初中數(shù)學(xué) 平行線問題

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1、Xupeisen110 初三數(shù)學(xué) 初中數(shù)學(xué) 平行線問題 平行線是我們?nèi)粘Ｉ钪蟹浅３Ｒ姷膱D形．練習(xí)本每一頁中的橫線、直尺的上下兩邊、人行橫道上的“斑馬線”以及黑板框的對邊、桌面的對邊、教室墻壁的對邊等等均是互相平行的線段． 　　正因?yàn)槠叫芯€在生活中的廣泛應(yīng)用，因此有關(guān)它的基本知識及性質(zhì)成為中學(xué)幾何的基本知識． 　　正因?yàn)槠叫芯€在幾何理論中的基礎(chǔ)性，平行線成為古往今來很多數(shù)學(xué)家非常重視的研究對象．歷史上關(guān)于平行公理的三種假設(shè)，產(chǎn)生了三種不同的幾何(羅巴切夫斯基幾何、黎曼幾何及歐幾里得幾何)，它們在使

2、人們認(rèn)識宇宙空間中起著非常重要的作用． 　　現(xiàn)行中學(xué)中所學(xué)的幾何是屬于歐幾里得幾何，它是建立在這樣一個(gè)公理基礎(chǔ)之上的：“在平面中，經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行”． 　　在此基礎(chǔ)上，我們學(xué)習(xí)了兩條平行線的判定定理及性質(zhì)定理．下面我們舉例說明這些知識的應(yīng)用． 　　例1 如圖 1－18，直線a∥b，直線 AB交 a與 b于 A，B，CA平分∠1，CB平分∠ 2，求證：∠C=90 　　分析 由于a∥b，∠1，∠2是兩個(gè)同側(cè)內(nèi)角，因此∠1+∠2= 過C點(diǎn)作直線 l，使 l∥a(或 b)即可通過平行線的性質(zhì)實(shí)現(xiàn)等角轉(zhuǎn)移． 　 　　證 過C點(diǎn)作直線l，使l∥a(圖

3、1－19)．因?yàn)閍∥b，所以b∥l，所以 ∠1+∠2=180(同側(cè)內(nèi)角互補(bǔ))． 　　因?yàn)锳C平分∠1，BC平分∠2，所以 　 　　又∠3=∠CAE，∠4=∠CBF(內(nèi)錯(cuò)角相等)，所以 ∠3+∠4=∠CAE+∠CBF 　 　　說明 做完此題不妨想一想這個(gè)問題的“反問題”是否成立， 即“兩條直線a，b被直線AB所截(如圖1－20所示)，CA，CB分別是∠BAE與∠ABF的平分線，若∠C=90，問直線a與直線b是否一定平行？” 　 　　由于這個(gè)問題與上述問題非常相似(將條件與結(jié)論交換位置)，因此，不妨模仿原問題的解決方法來試解． 　　例2 如圖1－21所示，AA1∥B

4、A2求∠A1-∠B1+∠A2． 　 　　分析 本題對∠A1，∠A2，∠B1的大小并沒有給出特定的數(shù)值，因此，答案顯然與所給的三個(gè)角的大小無關(guān)．也就是說，不管∠A1，∠A2，∠B1的大小如何，答案應(yīng)是確定的．我們從圖形直觀，有理由猜想答案大概是零，即 ∠A1+∠A2=∠B1． ① 　　猜想，常常受到直觀的啟發(fā)，但猜想必須經(jīng)過嚴(yán)格的證明．①式給我們一種啟發(fā)，能不能將∠B1一分為二使其每一部分分別等于∠A1與∠A2．這就引發(fā)我們過B1點(diǎn)引AA1(從而也是BA2)的平行線，它將∠B1一分為二． 　　證 過B1引B1E∥AA1，它將∠A1B1A2分成兩個(gè)角：∠1，∠2(如圖1－22所示)．

5、 　　因?yàn)锳A1∥BA2，所以B1E∥BA2．從而 ∠1=∠A1，∠2=∠A2(內(nèi)錯(cuò)角相等)， 　　所以 ∠B1=∠1+∠2=∠A1+∠A2， 　　即 ∠A1-∠B1+∠A2=0． 　　說明(1)從證題的過程可以發(fā)現(xiàn)，問題的實(shí)質(zhì)在于AA1∥BA2，它與連接A1，A2兩點(diǎn)之間的折線段的數(shù)目無關(guān)，如圖1－23所示．連接A1，A2之間的折線段增加到4條：A1B1，B1A2，A2B2，B2A3，仍然有 ∠A1+∠A2+∠A3=∠B1+∠B2． 　　(即那些向右凸出的角的和=向左凸的角的和)即 ∠A1-∠B1+∠A2-∠B2+∠A3=0． 　　進(jìn)一步可以推廣為 ∠A1-∠B1+

6、∠A2-∠B2＋…-∠Bn-1+∠An=0． 　　這時(shí)，連結(jié)A1，An之間的折線段共有n段A1B1，B1A2，…，Bn-1An(當(dāng)然，仍要保持 AA1∥BAn)． 　　推廣是一種發(fā)展自己思考能力的方法，有些簡單的問題，如果抓住了問題的本質(zhì)，那么，在本質(zhì)不變的情況下，可以將問題推廣到復(fù)雜的情況． 　　(2)這個(gè)問題也可以將條件與結(jié)論對換一下，變成一個(gè)新問題． 　　問題1 如圖1－24所示．∠A1+∠A2=∠B1，問AA1與BA2是否平行？ 　　問題2 如圖1－25所示．若 ∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠Bn-1，問AA1與BAn是否平行？ 　　這兩個(gè)問題

7、請同學(xué)加以思考． 　　例3 如圖1－26所示．AE∥BD，∠1=3∠2，∠2=25， 　 　　求∠C． 　　分析 利用平行線的性質(zhì)，可以將角“轉(zhuǎn)移”到新的位置，如∠1=∠DFC或∠AFB．若能將∠1，∠2，∠C“集中”到一個(gè)頂點(diǎn)處，這是最理想不過的了，過F點(diǎn)作BC的平行線恰能實(shí)現(xiàn)這個(gè)目標(biāo)． 　　解 過F到 FG∥CB，交 AB于G，則 ∠C=∠AFG(同位角相等)， ∠2=∠BFG(內(nèi)錯(cuò)角相等)． 　　因?yàn)?AE∥BD，所以 ∠1=∠BFA(內(nèi)錯(cuò)角相等)， 　　所以 ∠C=∠AFG=∠BFA-∠BFG =∠1-∠2=3∠2-∠2 =2∠2=50． 　　說明(1)

8、運(yùn)用平行線的性質(zhì)，將角集中到適當(dāng)位置，是添加輔助線(平行線)的常用技巧． 　　(2)在學(xué)過“三角形內(nèi)角和”知識后，可有以下較為簡便的解法：∠1=∠DFC=∠C+∠2，即 ∠C=∠1-∠2=2∠2=50． 　　例4 求證：三角形內(nèi)角之和等于180． 　　分析 平角為180．若能運(yùn)用平行線的性質(zhì)，將三角形三個(gè)內(nèi)角集中到同一頂點(diǎn)，并得到一個(gè)平角，問題即可解決， 下面方法是最簡單的一種． 　 　　證 如圖1－27所示，在△ABC中，過A引l∥BC，則 ∠B=∠1，∠C=∠2(內(nèi)錯(cuò)角相等)． 　　顯然 ∠1+∠BAC+∠2=平角， 　　所以 ∠A+∠B+∠C=180． 　　說明

9、事實(shí)上，我們可以運(yùn)用平行線的性質(zhì)，通過添加與三角形三條邊平行的直線，將三角形的三個(gè)內(nèi)角“轉(zhuǎn)移”到任意一點(diǎn)得到平角的結(jié)論．如將平角的頂點(diǎn)設(shè)在某一邊內(nèi)，或干脆不在三角形的邊上的其他任何一點(diǎn)處，不過，解法將較為麻煩．同學(xué)們不妨試一試這種較為麻煩的證法． 　　例5 求證：四邊形內(nèi)角和等于360． 　　分析 應(yīng)用例3類似的方法，添加適當(dāng)?shù)钠叫芯€，將這四個(gè)角“聚合”在一起使它們之和恰為一個(gè)周角．在添加平行線中，盡可能利用原來的內(nèi)角及邊，應(yīng)能減少推理過程． 　　 證 如圖1－28所示，四邊形ABCD中，過頂點(diǎn)B引BE∥AD，BF∥CD，并延長 AB，CB到 H，G．則有∠A=∠2(同位角相等)，∠

10、D=∠1(內(nèi)錯(cuò)角相等)，∠1=∠3(同位角相等)． ∠C=∠4(同位角相等)， 　　又 ∠ABC(即∠B)=∠GBH(對頂角相等)． 　　由于∠2+∠3+∠4+∠GBH=360，所以 ∠A+∠B+∠C+∠D=360． 　 　　說明(1)同例3，周角的頂點(diǎn)可以取在平面內(nèi)的任意位置，證明的本質(zhì)不變． 　　(2)總結(jié)例3、例4，并將結(jié)論的敘述形式變化，可將結(jié)論加以推廣： 三角形內(nèi)角和=180=(3-2)180， 四邊形內(nèi)角和=360=2180=(4-2)180． 　　人們不禁會猜想： 五邊形內(nèi)角和=(5-2)180=540， ………………………… n邊形內(nèi)角和=(n-2)1

11、80． 　　這個(gè)猜想是正確的，它們的證明在學(xué)過三角形內(nèi)角和之后，證明將非常簡單． 　　(3)在解題過程中，將一些表面并不相同的問題，從形式上加以適當(dāng)變形，找到它們本質(zhì)上的共同之處，將問題加以推廣或一般化，這是發(fā)展人的思維能力的一種重要方法． 　　例6 如圖1－29所示．直線l的同側(cè)有三點(diǎn)A，B，C，且AB∥l，BC∥l．求證： A，B，C三點(diǎn)在同一條直線上． 　　分析A，B，C三點(diǎn)在同一條直線上可以理解為∠ABC為平角，即只要證明射線BA與BC所夾的角為180即可，考慮到以直線l上任意一點(diǎn)為頂點(diǎn)，該點(diǎn)分直線所成的兩條射線為邊所成的角均為平角，結(jié)合所給平行條件，過B作與l相交的直線，

12、就可將l上的平角轉(zhuǎn)換到頂點(diǎn)B處． 　 　　證 過B作直線 BD，交l于D．因?yàn)锳B∥l，CB∥l，所以 ∠1=∠ABD，∠2=∠CBD(內(nèi)錯(cuò)角相等)． 　　又∠1+∠2=180，所以 ∠ABD+∠CBD=180， 　　即∠ABC=180=平角． 　　A，B，C三點(diǎn)共線． 　　思考 若將問題加以推廣：在l的同側(cè)有n個(gè)點(diǎn)A1，A2，…，An-1，An，且有AiAi+1∥l(i=1，2，…，n-1)．是否還有同樣的結(jié)論？ 　　例7 如圖1－30所示．∠1=∠2，∠D=90，EF⊥CD． 　　　　求證：∠3=∠B． 　　分析 如果∠3=∠B，則應(yīng)需EF∥BC．又知∠1=∠2，

13、則有BC∥AD．從而，應(yīng)有EF∥AD．這一點(diǎn)從條件EF⊥CD及∠D=90不難獲得． 　 　　證 因?yàn)椤?=∠2，所以 AD∥BC(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行)． 　　因?yàn)椤螪=90及EF⊥CD，所以 AD∥EF(同位角相等，兩直線平行)． 　　所以 BC∥EF(平行公理)， 　　所以 ∠3=∠B(兩直線平行，同位角相等)． 練習(xí)十二 　　1．如圖1－31所示．已知AB∥CD，∠B=100，EF平分∠BEC，EG⊥EF．求∠BEG和∠DEG． 　　2．如圖1－32所示．CD是∠ACB的平分線，∠ACB=40，∠B=70，DE∥BC．求∠EDC和∠BDC的度數(shù)． 　 　　3．如圖1－33所示．AB∥CD，∠BAE=30，∠DCE=60，EF，EG三等分∠AEC．問：EF與EG中有沒有與AB平行的直線，為什么？ 4．證明：五邊形內(nèi)角和等于540． 　　 5．如圖1－34所示．已知CD平分∠ACB，且DE∥ACCD∥EF．求證：EF平分∠DEB． 　　 11