142正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)1

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1、1.4.2 正 弦 函 數(shù) 、 余 弦 函 數(shù) 的 性 質(zhì) 第 一 課 時(shí) 問(wèn) 題 提 出 t57301p 2 問(wèn) 題 1.根 據(jù) 正 弦 函 數(shù) 和 余 弦 函 數(shù) 的 圖 象 ，你 能 說(shuō) 出 它 們 具 有 哪 些 性 質(zhì) ？y-1 x O1 2 3 4 5 6-2-3-4-5-6 - y=sinx xyO1-1 2 2 2 2 2 2222222 y=cosx 一 、 周 期 函 數(shù) 的 概 念 思 考 1： 觀 察 上 圖 , 正 弦 曲 線 每 相 隔 個(gè)單 位 重 復(fù) 出 現(xiàn) . . y-1 xO1 2 3 4 5 6-2-3-4-5-6 - y=sinx 2sin( 2 ) s

2、in ( )x k x k Z 誘 導(dǎo) 公 式 其 理 論 依 據(jù) 是 什 么 ？當(dāng) 自 變 量 x的 值 增 加 2 的 整 數(shù) 倍 時(shí) ， 函數(shù) 值 重 復(fù) 出 現(xiàn) .數(shù) 學(xué) 上 ， 用 周 期 性 這 個(gè) 概念 來(lái) 定 量 地 刻 畫(huà) 這 種 “ 周 而 復(fù) 始 ” 的 變化 規(guī) 律 思 考 2： 設(shè) f(x)=sinx， 則 可 以 怎 樣 表 示 ？ sin( 2 ) sinx k x f(x+2k )=f(x) 這 就 是 說(shuō) ： 當(dāng) 自 變 量 x的 值 增 加 到x+2k 時(shí) ， 函 數(shù) 值 重 復(fù) 出 現(xiàn) . 為 了 突 出 函 數(shù) 的 這 個(gè) 特 性 ， 我 們把 函 數(shù)

3、f(x)=sinx稱 為 周 期 函 數(shù) ， 2k 為這 個(gè) 函 數(shù) 的 周 期 (其 中 k z且 k 0). 思 考 3： 把 函 數(shù) f(x)=sinx稱 為 周 期 函 數(shù) .那 么 ，一 般 地 ， 如 何 定 義 周 期 函 數(shù) 呢 ？【 周 期 函 數(shù) 的 定 義 】 對(duì) 于 函 數(shù) f(x)， 如 果 存在 一 個(gè) 非 零 常 數(shù) T， 使 得 當(dāng) x取 定 義 域 內(nèi) 的 每一 個(gè) 值 時(shí) ， 都 有 f(x+T)=f(x) 那 么 函 數(shù) f(x)就 叫 做 周 期 函 數(shù) ， 非 零 常 數(shù) T就 叫 做 這 個(gè) 函 數(shù) 的 周 期 . ( ), 0, , ( ) ( )

4、( )f x x D f x T f xf x 對(duì)則 稱 為 周 期 函 數(shù) 。 思 考 4： 周 期 函 數(shù) 的 周 期 是 否 唯 一 ？ 正 弦函 數(shù) y=sinx的 周 期 有 哪 些 ？ 答 ： 周 期 函 數(shù) 的 周 期 不 止 一 個(gè) . 2 ， 4 ， 6 ， 都 是 正 弦 函 數(shù)的 周 期 ， 事 實(shí) 上 ， 任 何 一 個(gè) 常 數(shù)2k (k z且 k 0)都 是 它 的 周 期 .【 周 期 函 數(shù) 的 定 義 】 對(duì) 于 函 數(shù) f(x)， 如 果 存 在 一 個(gè) 非 零 常數(shù) T， 使 得 當(dāng) x取 定 義 域 內(nèi) 的 每 一 個(gè) 值 時(shí) ， 都 有f(x+T)=f(

5、x) 那 么 函 數(shù) f(x)就 叫 做 周 期 函 數(shù) ， 非 零 常 數(shù) T就 叫 做 這 個(gè) 函數(shù) 的 周 期 . 【 最 小 正 周 期 】 如 果 在 周 期 函 數(shù) f(x)的所 有 周 期 中 存 在 一 個(gè) 最 小 的 正 數(shù) , 則 這個(gè) 最 小 正 數(shù) 叫 做 f(x)的 最 小 正 周 期 .今 后 本 書(shū) 中 所 涉 及 到 的 周 期 ， 如 果 不 加 特別 說(shuō) 明 ， 一 般 都 是 指 函 數(shù) 的 最 小 正 周 期 .思 考 5： 周 期 函 數(shù) 是 否 一 定 存 在 最 小 正 周 期 ？ 例 如 ： f(x)=c (c為 常 數(shù) ）否 【 周 期 函 數(shù)

6、 的 定 義 】 對(duì) 于 函 數(shù) f(x)， 如 果 存 在 一 個(gè) 非 零 常 數(shù) T，使 得 當(dāng) x取 定 義 域 內(nèi) 的 每 一 個(gè) 值 時(shí) ， 都 有f(x+T)=f(x)那 么 函 數(shù) f(x)就 叫 做 周 期 函 數(shù) ， 非 零 常 數(shù) T就 叫 做 這 個(gè) 函 數(shù) 的 周期 . 【 最 小 正 周 期 】 如 果 在 周 期 函 數(shù) f(x)的 所 有 周 期 中 存 在 一 個(gè) 最小 的 正 數(shù) , 則 這 個(gè) 最 小 正 數(shù) 叫 做 f(x)的 最 小 正 周 期 . 答 ： 正 弦 函 數(shù) y=sinx有 最 小 正 周 期 ，且 最 小 正 周 期 T=2思 考 6：

7、我 們 知 道 2 ， 4 ， 6 ， 都 是 y=sinx的 周 期 ,那 么 函 數(shù) y=sinx有 最 小 正周 期 嗎 ？ 若 有 ， 那 么 最 小 正 周 期 T等 于 多 少 ？ 正 弦 函 數(shù) y=sinx是 周 期 函 數(shù) ， 2k （ k Z且 k 0） 都 是 它 的 周 期 ， 最 小 正 周 期 T=2 余 弦 函 數(shù) y=cosx是 周 期 函 數(shù) ， 2k （ k Z且 k 0） 都 是 周 期 ， 最 小 正 周 期 T=2 思 考 7： 就 周 期 性 而 言 ， 對(duì) 正 弦 函 數(shù) 有什 么 結(jié) 論 ？ 對(duì) 余 弦 函 數(shù) 呢 ？y-1 xO1 2 3 4

8、5 6-2-3-4-5-6 - y=sinx xyO1-1 2 2 2 2 2 2222222 y=cosx 二 ： 周 期 概 念 的 拓 展 思 考 1： 判 斷 下 列 說(shuō) 法 是 否 正 確思 考 2： 周 期 函 數(shù) 的 定 義 域 有 什 么 特 點(diǎn) ？ 函 數(shù) f(x)=sinx（ x 0） 是 周 期 函 數(shù) ( ) 函 數(shù) f(x)=sinx（ x 0） 是 周 期 函 數(shù) ( ) 函 數(shù) f(x)=sinx（ x 3k ） 是 周 期 函 數(shù) ( ) 函 數(shù) f(x)=sinx， x 0， 10 是 周 期 函 數(shù) ( ) 例 1 求 下 列 函 數(shù) 的 周 期 ： y=3

9、cosx,x R; y=sin2x,x R; y=2sin( - ),x R; 2x 6 3cos(x+2 )= 由 周 期 函 數(shù) 的 定 義 可 知 ， 原 函 數(shù) 的 周 期 為2【 解 】 y=cosx的 同 期 為 23cosx y=sin2x,x R; sin2(x+ )= 由 周 期 函 數(shù) 的 定 義 可 知 ， 原函 數(shù) 的 周 期 為 sin2xsin(2x+2 )=解 ： y=2sin( - ),x R; 由 周 期 函 數(shù) 的 定 義 可 知 ， 原 函 數(shù)的 周 期 為 4 6)4(21sin2 x )621sin(2 x 2)621sin(2 x2x 6解 ： 一

10、般 地 ， 函 數(shù) y=Asin( x+ ) (A 0， 0)的 最 小 正 周 期 是 多 少 ? 2 T 由 上 例 知 函 數(shù) y=3cosx的 周 期 T= 2 ； 函 數(shù) y=sin2x的 周 期 T= ； 函 數(shù) y=2sin( - )的 周 期 T=4想 一 想 ： 以 上 這 些 函 數(shù) 的 周 期 與 解 析 式中 哪 些 量 有 關(guān) 嗎 ？ 2x 6自 變 量 的 系 數(shù) 的 絕 對(duì) 值T 2 例 2 已 知 定 義 在 R上 的 函 數(shù) f(x)滿 足f(x 2) f(x)=0， 試 判 斷 f(x)是 否 為 周期 函 數(shù) ？ 分 析 由 已 知 有 ： f(x 2)=

11、 -f(x) f(x+4)= 即 f(x 4)=f(x) 由 周 期 函 數(shù) 的 定 義 知 ， f(x)是 周 期 函 數(shù) .f(x)=-f(x)= -f(x 2)f(x 2)+2= 如 果 在 周 期 函 數(shù) f(x)的 所 有 周 期 中 存 在 一 個(gè) 最 小 的 正 數(shù) , 則 這 個(gè) 最 小 正 數(shù) 叫 做 f(x)的 最 小 正 周 期歸 納 整 理 1.說(shuō) 說(shuō) 周 期 函 數(shù) 的 定 義 .3.什 么 叫 周 期 函 數(shù) 的 最 小 正 周 期 ？2. 求 函 數(shù) 周 期 的 方 法 ： 4.周 期 函 數(shù) 的 周 期 與 函 數(shù) 的 定 義 域 有 關(guān) ， 周 期 函 數(shù) 不

12、 一定 存 在 最 小 正 周 期 . 5.周 期 函 數(shù) 的 周 期 有 許 多 個(gè) ， 若 T為 周 期 函 數(shù) f(x)的 周期 ， 那 么 T的 整 數(shù) 倍 也 是 f(x)的 周 期 . 6.函 數(shù) y=Asin( x+ )和 y=Acos( x+ ) (A 0)的 最 小 正 周 期 T= 2 這 個(gè) 公 式 ， 解 題 時(shí) 可 以 直 接 應(yīng) 用( ), 0, , ( ) ( )( )f x x D f x T f xf x 對(duì)則 稱 為 周 期 函 數(shù) 。（ 1） 定 義 法 （ 2） 公 式 法 （ 3） 圖 象 法 作 業(yè) ： P36練 習(xí) （ 書(shū) ） P46： A組 3 B組 3 課 后 思 考 ： 如 果 函 數(shù) y=f(x)的 周 期 是 T， 那 么 函 數(shù)y=f( x )的 周 期 是 多 少 ？ 求 函 數(shù) y=|sinx|,x R的 周 期 已 知 定 義 在 R上 的 函 數(shù) f(x)滿 足f(x 1)=f(x 1)， 且 當(dāng) x 0， 2時(shí) ， f(x)=x 4，求 f(10)的 值 .