新高考數(shù)學一輪復習 第八章 平面解析幾何 課時作業(yè)51 橢圓及其幾何性質(zhì)（含解析）-人教版高三數(shù)學試題

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1、課時作業(yè)51　橢圓及其幾何性質(zhì) 一、選擇題 1．(2019·北京卷)已知橢圓＋＝1(a>b>0)的離心率為，則(　B　) A．a(chǎn)2＝2b2 B．3a2＝4b2 C．a(chǎn)＝2b D．3a＝4b 解析：由題意得，＝，∴＝，又a2＝b2＋c2， ∴＝，＝，∴4b2＝3a2.故選B. 2．如圖所示，某瓷器菜盤的外輪廓線是橢圓，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)可知該橢圓的離心率為(　B　) A. B. C. D. 解析：由題圖知2b＝16.4,2a＝20.5，則＝，則離心率e＝＝.故選B. 3．(多選題)若方程＋＝1所表示的曲線為C，則下面四個命題中錯誤的是(　AD　) A．若C為橢圓

2、，則13或t<1 C．曲線C可能是圓 D．若C為橢圓，且長軸在y軸上，則13，則方程可變形為－＝1，它表示焦點在y軸上的雙曲線；若t<1，則方程可變形為－＝1，它表示焦點在x軸上的雙曲線；若2b>0)和直線l：＋＝1，若過橢圓C的左焦點和下頂點的直線與l平行，則橢圓C的離心率為(　A　) A.

3、 B. C. D. 解析：因為直線l的斜率為－，且過橢圓C的左焦點和下頂點的直線與直線l平行，所以＝.又b2＋c2＝a2，即2＋c2＝a2，即c2＝a2，所以離心率e＝＝.故選A. 5．已知P是橢圓＋＝1上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點，且∠F1PF2＝60°，則△F1PF2面積為(　A　) A．3 B．2 C. D. 解析：方法1：由橢圓的標準方程可得a＝5，b＝3，∴c＝4.設(shè)|PF1|＝t1，|PF2|＝t2，由橢圓的定義可得t1＋t2＝10①. ∵在△F1PF2中，∠F1PF2＝60°，∴根據(jù)余弦定理可得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|co

4、s60°＝|F1F2|2＝(2c)2＝64，整理可得t＋t－t1t2＝64②.　把①兩邊平方得t＋t＋2t1t2＝100 ③，由③－②得t1t2＝12，∴S△F1PF2＝t1t2·sin∠F1PF2＝3.故選A. 方法2：由于橢圓焦點三角形的面積公式為S＝b2tan，故所求面積為9tan30°＝3.故選A. 6．已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓C的兩個焦點，P為橢圓上任意一點．若的最大值為3，則橢圓C的離心率為(　B　) A. B. C. D. 解析：∵點P到橢圓C的焦點的最大距離為a＋c，最小距離為a－c.又的最大值為3，∴＝3，∴橢圓C的離心率e＝.故選B. 7．已知橢圓＋＝1

5、(a>b>0)的左焦點為F1(－2,0)，過點F1作傾斜角為30°的直線與圓x2＋y2＝b2相交的弦長為b，則橢圓的標準方程為(　A　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：由左焦點為F1(－2,0)，可得a2－b2＝4，過點F1作傾斜角為30°的直線的方程為y＝(x＋2)，圓心(0,0)到直線的距離d＝＝1.由直線與圓x2＋y2＝b2相交的弦長為b，可得2＝b，解得b＝2，a＝2，則橢圓方程為＋＝1.故選A. 8．(多選題)如圖，橢圓Ⅰ與Ⅱ有公共的左頂點和左焦點，且橢圓Ⅱ的右頂點為橢圓Ⅰ的中心．設(shè)橢圓Ⅰ與Ⅱ的長半軸長分別為a1和a2，半焦距分別為c1和c2，離

6、心率分別為e1，e2，則下列結(jié)論正確的是(　AB　) A．a(chǎn)1＋c1>2(a2＋c2) B．a(chǎn)1－c1＝a2－c2 C．a(chǎn)1c2>a2c1 D．橢圓Ⅱ比橢圓Ⅰ更扁 解析：由橢圓Ⅱ的右頂點為橢圓Ⅰ的中心，可得2a2＝a1，由橢圓Ⅰ與Ⅱ有公共的左頂點和左焦點，可得a2＋c2＝c1；因為a1＋c1＝2a2＋a2＋c2，且a2>c2，則a1＋c1＝2a2＋a2＋c2>2(a2＋c2)，所以A正確；因為a1－c1＝2a2－(a2＋c2)＝a2－c2，所以B正確；因為a1c2＝2a2c2，a2c1＝a2(a2＋c2)＝a＋a2c2，則有a1c2－a2c1＝2a2c2－a－a2c2＝a2(c2

7、－a2)<0，所以C錯誤；因為e1－e2＝－＝＝>0，即e1>e2，則橢圓Ⅰ比橢圓Ⅱ更扁，所以D錯誤，故選AB. 二、填空題 9．橢圓＋y2＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1作垂直于x軸的直線與橢圓相交，一個交點為P，則|PF2|＝. 解析：F1(－，0)，∵PF1⊥x軸，∴P， ∴||＝，∴||＝4－＝. 10．(多填題)設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓C：＋＝1的兩個焦點，M為C上一點且在第一象限．若△MF1F2為等腰三角形，則|MF2|＝4，M的坐標為(3，)． 解析：根據(jù)題意可知c＝＝4. 因為△MF1F2為等腰三角形，所以易知|F1M|＝2c＝8，所以|F2M|＝2a－8＝4.

8、設(shè)M(x，y)， 則得 所以M的坐標為(3，)． 11．已知橢圓＋＝1(a>b>c>0，a2＝b2＋c2)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，若以F2為圓心，b－c為半徑作圓F2，過橢圓上一點P作此圓的切線，切點為T，且|PT|的最小值不小于(a－c)，則橢圓的離心率e的取值范圍是. 解析：因為|PT|＝，|PF2|的最小值為a－c，所以|PT|的最小值為. 依題意，有≥(a－c)，所以(a－c)2≥4(b－c)2，所以a－c≥2(b－c)，所以a＋c≥2b，所以(a＋c)2≥4(a2－c2)，所以5c2＋2ac－3a2≥0，所以5e2＋2e－3≥0.① 又b>c，所以b2>c2，所以a

9、2－c2>c2，所以2e2<1.② 聯(lián)立①②，得≤e<. 三、解答題 12．已知橢圓＋＝1(a>b>0)的右焦點為F2(3,0)，離心率為e. (1)若e＝，求橢圓的方程； (2)設(shè)直線y＝kx與橢圓相交于A，B兩點，M，N分別為線段AF2，BF2的中點，若坐標原點O在以MN為直徑的圓上，且

10、形OMF2N為平行四邊形，所以AF2⊥BF2. 因為＝(x1－3，y1)，＝(x2－3，y2)， 所以·＝(x1－3)(x2－3)＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋9＝0.即＋9＝0， 將其整理為k2＝＝－1－. 因為b>0)的兩個焦點，P為C上的點，O為坐標原點． (1)若△POF2為等邊三角形，求C的離心率； (2)如果存在點P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面積等于16，求b的值和a的取值范圍． 解：(1)連接PF1，由△POF2為

11、等邊三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝c，于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(＋1)c，故C的離心率e＝＝－1. (2)由題意可知，滿足條件的點P(x，y)存在當且僅當 |y|·2c＝16，·＝－1，＋＝1， 即c|y|＝16，① x2＋y2＝c2，② ＋＝1.③ 由②③及a2＝b2＋c2得y2＝，又由①知y2＝，故b＝4.由②③得x2＝(c2－b2)，所以c2≥b2，從而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故a≥4. 當b＝4，a≥4時，存在滿足條件的點P. 所以b＝4，a的取值范圍為[4，＋∞)． 14．如圖所示，圓柱形玻璃杯中

12、水的液面呈橢圓形狀，則該橢圓的離心率為(　B　) A. B. C. D. 解析：設(shè)圓柱的底面半徑為1，則橢圓的短半軸長為1，長軸長為＝，即長半軸長為，所以半焦距為，故離心率為. 15．(2019·浙江卷)已知橢圓＋＝1的左焦點為F，點P在橢圓上且在x軸的上方．若線段PF的中點在以原點O為圓心，|OF|為半徑的圓上，則直線PF的斜率是. 解析：如圖，取PF的中點M，連接OM，由題意知|OM|＝|OF|＝2，設(shè)橢圓的右焦點為F1，連接PF1，在△PFF1中，OM為中位線，所以|PF1|＝4，由橢圓的定義知|PF|＋|PF1|＝6，所以|PF|＝2.因為M為PF的中點，所以|M

13、F|＝1.在等腰三角形OMF中，過O作OH⊥MF于點H，所以|OH|＝＝， 所以kPF＝tan∠HFO＝＝. 16．(多填題)已知橢圓＋＝1(a>b>0)的短軸長為2，上頂點為A，左頂點為B，左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，且△F1AB的面積為，則橢圓的方程為＋y2＝1；若點P為橢圓上的任意一點，則＋的取值范圍是[1,4]． 解析：由已知得2b＝2，故b＝1，∴a2－c2＝b2＝1.∵△F1AB的面積為，∴(a－c)b＝， ∴a－c＝2－，∴a＝2，c＝，則橢圓的方程為＋y2＝1.由橢圓的定義知|PF1|＋|PF2|＝2a＝4， ∴＋＝ ＝＝， 又2－≤|PF1|≤2＋， ∴1≤－|PF1|2＋4|PF1|≤4， ∴1≤＋≤4. 即＋的取值范圍為[1,4]．