高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí)與增分策略 專題四 數(shù)列、推理與證明 第3講 數(shù)列的綜合問題課件 理

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1、第3講數(shù)列的綜合問題專題四數(shù)列、推理與證明 欄目索引 高考真題體驗(yàn)1 熱點(diǎn)分類突破2 高考押題精練3 高考真題體驗(yàn)1.(2016浙江)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.若S24,an12Sn1,n N*,則a1_,S5_.當(dāng)n 2時(shí),由已知可得:an12Sn1,an2Sn11,得a n1an2an, an13an,又a23a1, an是以a11為首項(xiàng),以q3為公比的等比數(shù)列.1 121解析答案 2.(2016四川)已知數(shù)列an的首項(xiàng)為1,Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和,Sn1qSn1,其中q0,n N*.(1)若2a2,a3,a22成等差數(shù)列,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式; 解析答案 解由已知,Sn1qSn1,S

2、n2qSn11,兩式相減得an2qan1,n 1.又由S2qS11得a2qa1,故an1qan對(duì)所有n 1都成立.所以數(shù)列an是首項(xiàng)為1,公比為q的等比數(shù)列.從而anqn1.由2a2,a3,a22成等差數(shù)列,可得2a33a22,即2q23q2,則(2q1)(q2)0,由已知,q0,故q2.所以a n2n1(n N*). 解析答案 證明由(1)可知,anqn1.因?yàn)?q2(k1)q2(k1), 考情考向分析 返回 1.數(shù)列的綜合問題,往往將數(shù)列與函數(shù)、不等式結(jié)合,探求數(shù)列中的最值或證明不等式.2.以等差數(shù)列、等比數(shù)列為背景,利用函數(shù)觀點(diǎn)探求參數(shù)的值或范圍.3.將數(shù)列與實(shí)際應(yīng)用問題相結(jié)合,考查數(shù)學(xué)

3、建模和數(shù)學(xué)應(yīng)用. 熱點(diǎn)一利用Sn,an的關(guān)系式求an1.數(shù)列an中,an與Sn的關(guān)系:2.求數(shù)列通項(xiàng)的常用方法(1)公式法:利用等差(比)數(shù)列求通項(xiàng)公式.(2)在已知數(shù)列an中,滿足an1anf(n),且f(1)f(2)f(n)可求,則可用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)a n. 熱點(diǎn)分類突破 (4)將遞推關(guān)系進(jìn)行變換,轉(zhuǎn)化為常見數(shù)列(等差、等比數(shù)列). 解析答案思維升華 又S1a11,解析答案思維升華 思維升華 思維升華給出Sn與an的遞推關(guān)系,求an,常用思路:一是利用SnSn1an(n 2)轉(zhuǎn)化為an的遞推關(guān)系,再求其通項(xiàng)公式;二是轉(zhuǎn)化為Sn的遞推關(guān)系,先求出Sn與n之間的關(guān)系,再求an. an2n

4、答案解析 因?yàn)閍n0,所以anan1 0,則anan12,所以數(shù)列an是首項(xiàng)為2,公差為2的等差數(shù)列,故an2n. 熱點(diǎn)二數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題數(shù)列與函數(shù)的綜合問題一般是利用函數(shù)作為背景,給出數(shù)列所滿足的條件,通常利用點(diǎn)在曲線上給出Sn的表達(dá)式,還有以曲線上的切點(diǎn)為背景的問題,解決這類問題的關(guān)鍵在于利用數(shù)列與函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系,將條件進(jìn)行準(zhǔn)確的轉(zhuǎn)化.數(shù)列與不等式的綜合問題一般以數(shù)列為載體,考查最值問題,不等關(guān)系或恒成立問題. 例2(2015陜西)設(shè)fn(x)xx2xn1,x 0,n N,n 2.(1)求fn (2); 解析答案 解方法一由題設(shè)fn (x)12xnxn1,所以fn (2)122

5、(n1)2n2n2n1,則2fn (2)2222(n1)2n1n2n,得,fn (2)12222n1n2n所以f n (2)(n1)2n1.解析答案 解析答案思維升華 證明因?yàn)閒n(0)10,又f n(x)12xnxn10, 解析答案思維升華 思維升華 思維升華解決數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題要注意以下幾點(diǎn):(1)數(shù)列是一類特殊的函數(shù),函數(shù)定義域是正整數(shù),在求數(shù)列最值或不等關(guān)系時(shí)要特別重視;(2)解題時(shí)準(zhǔn)確構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)性質(zhì)時(shí)注意限制條件;(3)不等關(guān)系證明中進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s. 跟蹤演練2(2015安徽)設(shè)n N*,xn是曲線yx2n21在點(diǎn)(1,2)處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).(1)求數(shù)列

6、xn的通項(xiàng)公式;解y(x2n21)(2n2)x2n1,曲線yx2n21在點(diǎn)(1,2)處的切線斜率為2n2,從而切線方程為y2(2n2)(x1).令y0,解得切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo) 解析答案 證明由題設(shè)和(1)中的計(jì)算結(jié)果得 解析答案 熱點(diǎn)三數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用用數(shù)列知識(shí)解相關(guān)的實(shí)際問題,關(guān)鍵是合理建立數(shù)學(xué)模型數(shù)列模型,弄清所構(gòu)造的數(shù)列是等差模型還是等比模型,它的首項(xiàng)是什么,項(xiàng)數(shù)是多少,然后轉(zhuǎn)化為解數(shù)列問題.求解時(shí),要明確目標(biāo),即搞清是求和,還是求通項(xiàng),還是解遞推關(guān)系問題,所求結(jié)論對(duì)應(yīng)的是解方程問題,還是解不等式問題,還是最值問題,然后進(jìn)行合理推算,得出實(shí)際問題的結(jié)果. 例3自從祖國(guó)大陸允許臺(tái)灣農(nóng)民到

7、大陸創(chuàng)業(yè)以來,在11個(gè)省區(qū)設(shè)立了海峽兩岸農(nóng)業(yè)合作試驗(yàn)區(qū)和臺(tái)灣農(nóng)民創(chuàng)業(yè)園,臺(tái)灣農(nóng)民在那里申辦個(gè)體工商戶可以享受“綠色通道”的申請(qǐng)、受理、審批一站式服務(wù),某臺(tái)商第一年年初到大陸就創(chuàng)辦了一座120萬元的蔬菜加工廠M,M的價(jià)值在使用過程中逐年減少,從第二年到第六年,每年年初M的價(jià)值比上年年初減少10萬元,從第七年開始,每年年初M的價(jià)值為上年年初的75%.(1)求第n年年初M的價(jià)值a n的表達(dá)式;解析答案 解當(dāng)n 6時(shí),數(shù)列an是首項(xiàng)為120,公差為10的等差數(shù)列,故an12010(n1)13010n,當(dāng)n 7時(shí),數(shù)列an從a6開始的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)以a61306070為首項(xiàng), 解析答案思維升華 證明設(shè)Sn表

8、示數(shù)列an的前n項(xiàng)和,由等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式,得當(dāng)1 n 6時(shí),Sn120n5n(n1),當(dāng)n 7時(shí),由于S6570, 解析答案思維升華 因?yàn)閍n是遞減數(shù)列,所以An是遞減數(shù)列.所以必須在第九年年初對(duì)M更新. 思維升華 思維升華常見數(shù)列應(yīng)用題模型的求解方法(1)產(chǎn)值模型:原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N,平均增長(zhǎng)率為p,對(duì)于時(shí)間n的總產(chǎn)值yN(1p)n.(2)銀行儲(chǔ)蓄復(fù)利公式:按復(fù)利計(jì)算利息的一種儲(chǔ)蓄,本金為a元,每期的利率為r,存期為n,則本利和ya(1r)n.(3)銀行儲(chǔ)蓄單利公式:利息按單利計(jì)算,本金為a元,每期的利率為r,存期為n,則本利和ya(1nr). 跟蹤演練3一牧羊人趕著一群羊通過

9、6個(gè)關(guān)口,每過1個(gè)關(guān)口守關(guān)人將拿走當(dāng)時(shí)羊的一半,然后退還1只給牧羊人,過完這些關(guān)口后,牧羊人只剩下2只羊,則牧羊人在過第1個(gè)關(guān)口前有_只羊.解析記此牧羊人通過第1個(gè)關(guān)口前、通過第2個(gè)關(guān)口前、 、通過第6個(gè)關(guān)口前,剩下的羊的只數(shù)組成數(shù)列an(n1,2,3,4,5,6),因此代入得a 52,a42,a12. 2返回解析答案 押題依據(jù) 高考押題精練已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足關(guān)系式Snkan1,k為不等于0的常數(shù).(1)試判斷數(shù)列an是否為等比數(shù)列;求數(shù)列an的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn的表達(dá)式; 23 41 2 ,nbn nn nc bb b 返回解析答案 押題依據(jù)本題綜合考查數(shù)列知識(shí),第(1)問考

10、查反證法的數(shù)學(xué)方法及邏輯推理能力,第(2)問是高考的熱點(diǎn)問題,即數(shù)列與不等式的完美結(jié)合,其中將求數(shù)列前n項(xiàng)和的常用方法“裂項(xiàng)相消法”與“錯(cuò)位相消法”結(jié)合在一起,考查了綜合分析問題、解決問題的能力. 解析答案 解(1)若數(shù)列an是等比數(shù)列,則由n1得a1S1ka2,從而a2ka3.又取n2得a1a2S2ka3,于是a10,顯然矛盾,故數(shù)列an不是等比數(shù)列.從而Snan1.當(dāng)n 2時(shí),由S n1an,得anSnSn1an1an,解析答案 從而其前n項(xiàng)和Sn2n2 (n N*).由得bnn2, 解析答案 記C2121220n2n2,則2C2120221n2n1,即n 2n900,因?yàn)閚 N*,故n9,從而最小正整數(shù)n的值是10.返回

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