（課標專用 5年高考3年模擬A版）高考數學 專題五 平面向量 1 平面向量的概念及線性運算、平面向量的基本定理試題 文-人教版高三數學試題

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1、專題五　平面向量 【真題探秘】 §5.1　平面向量的概念及線性運算、平面向量的基本定理 探考情 悟真題 【考情探究】 考點 內容解讀 5年考情 預測 熱度 考題示例 考向 關聯考點 平面向量 的線性運 算及其幾 何意義 ①理解平面向量的有關概念及向量的表示方法;②掌握向量加法、減法、數乘的運算,理解其幾何意義;③理解兩個向量共線的含義;④了解向量線性運算的性質及其幾何意義 2018課標全國Ⅰ,7,5分 平面向量的混合運算 — ★★☆ 2017課標全國Ⅱ,4,5分 平面向量的有關概念 垂直、平行、模的關系 平面向量 基本定理

2、 及向量的 坐標運算 ①了解平面向量基本定理及其意義;②掌握平面向量的正交分解及其坐標表示;③會用坐標對向量進行線性運算;④理解用坐標表示的平面向量共線的條件 2018課標全國Ⅲ,13,5分 平面向量的坐標運算 兩向量平行的充要條件 ★★☆ 2016課標全國Ⅱ,13,5分 平面向量的坐標運算 兩向量平行的充要條件 2019課標全國Ⅱ,3,5分 平面向量的坐標運算 向量的模 分析解讀 從近幾年的高考試題來看,高考對本節(jié)內容的考查以選擇題和填空題為主,重點考查向量的概念、幾何表示、向量的加減法、實數與向量的積、兩個向量共線的充要條件和向量的坐標運算,此類問題一般難

3、度不大.向量的有關概念、向量的線性運算、平面向量基本定理、向量的坐標運算等知識是平面向量的基礎,高考主要考查基礎運用,其中線性運算、坐標運算、平面向量基本定理是高考的重點與熱點,要熟練掌握. 破考點 練考向 【考點集訓】 考點一　平面向量的線性運算及其幾何意義 1.(2020屆西南地區(qū)名師聯盟8月聯考,2)如圖,向量a-b等于(　　) A.-e1+3e2 B.-4e1-2e2C.e1-3e2 D.-2e1-4e2 答案　A　 2.(2020屆河北邢臺第一次聯考,5)如圖,AB是圓O的一條直徑,C,D是半圓弧的兩個三等分點,則AB=(　　) A.AC-AD B.2AC

4、-2AD C.AD-AC D.2AD-2AC 答案　D　 3.(2018吉林調研,8)已知a,b是不共線的非零向量,AB=λa+b,AC=a+μb(λ,μ∈R),若A,B,C三點共線,則λ,μ的關系一定成立的是(　　) A.λμ=1 B.λμ=-1 C.λ-μ=1 D.λ+μ=2 答案　A　 4.(2019廣東普寧一中月考,9)在△OAB中,若點C滿足AC=2CB,OC=λOA+μOB,則1λ+1μ=(　　) A.13 B.23 C.29 D.92 答案　D　 考點二　平面向量基本定理及向量的坐標運算 1.(2018河北衡水中學五調,8)已知平面直角坐標系內的兩個向量

5、a=(1,2),b=(m,3m-2),且平面內的任一向量c都可以唯一地表示成c=λa+μb(λ,μ為實數),則m的取值范圍是(　　) A.(-∞,2) B.(2,+∞)C.(-∞,+∞) D.(-∞,2)∪(2,+∞) 答案　D　 2.(2020屆山西長治二中等六校9月聯考,3)已知平面向量a=(-1,2),b=(2,y),且a∥b,則3a+2b=(　　) A.(-1,7) B.(-1,2) C.(1,2) D.(1,-2) 答案　D　 3.(2019四川成都石室中學一診,15)在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,E為DC邊的中點,P為線段AE上的動點,設向量AP=λDB+μAD

6、,則λ+μ的最大值為　　　　.? 答案　2 煉技法 提能力 【方法集訓】 方法1　向量共線問題的求解方法 1.(2018福建漳州二模,5)已知點C(1,-1),D(2,x),若向量a=(x,2)與CD的方向相反,則|a|=(　　) A.1 B.2 C.22 D.2 答案　C　 2.設a,b是不共線的兩個非零向量. (1)若OA=2a-b,OB=3a+b,OC=a-3b,求證:A、B、C三點共線; (2)若8a+kb與ka+2b共線,求實數k的值; (3)設OM=ma,ON=nb,OP=αa+βb,其中m,n,α,β均為實數,m≠0,n≠0,若M、N、P三點共線,求證:

7、αm+βn=1. 答案　(1)證明:∵AB=OB-OA=(3a+b)-(2a-b)=a+2b,BC=OC-OB=(a-3b)-(3a+b)=-2a-4b=-2AB, ∴AB與BC共線,且有公共點B, ∴A、B、C三點共線. (2)∵8a+kb與ka+2b共線, ∴存在實數λ,使得8a+kb=λ(ka+2b)?(8-λk)a+(k-2λ)b=0. ∵a與b為不共線的非零向量, ∴8-λk=0,k-2λ=0?8=2λ2?λ=±2. ∴k=2λ=±4. (3)證法一:∵M、N、P三點共線, ∴存在實數μ,使得MP=μPN, ∴OP=OM+μON1+μ=m1+μa+μn1+μb.

8、 ∵a,b為不共線的非零向量,OP=αa+βb, ∴α=m1+μ,β=μn1+μ. ∴αm+βn=11+μ+μ1+μ=1. 證法二:∵M、N、P三點共線, ∴OP=xOM+yON,且x+y=1. 由已知可得,xma+ynb=αa+βb, ∴x=αm,y=βn, ∴αm+βn=1. 方法2　利用平面向量基本定理解決問題的方法 1.(2020屆福建莆田一中摸底,6)如圖,在平行四邊形ABCD中,AC與BD交于點O,E是線段OD的中點,AE的延長線與CD交于點F,若AC=a,BD=b,則AF=(　　) A.14a+12b B.12a+14bC.23a+13b D.13a

9、+23b 答案　C　 2.(2019河北衡水中學二調,14)如圖,已知平面內有三個向量OA,OB,OC,其中OA與OB的夾角為120°,OA與OC的夾角為30°,且|OA|=|OB|=1,|OC|=23,若OC=λOA+μOB(λ,μ∈R),則λ+μ的值為　　　　.? 答案　6 3.(2019陜西彬州第一次教學質量監(jiān)測,15)如圖所示,已知點G是△ABC的重心,過點G作直線分別交AB,AC兩邊于M,N兩點,且AM=xAB,AN=yAC,則3x+y的最小值為　　　　.? 答案　4+233 【五年高考】 A組　統(tǒng)一命題·課標卷題組 考點一　平面向量的線性運算及其幾何意義

10、 1.(2018課標全國Ⅰ,7,5分)在△ABC中,AD為BC邊上的中線,E為AD的中點,則EB=(　　) A.34AB-14AC B.14AB-34AC C.34AB+14AC D.14AB+34AC 答案　A　 2.(2017課標全國Ⅱ,4,5分)設非零向量a,b滿足|a+b|=|a-b|,則(　　) A.a⊥b B.|a|=|b| C.a∥b D.|a|>|b| 答案　A　 考點二　平面向量基本定理及向量的坐標運算 1.(2015課標Ⅰ,2,5分)已知點A(0,1),B(3,2),向量AC=(-4,-3),則向量BC=(　　) A.(-7,-4) B.(7,4)

11、C.(-1,4) D.(1,4) 答案　A　 2.(2019課標全國Ⅱ,3,5分)已知向量a=(2,3),b=(3,2),則|a-b|=(　　) A.2 B.2 C.52 D.50 答案　A　 3.(2016課標全國Ⅱ,13,5分)已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且a∥b,則m=　　　　.? 答案　-6 B組　自主命題·省(區(qū)、市)卷題組 1.(2015廣東,9,5分)在平面直角坐標系xOy中,已知四邊形ABCD是平行四邊形,AB=(1,-2),AD=(2,1),則AD·AC=(　　) A.5 B.4 C.3 D.2 答案　A　 2.(2015湖南,9,5分

12、)已知點A,B,C在圓x2+y2=1上運動,且AB⊥BC.若點P的坐標為(2,0),則|PA+PB+PC|的最大值為(　　) A.6 B.7 C.8 D.9 答案　B　 3.(2017山東,11,5分)已知向量a=(2,6),b=(-1,λ).若a∥b,則λ=　　　　.? 答案　-3 C組　教師專用題組 考點一　平面向量的線性運算及其幾何意義 1.(2014課標Ⅰ,6,5分)設D,E,F分別為△ABC的三邊BC,CA,AB的中點,則EB+FC=(　　) A.AD B.12AD C.BC D.12BC 答案　A　 答案　D 考點二　平面向量基本定理及向量的坐

13、標運算 1.(2015四川,2,5分)設向量a=(2,4)與向量b=(x,6)共線,則實數x=(　　) A.2 B.3 C.4 D.6 答案　B　 2.(2015福建,7,5分)設a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb.若b⊥c,則實數k的值等于(　　) A.-32 B.-53 C.53 D.32 答案　A　 3.(2013廣東,10,5分)設a是已知的平面向量且a≠0.關于向量a的分解,有如下四個命題: ①給定向量b,總存在向量c,使a=b+c; ②給定向量b和c,總存在實數λ和μ,使a=λb+μc; ③給定單位向量b和正數μ,總存在單位向量c和實數λ,使a=λb+

14、μc; ④給定正數λ和μ,總存在單位向量b和單位向量c,使a=λb+μc. 上述命題中的向量b,c和a在同一平面內且兩兩不共線,則真命題的個數是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　B　 4.(2019浙江,17,6分)已知正方形ABCD的邊長為1.當每個λi(i=1,2,3,4,5,6)取遍±1時,|λ1AB+λ2BC+λ3CD+λ4DA+λ5AC+λ6BD|的最小值是　　　　,最大值是　　　　.? 答案　0;25 5.(2014陜西,18,12分)在直角坐標系xOy中,已知點A(1,1),B(2,3),C(3,2),點P(x,y)在△ABC三邊圍成的區(qū)域(含邊界)上

15、,且OP=mAB+nAC(m,n∈R). (1)若m=n=23,求|OP|; (2)用x,y表示m-n,并求m-n的最大值. 答案　(1)∵m=n=23,AB=(1,2),AC=(2,1), ∴OP=23(1,2)+23(2,1)=(2,2), ∴|OP|=22+22=22. (2)∵OP=m(1,2)+n(2,1)=(m+2n,2m+n), ∴x=m+2n,y=2m+n,兩式相減,得m-n=y-x. 令y-x=t,由圖知,當直線y=x+t過點B(2,3)時,t取得最大值1,故m-n的最大值為1. 【三年模擬】 時間:50分鐘　分值:70分 一、選擇題(每小題5分

16、,共45分) 1.(2020屆遼寧本溪調研,3)已知點M是△ABC的邊BC的中點,點E在邊AC上,則EC=2AE,則向量EM=(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.12AC+13AB B.12AC+16AB C.16AC+12AB D.16AC+32AB 答案　C　 2.(2020屆皖北第一次聯考,5)已知A,B,C是△ABC的三個頂點,O為平面內一點,滿足OA+OB+OC=0,若實數λ滿足AB+AC+λOA=0,則λ的值為(　　) A.3 B.32 C.-2 D.23 答案　A　 3.(2018遼寧六校協(xié)作體期中聯考,4)設非零向量a,b,下列四個條件中,

17、使a|a|=b|b|成立的充分條件是(　　) A.a∥b B.a=2bC.a∥b且|a|=|b| D.a=-b 答案　B　 4.(2020屆福建泉州調研,5)已知△ABC的頂點分別為A(2,1),B(3,2),C(-3,-1),BC邊上的高為AD,則點D的坐標為(　　) A.-95,-75B.92,-75C.95,75 D.-92,-75 答案　C　 5.(2020屆安徽合肥一中、安慶一中等六校第一次聯考,9)如圖,在平行四邊形ABCD中,M,N分別為AB、AD上的點,且AM=45AB,連接AC、MN交于P點,若AP=411AC,則點N在AD上的位置為(　　) A.AD的中點

18、 B.AD上靠近點D的三等分點 C.AD上靠近點D的四等分點 D.AD上靠近點D的五等分點 答案　B　 6.(2019廣東江門一模,7)△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,CD⊥AB,垂足為D,則CD=(　　) A.47CA+37CB B.37CA+47CB C.1625CA+925CB D.925CA+1625CB 答案　C　 7.(2020屆廣西柳州二中月考,10)在△ABC中,點D在線段BC的延長線上,且BC=3CD,點O在線段CD上(與點C,D不重合),若AO=xAB+(1-x)AC,則x的取值范圍是(　　) A.0,12 B.0,13 C.-12,0

19、 D.-13,0 答案　D　 8.(2020屆寧夏銀川一中第一次月考,11)設O在△ABC的內部,且有OA+2OB+3OC=0,則△ABC的面積與△AOC的面積之比為(　　) A.3 B.53 C.2 D.32 答案　A　 9.(2018江西宜春聯考,11)設O是平面上一定點,A,B,C是平面上不共線的三點,動點P滿足OP=OA+λAB|AB|cosB+AC|AC|cosC,λ∈[0,+∞),則點P的軌跡經過△ABC的(　　) A.外心 B.內心 C.重心 D.垂心 答案　D　 二、填空題(每小題5分,共10分) 10.(2019陜西漢中十二校聯考,13)已知P為△ABC

20、所在平面內一點,且滿足AP=λ(AB+AC),BP=(1-2μ)BC(λ,μ∈R),則λ+μ=　　　　.? 答案　34 11.(2019四川成都一診,16)已知G為△ABC的重心,過點G的直線與邊AB,AC分別相交于點P,Q.若AP=35AB,則△ABC與△APQ的面積之比為　　　　.? 答案　209 三、解答題(共15分) 12.(2018河南許昌、平頂山兩市聯考,21)在平面直角坐標系中,O為坐標原點,M為平面上任意一點,A,B,C三點滿足MC=13MA+23MB. (1)求證:A,B,C三點共線,并求|BA||BC|的值; (2)已知A(1,sinx),B(1+sinx

21、,sinx),M1+23sinx,sinx,x∈(0,π),且函數f(x)=OA·OM+2m-23·|AB|的最小值為12,求實數m的值. 答案　(1)∵MC=13MA+23MB, ∴MC-MB=13(MA-MB), ∴BC=13BA.又∵BC,BA有公共點B,∴A,B,C三點共線. ∵BC=13BA,∴|BA||BC|=3. (2)∵A(1,sinx),B(1+sinx,sinx),M1+23sinx,sinx,O(0,0),∴OA=(1,sinx),OM=1+23sinx,sinx, ∴OA·OM=1+23sinx+sin2x,又AB=(sinx,0),x∈(0,π),∴|AB|=sinx, ∴f(x)=OA·OM+2m-23·|AB|=sin2x+2msinx+1. 設t=sinx.∵x∈(0,π),∴t∈(0,1], ∴y=t2+2mt+1=(t+m)2+1-m2. ①當-m≤0,即m≥0時,y=t2+2mt+1無最小值,不合題意; ②當0<-m≤1,即-1≤m<0時,當t=-m時,ymin=1-m2=12,∴m=-22m=22舍去; ③當-m>1,即m<-1時,當t=1時,ymin=2+2m=12, ∴m=-34,此時m>-1,不合題意. 綜上可知,m=-22.