浙江省諸暨市2024屆高三適應(yīng)性考試（三模） 數(shù)學(xué)試題【含答案】

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1、 諸暨市2024年5月高三適應(yīng)性考試 數(shù)學(xué) 一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的. 1．已知拋物線，則其焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（????） A． B． C．1 D．4 2．若關(guān)于的不等式的解集為，則（????） A．， B．， C．， D．， 3．有一組樣本數(shù)據(jù)：2，3，3，3，4，4，5，5，6，6．則關(guān)于該組數(shù)據(jù)的下列數(shù)字特征中，數(shù)值最大的為（????） A．第75百分位數(shù) B．平均數(shù) C．極差 D．眾數(shù) 4．在的展開式中，含項的系數(shù)是10，則（????） A．0 B．1 C．2 D．4 5．若非零向量，滿足

2、，則在方向上的投影向量為（????） A． B． C． D． 6．已知，為曲線：的焦點(diǎn)，則下列說法錯誤的是（????） A．若，則曲線的離心率 B．若，則曲線的離心率 C．若曲線上恰有兩個不同的點(diǎn)，使得，則 D．若，則曲線上存在四個不同的點(diǎn)，使得 7．已知函數(shù)滿足：對任意實(shí)數(shù)，，都有成立，且，則（????） A．為奇函數(shù) B．為奇函數(shù) C．為偶函數(shù) D．為偶函數(shù) 8．設(shè)，已知，若恒成立，則的取值范圍為（????） A． B． C． D． 二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分

3、分，有選錯的得0分. 9．若，則（????） A． B． C． D． 10．已知，為圓上的兩個動點(diǎn)，點(diǎn)，且，則（????） A． B． C．外接圓圓心的軌跡方程為 D．重心的軌跡方程為 11．已知函數(shù)有兩個零點(diǎn)，，則下列說法正確的是（????） A．的值可以取 B．的值可以取 C．的值關(guān)于單調(diào)遞減 D． 三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分. 12．若復(fù)數(shù)滿足：，則復(fù)數(shù)的虛部為 ． 13．記為正項數(shù)列的前項積，已知，則 ； ． 14．若正四面體的棱長為1，以三個側(cè)面為底面向外作三個正四面體，，，則外接圓的

4、半徑是 ． 四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 15．已知函數(shù)的所有正零點(diǎn)構(gòu)成遞增數(shù)列． (1)求函數(shù)的周期和最大值； (2)求數(shù)列的通項公式及前項和． 16．如圖，在三棱錐中，是正三角形，平面平面，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，． (1)求證：為三棱錐外接球的球心； (2)求直線與平面所成角的正弦值； (3)若，，求平面與平面所成銳二面角的余弦值最大時的值． 17．已知雙曲線：與直線：交于、兩點(diǎn)（在左側(cè)），過點(diǎn)的兩條關(guān)于對稱的直線、分別交雙曲線于、兩點(diǎn)（在右支，在左支）． (1)設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，求的值； (2

5、)若直線與雙曲線在點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)，求的面積． 18．如圖是一個各棱長均為1米的正四棱錐，現(xiàn)有一只電子蛐蛐在棱上爬行，每次從一個頂點(diǎn)開始，等可能地沿棱爬到相鄰頂點(diǎn)，已知電子蛐蛐初始從頂點(diǎn)出發(fā)，再次回到頂點(diǎn)時停止爬行. (1)求電子蛐蛐爬行2米后恰好回到頂點(diǎn)的概率； (2)在電子蛐蛐停止爬行時爬行長度不超過4米的條件下，記爬行長度為，求的分布列及其數(shù)學(xué)期望； (3)設(shè)電子蛐蛐爬行米后恰好停止爬行（首次回到頂點(diǎn)）的概率記為，求（用表示）. 19．若函數(shù)在區(qū)間上有定義，且，，則稱是的一個“封閉區(qū)間”． (1)已知函數(shù)，區(qū)間且的一個“封閉區(qū)間”，求的取值集合； (2)已知函數(shù)，設(shè)集合

6、． （i）求集合中元素的個數(shù)； （ii）用表示區(qū)間的長度，設(shè)為集合中的最大元素．證明：存在唯一長度為的閉區(qū)間，使得是的一個“封閉區(qū)間”． 1．B 【分析】化簡拋物線的方程為，求得，即為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離. 【詳解】由題意，拋物線，即，解得， 即焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是 故選：B 2．B 【分析】由題得、為方程的根，利用韋達(dá)定理計算即可得解. 【詳解】由已知可得、為方程的根， 由韋達(dá)定理可得：，解得： 故選：B 3．A 【分析】分別求出該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)、平均數(shù)、極差、眾數(shù)，比較大小，即可得到答案. 【詳解】計算第75百分位數(shù)：，則取第8位數(shù)據(jù)， 即該組數(shù)據(jù)的第75

7、百分位數(shù)為5； 平均數(shù)為； 極差為； 眾數(shù)為3. 綜上，第75百分位數(shù)最大. 故選：A. 4．C 【分析】在的展開式中含的項即從5個因式中取4個，1個常數(shù)項即可寫出含的項，則可得出答案. 【詳解】根據(jù)二項展開式可知含項即從5個因式中取4個，1個常數(shù)項即可寫出含的項； 所以含的項是，可得； 即可得. 故選：C 5．B 【分析】利用向量的模長關(guān)系可得，再由投影向量的定義即可求出結(jié)果. 【詳解】根據(jù)題意可得， 所以，則 所以， 則在方向上的投影向量為. 故選：B 6．C 【分析】根據(jù)給定的方程，結(jié)合橢圓、雙曲線的性質(zhì)逐項分析判斷即可得解. 【詳解】對于A，當(dāng)

8、時，曲線是橢圓，離心率，A正確； 對于B，當(dāng)時，曲線是雙曲線，離心率，B正確； 對于C，當(dāng)時，曲線是橢圓，其短半軸長，半焦距， 顯然以線段為直徑的圓恰過這個橢圓短軸端點(diǎn)，即符合條件的可以是8，C錯誤； 對于D，當(dāng)時，則曲線是焦點(diǎn)在x上的雙曲線，則， 以線段為直徑的圓與雙曲線有4個交點(diǎn)，即符合條件的點(diǎn)有4個，D正確. 故選：C 7．D 【分析】由題意令，可得，令，可得，可得關(guān)于對稱，據(jù)此逐項判斷可得結(jié)論. 【詳解】令，則，，所以， 令，則， 即，又， 所以關(guān)于對稱， 所以關(guān)于對稱，故A不正確； 關(guān)于對稱，故B不正確； 由A可知關(guān)于對稱，故C不正確； 由A可知關(guān)于對

9、稱，故為奇函數(shù)， 所以為偶數(shù)，故D正確. 故選：D. 8．C 【分析】根據(jù)題意得到，推出，得到答案. 【詳解】由題意得，故， 故， 故 ， 由于，故. 故選：C 【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛： 9．AD 【分析】先根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系弦化切求出正切，再根據(jù)二倍角計算求解即可. 【詳解】因?yàn)榉肿臃帜付汲艘?所以 可得,故A選項正確，,B選項錯誤； ,C選項錯誤； ,D選項正確. 故選：AD. 10．ABC 【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)，可得判定A正確；當(dāng)線段的中垂線經(jīng)過點(diǎn)時，此時取得最值，結(jié)合圓的性質(zhì)，可判定B正確；設(shè)的外接圓的圓心為，根據(jù)，求得軌跡方程，可判定以C正確；設(shè)

10、的重心為點(diǎn)，結(jié)合C項，求得其軌跡方程，可判定D錯誤. 【詳解】因?yàn)閳A，可得圓心，半徑為，且點(diǎn)在圓內(nèi)， 對于A中，由，根據(jù)圓的性質(zhì)，可得， 即，即， 所以的最大值為，所以A正確； 對于B中，因?yàn)?，?dāng)線段的中垂線經(jīng)過點(diǎn)時，此時取得最值， 如圖所示，可得時，可得， 時，可得，所以B正確； 對于C中，設(shè)的外接圓的圓心為，則， 則有，可得， 即，所以C正確； 對于D中，設(shè)的重心為點(diǎn)，則， 由C項知的外接圓的圓心點(diǎn)的軌跡方程為， 且點(diǎn)為的中點(diǎn)，即，所以， 即，即，所以D錯誤. 故選：ABC. 11．ACD 【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，分析函數(shù)單調(diào)性，對和，分別求極值，判斷極值

11、的符號，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在性的判定方法求零點(diǎn)個數(shù)，可得AB的真假；把轉(zhuǎn)合成，數(shù)形結(jié)合，通過函數(shù)與的交點(diǎn)，分析的值關(guān)于關(guān)系，判斷C的真假；先根據(jù)，推出，在根據(jù)，可得D正確. 【詳解】求導(dǎo)得， 當(dāng)時，恒成立， 故在上為減函數(shù)，不可能有兩個零點(diǎn)，故; 令，得， 當(dāng)，；當(dāng)時，； 則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， 故的最小值為； 對于A選項：當(dāng)時，， ，故， 因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增， 則，故，則， 當(dāng)時，；且時，； 故在及各有一個零點(diǎn)，故A對； 對于B選項:當(dāng)時，于是， 故在上無零點(diǎn)，故B錯； 對于C，，即，可視為兩函數(shù)與的交點(diǎn)橫坐標(biāo)， 當(dāng)增加，直線斜率變小，同時向下平移，故收縮

12、變小，故C正確； 對于D，因?yàn)闉楹瘮?shù)的零點(diǎn)，則， 不妨設(shè)， 則，， 又， 所以 設(shè)， 則，令，， 則，所以， 所以函數(shù)在上單調(diào)遞減， 所以當(dāng)時，， 即，即， ，故D正確. 故選：ACD. 【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進(jìn)行： (1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求解曲線在某點(diǎn)處的切線方程； (2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)； (3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決函數(shù)的恒成立與有解問題，同時注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用. 12．1 【分析】設(shè)復(fù)數(shù)，再利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，就可以解得虛部. 【詳解】設(shè)，，由得：

13、，即，則， 代入得：，解得， 故答案為：. 13． 2 2025 【分析】由數(shù)列的前項積，利用賦值法令可求得，將表達(dá)式化簡可得數(shù)列是等差數(shù)列，即可求得. 【詳解】根據(jù)題意令，可知，又?jǐn)?shù)列的各項均為正，即； 解得； 由可得， 即，可得； 所以數(shù)列是以為首項，公差為的等差數(shù)列； 因此， 所以. 故答案為：2；2025. 14．## 【分析】結(jié)合正四面體的圖形特征，結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式和正弦定理求出的外接圓半徑即可. 【詳解】將此正四面體 放置在正方體中，從而可得 , 則 的中心為且此中心為 的中點(diǎn)，則， 的中心為且此中心為的中點(diǎn)，則， 的中心為且

14、此中心為的中點(diǎn)，則， ，，， 等邊外接圓的半徑是 . 故答案為： . 15．(1)周期2，最大值2 (2)， 【分析】（1）先應(yīng)用輔助角公式化簡再得出最大值即可； （2）令可得出，根據(jù)題意確定數(shù)列的首項和公差，即可求得數(shù)列的通項公式. 【詳解】（1）由題可得， 因此函數(shù)的周期， 當(dāng)，即時，取最大值，最大值為． （2）由得， 因此函數(shù)的所有正零點(diǎn)為， ，，因此是首項為，公差為1的等差數(shù)列； ， 16．(1)證明見解析 (2) (3) 【分析】（1）根據(jù)圖形特征得出即得證球心； （2）根據(jù)線面角定義結(jié)合線面垂直及面面垂直性質(zhì)定理可得； （3

15、）空間向量法求出銳二面角的余弦值再結(jié)合最值可得參數(shù). 【詳解】（1）為的中線，且，則為正的中心， 又中，， ，即為三棱錐外接球的球心 （2）是正三角形，點(diǎn)是的中點(diǎn)，． 又平面平面，平面平面，平面， 平面 為直線與平面所成的角 又，，, 即直線與平面所成角的正弦值為 （3）在平面中，過點(diǎn)作，垂足為，， 設(shè)，則，，． 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 則，，，， 設(shè)，則，，，． 設(shè)平面的法向量為， 由，得，令，故， 設(shè)平面的法向量為， 則，即，令，則． 設(shè)平面與平面所成銳二面角的平面角為， ， 當(dāng)時，，此時最大， 即當(dāng)時，平面與平面所成銳二面角

16、的余弦值最大． 17．(1)1 (2)． 【分析】（1）設(shè)直線、的傾斜角分別為、（、），則，再利用斜率與傾斜角的關(guān)系，結(jié)合誘導(dǎo)公式求解；???? （2）先求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得到雙曲線在點(diǎn)處的切線方程為，不妨設(shè)直線為，與雙曲線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理和三角形面積公式求解. 【詳解】（1）由題意知直線斜率為1，直線的傾斜角， 設(shè)直線、的傾斜角分別為、（、）， 直線、關(guān)于直線對稱，， ． （2）聯(lián)立， 雙曲線在點(diǎn)處的切線方程為． 不妨設(shè)直線為，，， 聯(lián)立得， 整理得，將等式看作關(guān)于的方程： 兩根之和，兩根之積， 而其中， 由（1）得， 直線為，過定點(diǎn)， 又雙

17、曲線在點(diǎn)處的切線方程為，過點(diǎn)，， ． 18．(1) (2)分布列見解析， (3) 【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立事件概率公式計算即可； （2）結(jié)合條件概率先求離散型隨機(jī)變量的分布列再求出數(shù)學(xué)期望； （3）結(jié)合等比數(shù)列的通項公式求出. 【詳解】（1）記事件“電子蛐蛐爬行的第米終點(diǎn)為”，“電子蛐蛐爬行的第米終點(diǎn)為”， “電子蛐蛐爬行的第米終點(diǎn)為”，“電子蛐蛐爬行的第米終點(diǎn)為”， “電子蛐蛐爬行的第米終點(diǎn)為”，“電子蛐蛐爬行米后恰好停止爬行”， 則 （2）記事件“電子蛐蛐停止爬行時，爬行長度不超過4米” 的可能取值為2，3，4，根據(jù)條件概率的知識，可得的分布列為

18、， ， ， 用表格表示的分布列為： 2 3 4 ． （3）（，）① ② ②－①得： ， 19．(1) (2)（i）2；（ii）證明見解析 【分析】（1）根據(jù)“封閉區(qū)間”的定義，對函數(shù)求導(dǎo)并求出其值域解不等式可得的取值集合； （2）（i）對求導(dǎo)得出函數(shù)的單調(diào)性，利用零點(diǎn)存在定理即可求得集合中元素的個數(shù)為2個； （ii）根據(jù)區(qū)間長度的定義，對參數(shù)進(jìn)行分類討論得出的所有可能的“封閉區(qū)間”即可得出證明. 【詳解】（1）由題意，，， 恒成立，所以在上單調(diào)遞增， 可得的值域?yàn)椋? 因此只需， 即可得，即， 則的取值集合為． （2）（i）記

19、函數(shù)， 則， 由得或；由得； 所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減． 其中，因此當(dāng)時，，不存在零點(diǎn)； 由在單調(diào)遞減，易知，而， 由零點(diǎn)存在定理可知存在唯一的使得； 當(dāng)時，，不存在零點(diǎn)． 綜上所述，函數(shù)有0和兩個零點(diǎn)，即集合中元素的個數(shù)為2． （ii）由（i）得，假設(shè)長度為的閉區(qū)間是的一個“封閉區(qū)間”， 則對，， 當(dāng)時，由（i）得在單調(diào)遞增， ，即，不滿足要求； 當(dāng)時，由（i）得在單調(diào)遞增， ， 即，也不滿足要求； 當(dāng)時，閉區(qū)間，而顯然在單調(diào)遞增， ， 由（i）可得，， ，滿足要求． 綜上，存在唯一的長度為的閉區(qū)間，使得是的一個“封閉區(qū)間”． 【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于理解“封閉區(qū)間”的定義，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)判斷出各函數(shù)的單調(diào)性和對應(yīng)的單調(diào)區(qū)間，再結(jié)合區(qū)間長度的定義分類討論即可得出結(jié)論.