(江蘇專(zhuān)用)高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第十章第3課時(shí) 幾何概型課時(shí)闖關(guān)(含解析)

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1、 [A級(jí) 雙基鞏固] 一、填空題 1.(2012·西安質(zhì)檢)某人向一個(gè)半徑為6的圓形靶射擊,假設(shè)他每次射擊必定會(huì)中靶,且射中靶內(nèi)各點(diǎn)是隨機(jī)的,則此人射中的靶點(diǎn)與靶心的距離小于2的概率為_(kāi)_______. 解析:由已知條件可得,此人射中的靶點(diǎn)與靶心的距離小于2的概率為P==. 答案: 2.在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)O為底面ABCD的中心,在正方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P,則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為_(kāi)_______. 解析:正方體的體積為:2×2×2=8,以O(shè)為球心,1為半徑且在正方體內(nèi)部的半球的體積為:×πr3=×π×13

2、=π,則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為:1-=1-. 答案:1- 3.(2012·淄博調(diào)研)在長(zhǎng)為12 cm的線段AB上任取一點(diǎn)M,并以線段AM為邊作正方形,則這個(gè)正方形的面積介于36 cm2與81 cm2之間的概率為_(kāi)_______. 解析:面積為36 cm2時(shí),邊長(zhǎng)AM=6 cm,面積為81 cm2時(shí),邊長(zhǎng)AM=9 cm,∴P===. 答案: 4.若在區(qū)間[-5,5]內(nèi)任取一個(gè)實(shí)數(shù)a,則使直線x+y+a=0與圓(x-1)2+(y+2)2=2有公共點(diǎn)的概率為_(kāi)_______. 解析:若直線與圓有公共點(diǎn),則圓心到直線的距離d==≤,解得-1≤a≤3.又a∈[-5,5],故所求概率為

3、=. 答案: 5.用一平面截一半徑為5的球得到一個(gè)圓面,則此圓面積小于9π的概率是________. 解析:依題意得截面圓面積為9π的圓半徑為3,球心到該截面的距離等于4,球的截面圓面積小于9π的截面到球心的距離大于4,因此所求的概率等于=. 答案: 6. 如圖所示,在一個(gè)邊長(zhǎng)分別為a,b(a>b>0)的矩形內(nèi)畫(huà)一個(gè)梯形,梯形的上、下底邊分別為,,且高為b.現(xiàn)向該矩形內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn),則該點(diǎn)落在梯形內(nèi)部的概率為_(kāi)_______. 解析:S梯形=·b=ab,S矩形=ab. ∴P==. 答案: 7. (2012·鎮(zhèn)江質(zhì)檢)如圖,A是圓上固定的一點(diǎn),在圓上其他位置任取一點(diǎn)A

4、′,連接AA′,它是一條弦,它的長(zhǎng)度小于或等于半徑長(zhǎng)度的概率為_(kāi)_______. 解析: 當(dāng)AA′的長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)度時(shí),∠AOA′=,由圓的對(duì)稱(chēng)性及幾何概型得P==. 答案: 8.在兩根相距8 m的木桿間系一根繩子,并在繩子上掛一個(gè)警示燈,則警示燈與兩桿的距離都大于3 m的概率為_(kāi)_______. 解析:由于在繩子任意位置上掛警示燈是等可能的,會(huì)出現(xiàn)無(wú)數(shù)多個(gè)試驗(yàn)結(jié)果,故符合幾何概型,可以用長(zhǎng)度作為幾何概型的測(cè)度.記事件A為“警示燈與兩桿的距離都大于3 m”,則A的長(zhǎng)度為8-3-3=2(m),整個(gè)事件的長(zhǎng)度為8 m,則P(A)==. 答案: 二、解答題 9.已知向量a=(-2

5、,1),b=(x,y). (1)若x,y分別表示將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子(六個(gè)面的點(diǎn)數(shù)分別為1,2,3,4,5,6)先后拋擲兩次時(shí)第一次、第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),求滿足a·b=-1的概率; (2)若x,y在連續(xù)區(qū)間[1,6]上取值,求滿足a·b<0的概率. 解:(1)將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲兩次,所包含的基本事件總數(shù)為6×6=36(個(gè)); 由a·b=-1有-2x+y=-1, 所以滿足a·b=-1的基本事件為(1,1),(2,3),(3,5),共3個(gè); 故滿足a·b=-1的概率為=. (2)若x,y在連續(xù)區(qū)間[1,6]上取值,則全部基本事件的結(jié)果為D={(x,y)|1≤x≤6

6、,1≤y≤6}; 滿足a·b<0的基本事件的結(jié)果為 d={(x,y)|1≤x≤6,1≤y≤6且-2x+y<0}; 畫(huà)出圖形如圖, 正方形的面積為S=25, 陰影部分的面積為S陰影=25-×2×4=21, 故滿足a·b<0的概率為. 10.已知向量a=(2,1),b=(x,y). (1)若x∈{-1,0,1,2},y∈{-1,0,1},求向量a∥b的概率; (2)若x∈[-1,2],y∈[-1,1],求a,b的夾角是鈍角的概率. 解:(1)設(shè)“a∥b”為事件A,由a∥b,得x=2y. D={(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,

7、1),(1,-1),(1,0),(1,1),(2,-1),(2,0),(2,1)},共包含12個(gè)基本事件; 其中A={(0,0),(2,1)},包含2個(gè)基本事件. 則P(A)==. (2)設(shè)“a,b的夾角是鈍角”為事件B,由a,b的夾角是鈍角,可得a·b<0,即2x+y<0,且x≠2y. D=, B=. 畫(huà)出圖形如圖. 故P(B)==. [B級(jí) 能力提升] 一、填空題 1.在一個(gè)邊長(zhǎng)為1000米的正方形區(qū)域的每個(gè)頂點(diǎn)處都設(shè)有一個(gè)監(jiān)測(cè)站,若向此區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投放一個(gè)爆破點(diǎn),則爆破點(diǎn)距離監(jiān)測(cè)站200米內(nèi)都可以被檢測(cè)到.那么隨機(jī)投放一個(gè)爆破點(diǎn)被監(jiān)測(cè)到的概率為_(kāi)_______.

8、解析:據(jù)題意爆破點(diǎn)能被檢測(cè)到所在平面區(qū)域?yàn)橐愿鱾€(gè)頂點(diǎn)為圓心,以200米為半徑的四分之一圓,故由幾何概型可知所求事件的概率為=. 答案: 2.在區(qū)域M=內(nèi)隨機(jī)撒一把黃豆,落在區(qū)域N=內(nèi)的概率是________. 解析:畫(huà)出區(qū)域M、N,如圖,區(qū)域M為矩形OABC,區(qū)域N為圖中陰影部分. S陰影=×4×2=4, 故所求概率P==. 答案: 3.有一個(gè)底面圓的半徑為1、高為2的圓柱,點(diǎn)O為這個(gè)圓柱底面圓的圓心,在這個(gè)圓柱內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P,則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為_(kāi)_______. 解析:先求點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離小于或等于1的概率,圓柱的體積V圓柱=π×12×2=2π,以O(shè)為球心,

9、1為半徑且在圓柱內(nèi)部的半球的體積V半球=×π×13=π.則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離小于或等于1的概率為=,故點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為1-=. 答案: 4.一根用細(xì)鐵絲做成的正四棱錐框架,其棱長(zhǎng)都是,這個(gè)四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上,一粒子在這個(gè)球內(nèi)隨機(jī)運(yùn)動(dòng),則該粒子在正四棱錐內(nèi)部的概率是________(細(xì)鐵絲占有的空間位置忽略不計(jì)). 解析:設(shè)該正四棱錐為S-ABCD,如圖所示,在Rt△SEA中,SA=,AE=1,故SE=1,故四棱錐的體積是×××1=.設(shè)球的半徑為r,則OA=OS=r,OE=1-r.在Rt△OAE中,r2=(1-r)2+1,解得r=1,即點(diǎn)E即為球心,故這個(gè)球的體積是

10、. 所以所求的概率為=.故填. 答案: 二、解答題 5.兩人約定在20∶00到21∶00之間相見(jiàn),并且先到者必須等遲到者40分鐘方可離去,如果兩人出發(fā)是各自獨(dú)立的,在20∶00至21∶00各時(shí)刻相見(jiàn)的可能性是相等的,求兩人在約定時(shí)間內(nèi)相見(jiàn)的概率. 解: 設(shè)兩人分別于x時(shí)和y時(shí)到達(dá)約見(jiàn)地點(diǎn),要使兩人能在約定時(shí)間范圍內(nèi)相見(jiàn), 當(dāng)且僅當(dāng)-≤x-y≤. 兩人到達(dá)約見(jiàn)地點(diǎn)所有時(shí)刻(x,y)的各種可能結(jié)果可用圖中的單位正方形內(nèi)(包括邊界)的點(diǎn)來(lái)表示,兩人能在約定的時(shí)間范圍內(nèi)相見(jiàn)的所有時(shí)刻(x,y)的各種可能結(jié)果可用圖中的陰影部分(包括邊界)來(lái)表示.因此陰影 部分與單位正方

11、形的面積比就反映了兩人在約定時(shí)間范圍內(nèi)相遇的可能性的大小,因此所求的概率為 P===. 6.(2012·深圳調(diào)研)已知復(fù)數(shù)z=x+yi(x,y∈R)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為M. (1)設(shè)集合P={-4,-3,-2,0},Q={0,1,2},從集合P中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)作為x,從集合Q中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)作為y,求復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)的概率; (2)設(shè)x∈[0,3],y∈[0,4],求點(diǎn)M落在不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)的概率. 解:(1)記“復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)”為事件A. ∵組成復(fù)數(shù)z的所有情況共有12個(gè):-4,-4+i,-4+2i,-3,-3+i,-3+2i,-2,-2+i,-2+2i,0,i,2i,且每種情況出現(xiàn)的可能性相等,屬于古典概型, 其中事件A包含的基本事件共2個(gè):i,2i, ∴所求事件的概率為P(A)==. (2)依條件可知,點(diǎn)M均勻地分布在平面區(qū)域內(nèi),屬于幾何概型.該平面區(qū)域的圖形為下圖中矩形OABC圍成的區(qū)域,面積為S=3×4=12. 而所求事件構(gòu)成的平面區(qū)域?yàn)?,其圖形如圖中的三角形OAD(陰影部分). 又直線x+2y-3=0與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為A(3,0)、D, ∴三角形OAD的面積為S1=×3×=. ∴所求事件的概率為P===.

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