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1、組 合 問 題 有 5本 不 同 的 書 ：（ 1） 取 出 3本 分 給 甲 、 乙 、 丙 三人 每 人 1本 ， 有 幾 種 不 同 的 分 法 ？（ 2） 取 出 4本 給 甲 ， 有 幾 種 不 同的 取 法 ？ 問 題 （ 1） 中 ， 書 是 互 不 相 同 的 ， 人 也互 不 相 同 ， 所 以 是 排 列 問 題 問 題 （ 2） 中 ， 書 不 相 同 ， 但 甲 所 有的 書 只 有 數(shù) 量 的 要 求 而 無 “ 順 序 ” 的 要 求 ，因 而 問 題 （ 2） 不 是 排 列 問 題 復 習問 題 1： 什 么 叫 做 排 列 ？排 列 的 特 征 是 什 么 ？
2、問 題 2： 什 么 叫 做 排 列數(shù) ？ 它 的 計 算 公 式 是 怎樣 的 ？ 引 例引 例 1： 從 甲 、 乙 、 丙 3名 同 學 中 選出 2名 去 參 加 一 項 活 動 ， 有 多 少 種不 同 的 選 法 ？ 從 3名 同 學 中 選 出 2名 ， 不 同 的 選 法 有3種 ： 甲 、 乙 乙 、 丙 丙 、 甲 所 選 出 的 2名 同 學 之 間 并 無 順序 關 系 ， 甲 、 乙 和 乙 、 甲 是 同 一種 選 法 引 例CBA 、引 例 2： 從 不 在 同 一 條 直線 上 的 三 點 A,B,C中 ， 每 次取 出 兩 個 點 作 一 條 直 線 ， 問可
3、 以 得 到 幾 條 不 同 的 直 線 ？根 據(jù) 直 線 的 性 質 ， 過 任 意 兩 點 可 以 作 一 條直 線 ， 并 且 只 能 作 一 條 直 線 ， 所 以 過 兩 點只 能 連 成 一 條 直 線 ， 因 此 可 以 得 到 三 條 直 線： AB、 AC、 BC， 直 線 AB與 直 線 BA是 一 條直 線 ， 這 也 就 是 說 ， “ 把 兩 點 連 成 直 線 ” 時 ，不 考 慮 點 的 順 序 引 例 3 1. 北京、上海、廣州三個民航站之間的直達航線，需要準備多少種不同的飛機票？ 2. 北京、上海、廣州三個民航站之間的直達航線，有多少種不同的飛機票價？ 引 例
4、 總 結 以 上 兩 個 引 例 所 研 究 的 問題 是 不 同 的 ， 但 是 它 們 有 數(shù) 量 上的 共 同 點 ， 即 它 們 的 實 質 都 是 ： 從 3個 不 同 的 元 素 里 每次 取 出 2個 元 素 ， 不 管 怎 樣的 順 序 并 成 一 組 ， 一 共 有 多少 不 同 的 組 ？ 組 合 定 義 排 列 與 元 素 的 順 序 有關 ， 而 組 合 與 元 素 的 順 序無 關 ， 這 是 它 的 n mnm 一 般 地 ， 從 個 不 同 元 素 中 取 出 （ ） 個 元 素 并 成 一 組 ， 叫 做 從 個 不 同 元 素 中 取 出 個 元 素 的 一
5、個 nm 思 考 :排 列 與 組 合 的 概 念 ， 它 們有 什 么 共 同 點 、 不 同 點 ？ 共 同 點 :都 要 “ 從 n個 不 同 元 素 中 任 取 m個 元 素 ” 不 同 點 :對 于 所 取 出 的 元 素 ，排 列 要 “ 按 照 一 定 的 順 序 排 成 一 列 ” ，而 組 合 卻 是 “ 不 管 怎 樣 的 順 序 并 成 一 組 ” 想一想什么是兩個相同的排列？什么是兩個相同的組合？ 如 果 兩 個 組 合 中 的 元 素 完 全 相 同 ，那 么 不 管 它 們 順 序 如 何 ， 都 是 當 兩 個 組 合 中 的 元 素 不 完 全相 同 時 （ 即
6、 使 只 有 一 個 元 素 不同 ） ， 就 是 判 斷 下 列 問 題 是 組 合 問 題 還 是 排 列 問 題 ? (1)設 集 合 A=a,b,c,d,e， 則 集 合 A的 含 有3個 元 素 的 子 集 有 多 少 個 ?(2)某 鐵 路 線 上 有 5個 車 站 ， 則 這 條 鐵 路 線 上共 需 準 備 多 少 種 車 票 ? 有 多 少 種 不 同 的 火 車 票 價 ？ 組 合 問 題排 列 問 題(3)10名 同 學 分 成 人 數(shù) 相 同 的 數(shù) 學 和英 語 兩 個 學 習 小 組 ， 共 有 多 少 種 分 法 ?組 合 問 題(4)10人 聚 會 ， 見 面
7、后 每 兩 人 之 間 要握 手 相 互 問 候 ， 共 需 握 手 多 少 次 ? 組 合 問 題(5)從 4個 風 景 點 中 選 出 2個 安 排 游 覽 ,有 多 少 種 不 同 的 方 法 ? 組 合 問 題(6)從 4個 風 景 點 中 選 出 2個 ,并 確 定 這 2個 風 景點 的 游 覽 順 序 ,有 多 少 種 不 同 的 方 法 ? 排 列 問 題組 合 問 題 組 合 數(shù)n m nm 從 個 不 同 元 素 中 取 出 （ ）個 元 素 的 所 有 組 合 的 個 數(shù) ， 叫 做 從 個不 同 元 素 中 取 出 個 元 素 的 nm記 作 ： mnC 是 一 個 數(shù)
8、 ， 應 該 把 它 與 “ 組 合 ”區(qū) 別 開 來 mnC 如 :從 a , b , c三 個 不 同 的 元 素 中 取 出 兩 個元 素 的 所 有 組 合 分 別 是 :ab , ac , bc 如 :已 知 4個 元 素 a , b , c , d ,寫 出 每 次取 出 兩 個 元 素 的 所 有 組 合 .ab c d b c d cd ab , ac , ad , bc , bd , cd (3個 )6個 練習: 中 國 、 美 國 、 古 巴 、 俄 羅 斯 四 國 女 排邀 請 賽 ， 通 過 單 循 環(huán) 決 出 冠 亞 軍 （ 1） 列 出 所 有 各 場 比 賽 的
9、雙 方 ；（ 2） 列 出 所 有 冠 亞 軍 的 可 能 情 況。（ 1） 中 國 美 國 中 國 古 巴 中 國 俄 羅 斯 美 國 古 巴 美 國 俄 羅 斯 古 巴 俄 羅 斯 （2）冠軍 中 中 中 美 美 美 古 古 古 俄 俄 俄亞軍 美 古 俄 中 古 俄 中 美 俄 中 美 古 組合排列abcabdacdbcd abc bac cabacb bca cbaabd bad dabadb bda dbaacd cad dacadc cda dcabcd cbd dbcbdc cdb dcb我 們 怎 么 去 求 組 合 數(shù) 呢 ？從 4個 不 同 元 素 a、 b、 c、 d中
10、取 出 3個 元 素 的 組 合 數(shù) 是 多 少 ？ 可分兩步考慮：求P34 PPC 333434 34A求 可 分 兩 步 考 慮 ：34 4C 第 一 步 ， （ ） 個 ； 33 6A 第 二 步 ， （ ） 個 ； 33 3 .4 34 CA A根 據(jù) 分 步 計 數(shù) 原 理 ，33 4 34 3AC A從 而 組 合 數(shù) 公 式 排 列 與 組 合 是 有 區(qū) 別 的 ， 但 它 們 又 有 聯(lián) 系 根 據(jù) 分 步 計 數(shù) 原 理 ， 得 到 ：因 此 ： 一 般 地 ， 求 從 個 不 同 元 素 中 取 出 個 元 素 的 排列 數(shù) ， 可 以 分 為 以 下 2步 ： n m 第 1步 ， 先 求 出 從 這 個 不 同 元 素 中 取 出 個 元 素的 組 合 數(shù) m nC n m第 2步 ， 求 每 一 個 組 合 中 個 元 素 的 全 排 列 數(shù) mnAm mmmnmn ACA ! 121 m mnnnnAAC mmmnmn 這 里 ， 且 ， 這 個 公 式 叫 做 *Nnm 、 nm 組 合 數(shù) 公 式 : ( 1)( 2) ( 1)!mm nn mmA n n n n mC A m 從 n 個不同元中取出m個元素的排列數(shù) mm mn mnCA A !( )! mn nC m n m
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