(課標通用)高考數(shù)學一輪復習 課時跟蹤檢測56 理-人教版高三全冊數(shù)學試題

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1、課時跟蹤檢測(五十六) [高考基礎(chǔ)題型得分練] 1.[2017·山西太原模擬]已知橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點分別是點F1,F(xiàn)2,其離心率e=,點P為橢圓上的一個動點,△PF1F2面積的最大值為4. (1)求橢圓的方程; (2)若A,B,C,D是橢圓上不重合的四個點,AC與BD相交于點F1,·=0,求||+||的取值范圍. 解:(1)由題意,得當點P是橢圓的上、下頂點時, △PF1F2面積取最大值, 此時S△PF1F2=·|F1F2|·|OP|=bc,∴bc=4, ∵e=,∴b=2,a=4, ∴橢圓的方程為+=1. (2)由(1)得,橢圓的方程為+=1, 則F1

2、的坐標為(-2,0), ∵·=0,∴AC⊥BD. ①當直線AC與BD中有一條直線斜率不存在時,易得||+||=6+8=14. ②當直線AC的斜率k存在且k≠0時,則其方程為y=k(x+2), 設(shè)A(x1,y1),C(x2,y2), 聯(lián)立消去y,得 (3+4k2)x2+16k2x+16k2-48=0, ∴ ∴||=|x1-x2|=, 此時直線BD的方程為y=-(x+2), 同理,由 可得||=, ∴||+||=+ =, 令t=k2+1(k≠0),則t>1, ∴||+||=, ∵t>1,∴0<≤, ∴||+||∈. 由①②可知,||+||的取值范圍是. 2.[

3、2017·甘肅蘭州模擬]已知橢圓C1:+=1(a>b>0)的離心率為e=,過C1的左焦點F1的直線l:x-y+2=0被圓C2:(x-3)2+(y-3)2=r2(r>0)截得的弦長為2. (1)求橢圓C1的方程; (2)設(shè)C1的右焦點為F2,在圓C2上是否存在點P,滿足|PF1|=|PF2|?若存在,指出有幾個這樣的點(不必求出點的坐標);若不存在,請說明理由. 解:(1)∵直線l的方程為x-y+2=0, 令y=0,得x=-2,即F1(-2,0), ∴c=2,又e==, ∴a2=6,b2=a2-c2=2, ∴橢圓C1的方程為+=1. (2)∵圓心C2(3,3)到直線l:x-y+2

4、=0的距離d==, 又直線l:x-y+2=0被圓C2:(x-3)2+(y-3)2=r2(r>0)截得的弦長為2, ∴r===2, 故圓C2的方程為(x-3)2+(y-3)2=4. 設(shè)圓C2上存在點P(x,y)滿足|PF1|=|PF2|, 即|PF1|=3|PF2|, 且F1,F(xiàn)2的坐標分別為F1(-2,0),F(xiàn)2(2,0), 則=3, 整理得2+y2=, 它表示圓心是C,半徑是的圓. ∵|CC2|==, 故有2-<|CC2|<2+,故圓C與圓C2相交,有兩個公共點. ∴圓C2上存在兩個不同的點P,滿足|PF1|=|PF2|. 3.[2016·新課標全國卷Ⅲ]已知拋物線

5、C:y2=2x的焦點為F,平行于x軸的兩條直線l1,l2分別交C于A,B兩點,交C的準線于P,Q兩點. (1)若F在線段AB上,R是PQ的中點,證明AR∥FQ; (2)若△PQF的面積是△ABF的面積的兩倍,求AB中點的軌跡方程. 解:由題知,F(xiàn).設(shè)l1:y=a,l2:y=b,則ab≠0,且A,B,P,Q, R. 記過A,B兩點的直線為l,則l的方程為2x-(a+b)y+ab=0. (1)證明:由于F在線段AB上,故1+ab=0. 記AR的斜率為k1,F(xiàn)Q的斜率為k2,則 k1=====-b=k2. 所以AR∥FQ. (2)解:設(shè)l與x軸的交點為D(x1,0), 則S△A

6、BF=|b-a|·|FD|=|b-a|, S△PQF=. 由題設(shè)可得|b-a|=, 所以x1=0(舍去)或x1=1. 設(shè)滿足條件的AB的中點為E(x,y). 當AB與x軸不垂直時,由kAB=kDE可得=(x≠1). 而=y(tǒng),所以y2=x-1(x≠1). 當AB與x軸垂直時,E與D重合. 所以,所求軌跡方程為y2=x-1. [沖刺名校能力提升練] 1.[2017·河北石家莊摸底考試]平面直角坐標系xOy中,橢圓C:+=1(a>b>0)的右焦點為F,離心率e=,過點F且垂直于x軸的直線被橢圓截得的弦長為1. (1)求橢圓C的方程; (2)記橢圓C的上、下頂點分別為A,B,設(shè)

7、過點M(m,-2)(m≠0)的直線MA,MB與橢圓C分別交于點P,Q.求證:直線PQ必過一定點,并求該定點的坐標. 解:(1)由e=,可得a2=4b2, 因過點F垂直于x軸的直線被橢圓所截得弦長為1, 所以=1,所以b=1,a=4, 橢圓C的方程為+y2=1. (2)由(1)知,A(0,1),B(0,-1),點M的坐標為(m,-2), 直線MAP方程為y=-x+1, 直線MBQ方程為y=-x-1. 分別與橢圓+y2=1聯(lián)立方程組,消去x,可得 y2-m2y+-4=0 和(m2+4)y2+2m2y+m2-4=0, 由韋達定理,可解得 P,Q. 則直線PQ的斜率k=,

8、則直線方程為y-=, 化簡可得直線PQ的方程為y=x-, 恒過定點. 所以直線PQ必過y軸上的一定點. 2.如圖,已知橢圓+=1的左焦點為F,過點F的直線交橢圓于A,B兩點,線段AB的中點為G,AB的中垂線與x軸和y軸分別交于D,E兩點. (1)若點G的橫坐標為-,求直線AB的斜率; (2)記△GFD的面積為S1,△OED(O為原點)的面積為S2.試問:是否存在直線AB,使得S1=S2?并說明理由. 解:(1)依題意可知,直線AB的斜率存在, 設(shè)其方程為y=k(x+1),將其代入+=1, 整理得(4k2+3)x2+8k2x+4k2-12=0. 設(shè)A(x1,y1),B(x

9、2,y2), 由根與系數(shù)的關(guān)系,得x1+x2=-. 故點G的橫坐標為==-, 解得k=±. (2)假設(shè)存在直線AB,使得S1=S2, 顯然直線AB不能與x軸、y軸垂直. 由(1)可得G. 設(shè)點D的坐標為(xD,0).因為DG⊥AB, 所以×k=-1, 解得xD=-,即D. 因為△GFD∽△OED, 所以S1=S2?|GD|=|OD|. 即 =, 整理得8k2+9=0. 因為此方程無解, 所以不存在直線AB,使得S1=S2. 3.[2017·山西太原模擬]如圖所示,在直角坐標系xOy中,點P到拋物線C:y2=2px(p>0)的準線的距離為.點M(t,1)是C上的

10、定點,A,B是C上的兩動點,且線段AB的中點Q(m,n)在直線OM上. (1)求曲線C的方程及t的值; (2)記d=,求d的最大值. 解:(1)y2=2px(p>0)的準線為x=-, ∴1-=,p=, ∴拋物線C的方程為y2=x. 又點M(t,1)在拋物線C上,∴t=1. (2)由(1)知,點M(1,1), 從而n=m,即點Q(m,m), 依題意,直線AB的斜率存在,且不為0, 設(shè)直線AB的斜率為k(k≠0). 且A(x1,y1),B(x2,y2), 由得(y1-y2)(y1+y2)=x1-x2, 故k·2m=1, ∴直線AB的方程為y-m=(x-m), 即x-2my+2m2-m=0. 由消去x, 整理得y2-2my+2m2-m=0, ∴Δ=4m-4m2>0,y1+y2=2m,y1y2=2m2-m. 從而|AB|=·|y1-y2| =· =2. ∴d==2≤m+(1-m)=1, 當且僅當m=1-m,即m=時等號成立, 又m=滿足Δ=4m-4m2>0. ∴d的最大值為1.

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