高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二部分 專題七 選考4系列 專題強(qiáng)化練十八 不等式選講 文-人教版高三數(shù)學(xué)試題

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1、專題強(qiáng)化練十八 不等式選講 1.設(shè)函數(shù)f(x)=|2x+3|-|1-2x|,若存在x∈R,使得f(x)>|3a-1|成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 解:因?yàn)閒(x)=|2x+3|-|1-2x| ≤|(2x+3)+(1-2x)|=4. 所以f(x)max=4. 若存在x∈R,使得f(x)>|3a-1|成立, 所以|3a-1|<4,解得-1<a<, 故實(shí)數(shù)a的取值范圍是. 2.已知函數(shù)f(x)=|2x-1|-|x-a|,a≤0. (1)當(dāng)a=0時(shí),求不等式f(x)<1的解集; (2)若f(x)的圖象與x軸圍成的三角形面積大于,求a的取值范圍. 解:(1)當(dāng)a=0時(shí),f(x)<1化

2、為|2x-1|-|x|-1<0, 當(dāng)x≤0時(shí),不等式化為x>0,無解; 當(dāng)0<x≤時(shí),不等式化為x>0,解得0<x≤; 當(dāng)x>時(shí),不等式化為x<2,解得<x<2; 綜上,f(x)<1的解集為{x|0<x<2}. (2)由題設(shè)可得, f(x)= 所以f(x)的圖象與x軸圍成的三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別為(1-a,0),,,該三角形的面積為. 由題設(shè)>,且a≤0,解得a<-1. 所以a的取值范圍是(-∞,-1). 3.設(shè)a,b,c,d均為正數(shù),且a+b=c+d,證明: (1)若ab>cd,則+>+; (2)+>+是|a-b|<|c-d|的充要條件. 證明:(1)因?yàn)閍,b,c,

3、d為正數(shù),且a+b=c+d, 欲證+>+,只需證明(+)2>(+)2, 也就是證明a+b+2>c+d+2, 只需證明>,即證ab>cd. 由于ab>cd,因此+>+. (2)①若|a-b|<|c-d|,則(a-b)2<(c-d)2, 即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd. 因?yàn)閍+b=c+d,所以ab>cd. 由(1)得若ab>cd,則+>+. ②若+>+,則(+)2>(+)2, 所以a+b+2>c+d+2. 因?yàn)閍+b=c+d,所以ab>cd. 于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2. 因此|a-b|<|c-d|. 綜上

4、,+>+是|a-b|<|c-d|的充要條件. 4.(2016·全國卷Ⅱ)已知函數(shù)f(x)=+,M為不等式f(x)<2的解集. (1)求M; (2)證明:當(dāng)a,b∈M時(shí),|a+b|<|1+ab|. (1)解:f(x)= 當(dāng)x≤-時(shí),由f(x)<2得-2x<2, 解得x>-1,所以-1<x≤-; 當(dāng)-<x<時(shí),f(x)<2恒成立. 當(dāng)x≥時(shí),由f(x)<2得2x<2, 解得x<1,所以<x<1. 所以f(x)<2的解集M={x|-1<x<1}. (2)證明:由(1)知,當(dāng)a,b∈M時(shí),-1<a<1,-1<b<1. 從而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1=

5、(a2-1)·(1-b2)<0, 所以(a+b)2<(1+ab)2,因此|a+b|<|1+ab|. 5.(2018·鄭州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)=+,a為實(shí)數(shù). (1)當(dāng)a=1時(shí),求不等式f(x)>4的解集; (2)求f(a)的最小值. 解:(1)當(dāng)a=1時(shí),不等式f(x)>4,即f(x)=>4, ①當(dāng)x<-1時(shí),得f(x)=2>4,無解; ②當(dāng)x∈[-1,0)∪(0,1]時(shí),得f(x)=>4,解得|x|<,得-<x<0或0<x<; ③當(dāng)x>1時(shí),得f(x)=2>4,無解; 綜上,不等式f(x)>4的解集為∪. (2)f(a)==, ①當(dāng)a<-1或a>1時(shí),f(a)==2|

6、a|>2, ②當(dāng)-1≤a≤1且a≠0時(shí),f(a)=≥2, 綜上知,f(a)的最小值為2. 6.(2018·衡水中學(xué)檢測)已知函數(shù)f(x)=|2x-2|+|x+3|. (1)求不等式f(x)≥3x+2的解集; (2)若不等式f(x)>+a的解集包含[2,3],求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 解:(1)依題意得|2x-2|+|x+3|≥3x+2, 當(dāng)x<-3時(shí),原不等式可化為2-2x-x-3≥3x+2, 解得x≤-,故x<-3; 當(dāng)-3≤x≤1時(shí),有2-2x+x+3≥3x+2,解得x≤,故-3≤x≤; 當(dāng)x>1時(shí),原不等式可化為2x-2+x+3≥3x+2,無解. 綜上所述,不等式f(x

7、)≥3x+2的解集為. (2)依題意,|2x-2|+|x+3|>+a在[2,3]上恒成立, 則3x+1->a在[2,3]上恒成立. 又因?yàn)間(x)=3x+1-在[2,3]上為增函數(shù), 所以有3×2+1->a,解得a<. 故實(shí)數(shù)a的取值范圍為. 7.(2018·江南名校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=|x-1|. (1)解不等式f(x)+f(2x+5)≥x+9; (2)若a>0,b>0,且+=2,證明:f(x+a)+f(x-b)≥,并求f(x+a)+f(x-b)=時(shí),a,b的值. (1)解:f(x)+f(2x+5)=|x-1|+|2x+4|≥x+9, 當(dāng)x≤-2時(shí),不等式為4x≤-1

8、2?x≤-3, 所以x∈(-∞,-3]; 當(dāng)-2<x<1時(shí),不等式為5≥9,不成立; 當(dāng)x≥1時(shí),不等式為2x≥6?x≥3,所以x∈[3,+∞), 綜上所述,不等式的解集為(-∞,-3]∪[3,+∞). (2)證明:法一 f(x+a)+f(x-b)=|x+a-1|+|x-b-1|≥|x+a-1-(x-b-1)|=|a+b|=a+b(a>0,b>0). 又+=2, 所以a+b=(a+b)=++≥+2=, 即f(x+a)+f(x-b)≥. 當(dāng)且僅當(dāng)=,即b=2a時(shí)“=”成立; 由得 法二 f(x+a)+f(x-b)=|x+a-1|+|x-b-1|, 當(dāng)x≤1-a時(shí),f(x+

9、a)+f(x-b)=-x-a+1-x+b+1=-2x+2-a+b≥a+b; 當(dāng)1-a<x<1+b時(shí),f(x+a)+f(x-b)=x+a-1-x+b+1=a+b; 當(dāng)x≥1+b時(shí),f(x+a)+f(x-b)=x+a-1+x-b-1=2x-2+a-b≥a+b, 所以f(x+a)+f(x-b)的最小值為a+b, (a+b)=(a+b)=++≥+2=. 即f(x+a)+f(x-b)≥. 當(dāng)且僅當(dāng)=,即b=2a時(shí)“=”成立. 由得 8.(2017·全國卷Ⅲ)已知函數(shù)f(x)=|x+1|-|x-2|. (1)求不等式f(x)≥1的解集; (2)若不等式f(x)≥x2-x+m的解集非空,求m的取值范圍. 解:(1)f(x)=|x+1|-|x-2|= 由f(x)≥1可得, ①當(dāng)x<-1時(shí),顯然不滿足題意; ②當(dāng)-1≤x≤2時(shí),2x-1≥1, 解得x≥1,則1≤x≤2; ③當(dāng)x>2時(shí),f(x)=3≥1恒成立,所以x>2. 綜上知f(x)≥1的解集為{x|x≥1}. (2)由f(x)≥x2-x+m,得m≤|x+1|-|x-2|-x2+x. 而|x+1|-|x-2|-x2+x≤|x|+1+|x|-2-x2+|x|=-+≤, 且當(dāng)x=時(shí),|x+1|-|x-2|-x2+x=, 故m的取值范圍為.

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