態(tài)和力學(xué)量的表象課件

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1、單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級(jí),第三級(jí),第四級(jí),第五級(jí),#,1,表象,:,量子力學(xué)中的態(tài)和力學(xué)量的具體表示方式稱為表象,4.1,態(tài)的表象,一個(gè)粒子的態(tài)完全可由歸一化的波函數(shù),(,r,t,),來(lái)描述，將,(,r,t,),稱為,坐標(biāo)表象,。下面將討論用動(dòng)量為,變量,描述波函數(shù)。,c,(,p,t,),為展開(kāi)系數(shù)，,p,(,x,),是動(dòng)量的本征函數(shù),2,c,(,p,t,),和,(,r,t,),描述的是粒子態(tài)同一個(gè)狀態(tài)，,(,r,t,),是這個(gè)狀態(tài)在坐標(biāo)表象中的波函數(shù)，而,c,(,p,t,),為同一狀態(tài)在動(dòng)量表象中的波函數(shù)。,表示在,所描寫的態(tài)中測(cè)量粒子動(dòng)量所,結(jié)果在 范圍內(nèi)

2、的幾率,如果,(x,t),描述的狀態(tài)是具有動(dòng)量,p,的自由粒子的狀態(tài),3,在動(dòng)量表象中，具有確定動(dòng)量,p,的粒子波函數(shù)是,函數(shù)。,同樣，在坐標(biāo)表象中，具有確定坐標(biāo),x,的粒子波函數(shù)也是,函數(shù)。,4,解：首先對(duì)波函數(shù)進(jìn)行歸一化,例題：一維粒子運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)是,求：（,1,）,粒子動(dòng)量的幾率分布；,（,2,）粒子的平均動(dòng)量,5,動(dòng)量的幾率分布為,6,動(dòng)量的平均值為,另一種解法,7,考慮任意力學(xué)量,Q,本征值為,1,2,n,對(duì)應(yīng)的本征函數(shù),u,1,(x),u,2,(x),u,n,(x),則任意波函數(shù),（,x,）按,Q,的本征函數(shù),展開(kāi)為,如果,（,x,）和,u,n,(x),都是歸一化的，則,8,所以,在

3、,（,x,）所描寫的量子態(tài)中測(cè)量,力學(xué)量,Q,所得的結(jié)果為,Q,n,的幾率,數(shù)列,就是,（,x,）所描寫的量子態(tài)中在,Q,表象中的表示,9,共軛轉(zhuǎn)置矩陣,波函數(shù)的歸一化表示成,10,如果力學(xué)量,Q,除了有分立的本征值，還有連續(xù)的本征值，則,其中,歸一化可表示為,11,直角坐標(biāo)系中，矢量,A,的方向由,i,j,k,三個(gè)單位矢量基矢決定，大小由,A,x,A,y,A,z,三個(gè)分量（基矢的系數(shù)）決定。,在量子力學(xué)中，選定一個(gè),F,表象，將,Q,的本征函數(shù),u,1,(x),u,2,(x),u,n,(x),看作一組基矢，有無(wú)限多個(gè)，大小由,a,1,(t),a,2,(t),a,n,(t),系數(shù)決定。,常用的

4、表象有坐標(biāo)表象、動(dòng)量表象、能量表象和角動(dòng)量表象,所以，量子力學(xué)中態(tài)矢量所決定的空間是無(wú)限維的空間函數(shù)，基矢是正交歸一的波函數(shù)。數(shù)學(xué)上稱為希爾伯特（,Hilbert,）空間,.,12,例 質(zhì)量為,m,的粒子在均勻力場(chǎng),V,(,x,),Fx,(,F,0),中運(yùn)動(dòng)，,試在動(dòng)量表象中粒子的波函數(shù)。,解,：,在動(dòng)量表象中，坐標(biāo),x,的算符表示為,13,定態(tài)的薛定諤方程,動(dòng)量表象中粒子的函數(shù),變到坐標(biāo)表象中，則波函數(shù)為,14,其中,（,Ariy,函數(shù)）,15,4.2,算符的矩陣表示,在,Q,表象中，,Q,的本征值分別為,Q,1,，,Q,2,，,Q,3,，,Q,n,對(duì)應(yīng)的本征函數(shù)分別為,u,1,(x),u,

5、2,(x),u,n,(x),.,將,(x,t),和,(x,t),分別在,Q,表象中按,Q,的本征函數(shù)展開(kāi),16,兩邊同乘以,并在整個(gè)空間積分,利用本征函數(shù),u,n,(x),的正交性,17,引進(jìn)記號(hào),這就是,在,Q,表項(xiàng)中的表述方式,表示成矩陣的形式：,得,18,矩陣,F,nm,的共軛矩陣表示為,因?yàn)榱孔恿W(xué)中的算符都是厄米算符，,即,將滿足該式的矩陣稱為,厄密矩陣,19,若在轉(zhuǎn)置矩陣中，每個(gè)矩陣元素用它的共軛復(fù)數(shù)來(lái)代替，得到的新矩陣稱為,F,的共軛轉(zhuǎn)置矩陣，簡(jiǎn)稱為共扼矩陣,F,nm,的轉(zhuǎn)置矩陣為,根據(jù)厄密矩陣的定義,所以,20,例 求一維無(wú)限深勢(shì)阱中（寬度為,a,）粒子的坐標(biāo)和動(dòng)量在能量表象中

6、的矩陣元,解：在能量表象中,能量的本征值及本征函數(shù)為,21,22,Q,在自身表象中的矩陣元,Q,m,為,Q,在自身空間中的的本征值,結(jié)論：算符在自身的表象中是一個(gè)對(duì)角矩陣,23,如,x,在坐標(biāo)空間中可表示為,動(dòng)量,p,在動(dòng)量空間中表示為,一維諧振子能量表象中能量的矩陣元,24,如果,Q,只具有連續(xù)分布的本征值,q,，那么算符,F,在,Q,表象中依然是一個(gè)矩陣：,這個(gè)矩陣的行列不再可數(shù)，而是用連續(xù)變化的下標(biāo)來(lái)表示,在動(dòng)量表象中，算符,F,的矩陣元為：,其中,p,(,x,),是動(dòng)量的本征函數(shù),25,4.3,量子力學(xué)公式的矩陣表述,1.,平均值公式,26,寫成矩陣形式,簡(jiǎn)寫為,27,2.,本征值方程

7、,在量子力學(xué)中最重要的問(wèn)題是找算符的本征值和本征函數(shù)。,首先，算符,F,的本征函數(shù)滿足,28,有非零解的條件是其系數(shù)行列式為零,這是一個(gè)線性齊次代數(shù)方程組,這是一個(gè)久期（,secular,）方程。將有,1,，,2,.,n,n,個(gè)解，就是,F,的本征值。,29,3.,矩陣形式的薛定諤方程,薛定諤方程,不顯含時(shí)間的波函數(shù)的,能量表象,波函數(shù)根據(jù)哈密頓本征函數(shù)展開(kāi),代入薛定諤方程,30,兩邊同乘以,并積分,簡(jiǎn)寫為,H,均為矩陣元。,31,例題：求在動(dòng)量表象中線性諧振子的能量本征函數(shù),線性諧振子的總能量為,解法一：在動(dòng)量表象中，,x,的算符表示為：,則,H,算符表示為,定態(tài)的薛定諤方程寫為,32,c(p),是動(dòng)量表象中的本征函數(shù),仿照一維諧振子坐標(biāo)空間的求解方法可解出,c(p),。,33,例：設(shè)已知在 和 的共同表象中，算符 的矩陣為：,求 的本征值和歸一化的本征函數(shù)，最后將矩陣 對(duì)角化,解：設(shè) 的本征態(tài)為,其本征方程為：,34,即,分別有,35,欲求 的非零解，其系數(shù)行列式為零：,得,36,是 的本征值,把解得的,值代入本征方程，可以得到,a,1,，,a,2,，,a,3,值,本征態(tài)為,本征態(tài)為,37,本征態(tài)為,矩陣 對(duì)角化矩陣為,38,習(xí)題：第,130,頁(yè),1,、,2,、,3,、,4,