高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第三章第8課時 正弦定理和余弦定理的應(yīng)用舉例 課時闖關(guān)（含解析）

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1、 一、選擇題 1．在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，則最短邊的邊長是(　　) A.　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：選A.由＝，得b＝＝＝， ∵B角最小，∴最短邊是b. 2．(2012·貴陽調(diào)研)在△ABC中，角A、B均為銳角，且cosA>sinB，則△ABC的形狀是(　　) A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形 解析：選C.cosA＝sin(－A)>sinB，－A，B都是銳角，則－A>B，A＋B<，C>. 3．(2011·高考天津卷) 如圖，在△ABC中，D是邊AC上的點(diǎn)，且AB＝AD,2AB＝BD，

2、BC＝2BD，則sinC的值為(　　) A. B. C. D. 解析：選D.設(shè)AB＝a，∴AD＝a，BD＝a，BC＝2BD＝ a，cosA＝＝＝， ∴sinA＝＝. 由正弦定理知sinC＝·sinA＝×＝. 4．一船自西向東勻速航行，上午10時到達(dá)燈塔P的南偏西75°距塔68海里的M處，下午2時到達(dá)這座燈塔的東南方向的N處，則這只船航行的速度為(　　) A. 海里/時 B．34 海里/時 C. 海里/時 D．34 海里/時 解析：選A. 如圖，由題意知∠MPN＝75°＋45°＝120°，∠PNM＝45°. 在△PMN中， 由正弦定理，得＝， ∴MN

3、＝68×＝34(海里)． 又由M到N所用時間為 14－10＝4(小時)， ∴船的航行速度v＝＝(海里/時)． 5．(2012·北師大附中月考)一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時40海里的速度沿東偏南50°方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是東偏南20°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B、C兩點(diǎn)間的距離是(　　) A．10 海里 B．10 海里 C．20 海里 D．20 海里 解析：選A. 如圖所示，由已知條件可得，∠CAB＝30°，∠ABC＝105°， 即AB＝40×＝20(海里)， ∴∠BCA＝45°， ∴由正

4、弦定理可得：＝， ∴BC＝＝10(海里)． 二、填空題 6．在直徑為30 m的圓形廣場中央上空，設(shè)置一個照明光源，射向地面的光呈圓形，且其軸截面頂角為120°，若要光源恰好照亮整個廣場，則光源的高度為________ m. 解析：軸截面如圖，則光源高度h＝＝5 m. 答案：5 7．一船以每小時15 km的速度向東航行，船在A處看到一個燈塔M在北偏東60°方向，行駛4 h后，船到達(dá)B處，看到這個燈塔在北偏東15°方向，這時船與燈塔的距離為________km. 解析：如圖所示，依題意有： AB＝15×4＝60， ∠MAB＝30°，∠AMB＝45°， 在△AMB中，

5、由正弦定理得＝， 解得BM＝30(km)． 答案：30 8．如圖所示，客輪以速度2v由A至B再到C勻速航行，貨輪從AC的中點(diǎn)D出發(fā)，以速度v沿直線勻速航行，將貨物送達(dá)客輪，已知AB⊥BC，且AB＝BC＝50海里，若兩船同時起航出發(fā)，則兩船相遇之處距C點(diǎn)________海里(結(jié)果精確到小數(shù)點(diǎn)后1位)． 解析：設(shè)兩船相遇之處距C點(diǎn)x海里， 其中CD＝25， 則＝， 解得x2＝，x≈40.8，即兩船相遇之處距C點(diǎn)40.8海里． 答案：40.8 三、解答題 9．如圖，△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，點(diǎn)D在BC邊上，∠ADC＝45°，求AD的長度． 解：

6、 法一：作AE⊥BC，垂足為E， ∵AB＝AC＝2，BC＝2， ∴E為BC的中點(diǎn)，且EC＝. 在Rt△AED中，AE＝1， 又∠ADE＝45°，∴DE＝1，∴AD＝. 法二：∵AB＝AC＝2，BC＝2， ∴由余弦定理得cosC＝＝＝.又∵∠C∈(0°，180°)，∴∠C＝30°. 在△ADC中，由正弦定理得＝， 即AD＝＝＝＝. 10．如圖所示，海中小島A周圍38海里內(nèi)有暗礁，船向正南航行，在B處測得小島A在船的南偏東30°方向，航行30海里后，在C處測得小島A在船的南偏東45°方向，如果此船不改變航向，繼續(xù)向南航行，有無觸礁的危險(xiǎn)？ 解：在△ABC中，BC＝30，∠B

7、＝30°，∠ACB＝180°－45°＝135°，所以∠A＝15°. 由正弦定理，得＝， 即＝， 所以AC＝＝15(＋)． 所以A到BC的距離為AC·sin45°＝15(＋)× ＝15(＋1)≈15×(1.732＋1)＝40.98(海里)． 這個距離大于38海里，所以繼續(xù)向南航行無觸礁的危險(xiǎn)． 11．(2010·高考陜西卷) 如圖，A，B是海面上位于東西方向相距5(3＋)海里的兩個觀測點(diǎn)，現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45°，B點(diǎn)北偏西60°的D點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號，位于B點(diǎn)南偏西60°且與B點(diǎn)相距20海里的C點(diǎn)的救援船立即前往營救，其航行速度為30海里/時，該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要多長時間？ 解：由題意知AB＝5(3＋)(海里)， ∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°， ∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°. 在△DAB中，由正弦定理得 ＝， ∴DB＝＝ ＝＝ ＝10(海里)． 又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°， BC＝20(海里)， 在△DBC中，由余弦定理得 CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC ＝300＋1200－2×10×20×＝900， ∴CD＝30(海里)，則需要的時間t＝＝1(小時)． 即該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要1小時．