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1、方差分析和協(xié)方差分析第5組 在針對(duì)連續(xù)變量的統(tǒng)計(jì)推斷方法中，最常用的有t 檢驗(yàn)和方差分析兩種 四種不同的顏色包裝對(duì)飲料銷售量的影響（四個(gè)水平，分類變量） 兩兩t 檢驗(yàn)？ 不能做t 檢驗(yàn) 如果有K(K3)個(gè)平均數(shù)，若用兩兩比較的方法來(lái)檢驗(yàn)，則需作K(K-1)/2次檢驗(yàn)，不但程序繁瑣，而且相當(dāng)于從t 分布中隨機(jī)抽取多個(gè)t 值，其落在大于臨界值的范圍內(nèi)的概率大大增加，犯類錯(cuò)誤的概率大大增加：如6次檢驗(yàn)H0的概率是0.95時(shí)的誤差為：1-0.95 6 =0.265。 方差分析概念 第一類因素：可以控制的控制因素 第二類因素：不能控制的隨機(jī)因素 受前兩類因素影響的事物為觀察變量 方差分析目的：分析控制變
2、量的不同水平是否對(duì)觀察變量產(chǎn)生了顯著影響，檢驗(yàn)各個(gè)水平下觀察變量的均值是否相等 方差分析分類之一 單變量方差分析：一個(gè)觀察變量 單因方差分析中的控制變量只有一個(gè) 多因素方差分析中的控制變量有多個(gè) 多變量方差分析：多個(gè)觀察變量 方差分析分類之二 一般方差分析：因變量是定量變量，自變量是定類數(shù)據(jù) 協(xié)方差分析：將很難控制的因素作為協(xié)變量，在排除協(xié)變量影響的條件下，分析控制變量對(duì)觀察變量的影響，從而更加準(zhǔn)確地對(duì)控制變量進(jìn)行評(píng)價(jià)。協(xié)變量一定要是連續(xù)數(shù)值型。 非定量方差分析：因變量為定序變量 統(tǒng)計(jì)技術(shù)分類圖定 量 因 變 量 一 個(gè) 自 變 量 多 個(gè) 自 變 量二 分 變 量 多 分 變 量T檢 驗(yàn) 單
3、 因 子 方 差 分 析 定 類 定 類 和 定 距 定 距N因 子 方 差 分 析 協(xié) 方 差 分 析 回 歸 分 析一 個(gè) 因 變 量 多 個(gè) 因 變 量多 變 量 方 差 分 析 因 變 量非 定 量 因 變 量非 定 量 方 差 分 析 方差分析原理 目的：通過(guò)方差的比較來(lái)檢驗(yàn)各個(gè)水平下的觀察值的均值是否相等 觀察值差異：觀察值存在差異，差異的產(chǎn)生來(lái)自兩個(gè)方面。 系統(tǒng)性差異：由控制變量的不同水平造成的，例如飲料的不同顏色帶來(lái)不同的銷售量 隨機(jī)性差異：由于抽選樣本的隨機(jī)性而產(chǎn)生的差異，例如，相同顏色的飲料在不同的商場(chǎng)銷售量也不相同。 方差分析的基本思想(單因素) 9 組間變異總變異 組內(nèi)
4、變異 組內(nèi)只包含隨機(jī)誤差 組間既包括隨機(jī)誤差，也包括系統(tǒng)誤差 X 1X2 X3 X 4 X5 X組間變異組內(nèi)變異A B X1X2X3 X 4X5 X組間變異組內(nèi)變異 A B 單因素方差分析邏輯與步驟(One-Way ANOVA) 前提假設(shè) 模型與假設(shè) 平方和的分解與F 檢驗(yàn) 多重比較(事后檢驗(yàn)) 關(guān)聯(lián)強(qiáng)度與效應(yīng)值 方差分析的前提條件(1)每個(gè)水平下的因變量應(yīng)當(dāng)服從正態(tài)分布。方差分析對(duì)分布假設(shè)有穩(wěn)健性(robust)，即正態(tài)性不滿足時(shí)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果變化不大，因此一般并不要求檢驗(yàn)總體的正態(tài)性。(2)變異可加性。各因素對(duì)離差平方和的影響可以分割成幾個(gè)可以加在一起的部分。（多因素）(3)獨(dú)立性。觀察對(duì)象是
5、來(lái)自所研究因素的各個(gè)水平之下的獨(dú)立隨機(jī)抽樣 (4)方差齊性(homogeneity of variance)，也稱變異的同質(zhì)性，各個(gè)水平下的總體具有相同的方差。這是方差分析一個(gè)很重要的前提，因此在進(jìn)行方差分析之前，應(yīng)當(dāng)進(jìn)行方差齊性檢驗(yàn)。 Bartlett檢驗(yàn)法 Levene F 檢驗(yàn) 最大方差與最小方差之比3，初步認(rèn)為方差齊同。 方差不齊若方差齊性的假定不滿足，可考慮如下策略： a.檢查某些表現(xiàn)“特殊”的觀測(cè)值，看能否將其剔除，用剩下的數(shù)據(jù)進(jìn)行方差分析。 b.使用無(wú)方差齊性假設(shè)的多重比較方法。 c.數(shù)據(jù)變換，用變換(平方根變換、對(duì)數(shù)變換等)后的數(shù)據(jù)進(jìn)行方差分析。正態(tài)性轉(zhuǎn)換。 d. 非參數(shù)檢驗(yàn)
6、模型與假設(shè) 模型表達(dá)式（單因素）Y=+a+e 建立假設(shè)，確定檢驗(yàn)水準(zhǔn) 0 1 2: kH 0.05 ;0.01 k組總體均數(shù)不全相等。 1 :H 方差分析表 組間變異體現(xiàn)了因素A的效應(yīng)，組內(nèi)變異則被視作誤差。 ASS 1k AMS EAMSMSESS ( 1)k n EMSTSS 1nk 來(lái)源 平方和 自由度 均方 F 值 P 值組間組內(nèi)總和確定P 值，做出統(tǒng)計(jì)推斷 事后比較(posteriori/post hoc comparison) F 檢驗(yàn)顯著說(shuō)明各組均值并不相同(至少兩組不同)，但不能回答到底哪幾組不同。 通過(guò)對(duì)各組均值之間的配對(duì)比較來(lái)進(jìn)一步檢驗(yàn)到底哪些均值之間存在差異。 方法眾多，
7、不下20種。 LSD法：最靈敏，會(huì)犯假陽(yáng)性錯(cuò)誤；Sidak法：比LSD法保守；Bonferroni法：比Sidak法更為保守一些；常用Scheffe法：多用于進(jìn)行比較的兩組間樣本含量不等時(shí)；Dunnet法：常用于多個(gè)試驗(yàn)組與一個(gè)對(duì)照組的比較；S-N-K法：尋找同質(zhì)亞組的方法；Turkey法：最遲鈍，要求各組樣本含量相同；Duncan法：與Sidak法類似。均數(shù)兩兩比較方法 關(guān)聯(lián)強(qiáng)度 (strength of association)與效應(yīng)值 (effect size)的度量實(shí)驗(yàn)處理引致的效應(yīng)的大小或者數(shù)據(jù)的變異有多少部分是由實(shí)驗(yàn)處理造成的。 Eta平方 凈(偏)Eta平方 Omega平方 Co
8、hens f （具體內(nèi)容見(jiàn)附錄） 雙因素（無(wú)交互作用）試驗(yàn)的方差分析表方 差 來(lái) 源因 素 A總 和 平 方 和ASSBSS TSS 自 由 度AdfEdf Tdf 均 方 和 AA ASSMS df EE ESSMS df F 值 AA EMSF MS F 值 臨 介 值 ( 1 ,1 1 )F aa b 因 素 B誤 差 ESS Bdf BB BSSMS df BB EMSF MS ( 1 ,1 1 )F ba b ,E T A B E T A Bdf df df f SS SS SS SS 注 意 各 因 素 離 差 平 方 和 的 自 由 度 為 水 平 數(shù) 減 一 ， 總 平 方 和
9、 的 自 由 度 為 試 驗(yàn) 總 次 數(shù) 減 一 。 雙因素（有重復(fù)）試驗(yàn)方差分析表方 差 來(lái) 源因 素 A總 和 平 方 和ASSBSS TSS 自 由 度Adf EdfTdf 均 方 和 AA ASSMS df EE ESSMS df F 值 AA EMSF MS F 值 臨 介 值 ( 1 ,1 )F aab n 因 素 B誤 差 ESS Bdf BB BSSMS df BB EMSF MS ( 1 ,1 )F bab n A B A BSS A Bdf A BA B A BMSSS df A BA B EMSF MS ( 1 1 ,1 )F a bab n A B A Bdf df d
10、f 這 里 方差分析的應(yīng)用范圍： （一）單因素多個(gè)樣本均數(shù)的比較:1. 完全隨機(jī)設(shè)計(jì)：只安排一種處理因素，不安排任何配伍因素。2. 隨機(jī)化區(qū)組設(shè)計(jì)：只安排一種處理因素，安排一種配伍因素。 3. 拉丁方設(shè)計(jì)：只安排一種處理因素，安排兩種配伍因素。 （二）多因素樣本均數(shù)間的比較：1.析因設(shè)計(jì)：安排兩種或兩種以上處理因素， 分析處理因素間的交互作用2.裂區(qū)設(shè)計(jì)：安排兩種或兩種以上處理因素， 分析處理因素間的交互作用3.交叉設(shè)計(jì)：安排兩種或兩種以上處理因素， 分析處理因素間的交互作用（三）多個(gè)樣本均數(shù)向量間的比較 多元方差分析：結(jié)果變量有兩個(gè)以上，需要綜合評(píng)價(jià)。 （四）回歸方程的假設(shè)檢驗(yàn) 協(xié)方差分析
11、概念：將方差分析和回歸分析結(jié)合起來(lái)的一種統(tǒng)計(jì)分析方法 27 當(dāng)試驗(yàn)指標(biāo)（Y）的變異既受一個(gè)或幾個(gè)分類變量，也受一個(gè)或幾個(gè)連續(xù)變量的影響，可采用協(xié)方差分析 方差分析：一個(gè)或幾個(gè)因子（分類變量）對(duì)變量Y（連續(xù)變量）的影響回歸分析：一個(gè)或幾個(gè)變量（連續(xù)變量）對(duì)變量Y （連續(xù)變量）的影響 目的 消除連續(xù)變量對(duì)Y的影響，使方差分析的檢驗(yàn)功效更高，結(jié)果更可靠 連續(xù)變量可能會(huì)增大 Y 的組間差異，導(dǎo)致錯(cuò)誤結(jié)論 連續(xù)變量可能會(huì)增大 Y 的組內(nèi)變異，降低檢驗(yàn)功效 消除分類變量的影響，使回歸分析的結(jié)果更可靠 28 20名男性籃球運(yùn)動(dòng)員和20名大學(xué)生的肺活量（cm3）比較籃球運(yùn)動(dòng)員肺活量Y 大學(xué)生肺活量Y4700
12、34505200 4100 4800 4000協(xié)方差分析基本思想 協(xié)方差分析基本思想籃球運(yùn)動(dòng)員 大學(xué)生身高X 肺活量Y 身高X 肺活量Y185 4700 168 3450175 5200 170 4100 174 4800 169 4000 20名男性籃球運(yùn)動(dòng)員和20名大學(xué)生的肺活量（cm3）比較協(xié)變量 協(xié)方差分析基本思想 比較肺活量時(shí)，要消除身高的影響。方法1：抽樣時(shí)，選身高相近的。方法2：從統(tǒng)計(jì)分析技巧上平衡數(shù)據(jù)。 校正了身高的影響后（回歸分析），再比較兩組肺活量的均數(shù)有無(wú)差異（方差分析）。 協(xié)方差分析基本思想 在方差分析中，用來(lái)校正因變量的數(shù)值型變量稱為協(xié)變量（covariable）。
13、含有協(xié)變量的方差分析稱為協(xié)方差分析。 協(xié)方差分析可提高方差分析的準(zhǔn)確度。觀察指標(biāo)（Y）的總變異：SS 總SS協(xié)變量SS處理SS誤差 協(xié)方差分析的基本思想 其實(shí)質(zhì)就是從Y的總離均差平方和中扣除協(xié)變量X對(duì)Y的回歸平方和，對(duì)剩余（殘差）平方和作進(jìn)一步分解后再進(jìn)行方差分析，以更好的評(píng)價(jià)處理的效應(yīng)。 33 SS總 SS回 SS殘 SS總 SS協(xié) 變 量 SS處 理 SS誤 差 SS修 正 SS組 內(nèi) 殘差 身 高 肺 活 量 GROUP 2.00 1.001X2X X 1Y2Y Y1 大 學(xué) 生籃 球 運(yùn) 動(dòng) 員Y2 圖 1 協(xié) 方 差 分 析 示 意 圖調(diào)整均數(shù) xbay 11 xbay 22 協(xié)方差
14、分析步驟完全隨機(jī)設(shè)計(jì)的協(xié)方差分析 應(yīng)用條件檢驗(yàn) 回歸分析 求調(diào)整均數(shù) 對(duì)調(diào)整均數(shù)作方差分析 協(xié)方差分析的假設(shè) 協(xié)方差分析的基本假設(shè)與方差分析相同，包括變量的正態(tài)性、觀測(cè)值獨(dú)立、方差齊性等，此外還有三個(gè)重要的假設(shè)： 因變量與協(xié)方差之間線性關(guān)系； 所測(cè)量的協(xié)變量不應(yīng)有誤差，如果選用的是多項(xiàng)的量表，應(yīng)有高的內(nèi)部一致性信度或重測(cè)信度，系數(shù)最好大于0.80。這一假設(shè)若被違反會(huì)造成犯一類錯(cuò)誤的概率上升，降低統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)力。 “組內(nèi)回歸系數(shù)同質(zhì)性”（homogeneity of with in rgression），各實(shí)驗(yàn)處理組中一舉協(xié)變量（X）預(yù)測(cè)因變量（Y）的回歸線的回歸系數(shù)要相等，即斜率相等，各條回歸線平
15、行。如果斜率不等則不宜直接 進(jìn)行協(xié)方差分析。 協(xié)方差分析的模型和假定 37 回歸分析： * )( ijiijij XXY 協(xié)方差分析： ijiijiij eXXaY )(l模型協(xié) 變 量Co-variable方差分析： ijiij aY ijiiijij eaXXY )（ ijiijiij eXXaY )( Thanks! 問(wèn)題：為什么一個(gè)比較均數(shù)差異的方法竟稱為方差分析？ 這種命名是因?yàn)樵跈z驗(yàn)均數(shù)間差異是否具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義的過(guò)程中，我們實(shí)際上是通過(guò)比較方差而得到的。 與t 檢驗(yàn)直接比較兩組的平均數(shù)的做法不同，方差分析把“平均數(shù)之間差異是否顯著”的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“平均數(shù)組間變異是否顯著”的問(wèn)題，通過(guò)
16、“組間變異”與“組內(nèi)變異”的對(duì)比，進(jìn)行F 檢驗(yàn)，從整體上同時(shí)比較多組的平均數(shù)之間是否存在顯著差異。 LSD (費(fèi)舍最小顯著差異法, Fishers least significant difference) 該方法是對(duì)檢驗(yàn)兩總體均值是否相等的t檢驗(yàn)方法的總體方差估計(jì)加以修正(用MSE代替)而得到的。 ( )1 1( )i j i jX Xt t n kMSE n n 特點(diǎn)檢驗(yàn)敏感性高，即水平間的均值只要存在一定程度的微小差異就可能被檢驗(yàn)出來(lái)。但該方法沒(méi)有控制范第一類錯(cuò)誤的概率。 S-N-K(Student-Newman-Keuls, q檢驗(yàn)) 首先把各組均值排序，用每一比較的兩個(gè)均值在排序序列
17、種相差的等級(jí)數(shù)來(lái)確定不同的q 臨界值。 ( , )1 1( )2 i j i j eX i jX X X Xq q r dfSE MSE n n 兩 均 值 的 rank之 差是 一 種 有 效 劃 分 相 似 性 子 集 的 方 法 ， 該 方 法適 用 于 各 水 平 下 觀 測(cè) 值 個(gè) 數(shù) 相 等 的 情 況 。 Tukey法(honesty significant different, HSD) 與SNK法類似，不同之處在于不論各組均值的大小次序，均使用同一臨界值。 ( , )1 1( )2 i j i j eX i jX X X Xq q k dfSE MSE n n 組 數(shù)它采用q
18、統(tǒng)計(jì)量，適用于各水平下觀測(cè)值個(gè)數(shù)相等的情況。與LSD方法比較，較好的控制了范第一類錯(cuò)誤的概率。 Bonferroni校正(以t 分布作為檢驗(yàn)分布,對(duì)檢驗(yàn)水準(zhǔn)進(jìn)行調(diào)整)與LSD方法基本相同。不同的是它控制了范第一類錯(cuò)誤的概率。在每次兩兩組的檢驗(yàn)中，它將顯著水平除以兩兩檢驗(yàn)的總次數(shù)。 在比較的次數(shù)較多時(shí)，該方法就不太適合。 Dunnett方 法 是 一 種 唯 一 用 于 多 個(gè) 處 理 組 和 一 個(gè) 對(duì) 照 組比 較 的 方 法 。 SPSS提 供 的 常 用 多 重 比 較 檢 驗(yàn) 方 法1、 Tambanes T2: 基 于 t檢 驗(yàn) 的 保 守 的 多 重 比 較 方 法 。不 滿 足
19、方 差 齊 性 多 重 檢 驗(yàn) 方 法2、 Dunnetts T3: 基 于 學(xué) 生 化 極 大 模 的 多 重 比 較 方 法 。3、 Games-Howell: 非 參 數(shù) 多 重 比 較 方 法 。4、 Dunnetts C:基 于 學(xué) 生 化 極 差 的 多 重 比 較 方法 ， 是 一 種 可 信 區(qū) 間 的 方 法 。 Eta平方(Eta-Squared,2)，又稱關(guān)聯(lián)強(qiáng)度(correlation ratio)，因變量的變異被自變量解釋的百分比。 凈Eta平方(partial Eta-Squared,p2)，多因素ANOVA中，扣除了其他自變量后某自變量的效應(yīng)。 判 斷 標(biāo) 準(zhǔn) ：
20、 0.01， 小 ； 0.06， 中 ； 0.14， 大2 effecttotalSSSS 2 effectp effect errorSSSS SS Omega平方(Omega squared,2) 當(dāng)F顯著時(shí)，2將會(huì)是正值，若為負(fù)，則要解釋為0。當(dāng)樣本很大而使MSw變得很小，F(xiàn)很容易達(dá)到顯著，此時(shí)若2很小，即使在統(tǒng)計(jì)上有意義，實(shí)際應(yīng)用上仍然沒(méi)意義。 判 斷 標(biāo) 準(zhǔn) ： 0.01， 小 ； 0.06， 中 ； 0.14， 大2 ( 1)effect b errort error wb t wSS df MSSS MS SS k MSSS MS Cohens f f f 0.25，中；f 0.
21、40，高 2 21f 修 正 均 數(shù) 的 計(jì) 算 ：jY XXXYc llb 組 內(nèi)組 內(nèi)公 共 回 歸 系 數(shù) ： XXbYY jcjj 修 正 均 數(shù) 間 的 多 重 比 較 ： 2 .0 1 1A BY X XX XXY Yq S ln a l 組 間 組 內(nèi)S2y.x為 組 內(nèi) 剩 余 方 差 SS總 SS回 SS總殘 52 YYl 2XYxy XXlSS bl l 回 SS SS總 回SS SS組 內(nèi) 殘 差修 正 2XYYY XXlSS l l 組 內(nèi)組 內(nèi) 殘 差 組 內(nèi) 組 內(nèi)（ ）（ ） （ ） 22 2ij ( ) ijji j i iXl SS X n i組 內(nèi) 組 內(nèi)
22、(X -X2N總 殘 差 1修 正 k 1N k 組 內(nèi) 殘 差 總 殘 差 修 正 SS SS SS 總 殘 組 內(nèi) 殘 差修 正 常用試驗(yàn)設(shè)計(jì) 1.完全隨機(jī)設(shè)計(jì)(Completely random design) 單因素設(shè)計(jì). 優(yōu)點(diǎn):簡(jiǎn)單易行,缺點(diǎn):只能分析一個(gè)因素 2.配伍設(shè)計(jì)(Randomized block design) 隨機(jī)區(qū)組或雙因素?zé)o重復(fù)試驗(yàn)設(shè)計(jì). 交互作用和方差齊性無(wú)法考察 (1) 同一受試對(duì)象在同一處理不同水平間的比較復(fù) (2) 將幾個(gè)受試對(duì)象按一定條件劃分成配伍組,再將每一配伍組的各受試者隨機(jī)分配 到各處理組中,每個(gè)配伍組的例數(shù)等于處理組個(gè)數(shù). 3.交叉設(shè)計(jì)(Cross
23、-over design) 一種特殊的自身對(duì)照設(shè)計(jì). 克服了試驗(yàn)前后自身對(duì)照由于觀察期間各種非試驗(yàn)因素 對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響造成的偏移. 優(yōu)點(diǎn):節(jié)約樣本含量,能控制時(shí)間因素及個(gè)體差異對(duì)處理方式的影響,均等考慮受試者利 益 缺點(diǎn):不允許缺失數(shù)據(jù),不適用于短程效果對(duì)比 4.析因設(shè)計(jì)(Factorial design) 當(dāng)一種因素的質(zhì)和量改變時(shí)另一種現(xiàn)象的質(zhì)和量也隨之而改變,幾個(gè)因 素間存在交互作用時(shí)使用. 優(yōu)點(diǎn):節(jié)約樣本含量 5.拉丁方設(shè)計(jì)(Latin square design) 各因素間無(wú)交互作用且水平數(shù)相等,三個(gè)因素按水平數(shù)r排列成一個(gè)r*r 隨機(jī)方陣.縱橫兩向結(jié)尾皆為配伍組,可用較少的重復(fù)次數(shù)
24、,獲得較多的 信息 6.正交設(shè)計(jì)(Orthogonal design) 三個(gè)及以上因素,存在交互作用.用正交表將各試驗(yàn)因素,各水平之間的 組合進(jìn)行均勻搭配,從而可以用較少的,有代表性的處理組合,提供充分 有用的信息. 優(yōu)點(diǎn):高效,快速缺點(diǎn):基于線性模型的設(shè)計(jì) 7.星點(diǎn)設(shè)計(jì)(Central composite design) 在正交或析因設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上將自變量與因變量的關(guān)系擴(kuò)大到曲面效應(yīng) 面的設(shè)計(jì),如二水平析因設(shè)計(jì)加上極值點(diǎn)和中心點(diǎn)構(gòu)成,采用二次以上多 元非線性擬合. 8.嵌套設(shè)計(jì)（Nested design） 各個(gè)試驗(yàn)因素的影響有主次之分,次要因素的各水平是嵌套在主要因素水 平之下的,不能交互. 9.裂區(qū)設(shè)計(jì)（Split-plot design） 試驗(yàn)因素并非一次安排,而分二次甚至多次安排.先安排影響最重要的,而 后再加入影響較小,或精確度要求高的次要因素到主要因素的不同水平 中.
方差分析與協(xié)方差分析PPT課件01
