江西省南昌市2024屆高三第三次模擬測試 數(shù)學(xué)試題【含答案】

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1、 2024屆高三第三次模擬測試 數(shù)學(xué)試題 一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的. 1．已知集合，.則（???） A． B． C． D． 2．已知“”，“”，若是的充分不必要條件，則實數(shù)的取值范圍是（???） A． B． C． D． 3．如圖對兩組數(shù)據(jù)，和，分別進(jìn)行回歸分析，得到散點(diǎn)圖如圖，并求得線性回歸方程分別是和，并對變量，進(jìn)行線性相關(guān)檢驗，得到相關(guān)系數(shù)，對變量，進(jìn)行線性相關(guān)檢驗，得到相關(guān)系數(shù)，則下列判斷正確的是（???） A． B． C． D． 4．已知，，，則，，的大小關(guān)系是（????） A． B．

2、C． D． 5．已知三棱錐中，是邊長為2的正三角形，是以為斜邊的等腰直角三角形，分別是線段的中點(diǎn)，若，則三棱錐的外接球的表面積為（???） A． B． C． D． 6．已知數(shù)列的前項和為，且滿足，，則的值不可能是（???） A．1 B．2 C．3 D．15 7．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，.過作直線與雙曲線的右支交于，兩點(diǎn)，若的周長為，則雙曲線的離心率的取值范圍是（???） A． B． C． D． 8．已知函數(shù).則下列說法中錯誤的是（???） A．當(dāng)時，在上單調(diào)遞增 B．當(dāng)時，的最小值是一個與無關(guān)的常數(shù) C．可能有三個不同的零點(diǎn) D．當(dāng)時，有且僅有一個零點(diǎn) 二、選擇題

3、：本題共3小題，每題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分. 9．已知是單調(diào)遞減的等比數(shù)列，若，前3項和，則下列說法中正確的是（???） A． B． C． D． 10．已知函數(shù)，若的圖象關(guān)于直線對稱，則下列說法正確的是（???） A．的圖象也關(guān)于直線對稱 B．的圖象關(guān)于中心對稱 C． D． 11．將橢圓上所有的點(diǎn)繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角，得到橢圓的方程：，則下列說法中正確的是（???） A． B．橢圓的離心率為 C．是橢圓的一個焦點(diǎn) D． 三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分. 12．已知復(fù)數(shù)滿足，則

4、 . 13．在中，，則 . 14．歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)，且與互質(zhì)的正整數(shù)的個數(shù)（公約數(shù)只有1的兩個正整數(shù)稱為互質(zhì)整數(shù)），例如：，，則數(shù)列的前項和為 . 四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 15．如圖1，四邊形為菱形，，，分別為，的中點(diǎn)，如圖2．將沿向上折疊，使得平面平面，將沿向上折疊．使得平面平面，連接. (1)求證：，，，四點(diǎn)共面： (2)求平面與平面所成角的余弦值. 16．教練為了解運(yùn)動員甲的罰籃情況，記錄了甲罰籃前30次的投籃情況，得到下表（用“1”表示投中，用“0”表示沒有投中）：

5、序號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 投籃情況 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 序號 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 投籃情況 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 把頻率估計為概率： (1)若認(rèn)為甲各次投籃是獨(dú)立的，計算甲第31，32兩次投籃恰好一次投中，一次沒有投中的概率； (2)若認(rèn)為甲從第2次投籃開始，每次投籃

6、受且僅受上一次投籃的影響，記甲第31，32兩次投籃投中的次數(shù)為，寫出隨機(jī)變量的分布列，并求. 17．已知橢圓的離心率為，過點(diǎn)作斜率為直線與橢圓交于，兩點(diǎn)交于，（在軸上方），當(dāng)時，. (1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，連接與軸交于點(diǎn)，若四邊形為等腰梯形，求直線的斜率. 18．定義：若變量，且滿足：，其中，稱是關(guān)于的“型函數(shù)”. (1)當(dāng)時，求關(guān)于的“2型函數(shù)”在點(diǎn)處的切線方程； (2)若是關(guān)于的“型函數(shù)”， （i）求的最小值： （ii）求證：，. 19．網(wǎng)絡(luò)購物行業(yè)日益發(fā)達(dá)，各銷售平臺通常會配備送貨上門服務(wù)．小金正在配送客戶購買的電冰箱，并獲得了客戶所在

7、小區(qū)門戶以及建筑轉(zhuǎn)角處的平面設(shè)計示意圖． (1)為避免冰箱內(nèi)部制冷液逆流，要求運(yùn)送過程中發(fā)生傾斜時，外包裝的底面與地面的傾斜角不能超過，且底面至少有兩個頂點(diǎn)與地面接觸．外包裝看作長方體，如圖1所示，記長方體的縱截面為矩形，，，而客戶家門高度為米，其他過道高度足夠．若以傾斜角的方式進(jìn)客戶家門，小金能否將冰箱運(yùn)送入客戶家中？計算并說明理由． (2)由于客戶選擇以舊換新服務(wù)，小金需要將客戶長方體形狀的舊冰箱進(jìn)行回收．為了省力，小金選擇將冰箱水平推運(yùn)(冰箱背面水平放置于帶滾輪的平板車上，平板車長寬均小于冰箱背面）．推運(yùn)過程中遇到一處直角過道，如圖2所示，過道寬為米．記此冰箱水平截面為矩形，．設(shè)

8、，當(dāng)冰箱被卡住時(即點(diǎn)、分別在射線、上，點(diǎn)在線段上），嘗試用表示冰箱高度的長，并求出的最小值，最后請幫助小金得出結(jié)論：按此種方式推運(yùn)的舊冰箱，其高度的最大值是多少？（結(jié)果精確到） 1．A 【分析】利用二次根式的定義域結(jié)合指數(shù)函數(shù)的值域求出對應(yīng)集合，再取交集即可. 【詳解】令，解得，故， 易得，故，則， 故，故A正確， 故選：A 2．B 【分析】利用給定條件得到，再利用分離參數(shù)法求解參數(shù)范圍即可. 【詳解】若是的充分不必要條件，故在時恒成立， 故得，令，由二次函數(shù)性質(zhì)得在時單調(diào)遞增， 則，可得，故B正確. 故選：B 3．D 【分析】由兩散點(diǎn)圖中散點(diǎn)的位置關(guān)系直

9、接得答案. 【詳解】由散點(diǎn)圖可知，與負(fù)相關(guān)，與正相關(guān)，則，，故A、B錯誤； 且圖形中點(diǎn)比更加集中在一條直線附近， 則，又，，得. 故C錯誤，D正確. 故選：D. 4．B 【分析】利用指數(shù)冪的運(yùn)算法則結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解即可. 【詳解】由題意得，，， 易知，， 故，則，可得，故B正確. 故選：B 5．C 【分析】作出圖象，由面面垂直的判斷定理可得平面平面，從而可得三棱錐的外接球的球心，求出外接球的半徑，即可得答案. 【詳解】因為是邊長為2的正三角形，是線段的中點(diǎn)， 所以，又因為，平面，， 所以平面，又因為平面，所以平面平面， 易知， 又因為，是以為斜邊的等

10、腰直角三角形， 所以，， 設(shè)三棱錐的外接球的球心為，半徑為， 則，， 在，，即，解得， 所以三棱錐的外接球的表面積. 故選：C. 6．B 【分析】由與的關(guān)系，將式子化簡，可得，當(dāng)，即可得到是等差數(shù)列，排除D，當(dāng)，即可得到是等比數(shù)列，排除A，然后由計算，即可排除C. 【詳解】因為，且，則， 化簡可得， 若，則，且， 則數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，則， 所以，則，排除D； 若，則，即，且， 則數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，則， 所以，則，排除A； 再由計算， ，即，解得或，取， ，即，解得或，取， ，即，解得或，取， ，即，解得或， 取，此

11、時，排除C； 故選：B 7．A 【分析】由雙曲線的定義可得的周長為，求得，再由過焦點(diǎn)的弦長的最小值，結(jié)合雙曲線的性質(zhì)，即可求解. 【詳解】由雙曲線的定義可得， 兩式相加可得， 則的周長為，即， 再由，可得，解得， 由. 故選：A 8．C 【分析】利用求導(dǎo)，對常數(shù)按選項進(jìn)行分類討論，從而得到函數(shù)的單調(diào)性和極值情況，再根據(jù)數(shù)形結(jié)合，即可以判斷各選項. 【詳解】對于A，由， 當(dāng)時，， 當(dāng)時，，則有， 當(dāng)時，，則有， 所以對任意的，都有，即在上單調(diào)遞增，故A正確； 對于B，當(dāng)時， 有， 所以當(dāng)時，則，即在上遞增； 當(dāng)時，則，即在上遞減； 即，所以的最小值是一個與

12、無關(guān)的常數(shù)，故B正確； 對于D, 當(dāng)時,分類討論： 當(dāng)時，由可知： 所以當(dāng)或時，則，即在和上遞增； 當(dāng)時，則，即在上遞減； 即在時有極小值，在時有極大值， 由于時， （這里運(yùn)用指數(shù)爆炸增長，它的增長速度一定會大于二次函數(shù)的增長速度） 所以由上可得有且僅有一個零點(diǎn)； 當(dāng)時，由可知： 所以當(dāng)或時，則，即在和上遞增； 當(dāng)時，則，即在上遞減； 即在時有極大值，在時有極小值， 由于時，， 所以有且僅有一個零點(diǎn)； 當(dāng)時，由A得：在上單調(diào)遞增，由， 由于時，， 所以由上可得有且僅有一個零點(diǎn)； 綜上可以判斷D是正確的； 對于C，由于當(dāng)時，有且僅有一個零點(diǎn)， 當(dāng)時， 有，

13、 所以當(dāng)時，則，即在上遞增； 當(dāng)時，則，即在上遞減； 此時最多有2個不同的零點(diǎn)； 當(dāng)時，，此時顯然只有一個零點(diǎn)； 所以不可能有三個不同的零點(diǎn)，故C是錯誤的； 故選：C. 【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對參數(shù)進(jìn)行分類討論，來判斷原函數(shù)的單調(diào)性和極值，從而就可以解決問題. 9．AD 【分析】設(shè)等比數(shù)列公比為，由已知條件得，解得，再使用等比數(shù)列的通項公式及數(shù)列求和公式求解即可. 【詳解】由題意，設(shè)等比數(shù)列公比為， 則，解得或， 由因為數(shù)列為單調(diào)遞減的等比數(shù)列， 所以， 所以， . 故選：AD. 10．BCD 【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)圖象的對稱性可得，，由此分析可得由此分析選項

14、，即可得答案. 【詳解】設(shè)關(guān)于直線對稱， 所以， ， 所以或， 當(dāng)時，，的圖象關(guān)于直線對稱， 此時，， ∴， 當(dāng)時，, ∴，∴， 又∵是一個定值，而隨的不同而不同， ∴此等式不成立，即不成立, ∴，即，所以的圖象關(guān)于中心對稱，B正確； ∴，，即，C正確. 與關(guān)于對稱， ∴，即，即， ∴，D正確， 又，則，即， ，而， 若A選項成立，則時，，所以 但此時，， 所以由可得，但這與已知矛盾， 所以的圖象不可能關(guān)于直線對稱，A錯誤. 故選：BCD. 11．ACD 【分析】根據(jù)題意，由橢圓的對稱性，求解頂點(diǎn)坐標(biāo)，從而可得，再由橢圓的性質(zhì)對選項逐一判斷，即

15、可得到結(jié)果. 【詳解】橢圓上所有的點(diǎn)繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角， 得到橢圓的方程：， 設(shè)點(diǎn)在該橢圓上，則其關(guān)于的對稱點(diǎn)代入橢圓方程有 ，即，則該對稱點(diǎn)位于橢圓方程上， 同理其關(guān)于的對稱點(diǎn)代入橢圓方程有 ，即，則該對稱點(diǎn)位于橢圓方程上， 則關(guān)于對稱， 所以，故D正確； 將代入可得， 可得橢圓長軸的頂點(diǎn)為，所以，故A正確； 將代入可得， 可得橢圓長軸的頂點(diǎn)為，所以， 則，則，故B錯誤； 所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為或，所以C正確； 故選：ACD 【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵通過證明該非標(biāo)準(zhǔn)橢圓的對稱性，從而得到的值，再按照普通橢圓的定義計算即可，也可將該過程想象成坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn). 12．

16、 【分析】令代入，利用復(fù)數(shù)相等，得到，. 【詳解】令，則有，即，， 解得，即，. 故答案為：. 13．1 【分析】直接利用三角函數(shù)的關(guān)系式的變換以及正弦定理的應(yīng)用求出結(jié)果. 【詳解】在中，，利用正弦定理：， 所以，整理得， 所以或， 由于，所以，故，由于， 所以， . 故答案為：1. 14． 【分析】由已知定義先求出，，代入后結(jié)合等比數(shù)列的求和公式即可求解. 【詳解】由題意可知，小于的所有正奇數(shù)都與互質(zhì)，共有個，所以， 小于且大于0的所有與不互質(zhì)的數(shù)是3的倍數(shù)，故與互質(zhì)的數(shù)共有，即， 所以 則其前項和為 故答案為：. 15．(1)證明見解析 (2)

17、 【分析】（1）利用線面垂直的性質(zhì)得到，結(jié)合中位線定理得到，最后證明四點(diǎn)共面即可. （2）找到對應(yīng)二面角的平面角，放入三角形中，利用余弦定理求解即可. 【詳解】（1）取，的中點(diǎn)分別為，，連接，， 取，的中點(diǎn)分別為，，連接，，， 由題意知，都是等邊三角形， 所以，， 因為平面平面，平面平面， 所以平面，平面，所以， 因為，的中點(diǎn)分別為，，所以 所以，所以， 所以，又因為， 所以， 因為，的中點(diǎn)分別為，， 所以， 所以，所以，，，四點(diǎn)共面； （2）連接，，且延長交于點(diǎn)，由題意知，， 所以，同理， 所以就是二面角的平面角， 設(shè)，則，，， 所以，同理，

18、 所以， 所以平面與平面所成角的余弦值為. 16．(1) (2)分布列見解析， 【分析】（1）由題可得甲投籃投中的概率，投不中的概率為，故所求概率為恰有一次投中，一次沒有投中的概率為，代入數(shù)據(jù)即可求解； （2）表格中的數(shù)據(jù)可以知道：上一次投籃投中，這一次也投中的概率為，上一次投籃沒有投中，這一次投籃投中的概率為，的所有可能取值為0，1，2，然后求出對應(yīng)概率即可得解. 【詳解】（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，在甲前30次的投籃過程中，有19次投中，11次沒有投中，因此因動員甲投籃投中的概率，投不中的概率為，若甲各次投籃互相獨(dú)立，那么第31，32次投籃，恰有一次投中，一次沒有投中的概率為；

19、 （2）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可以知道：上一次投籃投中，這一次也投中的概率為， 上一次投籃沒有投中，這一次投籃投中的概率為， 的所有可能取值為，，，且由表格可知第30次運(yùn)動員甲沒有投中， 則， ， ， 所以隨機(jī)變量的分布列為： 0 1 2 所以. 17．(1) (2) 【分析】（1）由離心率可得，將橢圓方程化為，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元，列出韋達(dá)定理，利用弦長公式求出，即可得解； （2）不妨設(shè)的中點(diǎn)為，則必有，則問題只需要求點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)，，直線的方程為，，聯(lián)立直線與橢圓方程，求出，，即可求出直線的斜率. 【詳解】（1）因為，所以，即， 不妨設(shè)橢

20、圓的方程為，即. 并與直線聯(lián)立方程，，消去得， 設(shè)，，則有，， 由， 所以，即或（舍去）， 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為； （2）因為四邊形為等腰梯形，則必有， 即，不妨設(shè)的中點(diǎn)為，則必有， 要求直線的斜率，只需要轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)的坐標(biāo)，則有， 設(shè)，，則有， 有直線的方程為，令，則有, 不妨設(shè)直線的方程為，， 則有，， 并與橢圓聯(lián)立方程，消去得，顯然， 則有，，則有， 則有，所以， 所以， 所以. ?? 18．(1) (2)（i）；（ii）證明見解析 【分析】（1）根據(jù)題意，得到，求得，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求解； （2）根據(jù)題意，得到， （i）化簡，結(jié)合

21、基本不等式，即可求解； （ii）由題意，得到，設(shè)，，其中，化簡得到，記，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最小值，即可求解. 【詳解】（1）解：當(dāng)時，可得，則， 所以，所求切線方程為，即. （2）解：由是關(guān)于的“型函數(shù)”，可得，即， （i）因為， 當(dāng)且僅當(dāng)即時取得最小值. （ii）由，即，則，且，， 可設(shè)，，其中， 于是， 記， 可得， 由，得，記， 當(dāng)時，當(dāng)時，，則 ，所以. 【點(diǎn)睛】方法技巧：對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略： 1、合理轉(zhuǎn)化，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的最值之間的比較，列出不等式關(guān)系式求解； 2、構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的

22、單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍； 3、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題． 4、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別． 19．(1)冰箱能夠按要求運(yùn)送入客戶家中，理由見解析； (2)最小值為米，此情況下能推運(yùn)冰箱高度的最大值為米. 【分析】（1）過A，D作水平線，作，由可得； （2）延長與直角走廊的邊相交于、，由表示出，設(shè)進(jìn)行換元，利用單調(diào)性即可求解. 【詳解】（1）過A，D作水平線，作如圖， 當(dāng)傾斜角時，冰箱傾斜后實際高度（即冰箱最高點(diǎn)到地面的距離） ，????????????????????? 故冰箱能夠按要求運(yùn)送入客戶家中． （2）延長與直角走廊的邊相交于、， 則，，， 又， 則，． 設(shè)， 因為，所以，所以， 則 ， 再令，則， 易知，在上單調(diào)遞增， 所以單調(diào)遞減， 故當(dāng)，即，時，取得最小值. 由實際意義需向下取，此情況下能順利通過過道的冰箱高度的最大值為米．