2017-2018學年度高中數(shù)學 第二章 平面向量 2.3.2 平面向量的正交分解及坐標表示 2.3.3 平面向量的坐標運算學案【含解析】新人教A版必修4

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1、 2．3.2 & 2.3.3　平面向量的正交分解及坐標表示　平面向量的坐標運算 平面向量的正交分解及坐標表示 [提出問題] 問題1：在平面內(nèi)，規(guī)定e1，e2為基底，那么一個向量對e1，e2的分解是唯一的嗎？ 提示：唯一． 問題2：在平面直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i，j作為基底，任作一向量.根據(jù)平面向量基本定理，＝xi＋yj，那么(x，y)與A點的坐標相同嗎？ 提示：相同． 問題3：如果向量也用(x，y)表示，那么這種向量與實數(shù)對(x，y)之間是否一一對應(yīng)？ 提示：一一對應(yīng)． [導入新知] 1．平面向量的正交分解 把一個向量分解為兩個互

2、相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 2．平面向量的坐標表示 在平面直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i，j作為基底．對于平面內(nèi)的一個向量a，有且只有一對實數(shù)x，y，使得a＝xi＋yj，則(x，y)叫做a的坐標，記作a＝(x，y)，此式叫做向量的坐標表示． 3．向量i，j，0的坐標表示 i＝(1,0)，j＝(0,1)，0(0,0)． [化解疑難] 辨析點的坐標與向量的坐標 (1)當且僅當向量的起點在原點時，向量終點的坐標等于向量本身的坐標． (2)書寫不同，如：a＝(1,2)，A(1,2)． (3)給定一個向量，它的坐標是唯一的；給定一對實數(shù)，由于向量可以平

3、移，故以這對實數(shù)為坐標的向量有無窮多個． (4)兩個向量相等，當且僅當它們的坐標相同． 即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 則a＝b? 注意：相等向量的坐標是相同的，但是兩個相等向量的起點、終點的坐標卻可以不同. 平面向量的坐標運算 [提出問題] 設(shè)a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j. 問題1：a，b的坐標分別是什么？ 提示：(x1，y1)，(x2，y2)． 問題2：試求3a和2a－b. 提示：3a＝3(x1i＋y1j)＝3x1i＋3y1j， 2a－b＝(2x1－x2)i＋(2y1－y2)j. 問題3：3a與2a－b的坐標分別是什么？ 提示：(3x

4、1,3y1)，(2x1－x2,2y1－y2)． 問題4：若把向量平移到，則和的坐標相同嗎？的坐標是C點的坐標嗎？ 提示：相同．的坐標不是C點坐標． [導入新知] 平面向量的坐標運算 文字 符號 加法 兩個向量和的坐標分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標的和 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 減法 兩個向量差的坐標分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標的差 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a－b＝(x1－x2，y1－y2) 數(shù)乘向量 實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標 若a＝(x，y)，λ∈R，則λa＝(λ

5、x，λy) 重要結(jié)論 一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去始點的坐標 已知向量的起點A(x1，y1)，終點B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1) [化解疑難] 向量坐標的特點 (1)向量的坐標只與起點、終點的相對位置有關(guān)，而與它們的具體位置無關(guān)． (2)當向量確定以后，向量的坐標就是唯一確定的，因此向量在平移前后，其坐標不變. 平面向量的坐標表示 [例1]　已知邊長為1的正方形ABCD中，AB與x軸正半軸成30角．求點B和點D的坐標和與的坐標． [解]　由題知B，D分別是30，120角的終邊與單位圓的交點． 設(shè)B(x1，y1)，

6、D(x2，y2)． 由三角函數(shù)的定義，得 x1＝cos 30＝，y1＝sin 30＝， ∴B. x2＝cos 120＝－，y2＝sin 120＝， ∴D. ∴＝，＝. [類題通法] 求點和向量坐標的常用方法 (1)在求一個向量時，可以首先求出這個向量的起點坐標和終點坐標，再運用終點坐標減去起點坐標得到該向量的坐標． (2)求一個點的坐標，可以轉(zhuǎn)化為求該點相對于坐標原點的位置向量的坐標． [活學活用] 已知O是坐標原點，點A在第一象限，||＝4，∠xOA＝60. (1)求向量的坐標； (2)若B(，－1)，求的坐標． 答案：(1)＝(2，6)　(2)＝(，7)

7、 平面向量的坐標運算 [例2]　(1)已知三點A(2，－1)，B(3,4)，C(－2,0)，則向量3＋2＝__________，－2＝________. (2)已知向量a，b的坐標分別是(－1,2)，(3，－5)，求a＋b，a－b,3a,2a＋3b的坐標． [解]　(1)(11,13)　(－7，－14) (2)a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(2，－3)； a－b＝(－1,2)－(3，－5)＝(－4,7)； 3a＝3(－1,2)＝(－3,6)； 2a＋3b＝2(－1,2)＋3(3，－5) ＝(－2,4)＋(9，－15) ＝(7，－11)． [類題通法] 平面向量的坐標

8、運算技巧 在進行平面向量的坐標運算時，應(yīng)先將平面向量用坐標的形式表示出來，再根據(jù)向量的直角坐標運算法則進行計算(直角坐標運算法則即兩個向量的和與差的坐標等于兩個向量相應(yīng)坐標的和與差，數(shù)乘向量的積的坐標等于數(shù)乘向量相應(yīng)坐標的積)． [活學活用] 1．若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，則c等于(　　) A．－a＋b　　　　　　B.a－b C.a－b D．－a＋b 答案：B 2．若向量＝(2,3)，＝(4,7)，則等于(　　) A．(－2，－4) B．(3,4) C．(6,10) D．(－6，－10) 答案：A 由向量相等求坐標 [例3

9、]　(1)若a＝(－1,2)，b＝(1，－1)，c＝(3，－2)，且c＝pa＋qb，則p＝________，q＝________. (2)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且＝3，＝2，求M，N及的坐標． [解]　(1)1　4 (2)由A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)， 可得＝(－2,4)－(－3，－4)＝(1,8)， ＝(3，－1)－(－3，－4)＝(6,3)， 所以＝3＝3(1,8)＝(3,24)， ＝2＝2(6,3)＝(12,6)． 設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)， 則＝(x1＋3，y1＋4)＝(3,24)，x1＝0，y1＝20

10、； ＝(x2＋3，y2＋4)＝(12,6)，x2＝9，y2＝2， 所以M(0,20)，N(9,2)， ＝(9,2)－(0,20)＝(9，－18)． [類題通法] 坐標形式下向量相等的條件及其應(yīng)用 (1)坐標形式下向量相等的條件：相等向量的對應(yīng)坐標相等；對應(yīng)坐標相等的向量是相等向量． (2)應(yīng)用：利用坐標形式下向量相等的條件，可以建立相等關(guān)系，由此可求某些參數(shù)的值． [活學活用] 已知a＝，B點坐標為(1,0)，b＝(－3,4)，c＝(－1,1)，且a＝3b－2c，求點A的坐標． 答案：A(8，－10) 　　　　 [典例]　(12分)已知點O(0,0)，A(1,2)，

11、B(4,5)，且＝＋t，試問： (1)t為何值時，P在x軸上？P在y軸上？P在第二象限？ (2)四邊形OABP可能為平行四邊形嗎？若可能，求出相應(yīng)的t值；若不可能，請說明理由． [解題流程] [規(guī)范解答] 由題可知＝(1,2)，＝(3,3)， ＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t,2＋3t)．(2分) (1)若P在x軸上， 則有2＋3t＝0，t＝－；(3分) 若P在y軸上，則有1＋3t＝0，t＝－；(4分) 解得－

12、3－3t)．(8分) 若四邊形OABP是平行四邊形，則有＝ ，(10分) 即方程組顯然無解．(11分) ∴四邊形OABP不可能是平行四邊形．(12分) [名師批注] 由向量坐標與點的坐標之間的關(guān)系可知，向量的坐標就是P點坐標．正確求解的坐標是后續(xù)解題的關(guān)鍵． 點在x軸上，只需縱坐標為0即可． 點在y軸上，只需橫坐標為0即可． 點在第二象限，需橫坐標小于0，縱坐標大于0.此處易搞混坐標符號而導致解題錯誤． 假設(shè)四邊形OABP是平行四邊形，則＝.由＝相等求t，依據(jù)t是否有解判斷假設(shè)是否成立即可．此處易出現(xiàn)找不到關(guān)于t的關(guān)系式而造成無法求解的情況.

13、　 [活學活用] 如圖，已知平行四邊形的三個頂點坐標分別為A(4,3)，B(3，－1)，C(1，－2)，求第四個頂點D的坐標． 答案：點D的坐標是(2,2)或(6,4)或(0，－6) [隨堂即時演練] 1．(全國卷Ⅰ)已知點A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，則向量＝(　　) A．(－7，－4)　　　　　　 B．(7,4) C．(－1,4) D．(1,4) 答案：A 2．已知a＋b＝(2，－8)，a－b＝(－8,16)，則a＝(　　) A．(－3,4) B．(5，－12) C．(1，－4) D．(－4,8) 答案

14、：A 3．若A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)，則＋2＝________. 答案：(－4,9) 4．已知a＝(3,4)，點A(1，－3)，若＝2a，則點B的坐標為________． 答案：(7,5) 5．已知點A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，若＝＋λ(λ∈R)，則λ為何值時， (1)點P在第一、三象限角平分線上？ (2)點P在第三象限內(nèi)？ 答案：(1)λ＝　(2)λ<－1 [課時達標檢測] 一、選擇題 1．已知向量＝(1，－2)，＝(－3,4)，則等于(　　) A．(－2,3)　　　　　 　B．(2，－3) C．(2,3) D．(－2，－3)

15、 答案：A 2．已知a＝(－5,6)，b＝(－3,2)，c＝(x，y)，若a－3b＋2c＝0，則c等于(　　) A．(－2,6) B．(－4,0) C．(7,6) D．(－2,0) 答案：D 3．已知a＝(3，－1)，b＝(－1,2)，若ma＋nb＝(10,0)(m，n∈R)，則(　　) A．m＝2，n＝4 B．m＝3，n＝－2 C．m＝4，n＝2 D．m＝－4，n＝－2 答案：C 4．已知A(7,1)，B(1,4)，直線y＝ax與線段AB交于C，且＝2，則實數(shù)a等于(　　) A．2 B．1 C. D. 答案：A 5．設(shè)向量a＝(1，－3)，b＝

16、(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向線段首尾相接能構(gòu)成四邊形，則向量d為(　　) A．(2,6) B．(－2,6) C．(2，－6) D．(－2，－6) 答案：D 二、填空題 6．已知A(2,3)，B(1,4)，且＝(sin α，cos β)，α，β∈，則α＋β＝________. 答案：或－ 7．已知e1＝(1,2)，e2＝(－2,3)，a＝(－1,2)，試以e1，e2為基底，將a分解成λ1e1＋λ2e2的形式為________． 答案：a＝e1＋e2 8．已知A(－3,0)，B(0,2)，O為坐標原點，點C在∠AOB

17、內(nèi)，|OC|＝2，且∠AOC＝.設(shè)＝ λ＋ (λ∈R)，則λ＝ ________. 答案： 三、解答題 9．已知點A(－1,2)，B(2,8)及＝，＝－，求點C，D和的坐標． 解：設(shè)C(x1，y1)，D(x2，y2)．由題意可得＝(x1＋1，y1－2)，＝(3,6)，＝(－1－x2,2－y2)， ＝(－3，－6)． ∵＝，＝－， ∴(x1＋1，y1－2)＝(3,6)＝(1,2)， (－1－x2,2－y2)＝－(－3，－6)＝(1,2)． 則有 解得 ∴C，D的坐標分別為(0,4)和(－2,0)， 因此＝(－2，－4)． 10．已知三點A(2,3)，B(5,4)，C(

18、7,10)，點P滿足＝＋λ (λ∈R)． (1)λ為何值時，點P在正比例函數(shù)y＝x的圖象上？ (2)設(shè)點P在第三象限，求λ的取值范圍． 解：設(shè)P點坐標為(x1，y1)，則＝(x1－2，y1－3)． ＋λ＝(5－2,4－3)＋λ(7－2,10－3)， 即＋λ＝(3＋5λ，1＋7λ)， 由＝＋λ， 可得(x1－2，y1－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)， 則解得 ∴P點的坐標是(5＋5λ，4＋7λ)． (1)令5＋5λ＝4＋7λ，得λ＝， ∴當λ＝時，P點在函數(shù)y＝x的圖象上． (2)因為點P在第三象限，∴解得λ＜－1， ∴λ的取值范圍是{λ|λ＜－1}． 11．已知向

19、量u＝(x，y)與向量v＝(y,2y－x)的對應(yīng)關(guān)系用v＝f(u)表示． (1)證明：對任意向量a，b及常數(shù)m，n，恒有f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)成立； (2)設(shè)a＝(1,1)，b＝(1,0)，求向量f(a)及f(b)的坐標； (3)求使f(c)＝(p，q)(p，q是常數(shù))的向量c的坐標． 解：(1)證明：設(shè)a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)， 則ma＋nb＝(ma1＋nb1，ma2＋nb2)， ∴f(ma＋nb)＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)， mf(a)＋nf(b)＝m(a2,2a2－a1)＋n(b2,2b2－b1) ＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)， ∴f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)成立． (2)f(a)＝(1,21－1)＝(1,1)， f(b)＝(0,20－1)＝(0，－1)． (3)設(shè)c＝(x，y)， 則f(c)＝(y,2y－x)＝(p，q)， ∴y＝p,2y－x＝q， ∴x＝2p－q， 即向量c＝(2p－q，p)． - 10 -