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1、46分大題保分練(四)
(建議用時：40分鐘)
17．(12分)已知△ABC的三個內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且ccos A＋3acos C＝0，tan(2 019π＋2A)＝.
(1)求tan C的大小；
(2)若C為鈍角且c＝，求△ABC的周長的取值范圍．
[解] (1)因為ccos A＋3acos C＝0，所以sin Ccos A＋3sin Acos C＝0.又cos Acos C≠0，所以tan C＝－3tan A．
因為tan(2 019π＋2A)＝，所以tan 2A＝，所以＝，解得tan A＝或tan A＝－3.
①若tan A＝，則tan C＝－3tan
2、 A＝－3×＝－；
②若tan A＝－3，則tan C＝－3tan A＝－3×(－3)＝9.故tan C的值為－或9.
(2)因為C為鈍角，所以由(1)知tan C＝－，又因為0＜C＜π，
所以C＝.
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos π＝a2＋b2＋ab＝(a＋b)2－ab≥(a＋b)2－＝(a＋b)2，當且僅當a＝b時取等號，
所以(a＋b)2≤4，則a＋b≤2.
又a＋b＞c＝，所以a＋b∈(，2]．
所以△ABC的周長的取值范圍是(2，2＋]．
18．(12分) (2020·三明模擬)國家文明城市評審委員會對甲、乙兩個城市是否能入圍“國家文明城市”進行走訪調查
3、，派出10人的調查組，先后到甲、乙兩個城市的街道、社區(qū)進行問卷調查，然后打分(滿分100分)，他們給出甲、乙兩個城市分數的莖葉圖如圖所示：
(1)請你用統計學的知識分析哪個城市更應該入圍“國家文明城市”，并說明理由；
(2)從甲、乙兩個城市的打分中各抽取2個，在已知有大于80分的條件下，求抽到乙城市的分數都小于80分的概率．
(參考數據：
162＋142＋122＋52＋32＋72＋82＋162＋192＝1360，
142＋112＋32＋22＋12＋22＋32 ＋62＋72＋132＝598)
[解] (1)甲城市的打分平均數為：
＝79，
乙城市的打分平均數為：
＝79，
4、
則甲城市的打分的方差為：
[2＋2＋2＋2＋2＋2＋2＋2＋2＋2]＝136.
乙城市的打分的方差為：
[2＋2＋2＋2＋2＋2＋2＋2＋2＋2]＝59.8.甲乙兩城市的打分平均數相同，但是乙城市打分波動更小，故乙城市更應該入圍“國家文明城市”．
(2)由莖葉圖可得，分數在80分以上的甲城市有4個，乙城市有5個．
設事件A＝“甲、乙兩個城市的打分中，各抽取2個，有大于80分的分數”，
事件B＝“甲、乙兩個城市的打分中，各抽取2個，乙城市的分數都小于80分”，
則P(B|A)＝，
因為P(A·B)＝×＝，
P(A)＝1－P()＝1－＝，
所以P(B|A)＝＝.
19.(1
5、2分)如圖幾何體是圓柱體的一部分，它是由矩形ABCD(及其內部)以AB邊所在直線為旋轉軸旋轉120°得到的，G為的中點．
(1)設P是上一點，AP⊥BE，求∠CBP的大??；
(2)當AD＝2，AB＝3時，求二面角E-AG-C的大小．
[解] (1)因為AP⊥BE，AB⊥BE，AB，AP?平面ABP，AB∩AP＝A，
所以BE⊥平面ABP，
又BP?平面ABP，
所以BE⊥BP，又∠EBC＝120°.
因此∠CBP＝30°.
(2)以B為坐標原點，分別以BE，BP，BA所在的直線為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．
由題意得A(0,0,3)，E(2,0,0)，G(
6、1，，3)，C(－1，，0)，
故＝(2,0，－3)，＝(1，，0)，＝(2,0,3)，
設m＝(x1，y1，z1)是平面AEG的一個法向量．
由可得
取z1＝2，可得平面AEG的一個法向量m＝(3，－，2)．
設n＝(x2，y2，z2)是平面ACG的一個法向量．
由可得
取z2＝－2，可得平面ACG的一個法向量n＝(3，－，－2)．
所以cos〈m，n〉＝＝.
因此所求的角為60°.
選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．
22．(10分)[選修4－4：坐標系與參數方程]在平面直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為(α
7、為參數)．以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ＝2cos θ.
(1)求C1，C2交點的直角坐標；
(2)設點A的極坐標為，點B是曲線C2上的點，求△AOB面積的最大值．
[解] (1)曲線C1的普通方程為x2＋y2＝1.
由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，即曲線C2的直角坐標方程為x2＋y2＝2x.
聯立兩方程解得
所以曲線C1，C2交點的直角坐標為和.
(2)設B(ρ，θ)，則ρ＝2cos θ.
因為A，O，B三點構成△AOB，所以－＜θ＜，且θ≠.
所以△AOB的面積
S＝|OA|·|OB|sin∠AOB＝
＝＝|2c
8、os2θ－2sin θcos θ|
＝|(cos 2θ＋1)－sin 2θ|＝.
因為－＜θ＜，且θ≠，所以cos∈[－1,1]，
且cos≠－，所以當cos＝1時，△AOB的面積S取得最大值，最大值為2＋.
23．(10分)[選修4－5：不等式選講]設函數f(x)＝|x＋1|.
(1)若f(x)＋2x＞2，求實數x的取值范圍；
(2)設g(x)＝f(x)＋f(ax)(a＞1)，若g(x)的最小值為，求a的值．
[解] (1)由f(x)＋2x＞2，得|x＋1|＋2x－2＞0.
當x≤－1時，－x－1＋2x－2＞0，無解；
當x＞－1時，x＋1＋2x－2＞0，解得x＞.
所以實數x的取值范圍是.
(2)由a＞1，得－1＜－.
因為g(x)＝f(x)＋f(ax)＝|x＋1|＋|ax＋1|
＝
易知函數g(x)在上單調遞減，在上單調遞增，則g(x)min＝g＝1－，
∴1－＝，解得a＝2.
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