高考數(shù)學二輪專題復習與策略 第1部分 專題2 三角函數(shù)、解三角形、平面向量 第10講 高考中的三角函數(shù)專題限時集訓 理-人教版高三數(shù)學試題

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高考數(shù)學二輪專題復習與策略 第1部分 專題2 三角函數(shù)、解三角形、平面向量 第10講 高考中的三角函數(shù)專題限時集訓 理-人教版高三數(shù)學試題_第1頁
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1、專題限時集訓(十一) 高考中的三角函數(shù) (建議用時:45分鐘) 1.(2014·江蘇高考)已知α∈,sin α=. (1)求sin的值; (2)求cos的值. [解] (1)因為α∈,sin α=, 所以cos α=-=-. 4分 故sin=sincos α+cossin α =×+×=-. 6分 (2)由(1)知sin 2α=2sin αcos α=2××=-,cos 2α=1-2sin2α=1-2×2=,

2、 10分 所以cos=coscos 2α+sinsin 2α =×+×=-. 14分 2.(2016·蘇錫常鎮(zhèn)調研二)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,已知向量m=(cos B,cos C),n=(4a-b,c),且m∥n. (1)求cos C的值; (2)若c=,△ABC的面積S=,求a,b的值. [解] (1)∵m∥n,∴ccos B=(4a-b)cos C, 由正弦定理,得sin Ccos B=(4sin A-sin B)cos C, 化簡,得sin(B+C)=4sin Acos C.

3、 4分 ∵A+B+C=π,∴sin A=sin(B+C). 又∵A∈(0,π),∴sin A>0,∴cos C=. 6分 (2)∵C∈(0,π),cos C=,∴sin C===. 10分 ∵S=absin C=,∴ab=2.① ∵c=,由余弦定理得3=a2+b2-ab, 12分 ∴a2+b2=4,② 由①②,得a4-4a2+4=0,從而a2=2,a=±(舍負),所以b=, ∴a=b=. 14分

4、 3.(2016·南通二調)在斜三角形ABC中,tan A+tan B+tan Atan B=1. (1)求C的值; (2)若A=15°,AB=,求△ABC的周長. [解] (1)因為tan A+tan B+tan Atan B=1,即tan A+tan B=1-tan Atan B, 2分 因為在斜三角形ABC中,1-tan Atan B≠0, 所以tan(A+B)==1, 4分 即tan(180°-C)=1,亦即tan C=-1, 因為0°<C<180°,所以C=135°.

5、 6分 (2)在△ABC中,A=15°,C=135°,則B=180°-A-C=30°,7分 由正弦定理==,得 ===2, 10分 故BC=2sin 15°=2sin(45°-30°)=2(sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°)=,CA=2sin 30°=1. 12分 所以△ABC的周長為AB+BC+CA=+1+=. 14分 4.(2016·鎮(zhèn)江期中)廣告公司為某游樂場設計某項設施的宣傳畫,根據該設施

6、的外觀,設計成的平面圖由半徑為2m的扇形AOB和三角區(qū)域BCO構成,其中C,O,A在一條直線上,∠ACB=,記該設施平面圖的面積為S(x) m2,∠AOB=x rad,其中<x<π. 圖10-4 (1)寫出S(x)關于x的函數(shù)關系式; (2)如何設計∠AOB,使得S(x)有最大值? [解] (1)由已知可得∠CBO=x-,S扇形AOB=lr=2x, 2分 在△BCO中,由正弦定理可得: =,所以CO=2(sin x-cos x), 從而S△CBO=BO·CO·sin∠BOC=2sin2x-2sin xcos x, 4分 所以S(x)=2sin2x

7、-2sin xcos x+2x=2sin x(sin x-cos x)+2x. 6分 (2)S′(x)=2(sin 2x-cos 2x)+2=2sin+2, 7分 由S′(x)=0,解得x=, 令S′(x)>0,解得<x<,所以增區(qū)間是; 9分 令S′(x)<0,解得<x<π,所以減區(qū)間是; 11分 所以S(x)在x=處取得最大值是2+ m2. 13分 答:設計成∠AOB=時,該設施的平面圖面積最大是2+ m2. 14分 5.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知2(tan A+tan

8、 B)=+. (1)證明a+b=2c; (2)求cos C的最小值. 【導學號:19592034】 [解] (1)證明:由2(tan A+tan B)=+得 =+, 3分 ∴2sin C=sin A+sin B, 4分 由正弦定理得 a+b=2c. 6分 (2)由cos C== =-1≥-1 =-1=. 13分 ∴cos C的最小值為.

9、 14分 6.如圖10-5,兩座建筑物AB,CD的底部都在同一個水平面上,且均與水平面垂直,它們的高度分別是9 m和15 m,從建筑物AB的頂部A看建筑物CD的視角∠CAD=45°. 圖10-5 (1)求BC的長度; (2)在線段BC上取一點P(點P與點B,C不重合),從點P看這兩座建筑物的視角分別為∠APB=α,∠DPC=β,問點P在何處時,α+β最??? [解] (1)作AE⊥CD,垂足E,則CE=9,DE=6,設BC=x, 2分 則tan∠CAD=tan(∠CAE+∠DAE)===1,

10、 4分 化簡得x2-15x-54=0, 解得x=18或x=-3(舍). 6分 (2)設BP=t,則CP=18-t(00,f(t)是增函數(shù), 10分 所以,當t=15-27時,f(t)取得最小值,即tan(α+β)取得最小值, 因為-t2+18t-135<0恒成立,所以f(t)<0, 所以tan(α+β)<0,α+β∈, 12分 因為y=tan x在上是增函數(shù),所以當t=15-27時,α+β取得最小值. 答:當BP為(15-27)m時,α+β取得最小值. 14分

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