高考數(shù)學二輪專題復習與策略 第1部分 專題1 三角函數(shù)與平面向量 突破點2 解三角形專題限時集訓 理-人教版高三數(shù)學試題

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1、專題限時集訓(二)　解三角形 [建議A、B組各用時：45分鐘] [A組　高考達標] 一、選擇題 1．(2016·煙臺模擬)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若＝，則cos B＝(　　) A．－ B. C．－ D. B　[由正弦定理，得＝＝，即sin B＝cos B，∴tan B＝.又0

2、n A－sin Acos B＝0.∵sin A≠0，∴sin B－cos B＝0，∴tan B＝.又0＜B＜π，∴B＝. 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac，即b2＝(a＋c)2－3ac. 又b2＝ac，∴4b2＝(a＋c)2，解得＝2.故選C.] 3．(2016·臨沂模擬)在△ABC中，cos A＝，3sin B＝2sin C，且△ABC的面積為2，則邊BC的長度為(　　) A．2　　　 B．3　　　 C．2　　　 D. B　[由cos A＝得sin A＝，由S△ABC＝bcsin A＝2， 得bc＝6，又由3sin B＝2sin C，得3b＝2c

3、. 解方程組得 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝22＋32－2×6×＝9， ∴a＝3，即BC＝3.] 4．(2016·河北武邑中學期中)在△ABC中，c＝，b＝1，∠B＝，則△ABC的形狀為(　　) A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰三角形或直角三角形 D　[根據(jù)余弦定理有1＝a2＋3－3a，解得a＝1或a＝2，當a＝1時，三角形ABC為等腰三角形，當a＝2時，三角形ABC為直角三角形，故選D.] 5．(2016·?？谡{研)如圖2-2，在△ABC中，C＝，BC＝4，點D在邊AC上，AD＝DB，DE⊥AB，E為垂足．若DE＝2，則co

4、s A＝(　　) 圖2-2 A.　　　　　　 B. C. D. C　[∵DE＝2，∴BD＝AD＝＝.∵∠BDC＝2∠A，在△BCD中，由正弦定理得＝，∴＝×＝，∴cos A＝，故選C.] 二、填空題 6．(2016·石家莊一模)已知△ABC中，AC＝4，BC＝2，∠BAC＝60°，AD⊥BC于點D，則的值為__________. 【導學號：67722015】 6　[在△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos∠BAC，即28＝16＋AB2－4AB，解得AB＝6或AB＝－2(舍)，則cos ∠ABC＝＝，BD＝AB·cos∠ABC＝6×＝，CD＝BC－

5、BD＝2－＝，所以＝6.] 7．(2016·湖北七州聯(lián)考)如圖2-3，為了估測某塔的高度，在同一水平面的A，B兩點處進行測量，在點A處測得塔頂C在西偏北20°的方向上，仰角為60°；在點B處測得塔頂C在東偏北40°的方向上，仰角為30°.若A，B兩點相距130 m，則塔的高度CD＝__________m. 圖2-3 10　[分析題意可知，設CD＝h，則AD＝，BD＝h，在△ADB中，∠ADB＝180°－20°－40°＝120°，由余弦定理AB2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos 120°，可得1302＝3h2＋－2·h··，解得h＝10，故塔的高度為10 m．] 8．(2016

6、·合肥二模)如圖2-4，△ABC中，AB＝4，BC＝2，∠ABC＝∠D＝60°，若△ADC是銳角三角形，則DA＋DC的取值范圍是__________． 圖2-4 (6,4]　[在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC＝12，即AC＝2.設∠ACD＝θ(30°<θ<90°)，則在△ADC中，由正弦定理得＝＝，則DA＋DC＝4[sin θ＋sin(120°－θ)]＝4＝4sin(θ＋30°)，而60°<θ＋30°<120°，4sin 60°

7、角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，b≠c，且sin2C－sin2B＝sin Bcos B－sin Ccos C. (1)求角A的大??； (2)若a＝，sin C＝，求△ABC的面積． [解]　(1)由題意得－＝sin 2B－sin 2C，2分 整理得sin 2B－cos 2B＝sin 2C－cos 2C， 即sin＝sin，4分 由b≠c，得B≠C，又B＋C∈(0，π)，得2B－＋2C－＝π， 即B＋C＝π，所以A＝.6分 (2)因為a＝，sin C＝，由正弦定理＝，得c＝. 由c＜a，得C＜A，從而cos C＝，8分 故sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos

8、C＋cos Asin C ＝×＋×＝，10分 所以△ABC的面積為S＝acsin B＝×××＝(＋).12分 10．(2016·東北三省四市聯(lián)考)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知＝. (1)求的值； (2)若角A是鈍角，且c＝3，求b的取值范圍． [解]　(1)由題意及正弦定理得sin Ccos B－2sin Ccos A＝2sin Acos C－sin Bcos C，1分 ∴sin Ccos B＋sin Bcos C＝2(sin Ccos A＋sin A cos C)， ∴sin(B＋C)＝2sin(A＋C).3分 ∵A＋B＋C＝π，4分 ∴sin

9、A＝2sin B，∴＝2.5分 (2)由余弦定理得cos A＝＝＝<0， ∴b>.①8分 ∵b＋c>a，即b＋3>2b，∴b<3，②10分 由①②得b的取值范圍是(，3).12分 [B組　名校沖刺] 一、選擇題 1．(2016·濰坊模擬)已知△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，且acos B＋bcos A＝3ccos C，則cos C的值為(　　) A.　　 　 B.　　 　 C.　　 　 D. B　[由acos B＋bcos A＝3ccos C得sin Acos B＋cos Asin B＝3sin Ccos C， 即sin(A＋B)＝3sin Ccos C

10、，即sin C＝3sin Ccos C， 所以cos C＝.] 2．(2016·全國丙卷)在△ABC中，B＝，BC邊上的高等于BC，則cos A＝ (　　) A. B. C．－ D．－ C　[法一：設△ABC中角A，B，C所對的邊分別為a，b，c， 則由題意得S△ABC＝a·a＝acsin B，∴c＝a. 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋a2－2×a×a×＝a2，∴b＝a. ∴cos A＝＝＝－.故選C. 法二：同法一得c＝a. 由正弦定理得sin C＝sin A, 又B＝，∴sin C＝sin＝sin A，即cos A＋sin A＝sin A，∴t

11、an A＝－3，∴A為鈍角． 又∵1＋tan2A＝，∴cos2A＝， ∴cos A＝－.故選C.] 3．設△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若三邊的長為連續(xù)的三個正整數(shù)，且A>B>C,3b＝20acos A，則sin A∶sin B∶sin C＝(　　) A．4∶3∶2 B．5∶6∶7 C．5∶4∶3 D．6∶5∶4 D　[∵A>B>C，∴a>b>c. 又∵a，b，c為連續(xù)的三個正整數(shù)， ∴設a＝n＋1，b＝n，c＝n－1(n≥2，n∈N*)． ∵3b＝20acos A，∴＝cos A， ∴＝， ＝， 即＝， 化簡得7n2－27n－40＝0，(n－5)

12、(7n＋8)＝0， ∴n＝5. 又∵＝＝， ∴sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝6∶5∶4. 故選D.] 4．在△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且滿足csin A＝acos C，則sin A＋sin B的最大值是(　　) A．1 B. C．3 D. D　[∵csin A＝acos C，∴sin Csin A＝sin Acos C. ∵sin A≠0，∴tan C＝， ∵0＜C＜π，∴C＝， ∴sin A＋sin B＝sin A＋sin＝sin A＋cos A＝sin. ∵0＜A＜，∴＜A＋＜， ∴＜sin≤， ∴sin A＋sin

13、B的最大值為.故選D.] 二、填空題 5．(2016·忻州聯(lián)考)已知在△ABC中，B＝2A，∠ACB的平分線CD把三角形分成面積比為4∶3的兩部分，則cos A＝__________. 　[由題意可知S△ACD∶S△BCD＝4∶3， ∴AD∶DB＝4∶3，AC∶BC＝4∶3，在△ABC中，由正弦定理得 sin B＝sin A， 又B＝2A，∴sin 2A＝sin A，∴cos A＝.] 6．(2016·太原二模)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若∠B＝∠C，且7a2＋b2＋c2＝4，則△ABC面積的最大值為__________. 【導學號：67722016】

14、 　[法一：由∠B＝∠C得b＝c，代入7a2＋b2＋c2＝4，得7a2＋2b2＝4，則2b2＝4－7a2，由余弦定理得cos C＝＝，所以sin C＝＝＝，則△ABC的面積為S＝absin C＝ab×＝＝≤×＝×4＝，當且僅當a2＝時取等號，則△ABC的面積的最大值為. 法二：由∠B＝∠C得b＝c，所以7a2＋b2＋c2＝4，即為7a2＋2c2＝4，則△ABC面積為a ＝≤×＝，所以最大值為.] 三、解答題 7．(2016·威海二模)已知f(x)＝cos x(λsin x－cos x)＋cos2＋1(λ＞0)的最大值為3. (1)求函數(shù)f(x)的對稱軸； (2)在△ABC中，內角A

15、，B，C的對邊分別為a，b，c，且＝，若不等式f(B)＜m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍． [解]　(1)f(x)＝cos x(λsin x－cos x)＋cos2＋1 ＝λsin xcos x－cos2x＋sin2x＋1＝λsin 2x－cos 2x＋1 ≤＋1.2分 由題意知：＋1＝3，λ2＝12. ∵λ＞0，∴λ＝2，4分 ∴f(x)＝sin 2x－cos 2x＋1＝2sin＋1.5分 令2x－＝＋kπ，解得x＝＋(k∈Z)， ∴函數(shù)f(x)的對稱軸為x＝＋(k∈Z).6分 (2)∵＝，由正弦定理得，＝， 可變形得，sin(A＋B)＝2cos Asin C，即sin C＝

16、2cos Asin C．8分 ∵sin C≠0，∴cos A＝，又0＜A＜π，∴A＝，9分 ∴f(B)＝2sin＋1，只需f(B)max＜m. ∵0＜B＜，∴－＜2B－＜，10分 ∴－＜sin≤1，即0＜f(B)≤3，11分 ∴m＞3.12分 8．(2016·福州模擬)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足(2b－c)cos A＝acos C. (1)求角A的大?。? (2)若a＝3，求△ABC周長的最大值． [解]　(1)由(2b－c)cos A＝acos C及正弦定理， 得(2sin B－sin C)cos A＝sin Acos C，3分 ∴2sin Bcos A＝sin Ccos A＋sin Acos C， ∴2sin Bcos A＝sin(C＋A)＝sin B. ∵B∈(0，π)，∴sin B≠0. ∵A∈(0，π)，cos A＝，∴A＝.6分 (2)由(1)得A＝，由正弦定理得＝＝＝＝2， ∴b＝2sin B，c＝2sin C. △ABC的周長l＝3＋2sinB＋2sin9分 ＝3＋2sinB＋2 ＝3＋3sin B＋3cos B ＝3＋6sin. ∵B∈，∴當B＝時，△ABC的周長取得最大值為9.12分