論文 股票價格的期權(quán)定價模型分析

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1、*股票價格的期權(quán)定價模型分析李嘯宇（南京信息工程大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 南京 210044）摘要：在 2000 年之后，證券交易在世界范圍內(nèi)得到良好發(fā)展，隨之產(chǎn)生的就是期權(quán)問題，投資消費問題開始得到我國數(shù)學(xué)家與金融學(xué)家的關(guān)注，對金融衍生證券開展高效科學(xué)的估價，是目前高效管理且避免風(fēng)險的重要方式，是金融衍生證券正常運作和長久發(fā)展的核心。期權(quán)定價的分析主要是在大量衍生證券定價模型中進(jìn)行，現(xiàn)實因素是：（1）期權(quán)定價簡單易行。（2）若干期權(quán)合約就可以構(gòu)建成新的證券組合，通過對期權(quán)定價，可以更容易對證券組合定價。（3）對于多種證券來說，定價原理本質(zhì)重點相同，所以，利用分析期權(quán)定價，也許可以尋找到證券定價的一

2、般性結(jié)果。本文對若干期權(quán)定價問題進(jìn)行研究，試圖得到一些實用的數(shù)學(xué)結(jié)論，并且能夠展示數(shù)學(xué)與金融之間的辯證關(guān)系：一方面，數(shù)學(xué)是金融研究的一個強(qiáng)大的工具，另一方面，金融實踐推動數(shù)學(xué)理論本身的發(fā)展。論文共分為三章:第一章敘述期權(quán)定價理論的發(fā)展與定價主要方式：第二章敘述股票具體定價方式；第三章是對全文的總結(jié)。關(guān)鍵詞:股票 期權(quán)定價 證券組合Option pricing model of stock price analysisLi Xiao-YuCollege of Mathematics and Statistics,NUIST,Nanjing 210044,ChinaAbstract:Since 2

3、000,on a global scale to obtain rapid development of stock exchange,the subsequent rights as scheduled,investment spending more and more cause the attention of domestic mathematicians and financial economists,a reasonable valuation,financial derivatives accurately is the precondition of effective ma

4、nagement and risk aversion,a reasonable existence and healthy development of financial derivatives.The study of option pricing is the most widely studied in the pricing model of many derivative securities,because:(1)option pricing is simple and easy.(2)a number of options contracts can be built into

5、 a new portfolio,which can be more easily priced through the pricing of options.(3)for all kinds of securities,the pricing principle is the one that changes from one to another.Therefore,by studying the pricing of options,it is possible to find the general conclusion of securities pricing.In this pa

6、per,the number of option pricing problem is studied,trying to get some practical mathematical conclusion,and be able to show the dialectical relationship between mathematics and finance:on the one hand,mathematics is a powerful tool of financial research,on the other hand,the financial practice to p

7、romote the development of mathematics itself.The thesis is divided into three chapters:chapter one introduces the development of option pricing theory and the basic method of pricing:the second chapter introduces the pricing method of stock options.The third chapter is the summary of the full text.K

8、eywords:Stock Option pricing Portfolio第一章 課題背景與相關(guān)理論1.1 課題背景與意義 改革開放使得在中國大陸上沉寂了 20 年之久的證券市場重新崛起，隨著 90 年代上海交易所與深圳交易所的成立以及鄧小平同志的南巡，中國股市開始迅速擴(kuò)張，這是中國金融市場新的開始。但是,伴隨著金融市場全球化，金融事件如經(jīng)濟(jì)危機(jī)，泡沫經(jīng)濟(jì)等也都在給全球的經(jīng)濟(jì)帶來難以估量的傷害?？梢哉f，股價的合理性對國家的經(jīng)濟(jì)繁榮尤為重要，也牽扯到平民百姓的損益。這是本論文的出發(fā)點希望借以分析股票的期權(quán)定價模型來探索股市的規(guī)律性。1.2 早期模型1.2.1 期權(quán)的含義期權(quán)，簡單地說就是一個訂

9、貨合同，我們用一個例子來說明。甲希望在一年以后購得某品牌新上市的手機(jī) A，甲認(rèn)為該手機(jī)新上市時會以 8000 元出售，超過了甲的承受范圍，同時，有乙認(rèn)為，該手機(jī)新上市時會以 6000 元出售，那么這時甲乙同意簽署一份合同（即期權(quán)），且甲向乙支付期權(quán)費用，該合同規(guī)定，當(dāng)手機(jī)上市時，甲有權(quán)利以 7000 元的價格從乙處購買手機(jī) A，但是甲不具備買入的義務(wù)。這是最簡單的期權(quán)模型，我們也可以規(guī)定將“買入”改為“賣出”，不變的只是支付期權(quán)費用的人是有權(quán)利而無義務(wù)的。1.2.2 期權(quán)定價模型的發(fā)展 股市有風(fēng)險，投資需謹(jǐn)慎。正是這種風(fēng)險顯示了期權(quán)的價格，長久以來，人們一直致力于研究如何用各種不確定因素估計標(biāo)

10、的資產(chǎn)的風(fēng)險。早在 20 世紀(jì)初，法國數(shù)學(xué)家路易斯在他的投機(jī)理論中就提出了對絕對的布朗運動的股票價格2（股價的變動也是一個隨機(jī)過程，其變化過程可以用布朗運動來模擬）的估值模型，對于買方而言，其期權(quán)的價值為：XSXSXXSSV(1-1)dxe21y2x-y-2 ,2y-2e21y因為理論并未關(guān)注到正值貨幣的時間價值，投資者對風(fēng)險的接受程度，所以該理論也只能作為定價模型的基石。1964 年，波內(nèi)斯提出了在固定對數(shù)分布下的股票收益，給出了以下定價公式：)21(/lne)21(/ln22XSXXSSV(1-2)此處，表示股票預(yù)期收益率。1965 年，薩繆爾森尋找到歐式買方期權(quán)17的定價模型，思考到期權(quán)

11、需要具備相對高的預(yù)期收益率，此模型主要公式為：)21(/lne)21(/lne22-XSXXSSV(1-3)通過觀察（1-2）（1-3）可知，波內(nèi)斯模型就是薩繆爾森模型在=時的特殊情況3-7,11。這些理論,為Black-Scholes定價理論的發(fā)展尋找到正確方向,還對日后的各項定價理論的發(fā)展起到了決定性的作用。第二章 現(xiàn)代期權(quán)定價模型2.1 Black-Scholes 模型1973 年，Black與Scholes指出Black-Scholes模型15(此后叫做B-S模型），另外，Merton8在很多方面做出了重要推廣。上述專家在股價服從對數(shù)正態(tài)分布的假定下，使用無套利理論，推測出不付紅利的歐

12、式期權(quán)的定價模型：2-r1dXe-dSV(2-1)其中：2121r/lndXS-d21-r/lnd122XS我們已經(jīng)知道，在清算日，買入期權(quán)的支付為XSCTT,0max，我們只要求出TC的期望，我們就可以通過利率貼現(xiàn)，求出現(xiàn)在的期權(quán)價格，即：TtTrCEetSc,(2-2)因 此 突 破 口 在 于 計 算 出TCE。取P是XST的 概 率，那 么，01|PXXSSEPCETTT,即XXSSEPCETTT|(2-3)該問題最終歸結(jié)為求解P和XSSEPTT|。接下來我們來求解這兩個量。（1）求P。因為0 XST,有XSTlnln和SXSSTlnlnlnln，SXSST/ln/ln，故有SXSSo

13、bXSobPTT/ln/lnPrPr(2-4)在風(fēng)險中性基礎(chǔ)上，r，基于 Black-Scholes 之假定，SST/ln服從正態(tài)分布，此外其期望與方差主要是：221lnrSSET 及 2lnSSDT其中tT-。所以，隨機(jī)變量221lnrSST服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。2221ln21lnPrrobrSXrSSobXSPPTT(2-5)如果記2121lnrXSd ,12dd。221121121lnPrddddrSSobPT(2-6)由于TTerSS221exp服從對數(shù)正態(tài)分布。分布密度函數(shù) 2221exp21VLELVSSfTT。其中:TSLln，221lnrSLE，22LDV故 TXTrTXTrTX

14、TTTrTXTTTTTdSVVLELVSSedSVLELLELVSSedSSfSrSSeSdSfSXSSEP2222221exp2121exp2121explnexplnexp|作變量替換：VVLESVVLELyT22ln(2-7)有：TTdSVSdy1，且當(dāng)TS時，y，而當(dāng)XST時，12lndVVLEXyy可以得到：12121exp21|dSeySedyySeXSSEPrryrTT(2-8)故：2121|,dXedSXddSeeXPXSSEPetScrrrTTrBlack-Scholes的核心理論是,人們對風(fēng)險持有的態(tài)度并不能影響期權(quán)的有效價格,就是估值方式和股價期望收益率沒有關(guān)系,它僅依賴

15、于一些可觀測變量,如:S(股票現(xiàn)價)、r(無風(fēng)險利率)和(股票的價格波動率)(股價的波動率可以根據(jù)大量的歷史數(shù)據(jù)估計得到)、X(股票的執(zhí)行價格)、(到期期限),這就使得Black-Scholes公式的使用條件得到了很大的簡化16。2.2 二項式定價法二項式期權(quán)定價法(二叉樹法)是由Rubinstein等人提出的一種數(shù)值計算法9。2.2.1 單期二項式期權(quán)模型假定：股票在期初與期末時刻的價格主要是S、1S。記起初時刻的期權(quán)價值為 C。那么S 與 C 在期末時有如下表示：XSCd,0maxdXSuCu,0maxPSuCSXSdCd,0max1-PSdXSuCu,0max現(xiàn)在我們可以構(gòu)建一個如下組合

16、：對任意 S1，由于是套期保值組合，故存在等式：duc-dmc-umSS解出：Sd-uc-cmdu(2-9)又有：urc-umem-cSST(2-10)其中，r是無風(fēng)險利率，T是期初到期末的時間長度(以年為單位)。由(2-7)與(2-8)可得duucdccuducceducduudurTduc-c(2-11)解出：drTurTrTcdueucdudeec又因為：TSSEr1e)(則:SdppSu1SerT即dppuT1er(2-12)可得dudeprT得出單期看漲期權(quán)的二項式期權(quán)定價公式:1durTcppcec(2-13)2.2.2 n期看漲期權(quán)的二項式期權(quán)定價公式將單期看漲期權(quán)的二項式期權(quán)定

17、價公式當(dāng)做前提，此時把二項式期權(quán)定價公式使用到多期(此處常用條件是du1)。下圖是兩期股票價格二叉樹圖且有：XSucuu2,0maxXSudccduud,0maxXSdcdd2,0max直接利用單期看漲期權(quán)的二項式期權(quán)定價公式，可得1uduutrucppcec(2-14)1dddutrdcppcec(2-15)其中，t是每一期的時間長度(以年為單位)。再對uc，dc運用單期看漲期權(quán)的二項式期權(quán)定價公式，可得：112222dduduutrcpcppcpec (2-16)主要是兩期看漲期權(quán)的二項式期權(quán)定價公式。利用兩期模型可以很容易的推廣到n期，思考買入n期到期的看漲期權(quán)，股票當(dāng)前價格是，而不同周

18、期內(nèi)股票漲價或降低的概率p，1-p和u,d值均類似，那么每期股票的價格主要被劃分成兩類，如此，在n期末，股票價格nS的全部可能取值是inidSu,i=0，1，n，并且nS=inidSu的概率為：inippinin1!按照推導(dǎo)兩期模型的思路，從第n期開始向前遞推，可以得到n期看漲期權(quán)的二項式定S2SuSud=S2SdSuSd價公式:niiniinitnrXdSuppininec00,max1!(2-17)二項式期權(quán)定價的重點是u與d的明確，在現(xiàn)實使用中，假如當(dāng)前時刻是t,期權(quán)到期日是T，就可以把期權(quán)有效期T-t劃分成n個時間周期，不同周期長度是t(將年當(dāng)做單位)，無風(fēng)險利率是r，股票波動率是,那

19、么可以讓teu,ted(2-18)因為二項式期權(quán)定價模型主要使用離散化形式來處置價格，因此在期權(quán)和約期內(nèi)，上述模型需要思考股利發(fā)放狀況。此外，在樹狀結(jié)構(gòu)結(jié)束之后，了解期權(quán)到期的全部價值，可以推測出以前結(jié)點的價位，且統(tǒng)計出價格樹上所有結(jié)點的理論意義。在所有結(jié)點，可對比一直持有和馬上執(zhí)行的價值，進(jìn)而挑選最佳值。不只能得到所有點的正當(dāng)價格，此外還能了解最佳期權(quán)執(zhí)行時間。因此此模型還能使用在美式期權(quán)統(tǒng)計中。為了讓此定價模型統(tǒng)計的數(shù)據(jù)更加精準(zhǔn)，必須讓n取相對高的數(shù)值。但是在n提高時，所要統(tǒng)計的任務(wù)也會隨之增多。n一直變大最終趨向到無窮大的時候。二項式模型與Black-Scholes期權(quán)定價模型全部相同。

20、在Black-Scholes期權(quán)定價模型遭受約束或者和現(xiàn)實狀況有明顯差異時使用二項式模型就可以得到較好的效果。2.3 Monte-Carlo模擬方法Monte-Carlo模擬方式14還是重要的數(shù)值統(tǒng)計方式，能對歐式衍生證券開展估值。上述方式可以處理相對雜的問題，此外統(tǒng)計相對效率好，其主要由初始時刻的期權(quán)值推導(dǎo)此后時刻的期權(quán)值，主要使用在歐式期權(quán)中。Monte-Carlo模擬方式的主要理論是:假定了解標(biāo)的資產(chǎn)價格的分布函數(shù)，之后將期權(quán)的有效期限劃分成眾多較小的時間間隔，通過計算機(jī)的功能，需要從分布樣本內(nèi)隨機(jī)選擇來模擬不同時間間隔股票價格的變化與股票價格也許會出現(xiàn)的運行路徑，如此就能統(tǒng)計出期權(quán)最終

21、價值。上述結(jié)論可被當(dāng)做所有可能終值集合內(nèi)的隨機(jī)樣本，使用上述變量的其他路徑可得到其他的隨機(jī)樣本。通過較多的樣本路徑就能得到較多的隨機(jī)樣本。不斷反復(fù)無數(shù)次，得出T時刻期權(quán)價格的集合，對眾多隨機(jī)樣本開展大致的算術(shù)平均，可以得出T時刻期權(quán)的預(yù)期收益。依照無套利定價理論，將此后T時刻期權(quán)的預(yù)期收益Xr使用無風(fēng)險利率折現(xiàn)就能得到目前時刻期權(quán)的價格:TrTXEeP(2-19)此處，P代表期權(quán)的價格，r代表無風(fēng)險利率，目前時刻是 0，TXE是T時刻期權(quán)的預(yù)期效益。Monte-Carlo模擬方式主要使用在對標(biāo)的股票標(biāo)準(zhǔn)差是隨機(jī)變量的期權(quán)開展研究2124，股票價格與標(biāo)準(zhǔn)差的路徑全部被模擬。任意時間的標(biāo)準(zhǔn)差之值，

22、影響被抽樣股票價格的概率情況。此方式的主要優(yōu)點則是其可以使用在標(biāo)的資產(chǎn)的預(yù)期收益率與波動率的函數(shù)形式相對繁瑣的問題中，此外模擬運算時間伴隨變量個數(shù)的增加呈線性增長，其運算是比較有效率的。然而，此方式的不足主要是必須被使用在歐式期權(quán)中，而無法被使用在能提早執(zhí)行合同的美式期權(quán)。并且蒙特卡羅模擬方法的結(jié)果的精度依賴于模擬運算次數(shù)。Monte-Carlo模擬可以和二叉樹圖方法結(jié)合起來為期權(quán)定價。在樹圖構(gòu)造完成之后，能夠從樹圖內(nèi)隨機(jī)選擇路徑樣本。不同的是我們這次不是從后往前倒推，而是順著樹圖往后推?；痉椒ㄈ缦?在首個結(jié)點我們選擇 0 到 1 范圍內(nèi)的隨機(jī)數(shù)，假如上述隨機(jī)數(shù)低于P，此時需要選擇上升分支，

23、否則就要選擇降低分支。達(dá)到下個結(jié)點之后，繼續(xù)重復(fù)以上過程，一直到達(dá)樹圖底端，之后可統(tǒng)計此選定路徑的期權(quán)盈虧值，如此就可以結(jié)束首次模擬。反復(fù)以上所有環(huán)節(jié)，開展數(shù)次模擬。此時把全部盈虧值按照無風(fēng)險利率開展貼現(xiàn)之后得到平均值，也就是期權(quán)價格計值。第三章 股票期權(quán)的定價方法在之前的長久時間內(nèi)，股票定價觀點出現(xiàn)明顯的改變與進(jìn)步，一直并未出現(xiàn)被大眾認(rèn)可的定價方式。之前的定價方式認(rèn)為股票的內(nèi)在價值等于該股票持有者在經(jīng)營期內(nèi)預(yù)期得到的股息收入按一定折現(xiàn)率計算的現(xiàn)值。最初股票定價模型是 John B.Williams 在 1938 年設(shè)計的，主要內(nèi)容是:122111111iiinnDDDDS(3-1)此處，S

24、是目前股票價格，iD是第 i 期期末現(xiàn)金股息，是期望收益率，其等于無風(fēng)險利率以及風(fēng)險補(bǔ)償率。1962 年，Myron J.Gordon 在以上模型前提下，設(shè)計股息折現(xiàn)模型。假定：股息以預(yù)期的穩(wěn)定增長率發(fā)展，此時(3-1)式則是:10022011011111111iiinnDDDDS(3-2)在 的基礎(chǔ)上，公式被簡化成12:10-1DDS (3-3)可以看出，傳統(tǒng)模型的構(gòu)造是完全符合邏輯的，但是也存在如下弊端：的值和無風(fēng)險利率與風(fēng)險補(bǔ)償率有關(guān)，后者和眾多不明確的隱藏投資者的風(fēng)險偏好有關(guān)，故 難以準(zhǔn)確估算。準(zhǔn)確的預(yù)計未來很長時間內(nèi)支付的現(xiàn)金股利非常困難。而對于股息折現(xiàn)模型，其在 時是沒有意義的。切

25、對的估計很難精確。因此，除了在簡化模型中用于檢測，傳統(tǒng)方法很難進(jìn)行實用。3.1 股票的期權(quán)定價方法 3.1.1 權(quán)益資本的期權(quán)特征10 假定：V 表示公司價值，X 表示公司負(fù)債，那么在到期日，會有如下情況：V X,公司不僅能覆蓋債權(quán)人的債務(wù)，其超過部分還歸股東所有。這種情形如圖所示:類比可知，公司的資產(chǎn)好比一個看漲期權(quán)，在經(jīng)營周期期末，若有 VX，股東將行權(quán)，其盈利為 V-X;若有 V X 或 V=X，股東將放棄行權(quán)，股東會虧損買入股權(quán)的費用20。3.1.2 期權(quán)定價模型 根據(jù)之前的敘述，即便企業(yè)股票屬于看漲期權(quán)，顯然可以通過看漲期權(quán)的定價模型來統(tǒng)計股票綜合價值，只需要了解總股數(shù)，每股價格就可

26、以順利了解到。接下來深入分析怎樣使用 Black-Scholes 期權(quán)定價模型確定股票價格27。根據(jù) Black-Scholes 期權(quán)定價模型，主要公式是:21dXedSctTr(3-4）其中tTtTrXSd2121ln，tTdtTtTrXSd12221-ln dxeyyx-2221，是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，把上面模型中的變量重新定義:我們可以直接代入（3-4）式進(jìn)行計算，得到的 C 就是公司股票的總價值。3.1.3 模型參數(shù)的估計 在采用 Black-Scholes 模型時可知，S、X、r、T 都是可以直接得到或者精確估計的，那么問題的關(guān)鍵就是如何準(zhǔn)確預(yù)估行業(yè)價值的波動率。企業(yè)此后市場價值的年波

27、動率的明確。公司價值V股東損益0-CXBlack-Scholes 期權(quán)定價模型假設(shè)股票價格的對數(shù)符合正態(tài)分布，此時價格波動率就是股票年收益率的標(biāo)準(zhǔn)差，且假設(shè)波動率在期權(quán)有效期內(nèi)不發(fā)生改變。一般來說波動率統(tǒng)計是在大量信息前提下開展估計，在此處明顯可通過企業(yè)價值的之前評估值來明確年波動率。確定下述定義符號:n+1 代表觀察次數(shù)，iS代表在第 i 個時間間隔末的企業(yè)價值評估值，代表間隔長度(將年當(dāng)做單位)，之后讓1/lniiiSSu，此時 i=1,2,n。由于iuiieSS1，所以iu就是第 i 個時間間隔后的連續(xù)復(fù)利收益(并不是以年為單位的)。iu的標(biāo)準(zhǔn)差 S 通常估計為:niiuuns1211(

28、3-5)或 21121111niniiiunnuns(3-6)其中u為iu的均值。因為iu的標(biāo)準(zhǔn)差是，其中變量 s 是估計值，因此自身就是被預(yù)估成*s，此處ss*，因此估計標(biāo)準(zhǔn)誤差類似于ns2*。3.2 股票的期權(quán)定價應(yīng)用實例23下表確定某企業(yè)在 1997 年 4 月到 2002 年 6 月底二十個季度的企業(yè)價值評估值。季度公司價值評估表（千萬元）公司評估價值比率（1-/iiSS）每季收益1/lniiiSSu每季收益平方2iu020120.1251.006250.006230.00004219.8750.98758-0.012500.0001563201.006290.006270.00004

29、420.51.025000.024690.00061520.250.98781-0.012270.00015620.8751.030860.030400.000924720.8751.000000.000000.00000820.8751.000000.000000.00000根據(jù)(3-6）式，可以計算出公司價值季度收益率標(biāo)準(zhǔn)差的估計值是：0123.038009531.01900333.02s由于=1/4 年，則波動率的估計值是：0246.04/10123.0*ss所以該公司價值波動率的估計值是每年 2.46%，這個估計值的標(biāo)準(zhǔn)誤差是：0.003892020.0246或每年 0.389%。公司

30、資產(chǎn)負(fù)債表(2002 年 6 月 30 日）18單位：千萬元資產(chǎn)負(fù)債及所有者權(quán)益流動資產(chǎn)5.43流動負(fù)債3.62固定資產(chǎn)12.24公司債券12.00其他資產(chǎn)4.33股東權(quán)益6.38資產(chǎn)合計22.00負(fù)債及權(quán)益合計22.00上述是此企業(yè)在 2002 年第二季度底的大致資產(chǎn)負(fù)債表，企業(yè)下發(fā)的債券到期時間是2006 年 6 月底，綜合面值是 1.2 億元，年息按照 11%下發(fā)，到期日還本付息數(shù)值是:217.18%111124X(千萬元)。己知該公司在 2002 年 6 月 30 日的評估價值是 22 千萬元，去除其余短期負(fù)債后企業(yè)價值 是 S=18.38 千 萬 元(22-3.62=18.38)。假

31、 定 無 風(fēng) 險 年 利 率 r=10%,那 么 依 照Black-Scholes 定價公式，可統(tǒng)計得到:920.750.99401-0.006010.000036020.751.000000.000000.0000011211.012050.011980.000141221.1251.005950.005930.0000351320.8750.98817-0.011900.000141420.8751.000000.000000.000001521.251.017960.017800.000321621.3751.005880.005870.0000341721.3751.000000.00

32、0000.000001821.250.99415-0.005870.0000341921.751.023530.023260.0005420221.011490.011430.00013合計0.095310.0033322.240246.040246.0211.0217.18/38.18ln21ln221tTtTrXSd17.240246.022.212tTdd 9868.022.21 d9850.017.22 d 11.69850.0217.189868.038.1841.021edXedSctTr負(fù)債率：（12.00+3.62）/22.00=71%假如企業(yè)準(zhǔn)備下發(fā)的綜合股數(shù)是 100 萬，

33、那么每股價格是 61.1 元。根據(jù)上述案例可知，即便企業(yè)總負(fù)債率為 71%，然而企業(yè)價值變化不大，運作業(yè)績平穩(wěn)，企業(yè)在債券到期時執(zhí)行看漲期權(quán)的可能性是 98.5%，也就是企業(yè)有很高的概率支付債務(wù)，破產(chǎn)概率很低26。3.3 與蒙特卡洛模擬的對比為了說明 B-S 模型的準(zhǔn)確性，我們采用一種傳統(tǒng)方法來與 B-S 模型所得到的結(jié)果來進(jìn)行比較。從前面的介紹我們可以知道，二叉樹是最容易理解的方法，但是為了使二叉樹模型得到精確的結(jié)果，我們不得不使 n 取一個很大的數(shù)，然而當(dāng) n 增加時，所需要計算的步驟將呈幾何級數(shù)增加，很難操作。并且 n 越來越大時，會越來越趨近于 B-S 模型，這種驗證是沒有意義的。而蒙

34、特卡洛模擬法和 B-S 模型是完全不同的兩種思路，同時可以借助 matlab進(jìn)行快速的計算，且不會因為維數(shù)而影響誤差，相比之下，我們選擇蒙特卡洛模擬法來與 B-S模型比較。我們還是采用上表的數(shù)據(jù)，選擇第四季度為起始時間，由原始數(shù)據(jù)，該季度公司股價為4.85（用 B-S 模型估計出來的股價為 4.839，吻合良好）。接下來，我們用 matlab 來估計股價：首先，我們把股票的有效期限分為若干個很小的時間間隔，這里我們選擇將其定義為dt=1/365。確定無風(fēng)險利率 r=0.1，這和用 B-S 模型時市場的無風(fēng)險利率是一致的。第三步，計算市場的波動率,這里用到的方法和 B-S 模型中第一步用到的方法

35、是相同的，只需要帶入第四季度的數(shù)據(jù)計算即可。過程也非常簡單，易知波動率 sigma=0.0304。同時確定從起始日到到期日的時間間隔為 nDays1=1440，這里的單位是天?，F(xiàn)在我們要構(gòu)造蒙特卡洛模擬，確定三個循環(huán)：首先是由起始日到到期日中的每一天我們都要進(jìn)行模擬。這是第一個循環(huán)：For nDays=1:nDays1其次，每一天中要選擇若干個運行路徑，并且利用這些路徑產(chǎn)生符合正態(tài)分布的隨機(jī)矩陣。本例中我們確定路徑數(shù)是 1000 條。這是第二個循環(huán)：for j=1:nTrailsn=randn(1,nDays)最后要確定每一天的股價，從而依次確定其后的股價，直至到期日。這是第三個循環(huán)：for

36、i=1:nDays ds=s*（expTerm+stddev*n(i)確定三個循環(huán)之后，即我們經(jīng)過幾千次的重復(fù)實驗之后，得到到期日時刻股票價格的集合，對這些隨機(jī)樣本進(jìn)行簡單的算術(shù)平均就可以得到到期日當(dāng)天的股票價格了。完整的蒙特卡洛模擬模型如下圖：經(jīng)過模擬我們得到了如下所示的到期日當(dāng)天的股價集合：通過取出這些股價的算術(shù)平均值，我們得到如下的股價：很容易看出，由蒙特卡洛模擬得到的最終的股價是在59.2,59.7波動，由期權(quán)定價法得到的股價是 61.1，兩個結(jié)果較為吻合。從上面的構(gòu)造過程可以看出，蒙特卡洛模擬最后是簡單的取得集合的算術(shù)平均值，這對最后結(jié)果的準(zhǔn)確性是有影響的，因為任一時刻投資者對股價影

37、響的大小是不同的，所有這些影響都會使得股價的變動趨向于某個方向，在股價趨向于某個方向后，投資者的行為對股價的影響又會改變，這種影響我們可以看作是一種較為定向的影響，而不再是隨機(jī)的影響，因此蒙特卡洛模擬在處理股價問題上時雖然過程簡單，但結(jié)果仍然不是非常準(zhǔn)確的，在沒有對蒙特卡洛模擬法進(jìn)行改進(jìn)、時期較長或 B-S 模型沒有受到限制時，B-S 模型應(yīng)該是一個更好的選擇。第四章 反思與展望回顧整篇文章，運用到了如下幾種方法：歷史研究方法。通過回顧期權(quán)定價理論的歷史，發(fā)現(xiàn)期權(quán)定價理論發(fā)展的規(guī)律以及對股票期權(quán)定價方法的借鑒意義。定性與定量相結(jié)合研究方法。論文中在重視股票價格的定性描述的同時，著重強(qiáng)調(diào)對定量研

38、究方法的探討和運用，通過實例說明了 Black-Scholes 模型確實可以運用到股票定價上。共性與個性的比較研究。期權(quán)理論具有一般性，論文在系統(tǒng)描述期權(quán)理論和方法發(fā)展的同時，強(qiáng)調(diào)股票期權(quán)定價的特殊性。至此，我們已經(jīng)成功的把 Black-Scholes 模型運用到了股票定價中，但是以上過程都是基于市場上已知的信息，換句話說，B-S 模型只是用于對股價的檢驗，查看公司對股票的定價是否合理、投資者對市場的影響是否已經(jīng)導(dǎo)致了市場失靈。那么我們能否將 B-S 模型運用到股價的預(yù)測上呢？對于這一問題，理論上是不可以的。首先我們要清楚，對股價的預(yù)測是以人為主體的，“人”這個變量本身就是不可測的，人的情緒、

39、人所具有的知識體系都影響著人對股價的預(yù)測。借用索羅斯的觀點，即便預(yù)測股價這一行為本身具有一定的可行性，對其進(jìn)行預(yù)測這一行為本身就會對股價產(chǎn)生影響最重要的是，這種影響是無法預(yù)測的。如此一來，就會導(dǎo)致對股價的預(yù)測是不可行的?？傊善蓖顿Y是一個大眾選美的過程，除非你能左右大眾的思想，否則，你想準(zhǔn)確預(yù)測股票的價格是非常困難的。雖然就目前而言預(yù)測股價是一個“不可能事件”，但是結(jié)合行為經(jīng)濟(jì)學(xué)、行為金融學(xué)，說不定可以找到一個適合大眾使用的數(shù)學(xué)公式。參考文獻(xiàn)1陳浩武，唐元虎，淺析期權(quán)定價理論，技術(shù)經(jīng)濟(jì)與管理研究，2003,4:23-242錢立，簡評期權(quán)定價理論的主要發(fā)展，經(jīng)濟(jì)科學(xué)，2000,4:89-973

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