《(江蘇專用)高考數(shù)學總復習 第八章第4課時 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系課時闖關(guān)(含解析)》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(江蘇專用)高考數(shù)學總復習 第八章第4課時 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系課時闖關(guān)(含解析)(6頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
[A級 雙基鞏固]
一、填空題
1.圓C:x2+y2+6x+5=0被直線l:x-y+5=0所截得的弦長為________.
解析:⊙C:(x+3)2+y2=4,則圓心到直線的距離d==,∴弦長l=×2=2.
答案:2
2.兩圓x2+y2-6x+6y-48=0與x2+y2+4x-8y-44=0公切線的條數(shù)是________.
解析:圓x2+y2-6x+6y-48=0配成標準方程為(x-3)2+(y+3)2=64,
圓心坐標(3,-3)半徑r1=8.
而圓x2+y2+4x-8y-44=0配成標準方程
為(x+2)2+(y-4)2=64,
∴圓心坐標(-2,4),半
2、徑r2=8,
圓心距d=<r1+r2,
從而兩圓相交,故公切線有兩條.
答案:2
3.與圓x2+(y-2)2=1相切,且在兩坐標軸上截距相等的直線共有________條.
解析:有兩條相互垂直的直線,另兩條直線過原點.
答案:4
4.若直線y=kx+1與圓x2+y2=1相交于P、Q兩點,∠POQ=120°(其中O為原點),則k的值為________.
解析:設直線PQ與x軸交于M點,易知∠OMP=60°,∴k=tan60°或tan120°,即k=±.
答案:-或
5.過點(-4,0)作直線l與圓x2+y2+2x-4y-20=0交于A、B兩點,如果|AB|=8,則l的方程為_
3、_______.
解析:圓的方程可化為(x+1)2+(y-2)2=25,所以圓心(-1,2),半徑r=5.由于弦長|AB|=8,解圓中的直角三角形可得圓心到弦所在直線的距離d==3.直線l過點(-4,0),當直線斜率不存在時,方程為x+4=0,顯然成立.當斜率存在時,可設為k,則直線方程可化為kx-y+4k=0,d==3,解之可得k=-.代回方程化簡得5x+12y+20=0.綜上,直線l的方程為x+4=0或5x+22y+20=0.
答案:x+4=0或5x+12y+20=0
6.(2010·高考江西卷改編)直線y=kx+3與圓(x-2)2+(y-3)2=4相交于M,N兩點,若|MN|≥2,
4、則k的取值范圍是________.
解析:如圖,記題中的圓的圓心為C(2,3),作CD⊥MN于D,則|CD|=,
于是有|MN|=2|MD|
=2
=2≥2,即4-≥3,
解得-≤k≤.
答案:[-,]
7.若直線y=x+b與曲線y=3-有公共點,則b的取值范圍是________.
解析:曲線y=3-表示圓(x-2)2+(y-3)2=4的下半圓,如圖所示,當直線y=x+b經(jīng)過點(0,3)時,b取最大值3,當直線與半圓相切時,b取最小值,由=2?b=1-2或1+2(舍).
答案:[1-2,3]
8.(2010·高考江蘇卷)在平面直角坐標系xOy中,已知圓x2+y2=4
5、上有且只有四個點到直線12x-5y+c=0的距離為1,則實數(shù)c的取值范圍是________.
解析:如圖,圓x2+y2=4的半徑為2,圓上有且僅有四個點到直線的距離為1,問題轉(zhuǎn)化為原點(0,0)到直線12x-5y+c=0的距離小于1.
即<1,<13,
∴-13
6、1)設所求直線方程為y=-2x+b,即2x+y-b=0,
∵直線與圓相切,
∴=3,
得b=±3,
∴所求直線方程為y=-2x±3.
(2)假設存在這樣的點B(t,0),當P為圓C與x軸左交點(-3,0)時,=;
當P為圓C與x軸右交點(3,0)時,=,
依題意,=,
解得,t=-5(舍去),或t=-.
下面證明點B(-,0)對于圓C上任一點P,都有為一常數(shù).設P(x,y),則y2=9-x2,
∴==
==,
從而=為常數(shù).
10.在平面直角坐標系xOy中,已知圓C1:(x+3)2+(y-1)2=4和圓C2:(x-4)2+(y-5)2=4.
(1)若直線l過點A
7、(4,0),且被圓C1截得的弦長為2,求直線l的方程;
(2)設P為平面上的點,滿足:存在過點P的無窮多對互相垂直的直線l1和l2,它們分別與圓C1和C2相交,且直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等.試求所有滿足條件的點P的坐標.
解:(1)由于直線x=4與圓C1不相交,所以直線l的斜率存在.設直線l的方程為y=k(x-4),圓C1的圓心到直線l的距離為d,因為圓C1被直線l截得的弦長為2,所以d==1.
由點到直線的距離公式得
d=,
從而k(24k+7)=0,即k=0或k=-,
所以直線l的方程為
y=0或7x+24y-28=0.
(2)設點P(a,b
8、)滿足條件,不妨設直線l1的方程為y-b=k(x-a),k≠0,則直線l2的方程為y-b=-(x-a).因為圓C1和C2的半徑相等,且圓C1被直線l1截得的弦長與圓C2被直線l2截得的弦長相等,所以圓C1的圓心到直線l1的距離和圓C2的圓心到直線l2的距離相等,即=,
整理得|1+3k+ak-b|=|5k+4-a-bk|,從而1+3k+ak-b=5k+4-a-bk或1+3k+ak-b=-5k-4+a+bk,即(a+b-2)k=b-a+3或(a-b+8)k=a+b-5,因為k的取值有無窮多個,所以或
解得或
這樣點P只可能是點P1或點P2.
經(jīng)檢驗點P1和P2滿足題目條件.
[B級 能
9、力提升]
一、填空題
1.(2011·高考全國卷改編)設兩圓C1,C2都和兩坐標軸相切,且都過點(4,1),則兩圓心的距離|C1C2|=________.
解析:∵兩圓都和兩坐標軸相切且都經(jīng)過點(4,1),∴兩圓圓心均在第一象限且橫縱坐標相等,設兩圓圓心分別為(a,a)(b,b).則有(4-a)2+(1-a)2=a2,(4-b)2+(1-b)2=b2.
即a,b是方程(4-x)2+(1-x)2=x2的兩個根,整理得x2-10x+17=0,∴a+b=10,ab=17,∴(a-b)2=(a+b)2-4ab=100-4×17=32.
∴|C1C2|===8.
答案:8
2.圓x2+y2
10、+2x-4y+1=0關(guān)于直線2ax-by+2=0(a,b∈R)對稱,則ab的取值范圍是________.
解析:圓的標準方程為(x+1)2+(y-2)2=4,由題意知圓心(-1,2)在直線2ax-by+2=0上,因此-2a-2b+2=0,即a+b=1,a2+b2+2ab≥4ab.
∴4ab≤1,即ab≤.當且僅當a=b=時等號成立.
答案:(-∞,]
3.設有一組圓Ck:(x-k+1)2+(y-3k)2=2k4(k∈N*)下列四個命題:
①存在一條定直線與所有的圓均相切;
②存在一條定直線與所有的圓均相交;
③存在一條定直線與所有的圓均不相交;
④所有的圓均不經(jīng)過原點.
其中
11、真命題的序號是________.
解析;圓心為(k-1,3k),圓心在y=3(x+1)上移動,半徑也隨k增大而增大,故y=3(x+1)一定與所有的圓均相交.故②正確,③不正確.
對于選項①,設存在定直線Ax+By+C=0與圓相切.
∴d=r,則與k無關(guān).
又k2=
顯然該式中k不可能消去,故①不正確.
對于選項④.只需代入坐標原點驗證即可.
答案:②④
4.在平面直角坐標系xOy中,設直線y=x+2m和圓x2+y2=n2相切,其中m,n∈N*,0<≤1,若函數(shù)f(x)=mx+1-n的零點x0∈(k,k+1),k∈Z,則k=________.
解析:∵直線y=x+2m和圓x2+
12、y2=n2相切,
∴=n,即2m=2n.
∵m,n∈N*,0<≤1,∴m=3,n=4.
∴f(x)=3x+1-4.
令3x+1-4=0,得x=log34-1∈(0,1),故k=0.
答案:0
二、解答題
5.(2012·鹽城質(zhì)檢)如圖,在平面直角坐標系xOy中,已知F1(-4,0),F(xiàn)2(4,0),A(0,8),直線y=t(0<t<8)與線段AF1、AF2分別交于點P、Q.
(1)當t=3時,求以F1,F(xiàn)2為焦點,且過PQ中點的橢圓的標準方程;
(2)過點Q作直線QR∥AF1交F1F2于點R,記△PRF1的外接圓為圓C.
①求證:圓心C在定直線7x+4y+8=0上;
13、②圓C是否恒過異于點F1的一個定點?若過,求出該點的坐標;若不過,請說明理由.
解:(1)設橢圓的方程為+=1(a>b>0),當t=3時,PQ的中點為(0,3),所以b=3而a2-b2=16,所以a2=25,故橢圓的標準方程為+=1.
(2)①證明:法一:易得直線AF1:y=2x+8;AF2:y=-2x+8,
所以可得P(,t),Q(,t),再由QR∥AF1,得R(4-t,0),
則線段F1R的中垂線方程為x=-,線段PF1的中垂線方程為y=-x+,
由,解得△PRF1的外接圓的圓心坐標為(-,-2).
經(jīng)驗證,該圓心在定直線7x+4y+8=0上.
法二:易得直線AF1:y=2x
14、+8;AF2:y=-2x+8,所以可得P(,t),Q(,t),
再由QR∥AF1,得R(4-t,0)
設△PRF1的外接圓C的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,
則y=,
解得,
所以圓心坐標為(-,-2),經(jīng)驗證,該圓心在定直線7x+4y+8=0上.
②由①可得圓C的方程為x2+y2+tx+(4-t)y+4t-16=0.
該方程可整理為(x2+y2+4y-16)+t(x-y+4)=0,
則由,解得或.
所以圓C恒過異于點F1的一個定點,該點坐標為(,).
6.已知正三角形OAB的三個頂點都在拋物線y2=2x上,其中O為坐標原點,設圓C是△OAB的外接圓(點C為圓心).
15、
(1)求圓C的方程;
(2)設圓M的方程為(x-4-7cosθ)2+(y-7sinθ)2=1,過圓M上任意一點P分別作圓C的兩條切線PE,PF,切點為E,F(xiàn),求·的最大值和最小值.
解:(1)設A,B兩點坐標分別為(,y1),(,y2),由題設知
+
=2 .
解得y=y(tǒng)=12,
所以A(6,2),B(6,-2)或A(6,-2),B(6,2).
設圓心C的坐標為(r,0),則r=×6=4,所以圓C的方程為(x-4)2+y2=16.
(2)設∠ECF=2α,則·=||·||cos2α=16cos2α=32cos2α-16.
在Rt△PCE中,cosα==,由圓的幾何性質(zhì)得
|PC|≤|MC|+1=7+1=8,|PC|≥|MC|-1=7-1=6,
所以≤cosα≤,由此可得-8≤·≤-.
則·的最大值為-,最小值為-8.