（課標專用 5年高考3年模擬A版）高考數學 第五章 平面向量 2 平面向量的數量積及平面向量的應用試題 文-人教版高三數學試題

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1、平面向量的數量積及平面向量的應用 挖命題 【考情探究】 考點 內容解讀 5年考情 預測熱度 考題示例 考向 關聯考點 平面向量 的數量積 ①理解平面向量數量積的含義及其物理意義;②掌握向量夾角概念及其范圍,掌握向量長度的表示;③了解平面向量的數量積與向量投影的關系;④掌握數量積的坐標表達式,會進行平面向量數量積的運算;⑤理解數量積的性質,并能運用 2018課標全國Ⅱ,4,5分 平面向量的數量積 模長 ★★★ 2015課標Ⅱ,4,5分 平面向量的數量積 坐標運算 平面向量 數量積 的應用 ①能運用數量積解決兩向量的夾角問題和長度問題;②會用數

2、量積判斷兩個向量的平行、垂直關系;③會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題、力學問題與一些實際問題 2017課標全國Ⅰ,13,5分 兩向量垂直的充要條件 坐標運算 ★★☆ 2017課標全國Ⅲ,13,5分 兩向量垂直的充要條件 坐標運算 2016課標全國Ⅲ,3,5分 平面向量的夾角 平面向量的數量積、坐標運算 分析解讀　　從近幾年的高考試題來看,高考對本節(jié)內容的考查以選擇題和填空題為主,考查平面向量的數量積及其幾何意義以及坐標表示,用以解決有關長度、角度、垂直、判斷三角形形狀等問題;考查形式除小題之外,還可能是與函數、解析幾何等知識綜合在一起形成的解答題,主要考查學

3、生的審題能力和知識遷移能力,難度適中. 破考點 【考點集訓】 考點一　平面向量的數量積 1.(2019屆湖南長沙雅禮中學9月月考,4)已知a,b為單位向量,其夾角為60°,則(2a-b)·b=(　　)　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 A.-1 B.0 C.1 D.2 答案　B　 2.已知點A,B,C滿足|AB|=3,|BC|=4,|CA|=5,則AB·BC+BC·CA+CA·AB的值為　　　　.? 答案　-25 3.(2015天津,13,5分)在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°.點E和F分

4、別在線段BC和DC上,且BE=23BC,DF=16DC,則AE·AF的值為　　　　.? 答案　2918 考點二　平面向量數量積的應用 1.(2017云南玉溪一中期中,9)在△ABC中,若動點P滿足CA2-CB2+2AB·CP=0,則點P的軌跡一定通過△ABC的(　　) A.外心 B.內心 C.垂心 D.重心 答案　A　 2.(2019屆廣東普寧一中10月月考,14)已知|OA|=2,|OB|=4,OA·OB=4,則以向量OA,OB為鄰邊的平行四邊形的面積為　　　　.? 答案　43 3.(2019屆湖北黃岡9月調研,15)已知平面向量m,n的夾角為π6,且|m|=3,|n

5、|=2,在△ABC中,AB=2m+2n,AC=2m-6n,D為BC的中點,則|AD|=　　　　.? 答案　2 4.(2019屆廣東深圳外國語中學10月模擬,17)設向量a=(4cos α,sin α),b=(sin β,4cos β),c=(cos β,-4sin β). (1)若a與b-2c垂直,求tan(α+β)的值; (2)求|b+c|的最大值. 解析　(1)∵a與b-2c垂直, ∴a·(b-2c)=4cos αsin β-8cos αcos β+4sin αcos β+8sin α·sin β=4sin(α+β)-8cos(α+β)=0, ∴tan(α+β)=2.

6、(2)由b+c=(sin β+cos β,4cos β-4sin β),得|b+c|=(sinβ+cosβ)2+(4cosβ-4sinβ)2=17-15sin2β≤42, 當且僅當sin 2β=-1,即β=kπ-π4(k∈Z)時,等號成立, 所以|b+c|的最大值為42. 煉技法 【方法集訓】 方法1　平面向量模長的求解方法 1.(2017河北“五個一名?！甭撁四M,4)已知向量a,b滿足:|a|=2,|b|=4,=π3,則|3a-2b|=(　　)　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 A.52 B.213 C.15 D.23 答

7、案　B　 2.(2019屆湖南湖北八市十二校第一次調研,2)已知向量a=(x,y),b=(-1,2),且a+b=(1,3),則|a-2b|等于(　　) A.1 B.3 C.4 D.5 答案　D　 3.已知向量a=(-1,2),b=(3,-6),若向量c滿足c與b的夾角為120°,c·(4a+b)=5,則|c|=(　　) A.1 B.5 C.2 D.25 答案　D　 方法2　平面向量夾角的求解方法 1.(2016課標全國Ⅲ,3,5分)已知向量BA=12,32,BC=32,12,則∠ABC=(　　) A.30° B.45° C.60° D.120° 答案　A　 2.(20

8、17江西七校聯考,13)已知向量a=(1,3),b=(3,m),且b在a的方向上的投影為-3,則向量a與b的夾角為　　　　.? 答案　23π 3.(2017吉林九校聯考,14)已知e1,e2是夾角為120°的單位向量,a=e1+e2,b=2e1+xe2,且b在a方向上的投影為-1,向量a與b的夾角為θ,則cos θ=　　　　.? 答案　-714 方法3　用向量法解決平面幾何問題 1.(2018四川成都七中期中)在△ABC中,BC=5,G,O分別為△ABC的重心和外心,且OG·BC=5,則△ABC的形狀是(　　) A.銳角三角形 B.鈍角三角形 C.直角三角形 D.上述

9、三種情況都有可能 答案　B　 2.(2019屆江西臨川一中9月月考,17)在平面直角坐標系xOy中,已知向量m=22,-22,n=(sin x,cos x),x∈0,π2. (1)若m⊥n,求tan x的值; (2)若m與n的夾角為π3,求x的值. 解析　(1)因為m=22,-22,n=(sin x,cos x),m⊥n,所以m·n=0,即22sin x-22cos x=0,所以sin x=cos x, 所以tan x=1. (2)由已知得|m|=|n|=1,所以m·n=|m|·|n|cos π3=12,即22sin x-22cos x=12,所以sinx-π4=12.因為0

10、<π2,所以-π4

11、017課標全國Ⅰ,13,5分)已知向量a=(-1,2),b=(m,1).若向量a+b與a垂直,則m=　　　　.? 答案　7 2.(2017課標全國Ⅲ,13,5分)已知向量a=(-2,3),b=(3,m),且a⊥b,則m=　　　　.? 答案　2 3.(2016課標全國Ⅰ,13,5分)設向量a=(x,x+1),b=(1,2),且a⊥b,則x=　　　　.? 答案　-23 B組　自主命題·省(區(qū)、市)卷題組 考點一　平面向量的數量積 1.(2018天津,8,5分)在如圖的平面圖形中,已知OM=1,ON=2,∠MON=120°,BM=2MA,CN=2NA,則BC·

12、OM的值為(　　) 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 A.-15 B.-9 C.-6 D.0 答案　C　 2.(2016天津,7,5分)已知△ABC是邊長為1的等邊三角形,點D,E分別是邊AB,BC的中點,連接DE并延長到點F,使得DE=2EF,則AF·BC的值為(　　) A.-58 B.18 C.14 D.118 答案　B　 3.(2015北京,6,5分)設a,b是非零向量.“a·b=|a||b|”是“a∥b”的(　　) A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分

13、也不必要條件 答案　A　 4.(2018上海,8,5分)在平面直角坐標系中,已知點A(-1,0)、B(2,0),E、F是y軸上的兩個動點,且|EF|=2,則AE·BF的最小值為　　　　.? 答案　-3 考點二　平面向量數量積的應用 1.(2018北京,9,5分)設向量a=(1,0),b=(-1,m).若a⊥(ma-b),則m=　　　　.? 答案　-1 2.(2016北京,9,5分)已知向量a=(1,3),b=(3,1),則a與b夾角的大小為　　　　.? 答案　π6 3.(2015浙江,13,4分)已知e1,e2是平面單位向量,且e1·e2=12.若平面向量b滿

14、足b·e1=b·e2=1,則|b|=　　　　.? 答案　233 4.(2017北京,12,5分)已知點P在圓x2+y2=1上,點A的坐標為(-2,0),O為原點,則AO·AP的最大值為　　　　.? 答案　6 5.(2017天津,14,5分)在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若BD=2DC,AE=λAC-AB(λ∈R),且AD·AE=-4,則λ的值為　　　　.? 答案　311 6.(2017江蘇,12,5分)如圖,在同一個平面內,向量OA,OB,OC的模分別為1,1,2,OA與OC的夾角為α,且tan α=7,OB與OC的夾角為45°.若OC=mOA+nOB

15、(m,n∈R),則m+n=　　　　.? 答案　3 7.(2015安徽,15,5分)△ABC是邊長為2的等邊三角形,已知向量a,b滿足AB=2a,AC=2a+b,則下列結論中正確的是　　　　.(寫出所有正確結論的編號)? ①a為單位向量;　?、赽為單位向量;　　③a⊥b; ④b∥BC; ⑤(4a+b)⊥BC. 答案?、佗堍? 8.(2014天津,13,5分)已知菱形ABCD的邊長為2,∠BAD=120°,點E,F分別在邊BC,DC上,BC=3BE,DC=λDF.若AE·AF=1,則λ的值為　　　　.? 答案　2 C組　教師專用題組 考點一　

16、平面向量的數量積 1.(2017浙江,10,4分)如圖,已知平面四邊形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC與BD交于點O.記I1=OA·OB,I2=OB·OC,I3=OC·OD,則(　　) 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 A.I1

17、C.-4+22 D.-3+22 答案　D　 3.(2015湖北,11,5分)已知向量OA⊥AB,|OA|=3,則OA·OB=　　　　.? 答案　9 4.(2014重慶,12,5分)已知向量a與b的夾角為60°,且a=(-2,-6),|b|=10,則a·b=　　　　.? 答案　10 5.(2016江蘇,13,5分)如圖,在△ABC中,D是BC的中點,E,F是AD上的兩個三等分點,BA·CA=4,BF·CF=-1,則BE·CE的值是　　　　.? 答案　78 6.(2013課標Ⅱ,14,5分)已知正方形ABCD的邊長為2,E為CD的中點,則AE·BD=　　　　.?

18、答案　2 考點二　平面向量數量積的應用 1.(2015重慶,7,5分)已知非零向量a,b滿足|b|=4|a|,且a⊥(2a+b),則a與b的夾角為(　　) 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 A.π3 B.π2 C.2π3 D.5π6 答案　C　 2.(2015陜西,8,5分)對任意平面向量a,b,下列關系式中不恒成立····的是(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.|a·b|≤|a||b| B.|a-b|≤||a|-|b|| C.(a+b)2=|a+b|2 D.(a+b)·(a-b)=a2-b2 答案　B

19、　 3.(2015湖南,9,5分)已知點A,B,C在圓x2+y2=1上運動,且AB⊥BC.若點P的坐標為(2,0),則|PA+PB+PC|的最大值為(　　) A.6 B.7 C.8 D.9 答案　B　 4.(2014山東,7,5分)已知向量a=(1,3),b=(3,m).若向量a,b的夾角為π6,則實數m=(　　) A.23 B.3 C.0 D.-3 答案　B　 5.(2011全國,3,5分)設向量a,b滿足|a|=|b|=1,a·b=-12,則|a+2b|=(　　) A.2 B.3 C.5 D.7 答案　B　 6.(2014湖南,10,5分)在平面直角坐標系中,O為原點,

20、A(-1,0),B(0,3),C(3,0),動點D滿足|CD|=1,則|OA+OB+OD|的取值范圍是(　　) A.[4,6] B.[19-1,19+1] C.[23,27] D.[7-1,7+1] 答案　D　 7.(2018浙江,9,4分)已知a,b,e是平面向量,e是單位向量.若非零向量a與e的夾角為π3,向量b滿足b2-4e·b+3=0,則|a-b|的最小值是(　　) A.3-1 B.3+1 C.2 D.2-3 答案　A　 8.(2014安徽,10,5分)設a,b為非零向量,|b|=2|a|,兩組向量x1,x2,x3,x4和y1,y2,y3,y4

21、均由2個a和2個b排列而成.若x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4所有可能取值中的最小值為4|a|2,則a與b的夾角為(　　) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.2π3 B.π3 C.π6 D.0 答案　B　 9.(2014四川,14,5分)平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且c與a的夾角等于c與b的夾角,則m=　　　　.? 答案　2 10.(2014江西,12,5分)已知單位向量e1,e2的夾角為α,且cos α=13,若向量a=3e1-2e2,則|a|=　　　　.? 答案　3 11.(2014湖北,12,5分)若

22、向量OA=(1,-3),|OA|=|OB|,OA·OB=0,則|AB|=　　　　.? 答案　25 12.(2012課標全國,15,5分)已知向量a,b夾角為45°,且|a|=1,|2a-b|=10,則|b|=　　　　.? 答案　32 13.(2018江蘇,12,5分)在平面直角坐標系xOy中,A為直線l:y=2x上在第一象限內的點,B(5,0),以AB為直徑的圓C與直線l交于另一點D.若AB·CD=0,則點A的橫坐標為　　　　.? 答案　3 14.(2013課標Ⅰ,13,5分)已知兩個單位向量a,b的夾角為60°,c=ta+(1-t)b.若b·c=0,則t=　　　　.?

23、 答案　2 【三年模擬】 時間:50分鐘　分值:70分 一、選擇題(每小題5分,共40分) 1.(2019屆湖南八校9月聯考,8)已知a=(2sin 13°,2sin 77°),|a-b|=1,a與a-b的夾角為π3,則a·b=(　　) 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 A.2 B.3 C.4 D.5 答案　B　 2.(2018湖南永州二模,4)已知非零向量a,b的夾角為60°,且|b|=1,|2a-b|=1,則|a|=(　　) A.12 B.1 C.2 D.2 答案　A　 3.(2019屆湖北襄陽重點中學9月聯考,

24、4)已知非零向量a=(x,2x),b=(x,-2),則x<0或x>4是向量a與b的夾角為銳角的(　　) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 答案　B　 4.(2019屆四川大學附中10月月考,11)△ABC中,角A,B,C的對邊分別記為a,b,c,若b=5,c=6,BC邊上的中線AD=3,則AB·AC=(　　) A.15 B.-15 C.252 D.-252 答案　D　 5.(2018湖北宜昌二模,7)已知△ABC中,∠A=120°,且AB=3,AC=4,若AP=λAB+AC,且AP⊥BC,則實

25、數λ的值為(　　) A.2215 B.103 C.6 D.127 答案　A　 6.(2018安徽師大附中二模,7)在△ABC中,AB=2AC=6,BA·BC=BA2,點P是△ABC所在平面內一點,則當PA2+PB2+PC2取得最小值時,AP·BC=(　　) A.272 B.-272 C.9 D.-9 答案　D　 7.(2018河北石家莊調研,10)在平行四邊形ABCD中,|AB|=12,|AD|=8.若點M,N滿足BM=3MC,DN=2NC,則AM·NM=(　　) A.20 B.15 C.36 D.6 答案　C　 8.(2019屆四川頂級名校第二次聯考,11)向量a,b,c滿

26、足:a=(4,0),b=(4,4),(a-c)·(b-c)=0,則b·c的最大值是(　　) A.24 B.24-82 C.24+82 D.82 答案　C　 二、填空題(每小題5分,共10分) 9.(2019屆山東臨沂摸底考試,14)O是△ABC所在平面內的一點,若|OB-OC|=|OB+OC-2OA|,則△ABC的形狀為　　　　.? 答案　直角三角形 10.(2018豫東、豫北十校聯考(三),15)如圖,在等腰梯形ABCD中,AD=BC=AB=12DC=2,點E,F分別為線段AD,BC的三等分點,O為DC的中點,則FE·OF=　　　　.?

27、 答案　-143 三、解答題(共20分) 11.(2018河南中原名校聯盟第四次測評,19)在△ABC中,滿足AB⊥AC,M是BC的中點. (1)若|AB|=|AC|,求向量AB+2AC與向量2AB+AC的夾角的余弦值; (2)若O是線段AM上任意一點,且|AB|=|AC|=2,求OA·OB+OC·OA的最小值. 解析　(1)設向量AB+2AC與向量2AB+AC的夾角為θ,因為AB⊥AC,所以AB·AC=0,所以 cos θ=(AB+2AC)·(2AB+AC)|AB+2AC|·|2AB+AC|=2AB2+2AC2|AB+2AC|·|2AB+AC|,設|AB|=|AC|=a(

28、a>0),則cos θ=2a2+2a25a·5a=45.(5分) (2)∵|AB|=|AC|=2,∴|AM|=1, 設|OA|=x(0≤x≤1),則|OM|=1-x.(8分) 因為OB+OC=2OM, 所以OA·OB+OC·OA=OA·(OB+OC)=2OA·OM=2|OA|·|OM|cos π=2x2-2x=2x-122-12. 因為0≤x≤1,所以當且僅當x=12時,OA·OB+OC·OA取最小值-12.(12分) 12.(2019屆寧夏頂級名校9月聯考,17)設向量a=(3sin x,sin x),b=(cos x,sin x),x∈0,π2. (1)若|a|=|b|,求x

29、的值; (2)設函數f(x)=a·b,求f(x)的最大值. 解析　(1)由a=(3sin x,sin x),b=(cos x,sin x),得|a|2=(3sin x)2+(sin x)2=4sin2x,|b|2=(cos x)2+(sin x)2=1. 又因為|a|=|b|,所以4sin2x=1. 又x∈0,π2,所以sin x=12,則x=π6. (2)函數f(x)=a·b=(3sin x,sin x)·(cos x,sin x) =3sin xcos x+sin2x =32×2sin xcos x+1-cos2x2 =32sin 2x-12cos 2x+12 =cos π6sin 2x-sin π6cos 2x+12 =sin2x-π6+12. 因為x∈0,π2,所以-π6≤2x-π6≤5π6, 故-12≤sin2x-π6≤1, 所以0≤sin2x-π6+12≤32, 故f(x)的最大值為32.