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1、第十三章第十三章 能量法能量法13-1 概概 述述 在彈性范圍內(nèi)，彈性體在外力作用下發(fā)在彈性范圍內(nèi)，彈性體在外力作用下發(fā)生變形而在體內(nèi)積蓄的能量，稱為彈性應(yīng)變能，生變形而在體內(nèi)積蓄的能量，稱為彈性應(yīng)變能，簡稱應(yīng)變能。簡稱應(yīng)變能。物體在外力作用下發(fā)生變形，物體的變物體在外力作用下發(fā)生變形，物體的變形能在數(shù)值上等于外力在加載過程中在相應(yīng)位形能在數(shù)值上等于外力在加載過程中在相應(yīng)位移上所做的功，即移上所做的功，即=W13-2 桿件變形能計算桿件變形能計算一、軸向拉伸和壓縮一、軸向拉伸和壓縮二、扭轉(zhuǎn)二、扭轉(zhuǎn)三、彎曲三、彎曲純彎曲：純彎曲：橫力彎曲：橫力彎曲：13-3 變形能的普遍表達(dá)式變形能的普遍表達(dá)式
2、即即：線彈性體的變形能等于每一外力與其相應(yīng)位移乘積的二分之一的：線彈性體的變形能等于每一外力與其相應(yīng)位移乘積的二分之一的總和?？偤?。所有的廣義力均以靜力方式，按一定比例由所有的廣義力均以靜力方式，按一定比例由O增加至最終值。任一廣義位移增加至最終值。任一廣義位移 與與整個力系有關(guān)，但與其相應(yīng)的廣義力整個力系有關(guān)，但與其相應(yīng)的廣義力 呈線性關(guān)系。呈線性關(guān)系。例：試求圖示懸臂梁的應(yīng)變能，并利用功例：試求圖示懸臂梁的應(yīng)變能，并利用功能原理求自由端能原理求自由端B的撓度。的撓度。F解：解：例題：懸臂梁在自由端承受集中力例題：懸臂梁在自由端承受集中力F及集中力偶矩及集中力偶矩M0作用。設(shè)作用。設(shè)EI為常
3、數(shù)，試求為常數(shù)，試求梁的應(yīng)變能。梁的應(yīng)變能。LFMeAB解：解：彎矩方程彎矩方程 變形能變形能LFM0AB 當(dāng)當(dāng)F和和M0分別作用時分別作用時 用普遍定理用普遍定理13-4 互等定理互等定理位移發(fā)生點位移發(fā)生點荷載作用點荷載作用點F1F2F1F2F1F2F1功的互等定理功的互等定理:位移互等定理位移互等定理:例：求圖示簡支梁例：求圖示簡支梁C截面的撓度。截面的撓度。F 例：求圖示懸臂梁中點例：求圖示懸臂梁中點C處的鉛垂位移處的鉛垂位移 。F13-5 卡氏定理卡氏定理若只給若只給 以增量以增量 ，其余不變，在，其余不變，在 作用下，原各力作用點將作用下，原各力作用點將產(chǎn)生位移產(chǎn)生位移變形能的增加
4、量：變形能的增加量：略去二階小量，則：略去二階小量，則：如果把原有諸力看成第一組力，把如果把原有諸力看成第一組力，把 看作第二組力，根據(jù)互等看作第二組力，根據(jù)互等定理：定理：所以：所以：變形能對任一載荷變形能對任一載荷Fi 的偏導(dǎo)數(shù)，等于的偏導(dǎo)數(shù)，等于Fi作用點沿作用點沿Fi方向的位移方向的位移卡氏第二定理卡氏第二定理推導(dǎo)過程使用了互等定理，所以只適用線彈性結(jié)構(gòu)。推導(dǎo)過程使用了互等定理，所以只適用線彈性結(jié)構(gòu)。橫力彎曲：桁架桿件受拉壓：軸受扭矩作用：13-6 單位載荷法單位載荷法 莫爾積分莫爾積分莫爾定理莫爾定理（莫爾積分）（莫爾積分）例：試用莫爾定例：試用莫爾定理計算圖理計算圖(a)所所示示懸
5、臂梁自由端懸臂梁自由端B的撓度和轉(zhuǎn)角。的撓度和轉(zhuǎn)角。13-7計算莫爾積分的圖乘法計算莫爾積分的圖乘法 在應(yīng)用莫爾定理求位移時，需計算下列在應(yīng)用莫爾定理求位移時，需計算下列形式的積分：形式的積分：對于等直桿，對于等直桿，EI=const，可以提到積分號外，可以提到積分號外，故只需計算積分故只需計算積分直桿的直桿的M0(x)圖必定是直線或折線。圖必定是直線或折線。頂點頂點頂點頂點二次拋物線二次拋物線 例：試用圖乘法求例：試用圖乘法求所所示懸臂梁自由端示懸臂梁自由端B的撓度和轉(zhuǎn)角。的撓度和轉(zhuǎn)角。LFF解（1）求自由端的撓度Fm=1(2)求自由端的轉(zhuǎn)角求自由端的轉(zhuǎn)角例：試用圖乘法求例：試用圖乘法求所所
6、示簡支梁的最大撓度和最大示簡支梁的最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。轉(zhuǎn)角。qM解解（1）簡支梁的最大撓度簡支梁的最大撓度（2）求最大轉(zhuǎn)角）求最大轉(zhuǎn)角最大轉(zhuǎn)角發(fā)生在兩個支座處最大轉(zhuǎn)角發(fā)生在兩個支座處 例：試用圖乘法求例：試用圖乘法求所所示簡支梁示簡支梁C截面的撓截面的撓度和度和A、B截面的轉(zhuǎn)角。截面的轉(zhuǎn)角。CL12TU34解：解：例：試用圖乘法求例：試用圖乘法求所所示懸臂梁自由端示懸臂梁自由端B的的撓度和轉(zhuǎn)角。撓度和轉(zhuǎn)角。CL12TU35解：解：例：試用圖乘法求圖示懸臂梁中點例：試用圖乘法求圖示懸臂梁中點C處的處的鉛垂位移。鉛垂位移。CL12TU36解：解：例：圖示梁，抗彎剛度為例：圖示梁，抗彎剛度為EI，承
7、受均布載，承受均布載荷荷q及集中力及集中力X作用。用圖乘法求：作用。用圖乘法求：(1)集中力作用端撓度為零時的集中力作用端撓度為零時的X值；值；(2)集中力作用端轉(zhuǎn)角為零時的集中力作用端轉(zhuǎn)角為零時的X值。值。CL12TU37F解：解：(1)F(2)例：圖示梁的抗彎剛度為例：圖示梁的抗彎剛度為EI，試求，試求D點的點的鉛垂位移。鉛垂位移。CL12TU38解：解：例：圖示開口剛架，例：圖示開口剛架，EI=const。求。求A、B兩截面的相對角位移兩截面的相對角位移 AB 和沿和沿P力作用線方向力作用線方向的相對線位移的相對線位移 AB。CL12TU39解：解：例：用圖乘法求圖示階梯狀梁例：用圖乘法求圖示階梯狀梁A截面的轉(zhuǎn)截面的轉(zhuǎn)角及角及E截面的撓度。截面的撓度。CL12TU40解：解：例：圖示剛架，例：圖示剛架，EI=const。求。求A截面的水截面的水平位移平位移 AH 和轉(zhuǎn)角和轉(zhuǎn)角A。CL12TU41解：解：
材料力學(xué)：第十三章能量法
