用迭代法求代數(shù)方程的近似根

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1、1用 迭 代 法求 代 數(shù) 方 程 的 近 似 根 2 l 解 方 程 （ 代 數(shù) 方 程 ） 是 最 常 見 的 數(shù) 學 問 題 之 一 ， 也 是眾 多 應 用 領 域 中 不 可 避 免 的 問 題 之 一l 目 前 還 沒 有 一 般 的 解 析 方 法 來 求 解 非 線 性 方 程 ， 但 如果 在 任 意 給 定 的 精 度 下 ， 能 夠 解 出 方 程 的 近 似 解 ， 則 可以 認 為 求 解 問 題 已 基 本 解 決 ， 至 少 可 以 滿 足 實 際 需 要l 本 實 驗 主 要 介 紹 一 些 有 效 的 求 解 方 程 的 數(shù) 值 方 法 ： 不動 點 迭 代

2、法 和 牛 頓 法 。 同 時 要 求 大 家 學 會 如 何 利 用 Matlab 來 求 方 程 的 近 似 解l 問 題 背 景 和 實 驗 目 的代數(shù)方程近似求解(教材第 92-94頁) 3 相關概念( ) 0f x l 若 f(x) 是 一 次 多 項 式 ， 稱 上 面 的 方 程 為 線 性 方 程 ； 否則 稱 之 為 非 線 性 方 程l 線 性 方 程 與 非 線 性 方 程本 實 驗 主 要 討 論 非 線 性 方 程 的 數(shù) 值 求 解 4 內(nèi)容提要n 求 解 非 線 性 方 程 的 數(shù) 值 算 法l 牛 頓 迭 代 法l 不 動 點 迭 代 法 5 不動點迭代法l 構(gòu)

3、 造 f (x) = 0 的 一 個 等 價 方 程 ： ( )x xl 從 某 個 近 似 根 x0 出 發(fā) ， 計 算得 到 一 個 迭 代 序 列 0k kx 1 ( )k kx x k = 0, 1, 2, . . (x) 的 不 動 點f (x) = 0 x = (x)等 價 變 換f (x) 的 零 點 l 不 動 點 迭 代 基 本 思 想 6 若 收 斂 ， 即 ， 假 設 (x) 連 續(xù) ， 則l 收 斂 性 分 析迭代法的收斂 1lim lim ( ) limk k kk k kx x x lim *kk x x *x ( *)x kx * ( *)x x ( *) 0f

4、x 即 注 ： 若 得 到 的 點 列 發(fā) 散 ， 則 迭 代 法 失 效 ！例 ： 用 迭 代 法 求 x 3 - 3x + 1 = 0 在 0, 1 中 的 解 。fuluA.m 7 q 定 義 ：迭代法收斂性判斷q 定 理 2： 如 果 定 理 1 的 條 件 成 立 ， 則 有 如 下 估 計 1 0| *| | |1 kk qx x x xq 11| *| | |1k k kx x x xq 如 果 存 在 x* 的 某 個 鄰 域 =(x*- , x* + ), 使得 對 x0 開 始 的 迭 代 xk+1 = (xk) 都 收 斂 , 則 稱 該 迭 代 法 在 x* 附 近 局

5、 部 收 斂 。q 定 理 1： 設 x* =(x*)，(x) 在 x* 的 某 個 鄰 域 內(nèi)連 續(xù) ， 且 對 x 都 有 |(x)|q 1, 則 對 x0 ，由 迭 代 xk+1 = (xk) 得 到 的 點 列 收 斂 8 迭代法收斂性判斷 1 0| *| | |1 kk qx x x xq q 定 理 3： 已 知 方 程 x =(x)，且(1) 對 xa, b， 有 (x)a, b；(2) 對 xa, b， 有 |(x)|q 1；q 越 小 ， 迭 代 收 斂 越 快(x*) 越 小 ， 迭 代 收 斂 越 快則 對 x0a, b ，由 迭 代 xk+1 = (xk) 得 到 的

6、點 列 都收 斂 ， 且 9 牛頓迭代法 0 0 0( ) ( )( )f x f x x x 令 ： ( ) 0P x 00 0( )( )f xx x f x 0( ( ) 0)f x l 牛 頓 法 基 本 思 想 用 線 性 方 程 來 近 似 非 線 性 方 程 ， 即 采 用 線 性 化 方 法20 0 0 0( )( ) ( ) ( )( ) ( )2!ff x f x f x x x x x l 設 非 線 性 方 程 f (x)=0 , f (x) 在 x0 處 的 Taylor 展 開 為( )P x 10 牛頓法迭代公式l 牛 頓 迭 代 公 式 00 0( )( )f

7、xx x f x 1 ( )( )kk k kf xx x f x k = 0, 1, 2, . . l 牛 頓 法 的 收 斂 速 度( )( ) ( )f xx x f x 令 2( ) ( )( ) ( )f x f xx f x 牛 頓 法 至 少 二 階 局 部 收 斂當 f (x*) 0 時 (x*)=0(x) 即 為 牛 頓 法 的 迭 代 函 數(shù)例 ： 用 牛 頓 法 求 x3 - 3x + 1 = 0 在 0, 1 中 的 解 。fuluB.m 11 牛頓法迭代公式l 牛 頓 法 的 優(yōu) 點l 牛 頓 法 是 目 前 求 解 非 線 性 方 程 (組 ) 的 主 要 方 法至

8、 少 二 階 局 部 收 斂 ， 收 斂 速 度 較 快 ， 特 別 是 當 迭 代 點充 分 靠 近 精 確 解 時 。l 牛 頓 法 的 缺 點l 對 重 根 收 斂 速 度 較 慢 （ 線 性 收 斂 ）l 對 初 值 的 選 取 很 敏 感 ， 要 求 初 值 相 當 接 近 真 解在 實 際 計 算 中 ， 可 以 先 用 其 它 方 法 獲 得 真 解 的 一 個 粗 糙 近 似 ， 然 后 再 用 牛 頓 法 求 解 。 12 Matlab 解方程函數(shù)roots(p)： 多 項 式 的 所 有 零 點 ，p 是 多 項 式 系 數(shù) 向 量fzero(f,x0)： 求 f(x)=0

9、 在 x0 附 近 的 一 個 根 ，f 是 函數(shù) 句 柄 ， 可 以 通 過 內(nèi) 聯(lián) 函 數(shù) ， 匿 名 函 數(shù) 或 函 數(shù) 文 件 來 定 義 ，但 不 能 是 方 程 或 符 號 表 達 式 ！solve(f,v)：求 方 程 關 于 指 定 自 變 量 的 解 ，f 是 符 號 表 達式 或 符 號 方 程 ；l solve 也 可 解 方 程 組 (包 含 非 線 性 ) l 得 不 到 解 析 解 時 ， 給 出 數(shù) 值 解linsolve(A,b)： 解 線 性 方 程 組 13 上機作業(yè)與要求l 分 別 用 普 通 迭 代 法 、 牛 頓 法 ， 求 方 程的 正 的 近 似 根 （ 內(nèi) 容 參 見 教 材 第 92-94 頁 ）q 上 機 作 業(yè)q 上 機 要 求l將 所 編 寫 的 程 序 分 別 命 名 為 hw311.m, hw312.m0 5. sin( )x x