體 的 動 能 ， 所 以 應(yīng)用 動 能 定 理 即 可 求 出 流 體 的 壓 強 和 速 率 之 間 的 關(guān) 系 。解 取 如 圖 所 示 坐 標(biāo) ， 在 時 間 內(nèi) 、 處流 體 分 別 移 動 、 。 td a b1dx 2dx 1x 11 dxx 2x 22 dxx y xo2y1y 2p1p 1v 2va b1A 2A VyygyygmWg d)()(dd 1212 21221221 d21d21d)(d)( vv VVVyygVpp 22222111 2121

29、vv gypgyp =常 量1x 11 dxx 2x 22 dxx y xo2y1y 2p1p 1v 2va b1A 2A222111 ddd xApxApWp VxAxA ddd 2211 VppWp d)(d 21 若 將 流 管 放 在 水 平 面 上 ， 即 21 yy 221 vgyp 常 量伯 努 利 方 程則 有 221 vp 常 量222211 2121 vv pp即 21 pp 21 vv 若 則 1p 2p2v1v 【 問 題 延 伸 】 通 過 本 題 的 結(jié) 論 ， 你 能 解 釋 以下 情 況 的 危 險 嗎 ？1、 被 龍 卷 風(fēng) 吹 到 ；2、 站 在 快 速 行

30、 駛 的 車 輛 附 近 ；3、 在 下 層 流 速 大 于 表 面 流 速 的 河 里 游 泳 。 三 、 質(zhì) 點 系 的 動 能 定 理質(zhì) 點 系 的 動 能 定 理 0kkinex EEWW 0kk0kkinex EEEEWW i ii ii ii i 2.對 質(zhì) 點 系 ， 有 1.對 第 個 質(zhì) 點 ， 有i注 意 0kikiiniexi EEWW 內(nèi) 力 的 功外 力 的 功 exiFiniF 1m2m im內(nèi) 力 可 以 改 變 質(zhì) 點 系 的 動 能 ！ 三 、 質(zhì) 點 系 的 動 能 定 理內(nèi) 力 可 以 改 變 質(zhì) 點 系 的 動 能 ！ 0kkinex EEWW 00k

31、E 燃 料火 箭 kkk EEE 0kkinex EEWW 內(nèi) 力 可 以 改 變 質(zhì) 點 系 的 動 能 ！v v 2k0 21 vmmE bg 22 2k 212121 bbgg bg vmvm vmmE 一、變力做功二、動能定理 BABA sFrFW dcosd 1k2k2122 2121 EEmmW vv 0kkinex EEWW rer mmGF 21.萬 有 引 力 作 功四 、 萬 有 引 力 和 彈 性 力 作 功 的 特 點 對 的 萬 有 引 力 為m mm移 動 時 ， 作 元 功 為 Frd rFW dd rer mmG r d2 r rr d rdmm A BAr B

32、rre rd BArr rrmmGW d2 rrere rr dcosdd )11( AB rrmmGW BA r rermmGrFW dd 2m從 A到 B的 過 程 中 作 功F r rr d rdmm A BAr Brre rd由 此 我 們 可 得 以 下 結(jié) 論 ： 引 力 做 功 只 與 質(zhì) 點 的 始 末位 置 有 關(guān) ， 而 與 質(zhì) 點 所 經(jīng) 過 的 路 徑 無 關(guān) 。 2.重 力 作 功質(zhì) 量 為 m的 質(zhì) 點 ， 在 重力 的 作 用 下 ， 從 點 a沿acb路 徑 運 動 到 點 b，點 a和 點 b到 地 面 的 高度 分 別 為 y1和 y2， 我 們來 計 算

33、重 力 所 做 的 功 。將 質(zhì) 點 的 運 動 路 徑 分 成 許 多 元 位 移 jdyidxrd 則 重 力 所 作 的 元 功 為 mgdyjdyidxjmgrdgmdW 從 點 a沿 acb路 徑 運 動 到 點 b， 重 力 所 做 的 功 為 121221 mgymgyyymgmgdyW yy 由 此 我 們 可 得 以 下 結(jié) 論 ： 重 力 做 功 只 與 質(zhì) 點的 始 末 位 置 有 關(guān) ， 而 與 質(zhì) 點 所 經(jīng) 過 的 路 徑 無關(guān) 。 這 個 結(jié) 論 和 引 力 做 功 特 點 是 一 樣 的 。 xF xo3.彈 性 力 作 功 2121 dd xxxx xkxxF

34、W )2121( 2122 kxkx FP xkxW dd ikxF 彈 性 力 2121 dd xxxx xkxxFW )2121( 2122 kxkx xF dxdW x2x1O做 一 做 根 據(jù) 萬 有 引 力 、 重 力 、 彈 性 力 做 功特 點 ， 證 明 物 體 沿 閉 合 路 徑 繞 行 一 周 ，這 些 力 對 物 體 所 做 的 功 恒 為 零 。 由 此 我 們 可 得 以 下 結(jié) 論 ： 彈 性 力 做 功 只 與 質(zhì) 點 的始 末 位 置 有 關(guān) ， 而 與 質(zhì) 點 所 經(jīng) 過 的 路 徑 無 關(guān) 。 這個 結(jié) 論 和 引 力 做 功 、 重 力 做 功 特 點 是

35、 一 樣 的 。 4.摩 擦 力 作 功設(shè) 一 個 質(zhì) 點 在 粗 糙 的 平 面 上 運 動 （ 假 設(shè) 摩 擦力 為 常 量 ） ， 則 摩 擦 力 做 功 為 SffdSSdfW 可 見 摩 擦 力 做 功 不 僅 與 質(zhì) 點 運 動 的 始 末 位 置 有關(guān) 還 與 質(zhì) 點 運 動 的 具 體 路 徑 有 關(guān) ， 這 與 前 面 所述 三 種 力 的 做 功 特 點 是 不 一 樣 的 。 保 守 力 所 作 的 功 與 路 徑 無 關(guān) ，僅 決 定 于 始 、 末 位 置 。五 、 保 守 力 與 非 保 守 力 勢 能 )2121( 22 AB kxkxW 彈 力 的 功 )()(

36、 AB rmmGrmmGW引 力 的 功1.保 守 力 的 功 ADBACB rFrF d d A BCD 質(zhì) 點 沿 任 意 閉 合 路 徑 運 動 一 周 時 ， 保 守 力 對 它所 作 的 功 為 零 。 0d l rFW BDAACBl rFrFrF d d d非 保 守 力 ： 力 所 作 的 功 與 路 徑 有 關(guān) 。 （ 例 如 摩 擦 力 ） 2.勢 能與 質(zhì) 點 位 置 有 關(guān) 的 能 量 。彈 性 勢 能 2p 21 kxE 引 力 勢 能 rmmGE p )2121( 22 AB kxkxW 彈 力 的 功 )()( AB rmmGrmmGW引 力 的 功 P1p2p

37、)( EEEW 保 守 力 的 功 保 守 力 作 正 功 ， 勢 能 減 少 。（ 2） 勢 能 具 有 相 對 性 ， 勢 能 大 小 與 勢 能 零 點 的 選 取 有 關(guān) 。 ),(pp zyxEE （ 1） 勢 能 是 狀 態(tài) 的 函 數(shù)（ 3） 勢 能 是 屬 于 系 統(tǒng) 的 。（ 4） 勢 能 差 與 勢 能 零 點 選 取 無 關(guān) 。討 論想 一 想 保 守 力 場 的 零 勢 能 點 如 何 選 擇 最 恰 當(dāng) ？ pE zO zmgE p3.勢 能 曲 線 彈 性 勢 能 曲 線 0,0 p Ex重 力 勢 能 曲 線 0,0 p Ez 引 力 勢 能 曲 線 0, p E

38、rxO pE 2p 21 kxE xO pE rmmGE p )()( 0p0kpkinncex EEEEWW 0kkinex EEWW 非 保 守力 的 功inncincinin WWWW i i inc p p 0 p p0( ) ( )i ii iW E E E E 六 、 質(zhì) 點 系 的 功 能 原 理 機 械 能 pk EEE 0inncex EEWW 質(zhì) 點 系 的 機 械 能 的 增 量 等 于 外 力 與 非 保守 內(nèi) 力 作 功 之 和 質(zhì) 點 系 的 功 能 原 理 )()( 0p0kpkinncex EEEEWW 機 械 能 守 恒 按 照 功 能 原 理 ， 要 改 變

39、 系 統(tǒng) 的 機 械 能 既 可 以 通過 外 力 對 系 統(tǒng) 做 功 ， 也 可 以 利 用 系 統(tǒng) 內(nèi) 非 保 守 內(nèi) 力做 功 。 前 者 是 外 界 同 系 統(tǒng) 間 的 能 量 交 換 ， 后 者 是 系統(tǒng) 內(nèi) 部 機 械 能 之 間 的 轉(zhuǎn) 換 。 很 多 情 況 下 系 統(tǒng) 的 機 械能 是 可 以 保 持 不 變 的 即 機 械 能 守 恒 。 機 械 能 守 恒 定律 是 能 量 轉(zhuǎn) 換 和 守 恒 定 律 的 重 要 組 成 部 分 ， 是 自 然界 最 基 本 最 普 遍 的 規(guī) 律 之 一 。你 能 從 質(zhì) 點 系 功 能 原 理 指 出機 械 能 守 恒 的 條 件 嗎

40、 ？想 一 想 機 械 能 守 恒 定 律當(dāng) 0inncex WW 0EE 時 ， 有 只 有 保 守 內(nèi) 力 作 功 的 情 況 下 ， 質(zhì) 點 系 的 機械 能 保 持 不 變 。 pk EE )( 0pp0kk EEEE pk EEE 守 恒 定 律 的 意 義說 明 例 2.9 如 圖 所 示 ， 質(zhì) 量 為 m2的 板 上 連 接 放 置 一 勁 度 系數(shù) 為 k的 輕 質(zhì) 彈 簧 ， 現(xiàn) 在 彈 簧 上 放 置 并 連 接 一 質(zhì) 量 為m1的 板 ， 同 時 施 加 一 豎 直 向 下 的 外 力 F。 問 在 m1上 需要 加 多 大 的 壓 力 F使 其 停 止 作 用 后

41、， 恰 能 使 m1在 跳 起時 m2稍 被 提 起 。 彈 簧 的 質(zhì) 量 忽 略 不 計 ?！?知 識 點 和 思 路 】 本 題 知 識 點 是考 察 機 械 能 守 恒 定 律 的 理 解 應(yīng) 用 。把 ， 彈 簧 和 地 球 看 作 一 個 系 統(tǒng) ，則 從 彈 簧 被 壓 縮 到 稍 被 提 起 整 個過 程 中 只 有 重 力 和 彈 性 力 做 功 ，即 只 有 保 守 內(nèi) 力 做 功 ， 所 以 系 統(tǒng)機 械 能 守 恒 。 解 ： 取 彈 簧 的 原 長 處 O為 重 力 勢 能 和 彈 性 勢 能 的 零點 ， 并 以 此 點 為 坐 標(biāo) 軸 的 原 點 ， 如 圖 (a

42、)。 當(dāng) 在 彈簧 上 加 上 m1和 外 力 F后 ， 彈 簧 被 壓 縮 到 y1處 ， 如 圖(b)； 當(dāng) 外 力 F撤 去 后 ， 彈 簧 伸 長 至 y2處 ， 如 圖 (c)。在 此 過 程 中 ， 只 有 重 力 和 彈 性 力 做 功 ， 故 系 統(tǒng) 的 機械 能 守 恒 。 21221121 2121 gymkygymky (2)(1)由 圖 (b)得 gmyyk 121 2)( 2111 kygmgmky gmkyF 11 把 (2)和 (3)代 入 (1)， 得 gmgmkygmF 2121 gmmF )( 21【 問 題 延 伸 】 本 題 如 果 把 和 彈 簧 組

43、成 系 統(tǒng) ，把 地 球 排 除 在 外 ， 還 能 應(yīng) 用 機 械 能 守 恒 嗎 ？由 圖 (c)可 知 ， 欲 使 跳離 地 面 ， 必 須 滿 足 gmky 22 (3) 例 2.9.3 一 輕 彈 簧 ,其 一 端 系在 鉛 直 放 置 的 圓 環(huán) 的 頂 點 P，另 一 端 系 一 質(zhì) 量 為 m 的 小 球 ,小 球 穿 過 圓 環(huán) 并 在 環(huán) 上 運 動( =0)。 開 始 球 靜 止 于 點 A，彈 簧 處 于 自 然 狀 態(tài) ， 其 長 為 環(huán)半 徑 R; 30oPB R A當(dāng) 球 運 動 到 環(huán) 的 底 端 點 B 時 ， 球 對 環(huán) 沒 有 壓 力 求彈 簧 的 勁 度

44、 系 數(shù) 解 以 彈 簧 、 小 球 和 地 球為 一 系 統(tǒng)BA 只 有 保 守 內(nèi) 力 做 功系 統(tǒng) AB EE )30sin2(2121 o22 mgRkRm Bv RmmgkR B2v Rmgk 2取 點 B為 重 力 勢 能 零 點 0pE30o PB R A 德 國 物 理 學(xué) 家 和 生 理學(xué) 家 。 于 1874年 發(fā) 表 了 論 力 (現(xiàn) 稱 能 量 )守 恒 的 演 講 ， 首 先 系 統(tǒng) 地 以 數(shù)學(xué) 方 式 闡 述 了 自 然 界 各 種運 動 形 式 之 間 都 遵 守 能 量守 恒 這 條 規(guī) 律 。 是 能 量 守恒 定 律 的 創(chuàng) 立 者 之 一 。亥 姆 霍

45、茲 (1821 1894) 能 量 守 恒 定 律 ： 對 一 個 與 自 然 界 無 任 何 聯(lián) 系 的系 統(tǒng) 來 說 ,系 統(tǒng) 內(nèi) 各 種 形 式 的 能 量 可 以 相 互 轉(zhuǎn) 換 ， 但是 不 論 如 何 轉(zhuǎn) 換 ， 能 量 既 不 能 產(chǎn) 生 ， 也 不 能 消 滅 。 （ 1） 生 產(chǎn) 實 踐 和 科 學(xué) 實 驗 的 經(jīng) 驗 總 結(jié) ； （ 2） 能 量 是 系 統(tǒng) 狀 態(tài) 的 函 數(shù) ； （ 3） 系 統(tǒng) 能 量 不 變 ， 但 各 種 能 量 形 式 可 以 互 相轉(zhuǎn) 化 ； （ 4） 能 量 的 變 化 常 用 功 來 量 度 。 力 的 累 積 效 應(yīng) EWF pIF ，

46、對 時 間 積 累對 空 間 積 累動 量 、 沖 量 、 動 量 定 理 、 動 量 守 恒動 能 、 功 、 動 能 定 理 、 機 械 能 守 恒第 三 節(jié) 動 量 和 沖 量 動 量 守 恒 定 律 一 、 沖 量 質(zhì) 點 的 動 量 定 理1.動 量 v mp )( ddd v mptF tmtpF d(ddd )v 1212 21 d vv mmpptFtt 2.沖 量 （ 矢 量 ） 21 dtt tFI 做 一 做 試 推 導(dǎo) 沖 量 與 動 量 的 單 位 是 相 同 的 。 1221 d vv mmtFI tt tmtpF d(ddd )v 在 給 定 的 時 間 間 隔

47、內(nèi) ， 外 力 作 用 在 質(zhì) 點 上 的 沖量 ， 等 于 質(zhì) 點 在 此 時 間 內(nèi) 動 量 的 增 量 。 動 量 定 理3.動 量 定 理 （ 1） 分 量表 示 yytt yy mmtFI 1221 d vv zztt zz mmtFI 1221 d vv xxtt xx mmtFI 1221 d vv 注 意（ 2） 沖 量 的 方 向 并 不 是 與 動 量 的 方 向 相 同 ， 而是 與 動 量 增 量 的 方 向 相 同 。 （ 3） 動 量 定 理 說 明 質(zhì) 點 動 量 的 改 變 是 由 外 力 和 外力 作 用 時 間 兩 個 因 素 ， 即 沖 量 決 定 的 。

48、 注 意（ 4） 對 于 不 同 的 慣 性 系 ， 同 一 質(zhì) 點 的 動 量不 同 ， 但 是 動 量 的 增 量 總 是 相 同 的 。 而 且力 F與 時 間 t都 與 參 考 系 無 關(guān) ， 所 以 在 不同 的 慣 性 系 中 同 一 力 的 沖 量 相 同 。 由 此 可知 動 量 定 理 適 用 于 所 有 慣 性 系 。 而 在 非 慣性 系 中 只 有 添 加 了 慣 性 力 的 沖 量 之 后 動 量定 理 才 成 立 。 例 2.10 一 質(zhì) 量 m=0.2kg， 速 度 為 v=6m/s的 彈 性 小球 與 墻 壁 碰 撞 后 跳 回 ， 設(shè) 跳 回 時 速 度 的

49、大 小 不 變 ，碰 撞 前 后 的 方 向 與 墻 壁 的 法 線 的 夾 角 都 是 =600，碰 撞 的 時 間 為 t=0.03s。 求 在 碰 撞 時 間 內(nèi) ， 球 對墻 壁 的 平 均 作 用 力 ?！?知 識 點 和 思 路 】 本 題 知 識 點 是 考 察 動 量 定 理的 應(yīng) 用 。 注 意 在 碰 撞 前 后 動 量 方 向 的 變 化 。解 ： 以 球 為 研 究 對 象 ， 設(shè) 墻 壁 對 球 的 作 用 力為 ， 球 在 碰 撞 過 程 前 后 的 速 度 為 和 ，由 動 量 定 理 得 1v 2vF 12 vmvmtF 建 立 如 圖 所 示 的 坐標(biāo) 系 ，

50、 則 上 式 寫 成標(biāo) 量 形 式 為 xxx mvmvtF 12 yyy mvmvtF 12 cos2)cos(cos mvmvmvtFx 即 0sinsin mvmvtFy tmvF x /cos2 因 而 0yF NFx 4003.0/60cos62.02 0 根 據(jù) 牛 頓 第 三 定 律 ， 球 對 墻 壁 的 作 用力 為 40N， 方 向 向 左 ?！?問 題 延 伸 】 分 析 沖 力 的 方 向 和 小 球 受 力 的 方 向 。 質(zhì) 點 系4.質(zhì) 點 系 的 動 量 定 理 1m 2m12F 21F1F 2F 20222212 d)(21 vv mmtFFtt 101111

51、21 d)(21 vv mmtFFtt 對 兩 質(zhì) 點 分 別 應(yīng) 用 質(zhì) 點動 量 定 理 ：問 題 二 一 對 內(nèi) 力 的 沖 量 和 與它 們 做 功 之 和 對 系 統(tǒng)的 影 響 有 什 么 不 同 ？ )()(d)( 20210122112121 vvvv mmmmtFFtt 因 內(nèi) 力 02112 FF 故 將 兩 式 相 加 后 得 ：20222212 d)(21 vv mmtFFtt 10111121 d)(21 vv mmtFFtt ni iiini itt mmtF 1 01ex21 d vv 作 用 于 系 統(tǒng) 的 合 外 力 的 沖 量 等 于 系 統(tǒng) 動 量 的增 量

52、 質(zhì) 點 系 動 量 定 理 N21ex FFFF 01 01ex21 d ppmmtF ni iiini itt vv 0ppI 下 列 各 物 理 量 中 ， 與 參 照 系 有 關(guān) 的 物 理 量是 哪 些 ？ （ 不 考 慮 相 對 論 效 應(yīng) 。 ） (1) 質(zhì) 量 (2)動 量 (3) 沖 量 (4) 動 能 (5)勢 能 (6)功答 動 量 、 動 能 、 功 。討 論 （ 1） 區(qū) 分 外 力 和 內(nèi) 力（ 2） 內(nèi) 力 僅 能 改 變 系 統(tǒng) 內(nèi) 某 個 物 體 的動 量 ， 但 不 能 改 變 系 統(tǒng) 的 總 動 量 。注 意 （ 3） F 為 恒 力 tFI （ 4） F

53、 為 變 力 )(d 1221 ttFtFI tt F tt1 t2OF t 1 t2 tFO 注 意 1vm 2vmvm12 1212 21 d tt mmtt tFF tt vv 動 量 定 理 常 應(yīng) 用 于 碰 撞 問 題 F 越 小 ， 則 越 大t F在 一 定 時p注 意 例 2.11 一 柔 軟 鏈 條 長 為 l， 單 位 長 度 的質(zhì) 量 為 ， 鏈 條 放 在 有 一 小 孔 的 桌 上 ，鏈 條 一 端 由 小 孔 稍 伸 下 ， 其 余 部 分 堆在 小 孔 周 圍 。 由 于 某 種 擾 動 ,鏈 條 因 自身 重 量 開 始 下 落 。 m1 m2 Oy y求 鏈

54、 條 下 落 速 度 v與 y之 間 的 關(guān) 系 。 設(shè)各 處 摩 擦 均 不 計 ， 且 認(rèn) 為 鏈 條 軟 得 可以 自 由 伸 開 。【 知 識 點 和 思 路 】 本 題 知 識 點 是 考 察 動 量 定 理 的 應(yīng) 用 。 以 下 落部 分 的 鏈 條 為 研 究 對 象 ， 分 析 其 所 受 合 外 力 及 動 量 變 化 即 可 。 解 以 豎 直 懸 掛 的 鏈 條 和 桌 面 上的 鏈 條 為 一 系 統(tǒng) ， 建 立 坐 標(biāo) 系由 質(zhì) 點 系 動 量 定 理 得 ptF ddex yggmF 1ex則 )d(d vytyg tdd vyyg m1 m2 Oy y)d()(

55、dd vv yyp 因 為 tdd vyyg 兩 邊 同 乘 以 則 yyd vvv yyyyyygy ddddd2 t v vvyy yyyyg 00 2 dd 21 32 gyv 23 2131 vygy m1 m2 Oy y 動 量 守 恒想 一 想 你 能 從 動 量 定 理 指 出 動 量 守 恒 的 條 件 嗎 ？ i ii itt i i pptFI 0ex 0 d 質(zhì) 點 系 動 量 定 理 若 質(zhì) 點 系 所 受 的 合 外 力 0exex i iFF CpFtpF ,0,dd exex 動 量 守 恒 定 律則 系 統(tǒng) 的 總 動 量 不 變 (1) 系 統(tǒng) 的 總 動 量

56、 不 變 ， 但 系 統(tǒng) 內(nèi) 任 一 質(zhì) 點的 動 量 是 可 以 變 化 的 。 (2) 守 恒 條 件 ： 合 外 力 為 零 。 0exex i iFF 當(dāng) 時 ， 可 近 似 地 認(rèn) 為 系 統(tǒng) 總 動 量 守 恒 。inex FF 注 意 (3)若 ， 但 滿 足0exex i iFF 0 ex xFxi ix Cmp ixv有 xixi ixx CmpF v,0ex(4) 動 量 守 恒 定 律 是 物 理 學(xué) 最 普 遍 、 最 基 本 的定 律 之 一 。 yiy i iyy CmpF v,0ex zizi izz CmpF v,0ex 例 1 設(shè) 有 一 靜 止 的 原 子

57、核 ， 衰變 輻 射 出 一 個 電 子 和 一 個 中 微 子后 成 為 一 個 新 的 原 子 核 。 已 知 電子 和 中 微 子 的 運 動 方 向 互 相 垂 直 ，且電 子 動 量 為 1.210-22 kg m s-1， 中 微 子 的 動 量為 6.410-23 kg m s-1 問 新 的 原 子 核 的 動 量 的值 和 方 向 如 何 ？ ep Npp(中 微 子 )(電 子 ) 解 0Ne ppp 122e smkg102.1 p 123 smkg104.6 p pp e )( 2122eN ppp 122 smkg1036.1 oe 9.61arctan pp圖 中

58、ooo 1.1189.61180 或 ep Npp(中 微 子 )(電 子 ) xz yo xz ys sov v1m2m例 2 一 枚 返 回 式 火 箭 以 2.5103 m s-1 的 速 率 相對 慣 性 系 S沿 水 平 方 向 飛 行 。 空 氣 阻 力 不 計 現(xiàn) 使火 箭 分 離 為 兩 部 分 ,前 方 的 儀 器 艙 質(zhì) 量 為 100 kg，后 方 的 火 箭 容 器 質(zhì) 量 為 200 kg， 儀 器 艙 相 對 火 箭 容器 的 水 平 速 率 為 1.0103 m s-1。求 儀 器 艙 和 火 箭容 器 相 對 慣 性 系的 速 度 。 已 知 13 sm1052

59、 .v 13 sm1001 .v求 ,1v 2v kg2002 mkg1001 m xz yo xz ys sov v1m2m 解 vvv 21 221121 )( vvv mmmm 131 sm10173 .v 13 sm10172 .mm m vvv 21 12 xz yo xz ys sov v 1m2m CpFF i i inex一 般 情 況 碰 撞1 完 全 彈 性 碰 撞系 統(tǒng) 內(nèi) 動 量 和 機 械 能 均 守 恒2 非 彈 性 碰 撞系 統(tǒng) 內(nèi) 動 量 守 恒 ， 機 械 能 不 守 恒3 完 全 非 彈 性 碰 撞系 統(tǒng) 內(nèi) 動 量 守 恒 ， 機 械 能 不 守 恒 完

60、全 彈 性 碰 撞（ 五 個 小 球 質(zhì) 量 全 同 ） 兩 個 質(zhì) 子 發(fā) 生 二 維 的 完 全 彈 性 碰 撞 例 1 宇 宙 中 有 密 度 為 的 塵 埃 ， 這 些 塵 埃 相 對慣 性 參 考 系 靜 止 。 有 一 質(zhì) 量 為 的 宇 宙 飛 船 以 初速 穿 過 宇 宙 塵 埃 ， 由 于塵 埃 粘 貼 到 飛 船 上 ， 使 飛 船的 速 度 發(fā) 生 改 變 。 求 飛船 的 速 度 與 其 在 塵 埃 中 飛 行時 間 的 關(guān) 系 。 (設(shè) 想 飛 船 的外 形 是 面 積 為 S 的 圓 柱 體 ）0v 0m vm 解 塵 埃 與 飛 船 作 完 全 非 彈 性 碰 撞

61、vv mm 00 vv v d2 00m tSm dd v t tm S 0003 dd0 vvvvv 02100 0 )2( vvv mtS m vm 例 2 設(shè) 有 兩 個 質(zhì) 量 分 別為 和 ， 速 度 分 別 為 和 的 彈 性 小 球 作 對 心 碰 撞 ，兩 球 的 速 度 方 向 相 同 。 若 碰 撞是 完 全 彈 性 的 ， 求 碰 撞 后 的 速度 和 。20v 2m1m 10v 1v 2v 1v 2vA1m 2m10v 20vBA B 碰 前碰 后 解 取 速 度 方 向 為 正 向 , 由 機 械 能 守 恒 定 律 得 22221122022101 21212121

62、 vvvv mmmm )()( 220222212101 vvvv mm 2211202101 vvvv mmmm 由 動 量 守 恒 定 律 得 1v 2vA1m 2m10v 20vBA B 碰 前碰 后(2)()( 20221101 vvvv mm (1) 21 20210211 2)( mm mmm vvv 21 10120122 2)( mm mmm vvv 由 （ 1） 、 （ 2） 可 解 得 ：202110 vvvv 122010 vvvv (3)由 （ 1） 、 （ 3） 可 解 得 ： 1v 2vA1 m 2m10v 20vBA B碰 前碰 后 （ 1） 若 21 mm 則

63、102201 vvvv ，則 0 2101 vvv ，討 論 12 mm （ 3） 若 ,且 0 20v 102101 2 vvvv ，則（ 2） 若 0 20v12 mm ,且 1v 2vA1m 2m10v 20vBA B碰 前碰 后 三 、 火 箭 運 動 的 微 分 方 程1.火 箭 運 動 方 程 假 設(shè) 在 t時 刻 ， 火 箭 燃 料 系 統(tǒng) （ 簡 稱 系 統(tǒng) ）的 質(zhì) 量 為 M， 它 相 對 于 某 一 選 定 的 慣 性 參 考 系（ 如 地 球 ） 的 速 度 為 v， 在 tt+t時 間 間 隔 內(nèi) ，有 質(zhì) 量 為 m 的 燃 料 變 為 氣 體 ， 并 以 速 度

64、u相 對 火箭 噴 射 出 去 。 在 時 刻 t+t火 箭 相 對 選 定 的 慣 性 參考 系 的 速 度 為 ， 而 燃 燒 氣 體 粒 子 相 對 選 定 的 慣 性參 考 系 的 速 度 則 為 v +v+u。 muvMtpttpp 時 刻 t,系 統(tǒng) 的 動 量 為 vMtp 在 時 刻 t+t,系 統(tǒng) 的 動 量 為 uvvmvvmMttp 系 統(tǒng) 動 量 的 增 量 為 dtdMudtvdMdtpdF dtdMuFdtvdM 火 箭 方 程 例 2.12水 平 光 滑 鐵 軌 上 有 一 車 ，長 度 為 l， 質(zhì) 量 為 m2， 車 的 一端 有 一 人 （ 包 括 所 騎

65、自 行 車 ） ，質(zhì) 量 為 m1， 人 和 車 原 來 都 靜止 不 動 。 當(dāng) 人 從 車 的 一 端 走 到另 一 端 時 ， 人 、 車 各 移 動 了 多少 距 離 ？【 知 識 點 和 思 路 】 本 題 知 識 點 是 考 察 動 量 守 恒 。以 人 和 車 為 系 統(tǒng) ， 在 水 平 方 向 上 不 受 外 力 作 用 ，故 動 量 守 恒 。 解 ： m1v1-m2v2=0 或 v2=m1v1/m2人 相 對 于 車 的 速 度 u=v1+v2=(m1+m2)v1/m2設(shè) 人 在 時 間 t內(nèi) 從 車 的 一 端 走 到 另 一 端 ， 則 有 ttt dtvm mmdtv

66、m mmudtl 0 12 210 12 210在 這 段 時 間 內(nèi) 人 相 對于 地 面 的 位 移 為 lmm mdtvx t 21 20 11 小 車 相 對 于 地 面 的 位 移 為 lmm mxlx 21 112 【 問 題 延 伸 】 本 題 如 果 改 成 人 在 車 上 繞 了 一圈 又 回 到 原 處 ， 會 是 什 么 結(jié) 果 ？ 例 2.13 一 長 為 l， 密 度 均 勻 的 柔 軟 鏈 條 ，其 單 位 長 度 的 密 度 為 。 將 其 卷 成 一 堆放 在 地 面 上 。 若 手 握 鏈 條 的 一 端 ， 以 勻速 v將 其 上 提 。 當(dāng) 繩 端 提 離 地 面 的 高 度為 x時 ， 求 手 的 提 力 。 【 知 識 點 和 思 路 】 本 題 知 識 點 是 考 察 動 量 定 理 ，是 以 動 量 定 理 微 分 形 式 表 示 牛 頓 第 二 定 律 。 手的 提 力 是 被 提 起 鏈 條 的 重 力 與 其 動 量 變 化 率 之和 。 解 ： 取 地 面 為 慣 性 參 考 系 ， 地 面 上 一 點 為 坐 標(biāo) 原 點O， 豎