浙江省上杭金湖四校2023-2024學年高三下學期第三次聯(lián)考 數(shù)學試題【含答案】

《浙江省上杭金湖四校2023-2024學年高三下學期第三次聯(lián)考 數(shù)學試題【含答案】》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《浙江省上杭金湖四校2023-2024學年高三下學期第三次聯(lián)考 數(shù)學試題【含答案】（19頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、【新結(jié)構(gòu)】2023—2024學年浙江省上杭金湖四校第三次聯(lián)考 數(shù)學試卷 一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的． 1．若集合，則（????） A． B． C． D． 2．設(shè)，是非零向量，“”是“”的（????） A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 3．已知函數(shù)y=f（x）的圖象是下列四個圖象之一，且其導函數(shù)y=f′（x）的圖象如圖所示，則該函數(shù)的圖象是（　?。? A． B． C． D． 4．已知，則（????）． A． B． C． D． 5．對于變量Y和變量x的

2、成對樣本觀測數(shù)據(jù)，用一元線性回歸模型得到經(jīng)驗回歸模型，對應的殘差如下圖所示，模型誤差（????） A．滿足一元線性回歸模型的所有假設(shè) B．不滿足一元線性回歸模型的的假設(shè) C．不滿足一元線性回歸模型的假設(shè) D．不滿足一元線性回歸模型的和的假設(shè) 6．已知一個等比數(shù)列的前項和?前項和?前項和分別為??，則下列等式正確的是（????） A． B． C． D． 7．已知函數(shù)的零點分別為，則的值是（????） A．1 B．2 C．3 D．4 8．半徑為3的圓內(nèi)有一點，點在圓上，當最大時，的長等于（????） A． B．3 C． D． 二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題

3、給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分． 9．已知長方體，則有（????） A．若與所成的角分別為，則 B．若與面、面、面三側(cè)面所成的角分別為，則 C．若，則 D．若，則． 10．瑞士數(shù)學家歐拉是史上最偉大的數(shù)學家之一，他發(fā)現(xiàn)了被人們稱為“世界上最完美的公式”——歐拉公式：（其中是虛數(shù)單位，是自然對數(shù)的底數(shù)），它也滿足實數(shù)范圍內(nèi)指數(shù)的運算性質(zhì)，下列結(jié)論正確的是（????） A． B． C．若復數(shù)的虛部為，，則的實部為 D．已知，，復數(shù)，在復平面內(nèi)對應的點分別為，，則三角形面積的最大值為 11．已知橢圓的左頂點為，上、下頂點分別

4、為，動點在橢圓上（點在第一象限，點在第四象限），是坐標原點，若的面積為1，則（????） A．為定值 B． C．與的面積相等 D．與的面積和為定值 三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分． 12．某學校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有 種（用數(shù)字作答）． 13．若則 ． 14．在中，分別為內(nèi)角的對邊，滿足，則的值為 ． 四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟． 15．已知等

5、差數(shù)列的公差為，且，設(shè)為的前項和，數(shù)列滿足. (1)若，且，求； (2)若數(shù)列也是公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項和. 16．如圖，三棱臺，平面平面，與相交于點，且平面． (1)求三棱錐的體積； (2)平面與平面所成角為與平面所成角為，求的值． 17．現(xiàn)有4個除顏色外完全一樣的小球和3個分別標有甲、乙、丙的盒子，將4個球全部隨機放入三個盒子中（允許有空盒）． (1)記盒子乙中的小球個數(shù)為隨機變量，求的數(shù)學期望； (2)對于兩個不互相獨立的事件，若，稱為事件的相關(guān)系數(shù)． ①若，求證：； ②若事件盒子乙不空，事件至少有兩個盒子不空，求． 18．已知橢圓：的離心率為，是上一點

6、. (1)求的方程. (2)設(shè)，分別為橢圓的左、右頂點，過點作斜率不為0的直線，與交于，兩點，直線與直線交于點，記的斜率為，的斜率為.證明：①為定值；②點在定直線上. 19．已知函數(shù). (1)判斷的單調(diào)性； (2)設(shè)函數(shù)，記表示不超過實數(shù)的最大整數(shù)，若對任意的正數(shù)恒成立，求的值. （參考數(shù)據(jù)：，） 1．D 【分析】求出集合后可求. 【詳解】，故， 故選：D 2．B 【分析】根據(jù)向量相等、單位向量判斷條件間的推出關(guān)系，結(jié)合充分、必要性定義即知答案. 【詳解】由表示單位向量相等，則同向，但不能確定它們模是否相等，即不能推出， 由表示同向且模相等，則， 所以“”是“

7、”的必要而不充分條件. 故選：B 3．B 【詳解】由y＝f′(x)的圖象知，y＝f(x)的圖象為增函數(shù)， 且在區(qū)間(－1,0)上增長速度越來越快， 而在區(qū)間(0,1)上增長速度越來越慢． 故選B. 4．B 【分析】根據(jù)給定條件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式計算作答. 【詳解】因為，而，因此， 則， 所以. 故選：B 【點睛】方法點睛：三角函數(shù)求值的類型及方法 （1）“給角求值”：一般所給出的角都是非特殊角，從表面來看較難，但非特殊角與特殊角總有一定關(guān)系．解題時，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)． （2）“給值

8、求值”：給出某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系． （3）“給值求角”：實質(zhì)上也轉(zhuǎn)化為“給值求值”，關(guān)鍵也是變角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函數(shù)值結(jié)合該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得角，有時要壓縮角的取值范圍． 5．C 【分析】根據(jù)用一元線性回歸模型有關(guān)概念即可判斷. 【詳解】解：用一元線性回歸模型得到經(jīng)驗回歸模型，根據(jù)對應的殘差圖，殘差的均值可能成立，但明顯殘差的軸上方的數(shù)據(jù)更分散，不滿足一元線性回歸模型，正確的只有C. 故選：C. 6．D 【分析】主要考察等比數(shù)列的性質(zhì)，字母為主，對學生的抽象和邏輯思維能力要求比較高

9、。 【詳解】當時， 當時， 對于A, 當時， 故A錯， 對于B, 當時，，故B錯， 對于C, 當時，，故C錯， 對于D, 當時，， ， 當時， 則，故選項正確， 故選：D 7．A 【分析】本題考查函數(shù)的零點問題，指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，令，利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)和函數(shù)的對稱性求出，即可求的值． 【詳解】由題意，， 令， 因為與互為反函數(shù)，兩個函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱， 且的圖象也關(guān)于直線對稱， 設(shè)， 則關(guān)于直線對稱， 所以且 由可得， 所以． 由可得， 所以， 又代入上式可得， 則． 故選：A． 8．C 【分析】畫

10、出圖形，當時，最大，然后在中，用勾股定理求出即可． 【詳解】如左圖，作與E, ． 欲使最大，即最大，由于為定值，則只要最大即可． 當，重合時，即時，最大，如右圖 中，，，， 則故當最大時，的長等于． 故選：C． 9．ABC 【分析】建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)，利用空間向量法求出夾角的正弦或余弦值，依次判斷選項即可． 【詳解】 如圖所示，以為原點，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標， 設(shè)， 則， 則， 對于， 同理可得， 則，故A正確； 對于B，面、面、面的一個法向量分別為， 則， 同理可得，則，故B正確； 對于C，， 故，C正

11、確； 由C選項分析可知，， 則，即； 同理，， 而顯然，則，故D錯誤； 故選：ABC． 10．AB 【分析】根據(jù)歐拉公式及復數(shù)得模即可判斷A； ，整理即可判斷B； 根據(jù)歐拉公式及復數(shù)的虛部為，，結(jié)合三角恒等變換，求出，即可求出的實部，從而判斷C； 根據(jù)題意可得，點得軌跡時以原點為圓心，1為半徑的圓，根據(jù)三角形的面積公式即可求得三角形面積的最大值，從而判斷D. 【詳解】解：對于A，，故A正確； 對于B， ，故B正確； 對于C， ， 因為復數(shù)的虛部為，所以， 又，所以， 故，所以， 所以， ， ， 即的實部為，故C錯誤； 對于D，由題意，， 則點

12、得軌跡時以原點為圓心，1為半徑的圓， 又，， 當，即時，取最大值， 所以三角形面積的最大值為，故D錯誤. 故選：AB. 11．ABC 【分析】根據(jù)面積公式結(jié)合橢圓標準方程聯(lián)立等式，化簡求出，為定值，可判斷A，根據(jù)直線斜率之間關(guān)系得到直線之間的關(guān)系可判斷，根據(jù)三角形面積公式即可判斷C,D. 【詳解】由題意可得，直線 所在直線方程為：， 設(shè)到直線的距離為， 則， 因為,在橢圓上， 所以，. 因為點在第一象限，點在第四象限， 所以， 有， 所以，，即，，故A正確， ，， 因為 因為，，所以，， 代入得，， 因為在橢圓上，有，即， 所以，，即，故B正確， ，

13、， 因為，所以， 代入得,故C正確， ，， 因為不是定值,故D錯誤. 故選：ABC. 【點睛】 12．64 【分析】分類討論選修2門或3門課，對選修3門，再討論具體選修課的分配，結(jié)合組合數(shù)運算求解. 【詳解】（1）當從8門課中選修2門，則不同的選課方案共有種； （2）當從8門課中選修3門， ①若體育類選修課1門，則不同的選課方案共有種； ②若體育類選修課2門，則不同的選課方案共有種； 綜上所述：不同的選課方案共有種. 故答案為：64. 13． 【分析】由不等式的性質(zhì)求解． 【詳解】因為， 所以， 整理得，，即， 故答案為： 14．1 【分析】

14、根據(jù)正弦定理與一元二次方程根的判別式可得，進而可得答案． 【詳解】已知， 則由正弦定理得：，（為外接圓半徑）， ， ，， ，即， ， ，，， ． 故答案為：1． 15．(1)； (2). 【分析】（1）根據(jù)給定條件，依次求出，列出不等式求解即得. （2）設(shè)，由已知求出，借助恒成立求出，再按奇偶分類并結(jié)合分組求和法求解即得. 【詳解】（1）依題意，，， 則，由，得，解得，而， 所以. （2）由是公差為的等差數(shù)列，設(shè)， 又， 于是對任意恒成立， 即對任意恒成立， 則，又，解得，從而，， 當為偶數(shù)時， ； 當為奇數(shù)時， ， 所以. 1

15、6．(1)2 (2) 【分析】（1）通過證明線線和線面垂直，并結(jié)合已知條件即可得出三棱錐的體積； （2）建立空間直角坐標系，表達出各點的坐標，求出角與的正余弦值，即可解出． 【詳解】（1）由題意，平面平面， 且平面平面平面， 平面， 平面，， 又平面， 平面． 連接，平面平面，平面平面，， ，，． 三棱錐底面三角形的面積為 ，高， 其體積為：． （2）由題意及（1）得， 以為坐標原點，分別以為軸的正方向建立空間直角坐標系， 如圖，， 則． 設(shè)平面的法向量為， 由，取，則， 平面的一個法向量為， 所以． 又因為，所以． ． 又，所

16、以． 17．(1) (2)①證明見詳解；② 【分析】（1）每個小球的選擇都是一次獨立重復試驗，而每個小球選擇盒子乙的概率為，所以可知隨機變量服從二項分布； （2）①由條件概率的公式很容易證明；②主要是根據(jù)題意，確定是平均分組還是非平均分組，進而根據(jù)排列組合的公式即可得到相關(guān)事件的概率；由于某些分組情況比較復雜，因此考慮其對立事件，會減少計算量. 【詳解】（1）由題意可知，的可能的取值為0,1,2,3,4，且，故； （2）①因為，且， 所以，即，而, 所以成立. ②事件：盒子乙不空，則事件：盒子乙空， 由第1問可知，所以， 事件：至少有兩個盒子不空，則事件：有一個盒子不

17、空， ，所以 事件：至少有兩個盒子不空且盒子乙不空，分為兩種情況，一種是三個盒子都不空，按照1、1、2分組；另一種是兩個盒子不空且乙不空，此時甲或者丙是空的，故按照1、3或者2、2分組即可， 故, 所以， 化簡得. 18．(1)； (2)①證明見解析；②證明見解析. 【分析】(1)由條件列出關(guān)于的方程，解方程可得，由此可得橢圓的方程； (2)①聯(lián)立方程組，利用設(shè)而不求法結(jié)合兩點斜率公式求即可證明； ②求出直線與直線方程，聯(lián)立求點的坐標，由此證明點在定直線上. 【詳解】（1）由題意，橢圓的離心率為，是橢圓上一點， 所以，解得， 所以橢圓的方程為； （2）①因為過點

18、且斜率不為0，所以可設(shè)的方程為，代入橢圓方程得，方程的判別式，設(shè)，，則 ，. 兩式相除得 ，． 因為分別為橢圓的左、右頂點，所以點的坐標為，點的坐標為，所以，． 從而； ②由①知，設(shè)，則，所以直線的方程為：，直線的方程為，聯(lián)立可得，所以直線與直線的交點的坐標為，所以點在定直線上. 【點睛】過x軸上定點斜率不為0的動直線方程可設(shè)為；過y軸上定點(0，y0)斜率存在的動直線方程可設(shè)為. 19．(1)在上單調(diào)遞減 (2) 【分析】（1）對函數(shù)求導判斷出導函數(shù)恒小于等于0，即可得在上單調(diào)遞減； （2）利用導函數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，并根據(jù)不等式可得出以及的取值范圍，代入整理

19、可得，再根據(jù)函數(shù)的定義和參考數(shù)據(jù)即可求得結(jié)果. 【詳解】（1）函數(shù)的定義域是， 易知恒成立， ∴在上單調(diào)遞減. （2），定義域是， 則， 令，則；令，則. ∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. ∵，，. ∴存在，使，即. 當時，；當或時， ∵ 當時，；當或時，. ∴1和是方程的兩個不等實數(shù)根. ∴，由韋達定理. ∴，，∴. 即 ∴ 又由，∴ 又，∴ 所以（其中） 由（1）知在區(qū)間上單調(diào)遞減 且，. ∴. 即. 【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于求出函數(shù)最值以后，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化成研究二次函數(shù)的根的分布情況得出參數(shù)的關(guān)系式，然后對進行化簡求解即可.