平面向量的數(shù)量積及其應用課件

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1、單擊此處編輯母版標題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,2020/8/9 Sunday,,?#?,2024/11/4,§平面向量的數(shù)量積及其應用,2023/10/8§平面向量的數(shù)量積及其應用,1,考點一　平面向量的數(shù)量積,1.(2018課標全國Ⅱ,4,5分)已知向量,a,,,b,滿足|,a,|=1,,a,·,b,=-1,則,a,·(2,a,-,b,)=,,(　　),A.4　????B.3　????C.2　????D.0,五年高考,A組 統(tǒng)一命題·課標卷題組,答案????B　本題考查數(shù)量積的定義和運算.,a,·(2,a,-,b,)=2|,a,|,2,-,a,·,b,

2、=2,×,1,2,-(-1)=3.故選B.,解題關鍵　掌握數(shù)量積的運算是求解關鍵.,,,考點一　平面向量的數(shù)量積五年高考A組 統(tǒng)一命題·課標卷題組,2,2.(2015課標Ⅱ,4,5分,0.662)向量,a,=(1,-1),,b,=(-1,2),則(2,a,+,b,)·,a,=,,(　　),A.-1　????B.0　????C.1　????D.2,答案????C　因為2,a,+,b,=2(1,-1)+(-1,2)=(2,-2)+(-1,2)=(1,0),所以(2,a,+,b,)·,a,=(1,0)·(1,-1)=1,×,1+0,×,(-1)=,,1.故選C.,,2.(2015課標Ⅱ,4,5分,

3、0.662)向量a=(1,-,3,3.(2014課標Ⅱ,4,5分,0.523)設向量,a,,,b,滿足|,a,+,b,|=,,,|,a,-,b,|=,,,則,a,·,b,=,,(　　),A.1　????B.2　????C.3　????D.5,答案????A　∵|,a,+,b,|=,,,∴,a,2,+2,a,·,b,+,b,2,=10.,,①,又|,a,-,b,|=,,,∴,a,2,-2,a,·,b,+,b,2,=6.,,②,①-②,得4,a,·,b,=4,即,a,·,b,=1,故選A.,,3.(2014課標Ⅱ,4,5分,0.523)設向量a,b滿足,4,4.(2014大綱全國,6,5分)已知,

4、a,、,b,為單位向量,其夾角為60,°,,則(2,a,-,b,)·,b,=,,(　　),A.-1　????B.0　????C.1　????D.2,答案????B　(2,a,-,b,)·,b,=2,a,·,b,-|,b,|,2,=2,×,1,×,1,×,cos 60,°,-1,2,=0,故選B.,,4.(2014大綱全國,6,5分)已知a、b為單位向量,其夾,5,5.(2017課標全國Ⅰ,13,5分)已知向量,a,=(-1,2),,b,=(,m,,1).若向量,a,+,b,與,a,垂直,則,m,=,,.,答案　7,解析　本題考查向量數(shù)量積的坐標運算.,∵,a,=(-1,2),,b,=(,m,,

5、1),∴,a,+,b,=(,m,-1,3),又(,a,+,b,)⊥,a,,,∴(,a,+,b,)·,a,=-(,m,-1)+6=0,解得,m,=7.,,,5.(2017課標全國Ⅰ,13,5分)已知向量a=(-1,2,6,6.(2017課標全國Ⅲ,13,5分)已知向量,a,=(-2,3),,b,=(3,,m,),且,a,⊥,b,,則,m,=,,.,答案　2,解析　∵,a,⊥,b,,∴,a,·,b,=0,又,a,=(-2,3),,b,=(3,,m,),,∴-6+3,m,=0,解得,m,=2.,,,6.(2017課標全國Ⅲ,13,5分)已知向量a=(-2,3,7,7.(2016課標全國Ⅰ,13,5分

6、)設向量,a,=(,x,,,x,+1),,b,=(1,2),且,a,⊥,b,,則,x,=,,.,答案　-,,,解析　因為,a,⊥,b,,所以,x,+2(,x,+1)=0,解得,x,=-,,.,易錯警示　混淆兩向量平行與垂直的條件是造成失分的主要原因.,,,,7.(2016課標全國Ⅰ,13,5分)設向量a=(x,x+1,8,考點二　平面向量數(shù)量積的應用,(2016課標全國Ⅲ,3,5分)已知向量,,=,,,,,=,,,則∠,ABC,=,,(　　),A.30,°,B.45,°,C.60,°,D.120,°,答案????A????cos∠,ABC,=,,=,,,所以∠,ABC,=30,°,,故選A.,

7、,考點二　平面向量數(shù)量積的應用,9,考點一　平面向量的數(shù)量積,1.(2015廣東,9,5分)在平面直角坐標系,xOy,中,已知四邊形,ABCD,是平行四邊形,?=(1,-2),?=,(2,1),則,,·?=,,(　　),A.5　????B.4　????C.3　????D.2,B組 自主命題·?。▍^(qū)、市）卷題組,答案????A　∵四邊形,ABCD,是平行四邊形,∴?=,,+,,=(3,-1),∴,,·?=2,×,3+1,×,(-1)=5.,選A.,,考點一　平面向量的數(shù)量積B組 自主命題·?。▍^(qū)、市）卷題組,10,2.(2016天津,7,5分)已知△,ABC,是邊長為1的等邊三角形,點,D,

8、,,E,分別是邊,AB,,,BC,的中點,連接,DE,,并延長到點,F,,使得,DE,=2,EF,,則,,·?的值為,,(　　),A.-,,B.,,C.,,D.,,,2.(2016天津,7,5分)已知△ABC是邊長為1的等邊三,11,答案????B　建立如圖所示的平面直角坐標系.,,則,B,,,,C,,,,A,,,所以,,=(1,0).,易知,DE,=,,AC,,∠,FEC,=∠,ACE,=60,°,,則,EF,=,,AC,=,,,,所以點,F,的坐標為,,,,所以,,=,,,,所以,,·,,=,,·(1,0)=,,.故選B.,答案????B　建立如圖所示的平面直角坐標系.,12,疑難突破　利

9、用公式,a,·,b,=|,a,||,b,|cos<,a,,,b,>求解十分困難,可以考慮建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?,,利用坐標運算求解.確定點,F,的坐標是解題的關鍵.,評析　本題考查了向量的坐標運算和向量的數(shù)量積,考查運算求解能力和數(shù)形結合思想.,,疑難突破　利用公式a·b=|a||b|cos求解十,13,3.(2018北京,9,5分)設向量,a,=(1,0),,b,=(-1,,m,).若,a,⊥(,ma,-,b,),則,m,=,,.,答案　-1,解析　本題主要考查平面向量數(shù)量積的坐標運算.,∵,a,=(1,0),,b,=(-1,,m,),∴,a,2,=1,,a,·,b,=-1,,由,a,⊥

10、(,ma,-,b,)得,a,·(,ma,-,b,)=0,即,ma,2,-,a,·,b,=0,,即,m,-(-1)=0,∴,m,=-1.,,,3.(2018北京,9,5分)設向量a=(1,0),b=(-,14,4.(2015湖北,11,5分)已知向量?⊥,,,|?|=3,則?·?=,,.,答案　9,解析,,=,,+,,,,,·,,=,,·(,,+,,)=,,+,,·,,=3,2,+0=9.,,,4.(2015湖北,11,5分)已知向量?⊥?,|?|=3,,15,5.(2014重慶,12,5分)已知向量,a,與,b,的夾角為60,°,,且,a,=(-2,-6),|,b,|=,,,則,a,·,b,=

11、,,.,答案　10,解析　由,a,=(-2,-6),得|,a,|=?=2,,,,∴,a,·,b,=|,a,||,b,|cos<,a,,,b,>=2,,×,,×,cos 60,°,=10.,,,5.(2014重慶,12,5分)已知向量a與b的夾角為60°,16,6.(2017北京,12,5分)已知點,P,在圓,x,2,+,y,2,=1上,點,A,的坐標為(-2,0),,O,為原點,則?·,,的最大值為,,.,答案　6,解析　解法一:?·,,表示,,在?方向上的投影與|?|的乘積,當,P,在,B,點時,?·,,有最大,值,此時?·,,=2,×,3=6.,,解法二:設,P,(,x,,,y,),則?·

12、,,=(2,0)·(,x,+2,,y,)=2,x,+4,由題意知-1,≤,x,≤,1,∴,x,=1時,?·,,取最大值6,,∴?·,,的最大值為6.,,,6.(2017北京,12,5分)已知點P在圓x2+y2=1上,17,7.(2015安徽,15,5分)△,ABC,是邊長為2的等邊三角形,已知向量,a,,,b,滿足,,=2,a,,?=2,a,+,b,,則下,列結論中正確的是,,.(寫出所有正確結論的編號),①,a,為單位向量;　?、?b,為單位向量;　?、?a,⊥,b,;,④,b,∥?;　　⑤(4,a,+,b,)⊥?.,答案?、佗堍?解析　∵?=2,a,,|?|=2,,∴2|,a,|=2,,∴

13、|,a,|=1,故①正確.,由?=?-,,=2,a,+,b,-2,a,=,b,,知④正確,,又|,b,|=|?|=2,故②不正確.,由,a,·,b,=,,,·,,=,,×,2,×,2,×,,=-1,知③不正確.,由(4,a,+,b,)·,,=(2,,+,,)·,,=2,,·,,+?=2,×,2,×,2,×,,+4=0,知⑤正確.,綜上,結論正確的是①④⑤.,,,7.(2015安徽,15,5分)△ABC是邊長為2的等邊三角,18,8.(2015天津,13,5分)在等腰梯形,ABCD,中,已知,AB,∥,DC,,,AB,=2,,BC,=1,∠,ABC,=60,°,.點,E,和,F,分別在,,線段,

14、BC,和,DC,上,且,,=,,,,,,=,,,,則,,·,,的值為,,.,答案,,,解析　解法一:由題意可知,CD,=1,,AD,=,BC,=1,又因為,,=,,,,,,=2,,,所以,,=,,,,在△,ADF,中,,,=,,+,,=,,+,,,,在梯形,ABCD,中,,,=,,+,,+,,=-,,+,,+,,,=-,,,+,,,在△,ABE,中,,,=,,+,,=,,+,,,=,,+,,·,,=,,,+,,,,所以,,·,,=,,·,,=,,,+,,,·,,+,,,=,,×,2,2,+,,×,2,×,1,×,,+,,×,1,2,=,,.,,,8.(2015天津,13,5分)在等腰梯形ABC

15、D中,已知A,19,解法二:以,AB,所在直線為,x,軸,,A,為原點建立如圖所示的坐標系,,,由于,AB,=2,,BC,=1,∠,ABC,=60,°,,所以,CD,=1,等腰梯形,ABCD,的高為,,,所以,A,(0,0),,B,(2,0),,D,,,,C,,,所以,,=,,,,,=(1,0),又因為,,=,,,,,,=,,,,所以,E,,,,F,,,因此,,·,,=,,·,,=,,×,,+,,×,,=,,+,,=,,.,評析　本題考查數(shù)量積的運算,向量共線的表示等基礎知識,考查學生的運算求解能力和數(shù)形,,結合思想的應用.,,解法二:以AB所在直線為x軸,A為原點建立如圖所示的坐標系,,20

16、,9.(2016江蘇,13,5分)如圖,在△,ABC,中,,D,是,BC,的中點,,E,,,F,是,AD,上的兩個三等分點,,,·?=4,,,·?=-1,則,,·?的值是,,.,,,9.(2016江蘇,13,5分)如圖,在△ABC中,D是BC,21,答案,,,解析　由已知可得,,=,,+,,=,,,+,,,=,,,-,,,=,,(,,-,,)-,,(,,+,,)=,,,-,,,,,=,,+,,=,,,+,,,=,,,-,,,=,,(,,-,,)-,,(,,+,,)=,,,-,,,,,,=,,+,,=,,,+,,,=,,(,,-,,)-,,(,,+,,),=,,,-,,,,,,=,,+,,=,,

17、,+,,,=,,(,,-,,)-,,(,,+,,)=,,,-,,,,,因為,,·?=4,所以,,·?=4,,則,,·,,=,,·,,=,,,·,,-,,-,,+,,,·,,=,,,·,,-,,(?+?)=,,×,4-,,(?+?)=-1,,所以?+?=,,,,,答案????? 解析　由已知可得?=?+?=??+??=,22,從而,,·,,=,,·,,=-,,-,,+,,,·,,=-,,(?+?)+,,,·,,=-,,×,,+,,×,4,=,,=,,.,思路分析　合理選擇“基底”,把相關向量用“基底”表示出來,進而求得向量的數(shù)量積.,,從而?·?=?·?思路分析　合理選擇“基底”,把相關向量用“

18、,23,10.(2017天津,14,5分)在△,ABC,中,∠,A,=60,°,,,AB,=3,,AC,=2.若,,=2?,,,=,λ,-,,(,λ,∈R),且,,·?=-4,則,λ,的值為,,.,答案,,,解析　本題主要考查平面向量的線性運算以及數(shù)量積運算.,由,,=2,,得,,=,,,+,,,,,所以,,·,,=,,·(,λ,,-,,)=,,λ,,·,,-,,,+,,λ,-,,,·,,,,又,,·,,=3,×,2,×,cos 60,°,=3,,,=9,,,=4,,所以,,·,,=,λ,-3+,,λ,-2=,,λ,-5=-4,解得,λ,=,,.,,,,,10.(2017天津,14,5分)在△

19、ABC中,∠A=60°,24,思路分析　根據(jù),,=2,,得,,=,,,+,,,,利用,,·,,=-4以及向量的數(shù)量積建立關于,λ,的,方程,從而求得,λ,的值.,一題多解　以,A,為原點,,AB,所在的直線為,x,軸建立平面直角坐標系,如圖,因為,AB,=3,,AC,=2,∠,A,=,,60,°,,所以,B,(3,0),,C,(1,,,),又,,=2,,,所以,D,,,所以,,=,,,而,,=,λ,,-,,=,λ,(1,,,)-(3,0)=(,λ,-3,,,λ,),因此,,·,,=,,(,λ,-3)+,,×,,λ,=,,λ,-5=-4,解得,λ,=,,.,,,思路分析　根據(jù)?=2?得?=??+

20、??,利用?·?=-4以及,25,考點二　平面向量數(shù)量積的應用,1.(2018浙江,9,4分)已知,a,,,b,,,e,是平面向量,,e,是單位向量.若非零向量,a,與,e,的夾角為,,,向量,b,滿足,b,2,-4,e,·,b,+3=0,則|,a,-,b,|的最小值是,,(　　),A.,,-1　????B.,,+1　????C.2　????D.2-,,,答案????A　本小題考查平面向量的數(shù)量積、坐標運算、向量模的最值和點到直線的距離.,設?=,a,,?=,b,,?=,e,,以,O,為原點,?的方向為,x,軸正方向建立平面直角坐標系,則,E,(1,0).不妨,設,A,點在第一象限,∵,a,與

21、,e,的夾角為,,,∴點,A,在從原點出發(fā),傾斜角為,,,且在第一象限內(nèi)的射,線上.設,B,(,x,,,y,),由,b,2,-4,e,·,b,+3=0,得,x,2,+,y,2,-4,x,+3=0,即(,x,-2),2,+,y,2,=1,即點,B,在圓(,x,-2),2,+,y,2,=1上運動.而?=,a,-,b,,∴|,a,-,b,|的最小值即為點,B,到射線,OA,的距離的最小值,即為圓心(2,0)到射線,y,=,,x,(,x,≥,0)的距,離減去圓的半徑,∴|,a,-,b,|,min,=,,-1.選A.,,考點二　平面向量數(shù)量積的應用答案????A　本小題考查平面向,26,一題多解　將,b

22、,2,-4,e,·,b,+3=0轉化為,b,2,-4,e,·,b,+3,e,2,=0,,即(,b,-,e,)·(,b,-3,e,)=0,∴(,b,-,e,)⊥(,b,-3,e,).,設?=,e,,?=,a,,?=,b,,?=3,e,,?=2,e,,則,,⊥?,,∴點,B,在以,M,為圓心,1為半徑的圓上運動,如圖.,,∵|,a,-,b,|=|?|,∴|,a,-,b,|的最小值即為點,B,到射線,OA,的距離的最小值,即為圓心,M,到射線,OA,的距離,減去圓的半徑.,∵|,,|=2,∠,AOM,=,,,∴|,a,-,b,|,min,=2sin,,-1=,,-1.,一題多解　將b2-4e·b+3

23、=0轉化為b2-4e·b+3e,27,2.(2018天津,8,5分)在如圖的平面圖形中,已知,OM,=1,,ON,=2,∠,MON,=120,°,,,,=2,,,?=2?,,則?·?的值為,,(　　),,A.-15　????B.-9　????C.-6　????D.0,2.(2018天津,8,5分)在如圖的平面圖形中,已知OM=,28,答案????C　本題考查向量的運算.,解法一:連接,OA,.∵?=?-,,=3?-3,,=3(?-?)-3(?-?)=3(?-?),,∴?·?=3(?-?)·?=3(?·?-|?|,2,)=3,×,(2,×,1,×,cos 120,°,-1,2,)=3,×,(-2

24、)=-6.故選C.,解法二:在△,ABC,中,不妨設∠,A,=90,°,,取特殊情況,ON,⊥,AC,,以,A,為坐標原點,,AB,,,AC,所在直線分,,別為,x,軸,,y,軸建立如圖所示的平面直角坐標系,因為∠,MON,=120,°,,,ON,=2,,OM,=1,所以,O,,,,C,,,,M,,,,B,,.,故,,·,,=,,·,,=-,,-,,=-6.故選C.,,,答案????C　本題考查向量的運算.,29,3.(2015重慶,7,5分)已知非零向量,a,,,b,滿足|,b,|=4|,a,|,且,a,⊥(2,a,+,b,),則,a,與,b,的夾角為,,(　　),A.,,B.,,C.,,D

25、.,,,答案????C　因為,a,⊥(2,a,+,b,),所以,a,·(2,a,+,b,)=0,,得到,a,·,b,=-2|,a,|,2,,設,a,與,b,的夾角為,θ,,則cos,θ,=,,=,,=-,,,又0,≤,θ,≤,π,所以,θ,=,,,故選C.,,3.(2015重慶,7,5分)已知非零向量a,b滿足|b|=,30,4.(2014山東,7,5分)已知向量,a,=(1,,,),,b,=(3,,m,).若向量,a,,,b,的夾角為,,,則實數(shù),m,=,,(　　),A.2,,B.,,C.0　????D.-,,,答案????B　∵,a,=(1,,,),,b,=(3,,m,),,∴|,a,|=

26、2,|,b,|=,,,,a,·,b,=3+,,m,,,又,a,,,b,的夾角為,,,∴,,=cos,,,即,,=,,,,∴,,+,m,=,,,解得,m,=,,.,,4.(2014山東,7,5分)已知向量a=(1,?),b=(,31,5.(2014安徽,10,5分)設,a,,,b,為非零向量,|,b,|=2|,a,|,兩組向量,x,1,,,x,2,,,x,3,,,x,4,和,y,1,,,y,2,,,y,3,,,y,4,均由2個,a,和2個,b,排,,列而成.若,x,1,·,y,1,+,x,2,·,y,2,+,x,3,·,y,3,+,x,4,·,y,4,所有可能取值中的最小值為4|,a,|,2,,

27、則,a,與,b,的夾角為,,(　　),A.,,B.,,C.,,D.0,答案????B,a,·,a,=|,a,|,2,,,b,·,b,=|,b,|,2,=4|,a,|,2,,設,a,與,b,的夾角為,θ,,則,a,·,b,=|,a,|·|,b,|·cos,θ,=2|,a,|,2,·cos,θ,.,若,x,i,·,y,i,(,i,=1,2,3,4)中2個,a,均與,a,相乘,則,x,1,·,y,1,+,x,2,·,y,2,+,x,3,·,y,3,+,x,4,·,y,4,=,a,2,+,a,2,+,b,2,+,b,2,=10|,a,|,2,;,若,x,i,·,y,i,(,i,=1,2,3,4)中僅有

28、一個,a,與,a,相乘,則,x,1,·,y,1,+,x,2,·,y,2,+,x,3,·,y,3,+,x,4,·,y,4,=,a,2,+,b,2,+2,a,·,b,=5|,a,|,2,+4|,a,|,2,cos,θ,;若,x,i,·,y,i,,(,i,=1,2,3,4)中的,a,均不與,a,相乘,則,x,1,·,y,1,+,x,2,·,y,2,+,x,3,·,y,3,+,x,4,·,y,4,=4,a,·,b,=8|,a,|,2,·cos,θ,.由5|,a,|,2,>4|,a,|,2,cos,θ,得5·|,a,|,2,+4,,|,a,|,2,cos,θ,>8|,a,|,2,cos,θ,,即,x,1

29、,·,y,1,+,x,2,·,y,2,+,x,3,·,y,3,+,x,4,·,y,4,所有可能取值中的最小值為8|,a,|,2,cos,θ,,依題意得8·|,a,|,2,,cos,θ,=4|,a,|,2,,從而cos,θ,=,,,又0,≤,θ,≤,π,故,θ,=,,,選B.,,評析　本題考查平面向量的數(shù)量積,同時考查分析問題、解決問題的能力.解題時能分析出所,,有情況是解題的關鍵.,,5.(2014安徽,10,5分)設a,b為非零向量,|b|=,32,6.(2016北京,9,5分)已知向量,a,=(1,,,),,b,=(,,,1),則,a,與,b,夾角的大小為,,.,答案,,,解析　∵cos<

30、,a,,,b,>=,,=,,=,,,,∴,a,與,b,夾角的大小為,,.,,,6.(2016北京,9,5分)已知向量a=(1,?),b=(,33,7.(2014湖北,12,5分)若向量?=(1,-3),|?|=|?|,?·?=0,則|,,|=,,.,答案　2,,,解析　|,,|=|,,-,,|=,,,,∵|?|=|?|=?=,,,?·?=0,,∴|?|=,,=2,,,故答案為2,,.,,,7.(2014湖北,12,5分)若向量?=(1,-3),|,34,8.(2015浙江,13,4分)已知,e,1,,,e,2,是平面單位向量,且,e,1,·,e,2,=,,.若平面向量,b,滿足,b,·,e,1

31、,=,b,·,e,2,=1,則|,b,|=,,,.,答案,,,,,解析　令,e,1,與,e,2,的夾角為,θ,,∴,e,1,·,e,2,=|,e,1,|·|,e,2,|cos,θ,=cos,θ,=,,,又0,°,≤,θ,≤,180,°,,∴,θ,=60,°,.因為,b,·(,e,1,-,e,2,)=0,,所以,b,與,e,1,、,e,2,的夾角均為30,°,,從而|,b,|=,,=,,,.,,,8.(2015浙江,13,4分)已知e1,e2是平面單位向量,35,9.(2017江蘇,12,5分)如圖,在同一個平面內(nèi),向量?,?,?的模分別為1,1,,,,?與?的夾角,為,α,,且tan,α,=7

32、,?與?的夾角為45,°,.若?=,m,+,n,(,m,,,n,∈R),則,m,+,n,=,,.,,,答案　3,,9.(2017江蘇,12,5分)如圖,在同一個平面內(nèi),向量,36,解析　本題考查平面向量基本定理及其應用,平面向量的夾角及其應用等知識.,解法一:∵tan,α,=7,,α,∈[0,π],,∴cos,α,=,,,sin,α,=,,,,∵?與?的夾角為,α,,,∴,,=,,,,∵?=,m,+,n,,|?|=|?|=1,|?|=,,,,∴,,=,,,①,又∵?與?的夾角為45,°,,,∴,,=,,=,,,②,又cos∠,AOB,=cos(45,°,+,α,)=cos,α,cos 45,°

33、,-sin,α,sin 45,°,=,,×,,-,,×,,=-,,,,解析　本題考查平面向量基本定理及其應用,平面向量的夾角及其應,37,∴,,·,,=|,,|·|,,|·cos∠,AOB,=-,,,,將其代入①②得,m,-,,n,=,,,,-,,m,+,n,=1,,兩式相加得,,m,+,,n,=,,,,所以,m,+,n,=3.,解法二:過,C,作,CM,∥,OB,,,CN,∥,OA,,分別交線段,OA,,,OB,的延長線于點,M,,,N,,,則?=,m,,?=,n,,,由正弦定理得,,=,,=,,,,∵|,,|=,,,由解法一知,sin,α,=,,,cos,α,=,,,,∴|,,|=,,=,

34、,=,,,,|,,|=,,=,,=,,,,∴?·?=|?|·|?|·cos∠AOB=-?,,38,又?=,m,+,n,=?+?,|?|=|?|=1,,∴,m,=,,,,n,=,,,,∴,m,+,n,=3.,又?=m?+n?=?+?,|?|=|?|=1,,39,考點一　平面向量的數(shù)量積,1.(2013湖北,7,5分)已知點,A,(-1,1)、,B,(1,2)、,C,(-2,-1)、,D,(3,4),則向量,,在?方向上的投影為,,(　　),A.,,B.,,C.-,,D.-,,,C組 教師專用題組,答案????A????∵,A,(-1,1),,B,(1,2),,C,(-2,-1),,D,(3,4

35、),,∴,,=(2,1),,,=(5,5),因此cos<,,,,,>=,,=,,,∴向量,,在,,方向上的投影為|,,|·cos<,,,,,>=,,×,,=,,.選A.,,考點一　平面向量的數(shù)量積C組 教師專用題組答案????A,40,2.(2015北京,6,5分)設,a,,,b,是非零向量.“,a,·,b,=|,a,||,b,|”是“,a,∥,b,”的,,(　　),A.充分而不必要條件　????B.必要而不充分條件,C.充分必要條件　? ???D.既不充分也不必要條件,答案????A　設,a,與,b,的夾角為,θ,.因為,a,·,b,=|,a,|·|,b,|cos,θ,=|,

36、a,|·|,b,|,所以cos,θ,=1,即,a,與,b,的夾角為0,°,,故,a,,∥,b,;而當,a,∥,b,時,,a,與,b,的夾角為0,°,或180,°,,所以,a,·,b,=|,a,|·|,b,|cos,θ,=,±,|,a,|·|,b,|,所以“,a,·,b,=|,a,|·|,b,|”是“,a,∥,,b,”的充分而不必要條件,故選A.,,2.(2015北京,6,5分)設a,b是非零向量.“a·b=,41,3.(2017浙江,10,4分)如圖,已知平面四邊形,ABCD,,,AB,⊥,BC,,,AB,=,BC,=,AD,=2,,CD,=3,,AC,與,BD,交于,,點,O,.記,I,1,

37、=?·?,,I,2,=?·?,,I,3,=?·?,則,,(　　),,A.,I,1,<,I,2,<,I,3,B.,I,1,<,I,3,<,I,2,C.,I,3,<,I,1,<,I,2,D.,I,2,<,I,1,<,I,3,,3.(2017浙江,10,4分)如圖,已知平面四邊形ABCD,42,答案????C　本題考查向量的數(shù)量積,共線向量定理,解三角形,考查運算能力和邏輯推理能力.,如圖,建立直角坐標系,則,B,(0,0),,A,(0,2),,C,(2,0).,設,D,(,m,,,n,),,由,AD,=2和,CD,=3,,答案????C　本題考查向量的數(shù)量積,共線向量定理,解三角形,43,得,,從

38、而有,n,-,m,=,,>0,∴,n,>,m,.,從而∠,DBC,>45,°,,又∠,BCO,=45,°,,∴∠,BOC,為銳角.,從而∠,AOB,為鈍角.故,I,1,<0,,I,3,<0,,I,2,>0.,又,OA,<,OC,,,OB,<,OD,,,故可設?=-,λ,1,(,λ,1,>1),?=-,λ,2,(,λ,2,>1),,從而,I,3,=?·?=,λ,1,λ,2,·?=,λ,1,λ,2,I,1,,,又,λ,1,λ,2,>1,,I,1,<0,,I,3,<0,∴,I,3,<,I,1,,∴,I,3,<,I,1,<,I,2,.故選C.,得,44,4.(2013課標Ⅱ,14,5分,0.197)已

39、知正方形,ABCD,的邊長為2,,E,為,CD,的中點,則?·?=,,.,答案　2,解析　解法一:,,·,,=,,·(,,-,,)=,,-,,,+0=2,2,-,,×,2,2,=2.,解法二:以,A,為原點建立平面直角坐標系(如圖).則,A,(0,0),,B,(2,0),,C,(2,2),,D,(0,2),,E,(1,2).,,∴?=(1,2),?=(-2,2).,從而?·?=(1,2)·(-2,2)=1,×,(-2)+2,×,2=2.,,,評析　本題考查了向量的基本運算.向量的運算可以利用運算法則也可以利用坐標運算.,,4.(2013課標Ⅱ,14,5分,0.197)已知正方形AB,45,5.

40、(2016山東,13,5分)已知向量,a,=(1,-1),,b,=(6,-4).若,a,⊥(t,a,+,b,),則實數(shù),t,的值為,,.,答案　-5,解析　因為,a,⊥(,ta,+,b,),所以,a,·(,ta,+,b,)=0,即,ta,2,+,a,·,b,=0,又因為,a,=(1,-1),,b,=(6,-4),所以|,a,|=,,,,a,·,b,=1,×,6,+(-1),×,(-4)=10,因此可得2,t,+10=0,解得,t,=-5.,,,評析　本題主要考查向量的數(shù)量積運算,向量的模以及兩向量垂直的充要條件等基礎知識,考,,查學生的運算求解能力以及方程思想的應用.,,5.(2016山東,1

41、3,5分)已知向量a=(1,-1),b,46,6.(2014天津,13,5分)已知菱形,ABCD,的邊長為2,∠,BAD,=120,°,,點,E,,,F,分別在邊,BC,,,DC,上,,BC,=3,,BE,,,DC,=,λDF,.若?·?=1,則,λ,的值為,,.,答案　2,解析 如圖,,,=,,+,,=,,+,,,,,,=,,+,,=,,+,,,=,,+,,,,,所以,,·,,=,,·,,=,,,·,,+,,,2,+,,,2,=,,×,2,×,2,×,cos 120,°,+,,+,,=1,解得,λ,=2.,,,6.(2014天津,13,5分)已知菱形ABCD的邊長為2,,47,考

42、點二　平面向量數(shù)量積的應用,1.(2010課標全國,2,5分),a,,,b,為平面向量,已知,a,=(4,3),2,a,+,b,=(3,18),則,a,,,b,夾角的余弦值等于,,(????　),A.,,B.-,,C.,,D.-,,,答案????C,b,=(2,a,+,b,)-2,a,=(-5,12),易求得|,a,|=5,|,b,|=13,則cos<,a,,,b,>=,,=,,,故選C.,,評析　本題考查平面向量運算及夾角公式,考查運算求解能力.,,考點二　平面向量數(shù)量積的應用答案????C????b=(2a,48,2.(2013課標Ⅰ,13,5分,0.349)已知兩個單位向量,a,,,b,

43、的夾角為60,°,,,c,=,ta,+(1-,t,),b,.若,b,·,c,=0,則,t,=,,,,.,答案　2,解析,b,·,c,=,b,·[,ta,+(1-,t,),b,]=,ta,·,b,+(1-,t,),b,2,=,t,|,a,||,b,|cos 60,°,+(1-,t,)|,b,|,2,=,,+1-,t,=1-,,.,由,b,·,c,=0,得1-,,=0,所以,t,=2.,,,2.(2013課標Ⅰ,13,5分,0.349)已知兩個單位向,49,3.(2011課標全國,13,5分)已知,a,與,b,為兩個不共線的單位向量,,k,為實數(shù),若向量,a,+,b,與向量,ka,-,b,垂,,直

44、,則,k,=,,.,答案　1,解析　由題意知|,a,|=1,|,b,|=1,<,a,,,b,>,≠,0且<,a,,,b,>,≠,π.,由,a,+,b,與向量,ka,-,b,垂直,得(,a,+,b,)·(,ka,-,b,)=0,即,k,|,a,|,2,+(,k,-1)|,a,||,b,|·cos<,a,,,b,>-|,b,|,2,=0,(,k,-1)(1+cos<,a,,,b,>)=0.,,又1+cos<,a,,,b,>,≠,0,∴,k,-1=0,,k,=1.,,,評析　本題考查向量的模、向量的數(shù)量積等相關知識,考查學生的運算求解能力,屬中等難度,,試題.,,3.(2011課標全國,13,5分)

45、已知a與b為兩個不共線的,50,4.(2016浙江,15,4分)已知平面向量,a,,,b,,|,a,|=1,|,b,|=2,,a,·,b,=1.若,e,為平面單位向量,則|,a,·,e,|+|,b,·,e,|的最大,,值是,,.,答案,,,,4.(2016浙江,15,4分)已知平面向量a,b,|a|=,51,解析　由已知易得,a,,,b,所成角為60,°,,如圖.,,設向量,e,與,a,所成角為,α,,,e,與,b,所成角為,β,,,則,α,與,β,的關系為,β,=60,°,-,α,(,e,在區(qū)域Ⅰ)或,β,=60,°,+,α,(,e,在區(qū)域Ⅱ)或,β,=300,°,-,α,(,e,在區(qū)域Ⅲ)

46、或,β,=,α,-60,°,,(,e,在區(qū)域Ⅳ).,當,β,=60,°,-,α,(,e,在區(qū)域Ⅰ)時,,|,a,·,e,|+|,b,·,e,|=cos,α,+2cos,β,=2cos,α,+,,sin,α,=,,sin(,α,+,φ,),其中tan,φ,=,,,則,φ,>30,°,,,∵,φ,≤,α,+,φ,≤,60,°,+,φ,,,∴|,a,·,e,|+|,b,·,e,|的最大值為,,.,解析　由已知易得a,b所成角為60°,如圖.,52,同理可得另三種情況下所求最大值均為,,.,故|,a,·,e,|+|,b,·,e,|的最大值為,,.,評析　本題考查了平面向量數(shù)量積的概念與向量夾角的定義及

47、三角函數(shù)輔助角公式,考查了,,轉化與化歸的思想和三角計算能力,把向量的數(shù)量積進行轉化是解題關鍵.,,同理可得另三種情況下所求最大值均為?.評析　本題考查了平面向,53,考點一　平面向量的數(shù)量積,1.(2018寧夏銀川4月質(zhì)量檢測)已知向量,a,=(3,-1),,b,=(,x,,-2),且,a,⊥,b,,則,x,等于,,(　　),A.,,B.-,,C.-6　????D.6,三年模擬,A組 2016—2018年高考模擬·基礎題組,答案????B　因為,a,⊥,b,,所以3,x,+(-1),×,(-2)=3,x,+2=0,,所以,x,=-,,,故選B.,,考點一　平面向量的數(shù)量積三年模擬A組 2

48、016—2018年,54,2.(2018甘肅第一次診斷)設△,ABC,的面積為,S,,若,,·?=1,tan,A,=2,則,S,=,,(　　),A.1　????B.2　????C.,,D.,,,答案????A　∵,,·?=1,∴,bc,cos,A,=1,,∵tan,A,=2,∴cos,A,=,,,sin,A,=,,,∴,bc,=,,.,故,S,=,,bc,sin,A,=1.,故選A.,,2.(2018甘肅第一次診斷)設△ABC的面積為S,若?·,55,3.(2018新疆烏魯木齊第一次質(zhì)監(jiān))已知,AB,是圓,O,的一條弦,長為2,則?·,,=,,(　　),A.1　????B.-1　????C.2

49、　????D.-2,答案????D　取,AB,中點為,D,,則,,·,,=(,,+,,)·2,,=-2,,,∵|,,|=2,∴|,,|=1,∴,,·,,=-2.,故選D.,,3.(2018新疆烏魯木齊第一次質(zhì)監(jiān))已知AB是圓O的一條弦,56,4.(2017海南中學、文昌中學聯(lián)考)已知兩個非零向量,a,與,b,,,a,+,b,=(-3,6),,a,-,b,=(-3,2),則,a,2,-,b,2,=,,(????　),A.-3　????B.-24　????C.12　????D.21,答案????D,a,2,-,b,2,=(,a,+,b,)·(,a,-,b,)=(-3,6)·(-3,2)=21,故選

50、D.,,4.(2017海南中學、文昌中學聯(lián)考)已知兩個非零向量a與b,57,5.(2017重慶巴蜀中學三模)已知向量,m,=(1,2),,n,=(2,3),則,m,在,n,方向上的投影為,,(　　),A.,,B.8　????C.,,D.,,,答案????D　由數(shù)量積的定義知,m,在,n,方向上的投影為,,=,,=,,.,,5.(2017重慶巴蜀中學三模)已知向量m=(1,2),n=,58,6.(2017吉林實驗中學八模)已知平面向量,a,=(1,,m,),,b,=(2,5),,c,=(,m,,0),且(,a,+,c,)⊥(,a,-,b,),則,m,=,,(　　),A.3+,,B.3-,,C.3

51、,±,,D.-3,±,,,答案????C　∵,a,=(1,,m,),,b,=(2,5),,c,=(,m,,0),,∴,a,+,c,=(1+,m,,,m,),,a,-,b,=(-1,,m,-5),,∵(,a,+,c,)⊥(,a,-,b,),∴-1-,m,+,m,(,m,-5)=,m,2,-6,m,-1=0,解得,m,=3,±,,.,,6.(2017吉林實驗中學八模)已知平面向量a=(1,m),,59,考點二　平面向量數(shù)量積的應用,1.(2018吉林長春質(zhì)量監(jiān)測(二))已知平面向量,a,=(1,-3),,b,=(-2,0),則|,a,+2,b,|=,,(　　),A.3,,B.3　????C.2,,

52、D.5,答案????A　因為,a,=(1,-3),,b,=(-2,0),,所以,a,+2,b,=(-3,-3),所以|,a,+2,b,|=,,=3,,,故選A.,,考點二　平面向量數(shù)量積的應用答案????A　因為a=(1,-,60,2.(2018重慶4月調(diào)研測試(二診))已知向量,a,,,b,滿足|,a,-,b,|=3且,b,=(0,-1),若向量,a,在向量,b,方向上的,,投影為-2,則|,a,|=(　　),A.2　????B.2,,C.4　????D.12,答案????A　由|,a,-,b,|=3,,得|,a,-,b,|,2,=(,a,-,b,),2,=,a,2,-2,a,·,b,+,b

53、,2,=9,,所以,a,·,b,=,,=,,=,,,,由向量,a,在向量,b,方向上的投影為-2,得,,=,,=-2,,即|,a,|,2,=4,所以|,a,|=2,故選A.,,2.(2018重慶4月調(diào)研測試(二診))已知向量a,b滿足|,61,3.(2018甘肅蘭州第二次實戰(zhàn)考試)已知非零單位向量,a,,,b,滿足|,a,+,b,|=|,a,-,b,|,則,a,與,b,-,a,的夾角為,,(　　),A.,,B.,,C.,,D.,,,答案????D　設,a,與,b,-,a,的夾角為,θ,.,∵|,a,+,b,|=|,a,-,b,|,,∴|,a,+,b,|,2,=|,a,-,b,|,2,,即|,a

54、,|,2,+2,a,·,b,+|,b,|,2,=|,a,|,2,-2,a,·,b,+|,b,|,2,.,∴,a,·,b,=0,,又∵,a,,,b,為非零單位向量,,∴(,b,-,a,),2,=2,即|,b,-,a,|=,,.,又∵,a,·(,b,-,a,)=,a,·,b,-,a,·,a,=-1=|,a,|·|,b,-,a,|·cos,θ,,,∴cos,θ,=,,=-,,,,∵,θ,∈[0,π],∴,θ,=,,,,故選D.,,3.(2018甘肅蘭州第二次實戰(zhàn)考試)已知非零單位向量a,b,62,4.(2017遼寧鞍山一中二模)已知|,a,|=1,|,b,|=,,,且,a,⊥(,a,-,b,),則向

55、量,a,與向量,b,的夾角是,,(　　),A.,,B.,,C.,,D.,,,答案????A　由,a,⊥(,a,-,b,)得,a,·(,a,-,b,)=0,?,|,a,|,2,=,a,·,b,?,a,·,b,=1,則cos<,a,,,b,>=,,=,,?,<,a,,,b,>=,,,故選A.,,4.(2017遼寧鞍山一中二模)已知|a|=1,|b|=?,,63,5.(2018海南二模)已知,a,=(3,4),|,b,|=2,且|,a,+2,b,|=,,,則,a,與,b,的夾角為,,.,答案,,,解析　∵,a,=(3,4),∴|,a,|=5,,由|,a,+2,b,|=,,,可得,a,2,+4,a,·

56、,b,+4,b,2,=21,,∴,a,·,b,=-5,,∴cos<,a,,,b,>=,,=-,,,,∴,a,與,b,的夾角為,,.,,,5.(2018海南二模)已知a=(3,4),|b|=2,且|,64,6.(2017黑龍江哈爾濱六中三模)已知向量,a,=(1,,,),,b,=(,,,1),則,a,與,b,的夾角,θ,的大小為,,,.,答案,,,解析????cos,θ,=,,=,,=,,,則θ=,,.,,,6.(2017黑龍江哈爾濱六中三模)已知向量a=(1,?),,65,7.(2017新疆烏魯木齊三模)若單位向量,a,,,b,滿足|2,a,-,b,|=,,,則向量,a,,,b,的夾角的余弦值

57、為,,.,答案,,,解析　設向量,a,,,b,的夾角為,θ,,∵|2,a,-,b,|=,,,∴(2,a,-,b,),2,=2,即4,a,2,-4,a,·,b,+,b,2,=2,又∵,a,,,b,為單位向量,∴4-,4cos,θ,+1=2,∴cos,θ,=,,.,,,7.(2017新疆烏魯木齊三模)若單位向量a,b滿足|2a-,66,B組????2016—2018年高考模擬·綜合題組,(時間:30分鐘　　分值:60分),一、選擇題(每題5分,共45分),1.(2018吉林四平質(zhì)檢)在△,ABC,中,若,,=,,·,,+,,·,,+,,·,,,則△,ABC,是,,(　　),A.等邊三角形　????

58、B.銳角三角形,C.鈍角三角形　????D.直角三角形,答案????D　∵在△,ABC,中,,,=,,·,,+,,·,,+,,·,,,,∴,,=,,·,,-,,·,,+,,·,,=,,·(,,-,,)+,,·,,,,∴,,=,,+,,·,,,∴,,·,,=0,∴∠,C,=90,°,,∴△,ABC,為直角三角形,故選D.,,B組????2016—2018年高考模擬·綜合題組答案,67,2.(2018黑龍江哈爾濱三中一模)已知?=(cos 15,°,,sin 15,°,),?=(cos 75,°,,sin 75,°,),則|,,|=,,(,),A.2　????B.,,C.,,D.1,答案????D

59、　|,,|=|(cos 75,°,-cos 15,°,,sin 75,°,-sin 15,°,)|=?=,,=,,=1.故選D.,,2.(2018黑龍江哈爾濱三中一模)已知?=(cos 15°,68,3.(2018寧夏銀川4月質(zhì)檢)在正方形,ABCD,中,點,E,為,BC,的中點,若點,F,滿足,,=,λ,,且,,·,,=,0,則,λ,=,,(　　),A.,,B.,,C.,,D.,,,答案????A　∵,,·,,=0,,,=,λ,,,∴(,,+,,)·(,,+,,)=,,·(,,+,λ,,)=,,·(,,+,λ,,+,λ,,)=0,,∵,,·?=0,,∴(,,+,,)·(,,+,,)=(,λ,

60、-1)|,,|,2,+,,|,,|,2,=0,,即,λ,-1=-,,,∴,λ,=,,,故選A.,,3.(2018寧夏銀川4月質(zhì)檢)在正方形ABCD中,點E為B,69,4.(2018內(nèi)蒙古包頭一模)已知,BC,是圓,O,的直徑,,H,是圓,O,的弦,AB,上一動點,,BC,=10,,AB,=8,則?·,的最小值為,,(　　),A.-4　????B.-25　????C.-9　????D.-16,答案????D　以,BC,所在的直線為,x,軸,線段,BC,的垂直平分線為,y,軸,建立平面直角坐標系,,則,B,(-5,0),,C,(5,0),設點,H,(,x,,,y,),,所以,,=(-5-,x,,-

61、,y,),?=(5-,x,,-,y,),,則,,·?=(-5-,x,,-,y,)·(5-,x,,-,y,)=,x,2,+,y,2,-25,,又因為,AB,=8,且,H,為弦,AB,上一動點,所以9,≤,x,2,+,y,2,≤,25,,其中當,H,為,AB,的中點時,,x,2,+,y,2,取得最小值,所以(,,·?),min,=9-25=-16,故選D.,,,4.(2018內(nèi)蒙古包頭一模)已知BC是圓O的直徑,H是圓O,70,5.(2017陜西西安一模)已知兩個單位向量,e,1,,,e,2,的夾角為45,°,,且滿足,e,1,⊥(,λe,2,-,e,1,),則實數(shù),λ,的值是,,,(　　),A.

62、1　????B.,,C.,,D.2,答案????B　因為單位向量,e,1,,,e,2,的夾角為45,°,,所以,e,1,·,e,2,=1,×,1,×,,=,,,又因為,e,1,⊥(,λe,2,-,e,1,),所以,e,1,·(,λ,e,2,-,e,1,)=,λe,1,·,e,2,-,,=,,λ,-1=0,,λ,=,,,故選B.,,5.(2017陜西西安一模)已知兩個單位向量e1,e2的夾角,71,6.(2017寧夏石嘴山三中三模)已知,O,是△,ABC,內(nèi)部一點,?+?+?=0,,,·?=2,且∠,BAC,=6,0,°,,則△,OBC,的面積為,,(　　),A.,,B.,,C.,,D.,,,答

63、案????B　∵,,+,,+,,=0,所以,O,為△,ABC,的重心,∴,S,△,OBC,=,,S,△,ABC,,∵,,·,,=2,∠,BAC,=60,°,,,∴|,,|·|,,|·cos∠,BAC,=2,∴|,,|·|,,|=4,∴,S,△,OBC,=,,S,△,ABC,=,,×,,×,4,×,,=,,.選B.,,6.(2017寧夏石嘴山三中三模)已知O是△ABC內(nèi)部一點,,72,7.(2017甘肅天水一中第三次診斷考試)已知函數(shù),f,(,x,)=,A,sin(π,x,+,φ,)的部分圖象如圖所示,點,B,,,C,是,,該圖象與,x,軸的交點,過點,C,的直線與該圖象交于,D,,,E,兩點,

64、則(,,+,,)·(,,-?)的值為,,(,),,A.-1　????B.-,,C.,,D.2,7.(2017甘肅天水一中第三次診斷考試)已知函數(shù)f(x)=,73,答案????D　由題圖知最小正周期,T,=,,=2,∴,BC,=,,=1,易知,C,點是線段,DE,的中點,∴結合向量的,平行四邊形法則,可得,,+,,=2,,,又∵,,-,,=,,,∴(,,+,,)·(,,-,,)=2,,=2,×,1,2,=2.選,D.,答案????D　由題圖知最小正周期T=?=2,∴BC=?=1,74,8.(2016吉林延邊模擬,8)已知向量,a,,,b,的夾角為60,°,,且|,a,|=2,|,b,|=3,設?

65、=,a,,?=,b,,?=,ma,-2,b,,若△,ABC,是以,BC,為斜邊的直角三角形,則,m,=,,(　　),A.-4　????B.3　????C.-11　????D.10,答案????C,a,·,b,=2,×,3,×,cos 60,°,=3,,,=?-?=,b,-,a,,?=?-?=(,m,-1),a,-2,b,,,∵,AB,⊥,AC,,∴,,·?=0,,即(,b,-,a,)·[(,m,-1),a,-2,b,]=0,,∴(1-,m,),a,2,-2,b,2,+(,m,-1),a,·,b,+2,a,·,b,=0,,即4(1-,m,)-18+3(,m,-1)+6=0,,解得,m,=-11.

66、故選C.,,8.(2016吉林延邊模擬,8)已知向量a,b的夾角為60°,75,9.(2017重慶巴蜀中學第二次診斷考試)動直線,l,與拋物線,C,:,x,2,=4,y,相交于,A,,,B,兩點,,O,為坐標原點,,,若,,=2,,,則,,-4,,的最大值為,,(　　),A.-16　????B.8　????C.16　????D.24,9.(2017重慶巴蜀中學第二次診斷考試)動直線l與拋物線C,76,答案????C　由題設可得,,-,,=2,,-2,,,即,,+,,=2,,,則(,,-,,),2,-4,,=(,,-,,),2,-(,,+,,),2,=-4,,·,,,設,A,(,x,1,,,y,1,),,B,(,x,2,,,y,2,),則,,·,,=,x,1,x,2,+,y,1,y,2,=,x,1,x,2,+,,,令,x,1,x,2,=,t,,則,,·,,=,t,+,,,函數(shù),y,=,,t,2,+,t,圖象的對稱軸為,t,=-,,=-8,所以當,t,=-8時,(,,·,,),min,=-8+4=-4,則[(,,-,,),2,-4,,],max,=,-4,×,(-4)=16,選C.,答案?