靳振榮《頻率與概率》教學(xué)案例

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1、九年級(jí)數(shù)學(xué)《頻率與概率》教學(xué)案例 北屯中學(xué)：靳振榮 數(shù)學(xué)教材九年級(jí)的一節(jié)課《頻率與概率》，要求學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)體驗(yàn)隨機(jī)事件概率的意義：盡管隨機(jī)事件在每一次實(shí)驗(yàn)中發(fā)生與否具有不確定性，但只要保持實(shí)驗(yàn)條件不變，那么這一事件發(fā)生的頻率就會(huì)隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增加而趨向穩(wěn)定，即隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多，試驗(yàn)頻率越來越接近理論概率。我的教學(xué)設(shè)計(jì)要解決這樣的問題：利用短暫的課內(nèi)時(shí)間完成幾百次、上千次的實(shí)驗(yàn)，使學(xué)生明白“隨機(jī)事件在每次實(shí)驗(yàn)中發(fā)生的機(jī)會(huì)，可以用該事件在大數(shù)次重復(fù)實(shí)驗(yàn)中發(fā)生的頻率來估計(jì)”這顯然比較難以實(shí)現(xiàn)。為此，我準(zhǔn)備了供學(xué)生進(jìn)行實(shí)驗(yàn)的必要器材，以便進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn)，下面談一點(diǎn)我的一些思考。 我為本課

2、制訂的教學(xué)目標(biāo)是： 1.通過大數(shù)次實(shí)驗(yàn)的觀察，了解隨機(jī)事件發(fā)生的頻率是穩(wěn)定的； 2.通過討論，體驗(yàn)用頻率的穩(wěn)定值估計(jì)機(jī)會(huì)的合理性； 3.初步掌握實(shí)驗(yàn)的基本程序、方法，用比較準(zhǔn)確的語言概括實(shí)驗(yàn)結(jié)果，培養(yǎng)他們的探索意識(shí)，合作精神。 任務(wù)一：組織學(xué)生自主探究轉(zhuǎn)盤上的指針停留在某種顏色區(qū)域的機(jī)會(huì)究竟跟什么有關(guān)：是此種顏色區(qū)域的面積，還是指針在此顏色區(qū)域轉(zhuǎn)過的角度？要由學(xué)生自己來解決，用自己的語言來表述。 任務(wù)二：組織學(xué)生設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)盤，使指針停在藍(lán)色區(qū)域的機(jī)會(huì)為３/８。要求學(xué)生盡可能突破思維束縛，發(fā)揮想像力，通過設(shè)計(jì)，深化對(duì)任務(wù)一所得出的結(jié)論的理解。 案例描述 一、預(yù)習(xí)檢測(cè) 為了讓學(xué)生體會(huì)到

3、“指針停在藍(lán)色區(qū)域的機(jī)會(huì)等于指針在藍(lán)色區(qū)域轉(zhuǎn)過的角度的總和與360的比值”，并用自己的語言表述出來，我設(shè)計(jì)了一連串問題。 用幻燈片出示如圖１的轉(zhuǎn)盤。學(xué)生知道，用力旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停下時(shí)，指針可能指向紅色，也可能指向藍(lán)色。 問題一：請(qǐng)每一個(gè)同學(xué)選擇一種顏色，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停下時(shí)，指針指向哪一種顏色，選擇這種顏色的同學(xué)就獲勝，你會(huì)選擇哪種顏色？ 學(xué)生齊刷刷地回答：當(dāng)然是紅色。當(dāng)我問為什么時(shí)，學(xué)生幾乎也是齊刷刷地回答：紅色面積比藍(lán)色面積大。 這是一個(gè)忽視前置條件的答案，顯然缺失了數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。所以我馬上出示了如圖2的幻燈片，提出問題二。 問題二：用力旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤甲和轉(zhuǎn)盤乙，如果你想讓指針停在藍(lán)色上

4、，選擇哪個(gè)轉(zhuǎn)盤能使你成功的機(jī)會(huì)比較大？ 這個(gè)問題馬上引起了學(xué)生的深思。大部分同學(xué)都回答“轉(zhuǎn)盤甲和乙上，指針停留在藍(lán)色區(qū)域的機(jī)會(huì)一樣大”，但也有兩位同學(xué)說轉(zhuǎn)盤乙的機(jī)會(huì)大。我讓學(xué)生以四人小組為單位進(jìn)行驗(yàn)證。每組有統(tǒng)一制作的一大一小兩只轉(zhuǎn)盤，同桌兩人一只轉(zhuǎn)盤，一人轉(zhuǎn)動(dòng)，一人在表格中記錄指針停在藍(lán)色區(qū)域的次數(shù)。各轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤４０次，最后把數(shù)據(jù)匯總到老師的電腦上。這個(gè)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了十分鐘。根據(jù)各小組的匯總數(shù)據(jù)制作的Excel圖表出現(xiàn)在屏幕上：兩只轉(zhuǎn)盤的指針停留在藍(lán)色區(qū)域的頻率與１/４的差，絕對(duì)值都在0.1～0.2之間，“機(jī)會(huì)一樣大”的猜測(cè)初步得到驗(yàn)證。我再用電腦進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn)：每只轉(zhuǎn)盤各轉(zhuǎn)了10000次，顯示指

5、針停留在藍(lán)色區(qū)域的機(jī)會(huì)分別為0.252（甲）和0.249（乙），這兩個(gè)頻率與１/４的差，絕對(duì)值都不超過0.002。學(xué)生由此感受到“頻率隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增加而趨于穩(wěn)定”的事實(shí)。 于是我開始啟發(fā)：剛才大家認(rèn)為指針停留在藍(lán)色區(qū)域的機(jī)會(huì)由藍(lán)色區(qū)域的面積大小決定，可是轉(zhuǎn)盤乙的藍(lán)色區(qū)域面積顯然比轉(zhuǎn)盤甲大，為什么轉(zhuǎn)動(dòng)這兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，指針停留在藍(lán)色區(qū)域的機(jī)會(huì)卻幾乎相同呢？誰能修正一下剛才的判斷？ 僅僅思考１分鐘，就有一位同學(xué)對(duì)原先的結(jié)論進(jìn)行修改：藍(lán)色區(qū)域所占的面積占總面積的比越大，指針停留在藍(lán)色上的機(jī)會(huì)也越大。 適當(dāng)?shù)膯栴}有利于學(xué)生意識(shí)到他們的結(jié)論不嚴(yán)謹(jǐn)，修改后的結(jié)論顯然比第一次的說法準(zhǔn)確些。但要使這個(gè)判斷成

6、為真命題，還是缺少前提??轉(zhuǎn)盤必須是圓盤，轉(zhuǎn)軸在中心。于是我出示了圖３所示的三只轉(zhuǎn)盤，用問題三啟發(fā)學(xué)生繼續(xù)思考。 問題三：轉(zhuǎn)動(dòng)哪一個(gè)轉(zhuǎn)盤，指針停留在藍(lán)色區(qū)域的機(jī)會(huì)比較大？ 幻燈片一出現(xiàn)，同學(xué)們紛紛脫口而出，有的說正方形，有的說正八邊形。沒等我說話，他們又自己統(tǒng)一了意見：正方形和正八邊形轉(zhuǎn)盤的機(jī)會(huì)一樣大，都是１/４，正三角形轉(zhuǎn)盤的機(jī)會(huì)最小。 我追問：為什么？馬上有一位同學(xué)說：因?yàn)樵谡叫魏桶诉呅沃?，藍(lán)色區(qū)域都占了總面積的１/４，而三角形中，藍(lán)色區(qū)域占總面積的比不到１/４。 這時(shí)，一位平時(shí)愛動(dòng)腦筋的同學(xué)突然醒悟：老師，我認(rèn)為這三個(gè)轉(zhuǎn)盤指針停留在藍(lán)色區(qū)域的機(jī)會(huì)都是１/４。我馬上請(qǐng)他說說理由。

7、這位同學(xué)很自信地說：指針在藍(lán)色區(qū)域上轉(zhuǎn)過的角度都是90，90是360的１/４。 “同意他的說法的同學(xué)請(qǐng)舉手?！蔽艺f完一看，舉手者寥寥無幾，可見許多同學(xué)對(duì)這種說法并沒有立刻認(rèn)可。這與我的估計(jì)相同。 于是我讓大家回到實(shí)驗(yàn)中去尋找規(guī)律。為了節(jié)省時(shí)間，我讓４個(gè)小組用正方形轉(zhuǎn)盤做實(shí)驗(yàn)，另５個(gè)小組用正三角形轉(zhuǎn)盤做實(shí)驗(yàn)。最后匯總統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示：正方形轉(zhuǎn)盤和正三角形轉(zhuǎn)盤指針停留在藍(lán)色區(qū)域的頻率都接近１/４。 此時(shí)我問同學(xué)們：“藍(lán)色區(qū)域的面積占總面積的比越大，指針停留在藍(lán)色上的機(jī)會(huì)也越大”這句話還需要修改嗎？ 下面是兩位同學(xué)的修正意見： “指針旋轉(zhuǎn)一周，在藍(lán)色區(qū)域轉(zhuǎn)過的角度越大，機(jī)會(huì)越大?！? “干脆說

8、，指針在藍(lán)色區(qū)域轉(zhuǎn)過的角度與360的比值，就是指針停留在藍(lán)色區(qū)域的機(jī)會(huì)?！? 在上述探究活動(dòng)中，我盡可能讓學(xué)生多動(dòng)手操作，怕數(shù)據(jù)不夠多，我用匯總各小組數(shù)據(jù)和電腦模擬的方法，解決了“利用短暫的課堂教學(xué)時(shí)間完成幾百次、上千次實(shí)驗(yàn)”的難題。學(xué)生的活動(dòng)和思考過程，除了使他們親身體驗(yàn)偶然性中蘊(yùn)涵必然性的道理，對(duì)他們的發(fā)展至少還有以下兩方面的意義。 １．培養(yǎng)實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度。明白學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，既要大膽猜想，又要小心求證。求證不外乎兩種方法，一是邏輯推理，如以上最后三位學(xué)生的思考；二是實(shí)踐驗(yàn)證，動(dòng)手實(shí)驗(yàn)用的就是這種方法。 ２．發(fā)展概括能力。我沒有把概率的計(jì)算方法簡單地告訴學(xué)生，而是讓學(xué)生像科學(xué)家那樣不停地

9、觀察、猜測(cè)、驗(yàn)證和反思，逐漸修正自己的判斷，使之一步步趨向完善、準(zhǔn)確，最終自己得出概率的計(jì)算方法。這中間，學(xué)生用自己的語言比較準(zhǔn)確地概括自己發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，認(rèn)識(shí)不斷強(qiáng)化。著名數(shù)學(xué)家，北師大的教授曹才翰說過，概括能力是數(shù)學(xué)能力的核心。重教學(xué)過程，特別要精心設(shè)計(jì)這樣的思維活動(dòng)過程，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力才不會(huì)成為空話。 案例反思 1.興趣來自現(xiàn)實(shí)生活 關(guān)于《概率與統(tǒng)計(jì)》的知識(shí)是從七年級(jí)到九年級(jí)逐步展開和深化的，教學(xué)中老是用拋擲硬幣和骰子這兩種活動(dòng)，會(huì)使學(xué)生厭倦。這節(jié)課我換了新鮮的學(xué)具（轉(zhuǎn)盤）和新鮮的話題，由于它們都來自學(xué)生的生活，所以迎合學(xué)生的心理，使學(xué)生產(chǎn)生濃厚的探究興趣并得以保持。 2.以問題為線索組織學(xué)習(xí)活動(dòng) 曹才翰教授在總結(jié)青浦經(jīng)驗(yàn)時(shí)說過，有問題才會(huì)有思考，思維總是指向問題解決的。在這節(jié)公開課上，我從頭到尾都用一步步遞進(jìn)的問題啟發(fā)學(xué)生的思維，力求使學(xué)生的思維像剝筍一樣一步步深入，語言表達(dá)一步步精確，讓學(xué)生的思維經(jīng)歷了從混沌到清晰、從似是而非到把握本質(zhì)，體會(huì)到數(shù)學(xué)思考的樂趣、探索成功的喜悅。