工程力學：第10章 能量方法

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1、第十章 能量方法2024/2/201材料力學彈性體在外力作用下發(fā)生變形時，載荷作用點也產(chǎn)生位移。外力在彈性體在外力作用下發(fā)生變形時，載荷作用點也產(chǎn)生位移。外力在相應(yīng)的位移上作了功。外力的功轉(zhuǎn)化成為積蓄在彈性體內(nèi)的相應(yīng)的位移上作了功。外力的功轉(zhuǎn)化成為積蓄在彈性體內(nèi)的變形能變形能（或稱為（或稱為應(yīng)變能應(yīng)變能,Strain energy）。）。牛頓力學牛頓力學(矢量力學）矢量力學）拉格郎日力學拉格郎日力學（能量原理）（能量原理）力學的三個基本原理力學的三個基本原理1，力的平衡關(guān)系，力的平衡關(guān)系2，變形幾何協(xié)調(diào)關(guān)系，變形幾何協(xié)調(diào)關(guān)系3，力與變形的關(guān)系，力與變形的關(guān)系能量原理能量原理能量極值原理能量極值

2、原理直接法直接法微分方程微分方程代數(shù)方程代數(shù)方程 10.1 概述概述2024/2/202材料力學一、軸向拉伸或壓縮一、軸向拉伸或壓縮PLLoBLPA式中式中 軸力，軸力，A 截面面積截面面積 10.2 應(yīng)變能的計算公式及其特征應(yīng)變能的計算公式及其特征2024/2/203材料力學由拉壓桿件組成的桿系的變形能：由拉壓桿件組成的桿系的變形能：P12345受力復雜桿受力復雜桿(軸力沿桿的軸線變化軸力沿桿的軸線變化)的變形能的變形能qLxdx應(yīng)變能密度（單位體積內(nèi)的應(yīng)變能）應(yīng)變能密度（單位體積內(nèi)的應(yīng)變能）2024/2/204材料力學2 2、圓截面桿的扭轉(zhuǎn)、圓截面桿的扭轉(zhuǎn)TLToBTA圓截面桿的變形能圓截

3、面桿的變形能式中式中 T 圓桿橫截面上的扭矩；圓桿橫截面上的扭矩；圓桿橫截面對圓心的極慣性矩。圓桿橫截面對圓心的極慣性矩。2024/2/205材料力學受力復雜的圓截面桿受力復雜的圓截面桿(扭矩沿桿的軸線為變量扭矩沿桿的軸線為變量)xdxLtAB2024/2/206材料力學3 3、平面彎曲、平面彎曲純彎曲梁的變形能：純彎曲梁的變形能：式中式中 M梁橫截面上的彎矩；梁橫截面上的彎矩；I梁橫截面對中性軸的慣性矩梁橫截面對中性軸的慣性矩LMMoBAM2024/2/207材料力學橫力彎曲梁橫力彎曲梁(彎矩沿梁的軸線為變量彎矩沿梁的軸線為變量)的變形能的變形能PM=PaACBaa2024/2/208材料力

4、學式中式中一般實心截面的細長梁一般實心截面的細長梁:剪切變形能遠小于其彎曲變形能，通常忽剪切變形能遠小于其彎曲變形能，通常忽略不計。略不計。k 由截面的幾何形狀決定由截面的幾何形狀決定:矩形截面矩形截面:k=1.2,圓截面圓截面:k=10/9,圓環(huán)形截面圓環(huán)形截面:k=2。4 4、剪切、剪切橫力彎曲梁上的剪切應(yīng)變能橫力彎曲梁上的剪切應(yīng)變能2024/2/209材料力學L產(chǎn)生組合變形時的應(yīng)變能產(chǎn)生組合變形時的應(yīng)變能注意：注意：應(yīng)變能為內(nèi)力（或外力）的二次函數(shù)，故疊加原理在應(yīng)變能計應(yīng)變能為內(nèi)力（或外力）的二次函數(shù)，故疊加原理在應(yīng)變能計算中不能使用；算中不能使用；彈性應(yīng)變能與加載的次序無關(guān)。彈性應(yīng)變能

5、與加載的次序無關(guān)。2024/2/2010材料力學例例10-1 計算圖示梁的應(yīng)變能。計算圖示梁的應(yīng)變能。AMBEIC2l/3l/3解：解：方法方法1：利用功能原理：利用功能原理（1）首先求出外力偶作用處）首先求出外力偶作用處C截面的轉(zhuǎn)角截面的轉(zhuǎn)角（2）由功能原理，則外力偶作的功等于梁的變形能）由功能原理，則外力偶作的功等于梁的變形能2024/2/2011材料力學（2）求彎曲應(yīng)變能）求彎曲應(yīng)變能方法方法2：利用應(yīng)變能公式：利用應(yīng)變能公式AMBEICx2x1M/lM/l（1）梁的彎矩方程）梁的彎矩方程2024/2/2012材料力學 10.3 應(yīng)變能的普遍表達式應(yīng)變能的普遍表達式PoB A 基本變形下

6、變形能的一般表達式：基本變形下變形能的一般表達式：式中式中P廣義力廣義力(力或力偶力或力偶)；廣義位移廣義位移(線位移或角位移線位移或角位移)且且 P=C。彈性體的變形能決定于外力和位移的最終值，與加載的過程無關(guān)。彈性體的變形能決定于外力和位移的最終值，與加載的過程無關(guān)。2024/2/2013材料力學應(yīng)變能的普遍表達式應(yīng)變能的普遍表達式(克拉貝依隆原理克拉貝依隆原理)線彈性材料線彈性材料2024/2/2014材料力學 廣義力，力或力偶，或一對力，或一對力偶。廣義力，力或力偶，或一對力，或一對力偶。特別注意點：特別注意點：在所有力共同作用下與廣義力在所有力共同作用下與廣義力 相對應(yīng)的沿著力的相對

7、應(yīng)的沿著力的方向的廣義位移。方向的廣義位移。關(guān)于應(yīng)變能計算的討論：關(guān)于應(yīng)變能計算的討論：1、以上計算公式僅適用于線彈性材料在小變形下的應(yīng)變、以上計算公式僅適用于線彈性材料在小變形下的應(yīng)變能的計算。能的計算。2、應(yīng)變能可以通過外力功計算，也可以通過桿件微段上、應(yīng)變能可以通過外力功計算，也可以通過桿件微段上的內(nèi)力功等于微段的應(yīng)變能，然后積分求得整個桿件上的內(nèi)力功等于微段的應(yīng)變能，然后積分求得整個桿件上的應(yīng)變能。的應(yīng)變能。2024/2/2015材料力學3應(yīng)變能為內(nèi)力（或外力）的二次函數(shù)，故疊加原理在應(yīng)變能應(yīng)變能為內(nèi)力（或外力）的二次函數(shù)，故疊加原理在應(yīng)變能4計算中不能使用。只有當桿件上任一載荷在其他

8、載荷引起的位移計算中不能使用。只有當桿件上任一載荷在其他載荷引起的位移5上不做功時，才可應(yīng)用。上不做功時，才可應(yīng)用。4 應(yīng)變能是恒為正的標量，與坐標軸的選擇無關(guān)，在桿系結(jié)構(gòu)中，應(yīng)變能是恒為正的標量，與坐標軸的選擇無關(guān)，在桿系結(jié)構(gòu)中，各桿可獨立選取坐標系。各桿可獨立選取坐標系。2024/2/2016材料力學 10.4 功的互等定理和位移互等定理功的互等定理和位移互等定理位移的第一個下標表示點的位置，第二個下標表示產(chǎn)生此位移的力位移的第一個下標表示點的位置，第二個下標表示產(chǎn)生此位移的力1，在梁上先作用，在梁上先作用F1，再作用再作用F2，2，在梁上先作用，在梁上先作用F2，再作用再作用F1，由于由

9、于V=W1W2所以所以 F112F221（1）（2）1121F1（2）（1）1222F2（1）（2）1122F1F212（1）（2）1122F121F22024/2/2017材料力學上式表示，上式表示，F(xiàn)1（或第一組廣義力）在由或第一組廣義力）在由F2（或第二組廣義力）所或第二組廣義力）所引起的位移上做的功，等于引起的位移上做的功，等于F2（或第二組廣義力）在由或第二組廣義力）在由F1（或第或第一組廣義力）所引起的位移上做的功。這就是一組廣義力）所引起的位移上做的功。這就是功的互等定理功的互等定理如果進一步假設(shè)如果進一步假設(shè)F1F2，那么得到那么得到 上式可以敘述為，一個力作用于點（上式可以敘

10、述為，一個力作用于點（2）時在點（）時在點（1）引起的位移，）引起的位移，等于同一個力作用于點（等于同一個力作用于點（1）時在點（）時在點（2）引起的位移。這也就是）引起的位移。這也就是位移互等定理。位移互等定理。F112F2212024/2/2018材料力學 表示位移，則有表示位移，則有 若令若令（即為單位力），且此時用（即為單位力），且此時用由于由于1、2兩截面是任意的，故上述關(guān)系可寫為以下一般形式兩截面是任意的，故上述關(guān)系可寫為以下一般形式 即即j處作用的單位力在處作用的單位力在i處產(chǎn)生的位移，等于處產(chǎn)生的位移，等于i處作用的單位力在處作用的單位力在j處產(chǎn)生的位移。處產(chǎn)生的位移。上述互等

11、定理中的力和位移泛指廣義力和廣義位移上述互等定理中的力和位移泛指廣義力和廣義位移 2024/2/2019材料力學設(shè)在某彈性體上作用有外力設(shè)在某彈性體上作用有外力，在支承約束下，在支承約束下在相應(yīng)的力在相應(yīng)的力 方向產(chǎn)生的位移為方向產(chǎn)生的位移為，(i=1,2,n)?？梢宰C明：可以證明：10.5 卡氏定理卡氏定理2024/2/2020材料力學 應(yīng)用卡氏定理求出應(yīng)用卡氏定理求出 為正時，表示該廣義位移與其相應(yīng)的廣義力作為正時，表示該廣義位移與其相應(yīng)的廣義力作用的方向一致；若為負值，則表示方向相反。用的方向一致；若為負值，則表示方向相反。注意：只有當彈性系統(tǒng)為線性，即其位移與載荷成線性關(guān)注意：只有當彈

12、性系統(tǒng)為線性，即其位移與載荷成線性關(guān)系時，才能應(yīng)用卡氏定理。系時，才能應(yīng)用卡氏定理。2024/2/2021材料力學證明：證明：總應(yīng)變能為：總應(yīng)變能為：考慮兩種不同的加載次序?？紤]兩種不同的加載次序。(1)先加先加 ，此時彈性體的變形能為，此時彈性體的變形能為V：然后給廣義力然后給廣義力Fi加一個增量加一個增量dFi，則有則有2024/2/2022材料力學先加先加dFi，然后再加各廣義力，然后再加各廣義力F1,F2,Fn系統(tǒng)應(yīng)變能為系統(tǒng)應(yīng)變能為材料服從虎克定律，小變形線彈性應(yīng)變能與加載次序無關(guān)材料服從虎克定律，小變形線彈性應(yīng)變能與加載次序無關(guān) 略去二階微量略去二階微量 2024/2/2023材料

13、力學卡氏定理的特殊形式卡氏定理的特殊形式(1)軸向拉伸或壓縮桿軸向拉伸或壓縮桿(2)扭轉(zhuǎn)圓桿扭轉(zhuǎn)圓桿(3)平面彎曲梁平面彎曲梁(4)組合變形桿件組合變形桿件2024/2/2024材料力學(5)簡單桁架結(jié)構(gòu)簡單桁架結(jié)構(gòu)計算結(jié)構(gòu)某處的位移時，該處應(yīng)有與所求位移相應(yīng)的外力計算結(jié)構(gòu)某處的位移時，該處應(yīng)有與所求位移相應(yīng)的外力作用，如果這種外力不存在，可在該處附加虛設(shè)的外力作用，如果這種外力不存在，可在該處附加虛設(shè)的外力 ，從而仍然可以采用卡氏定理求解。從而仍然可以采用卡氏定理求解。2024/2/2025材料力學CFABl/2l/2例例10-2 試用卡氏定理求簡支梁中點撓度。試用卡氏定理求簡支梁中點撓度。

14、解：由于對于中點的對稱性，只需解：由于對于中點的對稱性，只需考慮考慮AC段的應(yīng)變能。段的應(yīng)變能。根據(jù)卡氏定理，根據(jù)卡氏定理，C點撓度為點撓度為2024/2/2026材料力學xyALq 例例10-3 試用卡氏定理求圖示懸臂梁端點試用卡氏定理求圖示懸臂梁端點A的撓度和轉(zhuǎn)角。的撓度和轉(zhuǎn)角。FfAqMfAq解：為了求解：為了求A點撓度和轉(zhuǎn)角，設(shè)點撓度和轉(zhuǎn)角，設(shè)有虛擬力有虛擬力Ff 和力偶矩和力偶矩Mf 作用。作用。最后令虛擬力為零。最后令虛擬力為零。答案的負號表示位移與答案的負號表示位移與虛擬力方向相反。虛擬力方向相反。2024/2/2027材料力學 例例10-4 圖示桁架各桿的材料相，截面面積相等，

15、在載荷圖示桁架各桿的材料相，截面面積相等，在載荷P作用作用下，試求節(jié)點下，試求節(jié)點B與與D間的相對位移。間的相對位移。解：在解：在B、D連線方向作用一對虛加力連線方向作用一對虛加力Ff 桁架在載荷桁架在載荷P與一對虛加力與一對虛加力Ff 共同作用下共同作用下 2024/2/2028材料力學用卡氏定理求用卡氏定理求B點沿點沿BD方向的位移方向的位移 令上式中的令上式中的Ff為零為零 方向為方向為B向向D靠近靠近2024/2/2029材料力學一、虛功原理一、虛功原理1 1、剛體、剛體虛位移虛位移 滿足約束條件的假想的任意微小位移。滿足約束條件的假想的任意微小位移。虛位移原理虛位移原理 作用于剛體上

16、的力對于任何虛位移所作的總功等作用于剛體上的力對于任何虛位移所作的總功等于零（平衡的必要和充分條件）。于零（平衡的必要和充分條件）。10.6 虛功原理及單位載荷法虛功原理及單位載荷法2024/2/2030材料力學材料力學2 2、可變形固體、可變形固體 滿足約束條件和變形連續(xù)條件的假想的任意微小位移。滿足約束條件和變形連續(xù)條件的假想的任意微小位移。外力作用下，物體產(chǎn)生變形的同時產(chǎn)生內(nèi)力外力作用下，物體產(chǎn)生變形的同時產(chǎn)生內(nèi)力虛位移虛位移 虛位移原理虛位移原理外力和內(nèi)力對于虛位移所作的總虛功等于零外力和內(nèi)力對于虛位移所作的總虛功等于零（平衡的充要條件），即（平衡的充要條件），即We（外力虛功）外力虛

17、功）Wi（內(nèi)力虛功）內(nèi)力虛功）02024/2/2031材料力學材料力學3 3、梁的虛位移原理梁的虛位移原理 圖圖a所示的位移為由載荷產(chǎn)生所示的位移為由載荷產(chǎn)生的實際位移，簡稱的實際位移，簡稱實位移實位移。載荷。載荷對于其相應(yīng)位移上所作的功為實對于其相應(yīng)位移上所作的功為實功。圖功。圖b所示的位移為梁的虛位移，所示的位移為梁的虛位移，它是滿足約束條件和變形連續(xù)條它是滿足約束條件和變形連續(xù)條件的假想的任意微小位移，與梁件的假想的任意微小位移，與梁上的載荷及其內(nèi)力完全無關(guān)。上的載荷及其內(nèi)力完全無關(guān)。(a)x 實際位移實際撓曲線lxdxy(b)x 虛位移虛設(shè)撓曲線lxdxy2024/2/2032材料力學

18、材料力學 梁上廣義力 的作用點沿其作用方向的虛位移分別為 外力對于虛位移所作的總虛功為外力對于虛位移所作的總虛功為 (a)外力虛功外力虛功(b)x 虛位移虛設(shè)撓曲線lxdxy(b)內(nèi)力虛功內(nèi)力虛功 取梁的取梁的dx微段進行分析。圖微段進行分析。圖c為微段的原始位置，其上面各力均由為微段的原始位置，其上面各力均由載荷產(chǎn)生，它們?yōu)榱旱膬?nèi)力，也是微段的外力。載荷產(chǎn)生，它們?yōu)榱旱膬?nèi)力，也是微段的外力。2024/2/2033材料力學材料力學（圖d 的實線）由于梁的虛位移，使微段位移至圖由于梁的虛位移，使微段位移至圖d d 所示位置。微段的虛位移可分為兩部所示位置。微段的虛位移可分為兩部分：分：暫不計微段

19、的變形，由于梁的其它部分的變形，而引暫不計微段的變形，由于梁的其它部分的變形，而引起的微段的虛位移，微段由起的微段的虛位移，微段由abcd 位置移至位置移至 。一為剛性體位移一為剛性體位移。(d)(b)x 虛位移虛設(shè)撓曲線lxdxyQQ+dQ2024/2/2034材料力學材料力學 由于微段本身的虛變形而引起的位移，使微段由 移到 （圖d的虛線）。變形虛位移包括由彎曲和剪切產(chǎn)生的兩部分，如圖(e)和圖(f)所示。二為變形虛位移二為變形虛位移。(d)(b)x 虛位移虛設(shè)撓曲線lxdxyQQ+dQ2024/2/2035材料力學材料力學(b)由由剛剛體虛位移原理可知，所有外力體虛位移原理可知，所有外力

20、對對于微段的于微段的剛剛體虛位移所作的體虛位移所作的總總虛功等于零。虛功等于零。M、對于變形虛位移（圖e,f），所做的虛功為2024/2/2036材料力學材料力學(b)式為微段的外力虛功式為微段的外力虛功dWe(M、Q 對微段來講是外力），設(shè)對微段來講是外力），設(shè)微段的內(nèi)力虛功為微段的內(nèi)力虛功為dWi。由變形固體的虛位移原理，即由變形固體的虛位移原理，即 (c)梁的總內(nèi)力虛功為梁的總內(nèi)力虛功為 (d)將將(a),(da),(d)式代入，得梁的式代入，得梁的虛功原理表達式虛功原理表達式為為即2024/2/2037材料力學材料力學 組合變形時，桿橫截面上的內(nèi)力一般有彎矩M，剪力Q，軸力N及扭矩T。

21、與軸力相應(yīng)的虛變形位移為沿軸力方向的線位移dd，與扭矩相應(yīng)的虛變形位移為扭轉(zhuǎn)角 d。仿照梁的虛位移原理，可得組合變形時的虛位移原理表達式為 4 4、組合變形的虛位移原理組合變形的虛位移原理 由于以上分析中沒有涉及材料的物理性質(zhì)，式適用于彈性體和非彈性體問題。2024/2/2038材料力學材料力學 (1)因為由載荷引起的位移，滿足約束條件和變形連續(xù)條件，且為微小位移，滿足可變形固體的虛位移條件。因此，可以把由載荷引起的實際位移D，作為虛位移。由載荷引起的微段的變形d,dl,dd,d 作為變形虛位移。即以實際位移作為虛位移，實際變形作為變形虛位移。以實際位移作為虛位移，實際變形作為變形虛位移。(2

22、)若要確定在載荷作用下桿件上某一截面沿某一指定方向的實際位移D，可在該處施加一個相應(yīng)的單位力，并以此作為單位載荷。即以虛設(shè)單位以虛設(shè)單位力作為載荷力作為載荷。由單位力引起的內(nèi)力記為 。二、單位載荷法二、單位載荷法2024/2/2039材料力學材料力學（3）單位力所做的外力虛功為 We=1D單位力法的虛功原理表達式為單位力法的虛功原理表達式為該式適用于彈性體和非彈性體問題。該式適用于彈性體和非彈性體問題。單位力在桿件上產(chǎn)生的內(nèi)力做的虛功為單位力在桿件上產(chǎn)生的內(nèi)力做的虛功為2024/2/2040材料力學材料力學 以抗彎為主的桿件，軸力和剪力影響可以不計以抗彎為主的桿件，軸力和剪力影響可以不計 只有

23、軸力的桿件只有軸力的桿件 對有對有n根桿的桿系根桿的桿系受扭桿件某一截面的扭受扭桿件某一截面的扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角角以上諸式稱為以上諸式稱為莫爾定理莫爾定理，式中積分稱為莫爾積分，式中積分稱為莫爾積分.2024/2/2041材料力學 若材料是線彈性的若材料是線彈性的 虛功原理表示為虛功原理表示為以上諸式只適用于線彈性體以上諸式只適用于線彈性體2024/2/2042材料力學 在在C 截面處施加單位力（圖截面處施加單位力（圖 b），），由載荷及單位力引起的彎矩方程分由載荷及單位力引起的彎矩方程分別為別為 (0 x l)(a)例例 10-5 梁的彎曲剛度為梁的彎曲剛度為EI，不計剪力對位移的影響。試用不計剪力對

24、位移的影響。試用單位載單位載荷法荷法求求 。(0 x l/2)(b)解：解：1.求2024/2/2043材料力學材料力學因為 均關(guān)于C 截面對稱的，故C 截面的撓度為（和單位力方向一致）（和單位力方向一致）（）2024/2/2044材料力學材料力學A截面處的轉(zhuǎn)角為截面處的轉(zhuǎn)角為（）（和單位力偶的轉(zhuǎn)向相反）（和單位力偶的轉(zhuǎn)向相反）在在 A 截面處加單位力偶（圖截面處加單位力偶（圖c），），單位力偶引起的彎矩方單位力偶引起的彎矩方程為程為(0 x l)(c)2.求2024/2/2045材料力學材料力學 例例10-6 平面剛架如圖所示。剛架各部分截面相同，試求截面平面剛架如圖所示。剛架各部分截面相同，試求截面A的轉(zhuǎn)角。的轉(zhuǎn)角。3l4lABCDP解：各桿的彎矩方程為解：各桿的彎矩方程為 設(shè)梁上設(shè)梁上A處單獨作用一單位力偶處單獨作用一單位力偶 ABCDPx1x3x2ABCD1x1x3x22024/2/2046材料力學轉(zhuǎn)角的方向與單位力偶方向相同。轉(zhuǎn)角的方向與單位力偶方向相同。2024/2/2047材料力學