13、“割圓術(shù)”，將π的值精確到小數(shù)點(diǎn)后七位，其結(jié)果領(lǐng)先世界一千多年．“割圓術(shù)”的第一步是計(jì)算單位圓內(nèi)接正六邊形的面積S6，S6＝________.
[如圖所示，單位圓的半徑為1，則其內(nèi)接正六邊形ABCDEF中，△AOB是邊長(zhǎng)為1的正三角形，所以正六邊形ABCDEF的面積為S6＝6××1×1×sin 60°＝.]
1．(2020·深圳二模)棣莫弗公式(cos x＋isin x)n＝cos nx＋isin nx(i為虛數(shù)單位)是由法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗(1667－1754)發(fā)現(xiàn)的，根據(jù)棣莫弗公式可知，復(fù)數(shù)6在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限
14、D．第四象限
C [由(cos x＋isin x)n＝cos nx＋isin nx，
得6＝cos ＋isin ＝－cos －isin ，
∴復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第三象限．故選C．]
2．(2020·淄博期中)“中國(guó)剩余定理”又稱(chēng)“孫子定理”.1852年，英國(guó)來(lái)華傳教士偉烈亞力將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問(wèn)題的解法傳至歐洲.1874年，英國(guó)數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而四方稱(chēng)之為“中國(guó)剩余理”．“中國(guó)剩余定理”講的是一個(gè)關(guān)于整除的問(wèn)題，現(xiàn)有這樣一個(gè)整除問(wèn)題：將1至2019中能被3除余1且被5除余1的數(shù)按由小到大的順序排成
15、一列，構(gòu)成數(shù)列{an}，則此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為( )
A．134 B．135 C．136 D．137
B [由能被3除余1且被5除余1的數(shù)就是能被15整除余1的數(shù)，
故an＝15n－14.由an＝15n－14≤2019，得n≤135，
故此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為135.故選B．]
3．(2020·綿陽(yáng)模擬)數(shù)學(xué)與建筑的結(jié)合造就建筑藝術(shù)品，2018年南非雙曲線(xiàn)大教堂面世便驚艷世界，如圖．若將此大教堂外形弧線(xiàn)的一段近似看成焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線(xiàn)－＝1(a＞0，b＞0)上支的一部分，且上焦點(diǎn)到上頂點(diǎn)的距離為2，到漸近線(xiàn)距離為2，則此雙曲線(xiàn)的離心率為( )
A．2 B．3 C．2 D．2
16、
B [雙曲線(xiàn)－＝1(a＞0，b＞0)的上焦點(diǎn)到上頂點(diǎn)的距離為2，到漸近線(xiàn)距離為2，
可得：，解得a＝1，c＝3，b＝2，
所以雙曲線(xiàn)的離心率為：e＝＝3.故選B．]
4.(2020·濟(jì)南一模)加強(qiáng)體育鍛煉是青少年生活學(xué)習(xí)中非常重要的組成部分．某學(xué)生做引體向上運(yùn)動(dòng)，處于如圖所示的平衡狀態(tài)時(shí)，若兩只胳膊的夾角為60°，每只胳膊的拉力大小均為400 N，則該學(xué)生的體重(單位：kg)約為( )
(參考數(shù)據(jù)：取重力加速度大小為g＝10 m/s2，≈1.732)
A．63 B．69 C．75 D．81
B [由題意知，F(xiàn)1＝F2＝400，夾角θ＝60°，
所以G＋F1＋F2＝
17、0，即G＝－(F1＋F2)；所以G2＝(F1＋F2)2＝4002＋2×400×400×cos 60°＋4002＝3×4002；
即|G|＝400(N)，所以學(xué)生的體重為400÷10＝40 kg.
即該學(xué)生的體重(單位：kg)約為40＝40×1.732≈69(kg)，故選B．]
5．(2020·廣州一模)陀螺是中國(guó)民間最早的娛樂(lè)工具，也稱(chēng)陀羅. 如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線(xiàn)畫(huà)出的是某個(gè)陀螺的三視圖，則該陀螺的表面積為( )
A．(7＋2)π B．(10＋2)π
C．(10＋4)π D．(11＋4)π
C [由題意可知幾何體的直觀圖如圖，上部是底面半徑為1，高為
18、3的圓柱，下部是底面半徑為2，高為2的圓錐，幾何體的表面積為：4π＋×4π×2＋2π×3＝(10＋4)π，故選C．]
6．(2020·廣州模擬)某人造地球衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是以地心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，其軌道的離心率為e，設(shè)地球半徑為R，該衛(wèi)星近地點(diǎn)離地面的距離為r，則該衛(wèi)星遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面的距離為( )
A．r＋R B．r＋R
C．r＋R D．r＋R
A [橢圓的離心率：e＝∈(0,1)，(c為半焦距；a為長(zhǎng)半軸)設(shè)衛(wèi)星近地點(diǎn)，遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面距離分別為m，n，由題意，結(jié)合圖形可知，a－c＝r＋R，遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面的距離為：n＝a＋c－R，m＝a－c－R, a＝， c＝，所以遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面的
19、距離為：n＝a＋c－R＝＋－R＝r＋R.故選A．]
7．(2020·咸陽(yáng)二模)“一帶一路”是“絲綢之路經(jīng)濟(jì)帶”和“21世紀(jì)海上絲綢之路”的簡(jiǎn)稱(chēng)，旨在積極發(fā)展我國(guó)與沿線(xiàn)國(guó)家經(jīng)濟(jì)合作關(guān)系，共同打造政治互信、經(jīng)濟(jì)融合、文化包容的命運(yùn)共同體．自2015年以來(lái)，“一帶一路”建設(shè)成果顯著．下圖是2015～2019年，我國(guó)對(duì)“一帶一路”沿線(xiàn)國(guó)家進(jìn)出口情況統(tǒng)計(jì)圖，下列描述錯(cuò)誤的是( )
A．這五年，出口總額之和比進(jìn)口總額之和大
B．這五年，2015 年出口額最少
C．這五年，2019 年進(jìn)口增速最快
D．這五年，出口增速前四年逐年下降
D [對(duì)于A，這五年，出口總額之和比進(jìn)口總額之和大，
20、故A正確；
對(duì)于B,2015年出口額最少，故B正確；
對(duì)于C，這五年，2019 年進(jìn)口增速最快，故C正確；
對(duì)于D，根據(jù)出口線(xiàn)斜率可知，這五年，出口增速前三年先升后降，第四年后增速開(kāi)始增加，故D錯(cuò)誤．
故選D．]
8．(2020·商丘模擬)歷史上有不少數(shù)學(xué)家都對(duì)圓周率作過(guò)研究，第一個(gè)用科學(xué)方法尋求圓周率數(shù)值的人是阿基米德，他用圓內(nèi)接和外切正多邊形的周長(zhǎng)確定圓周長(zhǎng)的上下界，開(kāi)創(chuàng)了圓周率計(jì)算的幾何方法，而中國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽只用圓內(nèi)接正多邊形就求得π的近似值，他的方法被后人稱(chēng)為割圓術(shù)．近代無(wú)窮乘積式、無(wú)窮連分?jǐn)?shù)、無(wú)窮級(jí)數(shù)等各種π值的表達(dá)式紛紛出現(xiàn)，使得π值的計(jì)算精度也迅速增加．華理斯在1655
21、年求出一個(gè)公式：＝，根據(jù)該公式繪制出了估計(jì)圓周率π的近似值的程序框圖，如下圖所示，執(zhí)行該程序框圖，已知輸出的T＞2.8，若判斷框內(nèi)填入的條件為k≥m？，則正整數(shù)m的最小值是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
B [初始：k＝1，T＝2，第一次循環(huán)：T＝2××＝＜2.8，k＝2，繼續(xù)循環(huán)；
第二次循環(huán)：T＝××＝＞2.8，k＝3，此時(shí)T＞2.8，滿(mǎn)足條件，結(jié)束循環(huán)，
所以判斷框內(nèi)填入的條件可以是k≥3？，所以正整數(shù)m的最小值是3，故選B．]
9．(2020·郴州模擬)達(dá)芬奇的經(jīng)典之作《蒙娜麗莎》舉世聞名．如圖，畫(huà)中女子神秘的微笑，數(shù)百年來(lái)讓無(wú)數(shù)觀賞者入迷．某業(yè)余愛(ài)好者
22、對(duì)《蒙娜麗莎》的縮小影像作品進(jìn)行了粗略測(cè)繪，將畫(huà)中女子的嘴唇近似看作一個(gè)圓弧，在嘴角A，C處作圓弧的切線(xiàn)，兩條切線(xiàn)交于B點(diǎn)，測(cè)得如下數(shù)據(jù)：AB＝6 cm，BC＝6 cm，AC＝10.392 cm(其中≈0.866)．根據(jù)測(cè)量得到的結(jié)果推算：將《蒙娜麗莎》中女子的嘴唇視作的圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角大約等于( )
A． B． C． D．
A [∵AB＝6 cm，BC＝6 cm，AC＝10.392 cm(其中≈0.866)．
設(shè)∠ABC＝2θ.∴sin θ＝＝0.866≈，
∵ 由題意θ必為銳角，可得θ≈，
設(shè)《蒙娜麗莎》中女子的嘴唇視作的圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角為α.
則α＋2θ＝π，
23、 ∴α＝π－＝.故選A．]
10．(2020·福建模擬)上世紀(jì)末河南出土的以鶴的尺骨(翅骨)制成的“骨笛”(圖1)，充分展示了我國(guó)古代高超的音律藝術(shù)及先進(jìn)的數(shù)學(xué)水平，也印證了我國(guó)古代音律與歷法的密切聯(lián)系．圖2為骨笛測(cè)量“春(秋)分”，“夏(冬)至”的示意圖．圖3是某骨笛的部分測(cè)量數(shù)據(jù)(骨笛的彎曲忽略不計(jì))，夏至(或冬至)日光(當(dāng)日正午太陽(yáng)光線(xiàn))與春秋分日光(當(dāng)日正午太陽(yáng)光線(xiàn))的夾角等于黃赤交角．
由歷法理論知，黃赤交角近1萬(wàn)年持續(xù)減小，其正切值及對(duì)應(yīng)的年代如表：
黃赤交角
23°41′
23°57′
24°13′
24°28′
24°44′
正切值
0.439
0.4
24、44
0.450
0.455
0.461
年代
公元元年
公元前2000年
公元前4000年
公元前6000年
公元前8000年
根據(jù)以上信息，通過(guò)計(jì)算黃赤交角，可估計(jì)該骨笛的大致年代是( )
A．公元前2000年到公元元年
B．公元前4000年到公元前2000年
C．公元前6000年到公元前4000年
D．早于公元前6000年
D [由題意，可設(shè)冬至日光與垂直線(xiàn)夾角為α，春秋分日光與垂直線(xiàn)夾角為β，
則α－β即為冬至日光與春秋分日光的夾角，即黃赤交角，將圖3近似畫(huà)出如下平面幾何圖形：
則tan α＝＝1.6，tan β＝＝0.66，
tan(α－β)
25、＝＝≈0.457.
∵0.455＜0.457＜0.461, ∴估計(jì)該骨笛的大致年代早于公元前6000年．故選D．]
11．(2020·長(zhǎng)沙模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)，給出以下四個(gè)論斷：
①它的圖象關(guān)于直線(xiàn)x＝對(duì)稱(chēng)；
②它的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；
③它的最小正周期是π；
④在區(qū)間上是增函數(shù)．
以其中兩個(gè)論斷作為條件，余下論斷作為結(jié)論，一個(gè)正確的命題是( )
條件________，結(jié)論________．
A．①②?③④ B．③④?①②
C．②④?①③ D．①③?②④
D [①③?②④
由③知ω＝2，∴f(x)＝sin(2x＋φ)．
又由①2×＋φ＝kπ＋
26、，得φ＝kπ＋，k∈Z.
又∵－＜φ＜，∴φ＝，
∴f(x)＝sin.
∵f＝sin＝0，
∴它的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．
∵2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，
∴kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
∵?，
∴f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)．故選D．]
12．(2020·江岸區(qū)模擬)學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型．如圖，該模型為在圓錐底部挖去一個(gè)正方體后的剩余部分(正方體四個(gè)頂點(diǎn)在圓錐母線(xiàn)上，四個(gè)頂點(diǎn)在圓錐底面上)，圓錐底面直徑為10 cm，高為10 cm.打印所用原料密度為1 g/cm3，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為(取π＝3.14，精確到0.1)( )
A．6
27、09.4 g B．447.3 g
C．398.3 g D．357.3 g
C [如圖，是幾何體的軸截面，
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則＝，解得a＝5，
∴該模型的體積為：
V＝π×(5)2×10－53＝－125≈398.33(cm3)．
∴制作該模型所需原料的質(zhì)量為398.33×1≈398.3(g)．
故選C．]
13．(2020·虹口區(qū)一模)已知m、n是平面α外的兩條不同直線(xiàn)，給出三個(gè)論斷：①m⊥n；②n∥α；③m⊥α；以其中兩個(gè)論斷作為條件，寫(xiě)出一個(gè)正確的命題(論斷用序號(hào)表示)：________.
若②③，則① [已知m、n是平面α外的兩條不同直線(xiàn)，給出三個(gè)論斷：①
28、m⊥n；②n∥α；③m⊥α；
當(dāng)m⊥α?xí)r，m必垂直于平面α內(nèi)的任意一條直線(xiàn)，由于n∥α，所以m⊥n，如圖所示．
]
14．(2020·烏魯木齊一模)造紙術(shù)是我國(guó)古代四大發(fā)明之一．紙張的規(guī)格是紙張制成之后，經(jīng)過(guò)修整切邊，裁成一定的尺寸．現(xiàn)在我國(guó)采用國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)，規(guī)定以A0，A1，…，A10；B0，B1，…，B10等標(biāo)記來(lái)表示紙張的幅面規(guī)格．復(fù)印紙幅面規(guī)格只采用A系列和B系列，其中A系列的幅面規(guī)格為：①A0規(guī)格的紙張幅寬(以x表示)和長(zhǎng)度(以y表示)的比例關(guān)系為x∶y＝1∶，②將A0紙張沿長(zhǎng)度方向?qū)﹂_(kāi)成兩等份，便成為A1規(guī)格，A1紙張沿長(zhǎng)度方向?qū)﹂_(kāi)成兩等份，便成為A2規(guī)格，…，如此對(duì)開(kāi)至A8規(guī)格
29、，現(xiàn)有A0，A1，A2，A3，…，A8紙各一張，若A4紙的面積為624 cm2，這九張紙的面積之和等于________(cm2)．
19 929 [可設(shè)Ai紙張的面積分別為Si，i＝0,1，…，8，則{Si}為等比數(shù)列，公比q＝，
∵S4＝624＝S0×，解得S0＝9 984.
可得這9張紙的面積之和為＝19 929 cm2.]
15．(2020·濟(jì)南模擬)如圖所示，邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC中，點(diǎn)M，N分別在線(xiàn)段AB，AC上，將△AMN沿線(xiàn)段MN進(jìn)行翻折，得到如圖所示的圖形，翻折后的點(diǎn)A在線(xiàn)段BC上，則線(xiàn)段AM的最小值為_(kāi)_______．
2－3 [設(shè)AM＝x，∠AMN＝α，則B
30、M＝1－x，∠AMB＝180°－2α，∴∠BAM＝2α－60°，
在△ABM中，由正弦定理可得＝，
即＝，∴x＝，
∴當(dāng)2α－60°＝90°，即α＝75°時(shí)，
x取得最小值＝2－3.]
16．[一題兩空](2020·赤峰模擬)現(xiàn)代足球運(yùn)動(dòng)是世界上開(kāi)展得最廣泛、影響最大的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，有人稱(chēng)它為“世界第一運(yùn)動(dòng)”．早在2000多年前的春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)代，就有了一種球類(lèi)游戲“蹴鞠”，后來(lái)經(jīng)過(guò)阿拉伯人傳到歐洲，發(fā)展成現(xiàn)代足球.1863年10月26日，英國(guó)人在倫敦成立了世界上第一個(gè)足球運(yùn)動(dòng)組織——英國(guó)足球協(xié)會(huì)，并統(tǒng)一了足球規(guī)則．人們稱(chēng)這一天是現(xiàn)代足球的誕生日．如圖所示，足球表面是由若干黑色正五邊形和白色
31、正六邊形皮圍成的，我們把這些正五邊形和正六邊形都稱(chēng)為足球的面，任何相鄰兩個(gè)面的公共邊叫做足球的棱．已知足球表面中的正六邊形的面為20個(gè)，則該足球表面中的正五邊形的面為_(kāi)_______個(gè)，該足球表面的棱為_(kāi)_______條．
12 90 [簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù)V，面數(shù)F與棱數(shù)E間有關(guān)系式V＋F－E＝2，
設(shè)該足球表面中的正五邊形的面為x個(gè)，正六邊形的面為y個(gè)，
則F＝x＋y，V＝5x，E＝5x＋y，
∴5x＋(x＋y)－＝2，
化簡(jiǎn)，得2x－y＝4，
正五邊形的邊有兩種算法：
單從正五邊形看，這x個(gè)正五邊形共有5x條邊，
從正六邊形的角度看，每個(gè)正六邊形有3條邊是正五邊形的邊， y個(gè)正六邊形有6y條邊，其中正五邊形的邊的總數(shù)為：6y×＝3y，∴ 5x＝3y.
聯(lián)立，解得x＝12，y＝20，
∴該足球表面中的正五邊形的面為12個(gè)，
該足球表面的棱為E＝5x＋y＝90個(gè)．]
（統(tǒng)考版）高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題限時(shí)集訓(xùn)8 高考中的數(shù)學(xué)文化題 高考中的創(chuàng)新應(yīng)用題（含解析）（文）-人教版高三數(shù)學(xué)試題
