電磁場與電磁波(電磁波的反射與折射)

《電磁場與電磁波(電磁波的反射與折射)》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《電磁場與電磁波(電磁波的反射與折射)（51頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第 七 章 電 磁 波 的 反 射 和 折 射 7.1 平 面 波 的 一 般 數(shù) 學 表 達 式7.2 對 平 面 分 界 面 的 垂 直 入 射7.3 對 平 面 分 界 面 的 斜 入 射 7.1 平 面 波 的 一 般 數(shù) 學 表 達 式x極 化 的 ， 沿 z方 向 傳 播 的 均 勻 平 面 波 的 瞬 時 值 表 示為 其 復 矢 量 可 表 示 為 )cos( kztEaE mx )cos(1 kztEaH my )( kztjmeEE )(11 kztjmzz eEaEaH , 為 波 的 傳 播 方 向 ， 且 電場 、 磁 場 和 波 的 傳 播 方 向 三 者 滿 足

2、右 手 螺 旋 關系 。 若 從 坐 標 原 點 向 波 陣 面 上 任 一 點 所 引 矢 徑 ,而 將 稱 為 波 的波 矢 量 ， 則 有 所 以 式 和 可 以 寫 成 mxm EaE za )(11 kztjmzz eEaEaH zayaxar zyx kkaz kzrakrk z )( kztjmeEE )( rktjmeEE )(11 rktjmzz eEaEaH k zkzrk 對 于 給 定 的 波 矢 量 ， 為 常 數(shù) 的 平 面為 等 相 位 面 ， 波 矢 量 的 方 向 為 波 的 傳 播 方向 ， 大 小 為 波 數(shù) 。 如 圖 7.1.1所 示 。 圖 7.1.

3、1 波 的 等 相 位 面 對 于 向 任 一 方 向 傳 播 的 均 勻 平 面 波 ，波 矢 量 為 ,波 的 各 場 分 量 的 復 矢 量 可表 示 為 這 便 是 向 任 意 方 向 傳 播 的 波 的 一 般 復 矢 量 表 達式 。 在 理 想 介 質(zhì) 中 ， 波 矢 量 為 為 一 實 矢 量 ， 因 此 ， 。 沿 方 向 傳 播的 均 勻 平 面 波 的 等 相 面 的 移 動 情 況 如 圖 7.1.2所示 。 kakak k )( rktjmeEE )(11 rktjmkk eEaEaH kk akak k ka 圖 7.1.2 沿 Z方 向 傳 播 的 均 勻 平 面

4、 波 7.2 對 平 面 分 界 面 的 垂 直 入 射7.2.1 對 理 想 導 體 平 面 的 垂 直 入射 在 圖 7.2.1中 ， 設 媒 質(zhì) 1為 自由 空 間 ， 媒 質(zhì) 2為 理 想 導 體 。 在 分界 面 上 取 一 點 為 坐 標 系 的 原 點 并取 軸 與 分 界 面 垂 直 ， 由 媒 質(zhì) 1指 向媒 質(zhì) 2。 若 X極 化 的 均 勻 平 面 波 由自 由 空 間 入 射 到 理 想 導 體 表 面 上 ，波 矢 量 為 zzz aakak 00 入 射 波 電 磁 場 分 量 為 )( ztjmxxx eEaEaE )(0)(00 11 ztjmyztjmxzz

5、eEaeEaaEaH 式 中 000 / 由 于 理 想 導 體 的 電 導 率 電 磁 波 不 能 透 入 其 中 ， 因 此 ， 在 理 想 導 體 中 電磁 場 都 等 于 零 。 z zz akak 電 磁 波 在 理 想 導 體 表 面 上 被 全 部 反 射 回 來 ， 形 成 向方 向 傳 播 的反射波， 其 波 矢 量 為， 其 場 分 量 為 ( )j t zx x x mE a E a E e )(0)(00 1)(1 ztjmyztjmxzz eEaeEaaEaH 在 自 由 空 間 中 的 合 成 電 磁 場 為 ( ) ( )j t z j t zx x x m mE

6、 E E E e E e ( ) ( )0 0j t z j t zm my y y E EH H H e e 在 0z 處 ， 利 用 電 場 強 度 切 向 分 量 連 續(xù) 的 邊 界 條 件可 得 或 于 是 ， 在 0z 的 自 由 空 間 中 的 反 射 波 為 波 在 自 由 空 間 中 的 合 成 電 磁 場 為0 mmx EEE mm EE)( ztjmx eEE )( 00 ztjmxy eEEH tjmtjzjzjmx ezEjeeeEE sin2)( tjmtjzjzjmyyy ezEeeeEHHH cos2)( 00 合 成 電 磁 場 的 瞬 時 值 為 )sin()

7、sin(2Re),( tzEeEtzE mtjxx )cos()cos(2Re),( 0 tzEeHtzH mtjyy 可 見 ， 合 成 電 磁 場 的 振 幅 隨 空 間 坐 標 按 正 弦z函 數(shù) 分 布 ， 而 在 空 間 一 點 ， 電 磁 場 隨 時 間 作 簡 諧振 動 。 這 是 一 種駐波分布， 如 圖 7.2.2所 示 。 圖 7.2.2 合 成 電 磁 場的 振 幅 隨 空 間 坐 標 的分 布 結(jié) 論 ： 當 均 勻 平 面 波 垂 直 入 射 到 理 想 導 體 表 面 時 ，在 表 面 上 發(fā) 生 全 反 射 ， 反 射 波 與 入 射 波 的 迭 加 在 自 由空

8、 間 中 形 成 駐 波 。 其 分 布 為 ： 在 或 （ ） 處 ， 電 場 為 零 ， 磁 場 為 最 大 值 。 我 們 稱 這 樣 的 點 為 電 場 波 節(jié) 點 或 nz 2nz ,2,1,0n 2)12( nz4)12( nz磁場波腹點；在或 處 ， 磁 場 為 零 ， 電 場 為 最 大 值 。 我 們 稱 這 樣 的 點 為 磁 場 波 節(jié) 點 或 電 場 波 腹 點 。 在 理 想 導 體 表 面 上 ， 電 場 為 零 ， 磁 場 為 最 大 值 。 根 據(jù) 邊 界 條 件 可 知 ， 電 磁 波 將 在 導 體 表 面 上 感 應 出 面 電 流 ， 即 處在 自 由

9、空 間 中 ， 波 的 平 均 坡 印 廷 矢 量 為0z 02 mxyyzs EaHaaHnJ 0)cos(2)sin(2Re21Re21 0* zEazEjaHES mymxav 可 見 ， 駐 波 不 能 傳 輸 電 磁 能 量 ， 而 只 存 在 電 場 能 和磁 場 能 的 相 互 轉(zhuǎn) 換 。 7.2.2 對 理 想 介 質(zhì) 平 面 的 垂 直 入 射 設 x極 化 的 均 勻 平 面 波 從 第 一 種 介 質(zhì) 垂 直 入 射 到 分界 面 上 ， 波 將 在 分 界 面 上 發(fā) 生 反 射 和 透 射 。入 射 波 的 波 矢 量 為 ： 11111 zzz aakak 反 射

10、波 的 波 矢 量 為 ： 1111 zz aak 介 質(zhì) 1中 入 射 波 電 磁 場 分 量 為 ： )(111 1ztjmxxx eEaEaE )(11111 11 ztjmyz eEaEaH 介 質(zhì) 1中 反 射 波 電 磁 場 分 量 為 ： )(111 1ztjmxxx eEaEaE )(11111 1)(1 ztjmyz eEaEaH 介 質(zhì) 1中 合 成 波 電 磁 場 分 量 為 ： )(1)(1111 1 ztjmztjmxxx eEeEEEE )(11)(11111 ztjmztjmyyy eEeEHHH 在 介 質(zhì) 2中 ， 透 射 波 向 z方 向 傳 播 ， 波 矢

11、 量 為 ：介 質(zhì) 2中 透 射 波 的 電 磁 場 分 量 為 ： 22222 zzz aakak )(222 2ztjmxxx eEaEaE )(22222 21 ztjmyz eEaEaH 在 介 質(zhì) 分 界 面 （ z=0） 上 ， 由 邊 界 條 件 可 得 ：211 mmm EEE 221111 mmm EEE 12 1211 mm EE 12 212 2 mm EE 界 面 的 反 射 系 數(shù) 定 義 為 分 界 面 上 反 射 波 與 入 射 波電 場 之 比 ， 即 ： 11mmEER 12 12 R 界 面 的 傳 輸 系 數(shù) 定 義 為 分 界 面 上 透 射 波 與 入

12、 射 波電 場 之 比 ， 即 ： 12mmEET 12 212 2 mmEET 可 以 證 明 ， 波 垂 直 入 射 到 介 質(zhì) 分 界 面 上 時 ， R與 T滿 足 關 系 RT 1 對 于 理 想 介 質(zhì) 和 一 般 的 電 介 質(zhì) ， 其 磁 導 率 非 常 接近 于 真 空 的 磁 導 率 0 ， 因 此 ， 可 簡 化 為 ： 21 211020 102012 12 / / R 21 12 T 可 見 ， 波 在 介 質(zhì) 分 界 面 上 的 反 射 和 透 射 主 要 取 決 于 兩 介 質(zhì)介 電 常 數(shù) （ 或 折 射 率 ） 的 差 異 。 若 1 2 ， 則 反 射 波

13、電 場 與 入射 波 電 場 同 相 ； 若 1 2 ， 則 反 射 波 電 場 與 入 射 波 電 場 反 相 。透 射 波 電 場 與 入 射 波 電 場 總 是 同 相 的 。 一 般 情 況 下 媒 質(zhì) 為 導 電 媒 質(zhì) ， 其 本 征 阻 抗 為 復 數(shù) ， R和 T也為 復 數(shù) 。 這 表 明 在 分 界 面 上 的 反 射 波 和 透 射 波 還 存 在 一 個 由 界面 決 定 的 附 加 相 移 。 波 斜 入 射 到 兩 種 不 同 媒 質(zhì) 分 界 面 上 也 將 發(fā) 生 反射 和 折 射 ， 界 面 對 波 的 反 射 和 折 射 與 入 射 波 的 極化 方 式 有

14、關 。 為 了 描 述 波 極 化 方 式 對 反 射 、 折 射的 影 響 ， 我 們 將 分 界 面 的 法 線 與 入 射 波 射 線 構(gòu) 成的 平 面 定 義 為 入 射 面 ， 并 規(guī) 定 ： 電 場 垂 直 于 入 射面 的 波 為 垂 直 極 化 波 ； 電 場 平 行 于 入 射 面 的 波 為平 行 極 化 波 。 由 于 任 意 極 化 波 可 以 視 為 上 述 兩 種極 化 波 的 迭 加 。 下 面 我 們 分 別 討 論 兩 種 極 化 波 對理 想 導 體 表 面 的 斜 入 射 和 對 理 想 介 質(zhì) 表 面 的 斜 入射 。 7.3 波 對 平 面 分 界 面

15、 的 斜 入 射 7.3.1波 對 理 想 導 體 表 面 的 斜 入 射 一 、 平 行 極 化 波 的 斜 入 射 入 射 角 的 平 行 極 化 波 在理 想 導 體 表 面 將 被 全 反 射 ，反 射 波 角 為 ， 入 射 波 與反 射 波 傳 播 方 向 上 的 單 位矢 量 及 波 矢 量 滿 足 ： ( sin cos ) k x Zk a k a a k ( sin cos )k x Zk a k a a k 波 矢 量 sin cosk x za a a sin cosk x za a a 由 圖 可 見 mymk EaEa mymk EaEa 所 以 ， 入 射 波 電

16、 磁 場 分 量為 （ 忽 略 時 間 因 子 ） ： rajkmrkjm keEeEE rkjmyrkjmkk eEaeEaEaH 000 11 反 射 波 電 磁 場 分 量 為 ： rajkmrkjm keEeEE rkjmyrkjmkk eEaeEaEaH 000 11 于 是 反 射 平 面 左 邊 空 氣 中 入 射 波 與 反 射 波 的 合成 場 分 量 為 ： rkjmrkjm eEeEEEE rkjmyrkjmy eEaeEaHHH 00 因 )cossin( zxkrk )cossin( zxkrk )cossin()cossin( coscos),( zxjkmzxjk

17、mx eEeEzxE )cossin()cossin( sinsin),( zxjkmzxjkmz eEeEzxE )cossin(0)cossin(0 ),( zxjkmzxjkmy eEeEzxH 0coscos)0,( sinsin jkxmjkxmx eEeExE 在 導 體 表 面 上 (z=0)， 由 邊 界 條 件 可 知 ， 合 成 電 場的 切 向 分 量 應 為 零 ， 即 ： mm EE斯 耐 爾 反 射 定 律 聯(lián) 立 求 解 上 式 ， 可 得 反 射 面 左 邊 的 電 磁 場 分 量 為 ： sin)cossin(cos2),( jkxmx ekzEjzxE si

18、n)coscos(sin2),( jkxmz ekzEzxE sin 0 )coscos(21),( jkxmy ekzEzxH 結(jié) 論 ： 平 行 極 化 的 平 面 波 斜 入 射 到 理 想 導 體 表 面 被 界面 反 射 ， 反 射 波 與 入 射 波 迭 加 ， 形 成 沿 導 體 表 面方 向 的 傳 播 波 。 其 相 速 為 cckkv xp sinsin 2.合 成 波 在 Z方 向 不 構(gòu) 成 相 位 函 數(shù) ， 因 此 在 Z方 向 無 波的 傳 播 。 而 沿 x方 向 傳 播 的 非 均 勻 平 面 波 的 振 幅 按 分 布 ， 故 合 成 波 在 Z方 向 是

19、駐 波 。 1、 合 成 波 是 一 個 向 x方 向 傳 播 的 非 均 勻 平 面 波 。 由 于此 平 面 波 沿 傳 播 方 向 （ x方 向 ） 不 存 在 磁 場 分 量 ， 故稱 為 橫 磁 波 或 TM波 。 )cossin( kz )coscos( kz ),2,1,0(cos2 nnzn nkz cos EzH y振 幅 最 大波 腹 點Ex=0 波 節(jié) 點 ),2,1,0(21cos2 mmz m EzH y波 節(jié) 點Ex波 腹 點 如 圖 ， 反 射 平 面 左半 空 間 的 合 成 波 電 磁場 分 量 為 ：二 、 垂 直 極 化 波 的 斜 入 射 )cossin

20、()cossin( ),( zxjkmzxjkmy eEeEzxE coscos1),( )cossin()cossin(0 zxjkmzxjkmx eEeEzxH sinsin1),( )cossin()cossin( 0 zxjkmzxjkmz eEeEzxH 利 用 理 想 導 體 表 面 上 (z=0)的 邊 界 條 件 ， 同 樣 可 得 ： mm EE sin)cossin(2),( jkxmy ekzEjzxE sin0 )coscos(cos2),( jkxmx ekzEzxH sin 0 )cossin(sin2),( jkxmz ekzEjzxH 由 此 可 得 ： 合 成

21、 波 是 一 個 向 x方 向 傳 播 的 非 均 勻 平 面波 。 由 于 此 平 面 波 沿 傳 播 方 向 （ x方 向 ） 不存 在 電 場 分 量 ， 故 稱 為 橫 電 波 或 TE波 。 2.在 垂 直 于 分 界 面 的 方 向 上 ， 合 成 波 的 場 隨 z按 駐 波 分 布 。結(jié) 論 ： 1. 垂 直 極 化 的 平 面 波 斜 入 射 到 理 想 導 體 表 面被 界 面 反 射 ， 反 射 波 與 入 射 波 迭 加 ， 形 成 沿 導體 表 面 方 向 的 傳 播 波 。 其 相 速 為 cckkv xp sinsin 7.3.2波 對 理 想 介 質(zhì) 表 面 的

22、 斜 入 射 一 、 平 行 極 化 波 的 斜 入 射 當 平 行 極 化 的 平面 波 從 左 半 空 間 斜入 射 到 理 想 介 質(zhì) 分界 時 ， 一 部 分 被 反射 ， 另 一 部 分 則 折射 入 右 半 空 間 。 入射 波 、 反 射 波 與 折射 波 傳 播 方 向 上 的單 位 矢 量 及 波 矢 量滿 足 ： 反 射 平 面 左 半 空 間 合 成 波 的 電 磁 場 分 量 為 ： cossin1 zxk aaa 1 cossin zxk aaa 2 cossin zxk aaa )cossin(1111 zxk aakkak )cossin( 1111 zxk aa

23、kkak )cossin( 2122 zxk aakkak 波 矢 量 其 中 ： 111 k 222 k rkjmrkjm eEeEEEE 21 11111 )(1 21 11111111 rkjmkrkjmk eEaeEaHHH 反 射 平 面 右 半 空 間 折 射 波 的 電 磁 場 分 量 為 ：rkjm eEE 222 rkjmk eEaH 22222 1 111 mymk EaEa 111 mymk EaEa 222 mymk EaEa 、 因 故 ， 反 射 平 面 左 半 空 間 合 成 波 的 電 磁 場 分 量 為 ： )cossin(1)cossin(11 11 cos

24、cos),( zxjkmzxjkmx eEeEzxE )cossin(1)cossin(11 11 sinsin),( zxjkmzxjkmz eEeEzxE )cossin(11)cossin(11 11),( zxjkmzxjkmy eEeEzxH 反 射 平 面 右 半 空 間 折 射 波 電 磁 場 分 量 為 ：在 z=0的 分 界 面 上 ， 根 據(jù) 邊 界 條 件 可 得 ： )cossin(22 2cos),( zxjkmx eEzxE )cossin(22 2sin),( zxjkmz eEzxE )cossin( 222 2),( zxjkmy eEzxH 211 sin2

25、sin1sin1 coscoscos xjkmxjkmxjkm eEeEeE 211 sinsinsin xkxkxk 介 質(zhì) 分 界 面 上 的 反 射定 律 ， 即 入 射 角 等 于反 射 角 1222 1121sinsin vvkk 介 質(zhì) 分 界 面 上 的 折 射定 律 ， 即 斯 耐 爾 折 射定 律 。一 般 介 質(zhì) ， 磁 導 率 接 近 真 空 磁 導 率 ， 上 式 可 簡 化 為 ：nnn 2121sinsin 波 阻 抗 波 的 橫 電 場 分 量 對 與 其 相 互 垂 直 的 橫 磁 場分 量 的 比 值 ， 并 且 橫 電 場 、 橫 磁 場 和 波 的 傳 播

26、 方 向 三足 右 手 螺 旋 關 系 。 平 行 極 化 波 向 z方 向 傳 播 分 量 的 波 阻 抗 ZZ1， ZZ2為 ： cos 111111 yxyxz HEHEZ 2222 cos yxz HEZ 在 Z 0的 分 界 面 上 ， 切 向 磁 場 分 量 連 續(xù) ， 即 ：221111 zxzxzx ZEZEZE 聯(lián) 立 可 解 得 平 行 極 化 波 在 分 界 面 上 的 反 射 系 數(shù) 和透 射 系 數(shù) 為 ： 21 1212 1211/ coscos coscos zz zzxx ZZ ZZEER 21 212 212/ coscos cos22 zz zxx ZZ Z

27、EET 非 鐵 磁 性 物 質(zhì) ， 1 20， 可 得 平 行 極 化 波 的 菲 涅 爾 公式 ： 21212 21212/ sin)/(cos)/( sin)/(cos)/( R 21212 12/ sin)/(cos)/( /cos2 T /21/1 TR 可 以 證 明 ， 平 行 極 化 波 的 反 射 系 數(shù) 和 透 射 系 數(shù) 滿足 關 系 ： 二 、 垂 直 極 化 波 的 斜 入 射 當 垂 直 極 化的 平 面 波 從 左半 空 間 斜 入 射到 理 想 介 質(zhì) 分界 時 ， 一 部 分被 反 射 ， 另 一部 分 則 折 射 入右 半 空 間 。 同理 可 得 ： 反 射

28、 面 左 半 空 間 的 合 成 電 磁 場 為 ：反 射 面 右 半 空 間 的 合 成 電 磁 場 為 ： rkjmyrkjmy eEaeEaEEE 21 11111 )(1 21 11111111 rkjmykrkjmyk eEaaeEaaHHH rkjmy eEaE 222 rkjmyk eEaaH 22222 1 用 類 似 于 平 行 極 化 波 的 分 析 方 法 ， 可 得 相 同 的 反 射定 律 和 折 射 定 律 。 同 時 可 得 垂 直 極 化 波 的 波 阻 抗 為 ： sec1111 xyz HEZ 222 sec xyz HEZ垂 直 極 化 波 的 反 射 系

29、 數(shù) 、 透 射 系 數(shù) 及 菲 涅 爾 公 式 為 ： 212 21212 12 sin)/(cos sin)/(cos zz zz ZZ ZZR 21212 2 sin)/(cos cos22 zz zZZ ZT同 樣 有 ： TR1 上 圖 為 平 行 極 化 波 和 垂 直 極 化 波 的 反 射 系 數(shù) 模值 隨 入 射 角 的 變 化 曲 線 。 由 圖 可 見 當 平 行 極 化 波入 射 角 時 ， sin 21 21 B 反 射 系 數(shù) 為 零 ， 發(fā) 生 全 折 射 現(xiàn) 象 ， 對 應 的 入 射 角稱 為 布 儒 斯 特 角 。 全 折 射 現(xiàn) 象 只 有 在 平 行 極

30、 化 波 的 斜 入 射 時 才 會發(fā) 生 。 如 果 電 磁 波 以 任 意 極 化 方 式 并 以 布 儒 斯 特 角 入 射 ，由 于 只 有 平 行 極 化 波 在 入 射 角 等 于 布 儒 斯 特 角 時 的反 射 才 等 于 零 ， 則 反 射 波 中 只 有 垂 直 極 化 波 。 這 就是 極 化 濾 除 效 應 。 7.3.3波 的 全 反 射 現(xiàn) 象 由 斯 耐 爾 折 射 定 律 可 知 ， 如 果 波 從 光 密 媒 質(zhì) 入 射 到 光疏 媒 質(zhì) 時 ， 必 然 有 ， 而 且 隨 的 增 大 而 增 大 。因 此 ， 我 們 可 以 找 到 一 個 入 射 角 ，

31、使 其 滿 足 ， 即滿 足 關 系 ： 0 90時 ， sin 1212 nnc 無 論 是 平 行 極 化 波 還 是 垂 直 極 化 波 ， 其 反 射 系 數(shù) 的 絕對 值 都 等 于 1， 即 波 在 介 質(zhì) 分 界 面 上 發(fā) 生 全 反 射 現(xiàn) 象 。 發(fā)生 全 反 射 現(xiàn) 象 時 的 入 射 角 為 稱 為 臨 界 角 。 其 值 為 ：121sin c 全 反 射 時 第 二 種 媒 質(zhì) 中 的 場 分 布 如 下 ： )cossin(22 2cos),( zxjkmx eEzxE 由 斯 耐 爾 折 射 定 律 可 得 ： sinsin 21 2212 sin1sin1co

32、s 發(fā) 生 全 反 射 時 1sinsin1cos 2212 j 于 是 sin1sin22 2122212cos),( xjkzkmx eeEzxE 結(jié) 論 ： 1、 發(fā) 生 全 反 射 時 ， 媒 質(zhì) 2中 仍 有 折 射 波 存 在 ， 但 折 射 波 的傳 播 方 向 是 向 x方 向 ， 相 速 為 2212 /sin vvvp 波 向 x方 向 傳 播 的 速 度 小 于 波 在 無 界 媒 質(zhì) 2中 的 速 度 。如 果 媒 質(zhì) 2為 空 氣 ， 則 波 向 x方 向 傳 播 的 速 度 小 于 光 速 ， 這種 波 稱 為 慢 波 。2、 媒 質(zhì) 2中 折 射 波 的 振 幅

33、沿 負 z方 向 指 數(shù) 衰 減 。 當 時 ， 1sin)/(21sin)/( 1 2 21 22212 kz 折 射 波 振 幅 衰 減 到 邊 界 上 的 。 由 此 看 出 ， 向 x方向 傳 播 的 折 射 波 實 際 上 分 布 在 界 面 上 的 一 個 很 小 的 薄層 內(nèi) ， 這 樣 的 波 稱 為 表 面 波 。 這 說 明 介 質(zhì) 分 界 面 也 可以 引 導 電 磁 波 傳 播 。 e1 例 如 圖 所 示 ， 多 層 媒 質(zhì) 的 界 面 彼 此 平 行 。 試 證 明 射 線 在 多層 媒 質(zhì) 中 具 有 可 逆 性 。 證 明 ： 當 波 在 n層 介 質(zhì) 中 傳 播時 ， 在 各 分 界 面 上 ， 由 折 射 定律 可 得 ： 2 21 sinsin vv 3 32 2 sinsin vv n nn n vv sinsin 1 1