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1、
函數(shù)的概念和圖象
【學(xué)習(xí)導(dǎo)航】
知識(shí)網(wǎng)絡(luò)
函數(shù)定義
函數(shù) 函數(shù)的定義域
函數(shù)的值域
學(xué)習(xí)要求
1．理解函數(shù)概念；
2．了解構(gòu)成函數(shù)的三個(gè)要素；
3 ．會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域與值域；
4．培養(yǎng)理解抽象概念的能力．
自學(xué)評(píng)價(jià)
1． 函數(shù)的定義：設(shè) A, B 是兩個(gè)非空數(shù)集，如果按某種對(duì)應(yīng)法則 f ，對(duì)于集合 A 中的每一
個(gè)元素 x ，在集合 B 中都有惟一的元素 y 和它對(duì)應(yīng)， 這樣的對(duì)應(yīng)叫做從 A 到 B 的一個(gè)函數(shù)，
記為 y f (x), x A ．其中輸入值 x 組成的
2、集合 A 叫做函數(shù) y f (x) 的定義域，所有輸出
值 y 的取值集合叫做函數(shù) y f ( x) 的值域。
【精典范例】
例 1：判斷下列對(duì)應(yīng)是否為函數(shù)：
（ 1） x y, 其中 y為不大于 x的最大整數(shù)，
x R, y Z ;
（2） x
y, y2
x, x N , y R ；
（3） x
y x ， x
{ x | 0 x 6} ，
y
{ y | 0
y
3} ；
（4） x
1
x ， x { x | 0 x 6} ，
3、
y
6
y
{ y | 0
y
3} ．
【分析】 解本題的關(guān)鍵是抓住函數(shù)的定義，
在定義的基礎(chǔ)上輸入一些數(shù)字進(jìn)行驗(yàn)證，
當(dāng)不是
函數(shù)時(shí)，只要列舉出一個(gè)集合
A中的 x 即可．
【解】（ 1）是；（ 2）不是；（ 3）不是；（ 4）是。
點(diǎn)評(píng) : 判斷一個(gè)對(duì)應(yīng)是否是函數(shù)，要注意三個(gè)關(guān)鍵詞： “非空”、“每一個(gè)”、“惟一”。
例 2：求下列函數(shù)的定義域：
（1） f ( x)
x
4 ；
x
2
用心 愛(ài)心 專(zhuān)心 1
4、
（2） 1 x
x
3
1；
（3） f ( x)
x
1
1
．
2
x
【解】（ 1） (
4,
2)
(
2, ) ；（ 2） [
3,1] ；（3） [ 1,2) (2, ) 。
點(diǎn)評(píng) : 求函數(shù) y f ( x) 的定義域時(shí)通常有以下幾種情況：
①如果 f (x) 是整式，那么函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集 R ；
②如果 f (x) 是分式，那么函數(shù)的定義域是使分母不等于零的實(shí)數(shù)的集合；
③如果 f (x) 為二次根式，那么函數(shù)的
5、定義域是使根號(hào)內(nèi)的式子大于或等于 0 的實(shí)數(shù)的集合；
④如果 f (x) 是由幾部分的數(shù)學(xué)式子構(gòu)成的，那么函數(shù)的定義域是使各部分式子都有意義的
實(shí)數(shù)的集合。
例 3：比較下列兩個(gè)函數(shù)的定義域與值域：
（1） f(x)=(x+2) 2+1，x∈ { － 1,0,1,2,3} ；
（ 2） f ( x) ( x 1)2 1．
【解】（ 1）函數(shù)的定義域?yàn)? {
1,0,1,2,3}
∴函數(shù)值域?yàn)? {2,5,10,17,26}
；
（2）函數(shù)的定義域?yàn)?
R ，∵ (x 1)2
1 1 ，
∴函數(shù)
6、值域?yàn)? [1,
) 。
點(diǎn)評(píng) : 對(duì)應(yīng)法則相同的函數(shù)，不一定是相同的函數(shù)。
追蹤訓(xùn)練一
y 3} ，有下列從 A 到 B 的三個(gè)對(duì)應(yīng)：①
1.
對(duì)于集合 A { x | 0 x
6} ， B
{ y | 0
x
y
1 x
；② x
y
1 x ；③ x
y
x ；其中是從 A 到 B 的函數(shù)的對(duì)應(yīng)的序號(hào)為
2
3
①
②
；
3
2. 函數(shù) f ( x) 的定義域?yàn)?
| x 1| 2
(
, 3 )
7、( 3 , 1)
；
( 1,
3. 函數(shù) f(x)=x － 1（ x
z 且 x [
1,4] ）的值域?yàn)? { 2, 1,0,1,2,3} ．
【選修延伸 】
一、求函數(shù)值
例 4:
已知函數(shù) f (x)
| x
1| 1的定義域?yàn)?
{ 2, 1,0,1,2,3,4}，求 f (
1), f ( f ( 1))的值．
分析：求 f ( f (
1)) 的值，即當(dāng) x
f ( 1) 時(shí)，求 f (x) 的值。
用心 愛(ài)心 專(zhuān)心 2
8、
【解】 f ( 1) | 1 1| 1 1；
f ( f ( 1)) f (1) |1 1| 1
1
二．求函數(shù)的定義域
例 5．求函數(shù) f ( x)
1
的定義域。
1
1
1
x
x
1
1 且 x
0 ， 即 函 數(shù) 的 定 義 域 為
【 解 】 由 1
0 ， 得
0 ， ∴ x
x
x
9、
(
, 1) (
1,0)
(0,
) 。
思維點(diǎn)撥
求函數(shù)定義域， 不能先化簡(jiǎn)函數(shù)表達(dá)式， 否則容易出錯(cuò)。 如例 5，若先化簡(jiǎn)得 f ( x)
x ,
{ x | x
1} 顯然是錯(cuò)誤的．
x
1
此時(shí)求得的定義域?yàn)?
追蹤訓(xùn)練二
1．若 f ( x)
( x
1)2
1, x
{
1,0,1, 2,3} ，則
f ( f (0))
2
；
2．函數(shù) f ( x)
1
x2
x2
1 的定義域?yàn)?
{
1,1} ；
3．已知函數(shù)
y
f (x) 的定義域?yàn)?[ － 2，3] ，則函數(shù) f ( x
1) 的定義域?yàn)?[ － 3， 2] ．
學(xué)生質(zhì)疑
教師釋疑
用心 愛(ài)心 專(zhuān)心 3
高中數(shù)學(xué)《函數(shù)的概念和圖象》學(xué)案7蘇教版必修1
