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1、
2015年高中畢業(yè)年級第二次質(zhì)量預(yù)測
理科數(shù)學(xué) 參考答案
一、選擇題 BCDCB \ DDCAD \ CA
二、填空題 13.； 14. ；15. ； 16. (2) (3) (4).
三、解答題
17.解：(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列公差為，由題意知，因為成等比數(shù)列，所以，
，即
所以 ……… 4分 所以. ……… 6分
A
B
C
O
A1
B1
C1
（Ⅱ）， ……… 8分
所以. ……… 12分
18. （1）證明：取中點(diǎn)，連接，
因為平面平面，，
所以平面 所以.
又， 所以平面，
所以
2、 .……… 4分
在菱形中，.所以平面，
A
B
C
O
A1
B1
C1
所以. ……… 6分
（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
，，
設(shè)是面的一個法向量，則，
即取可得……… 10分
又,所以，
所以直線與平面所成的角的正弦值
=. ……… 12分
19.解：（1）恰好一個是以300元價格購買的顧客，另一個以100元價格購買的顧客的概率是A,則……… 3分
（2）設(shè)銷售A商品獲得的利潤為（單位：元）, 依題意, 視頻率為概率，為追求更多的利潤，
則商店每天購進(jìn)
3、的A商品的件數(shù)取值可能為4件，5件，6件.
當(dāng)購進(jìn)A商品4件時，
當(dāng)購進(jìn)A商品5件時，
當(dāng)購進(jìn)A商品6件時，
= ……… 9分
由題意，解得，又知，所以x的取值范圍為， … 12分
20.解:（1）因為橢圓,由題意得, ，， 所以解得所以橢圓的方程為 …… 4分
（2）假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓恒有兩個交點(diǎn),因為，所以有,
設(shè)，當(dāng)切線斜率存在時，設(shè)該圓的切線方程為，解方程組
得,即,
則△=,即
……… 6分
要使,需,即,
所以,所以又,所以,
所以,即或,因為直線為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線,
所以圓的半徑
4、為,,,所求的圓為, ……… 10分
此時圓的切線都滿足或,
而當(dāng)切線的斜率不存在時切線為與橢圓的兩個交點(diǎn)為或滿足, 綜上, 存在圓心在原點(diǎn)的圓滿足條件. ……… 12分
21.解：（1）由已知得函數(shù)的定義域為 =
當(dāng)時，在定義域內(nèi)恒成立，的單調(diào)增區(qū)間為，
當(dāng)時，由得 當(dāng)時，；當(dāng)時，
的單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為 ……… 5分
（2）由（1）知當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為.
所以所以恒成立，
當(dāng)時取等號. 令=，則 ……… 7分
當(dāng)時，；當(dāng)時，
從而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減 所以， ……… 10分
所以，存在使得不等式成立
只需 即：
5、…… 12分
22．（10分）選修4－1：幾何證明選講
解：（1）證明：連結(jié)，由題意知為直角三角形.
因為，，∽，
所以，即.
又， 所以. ……… 5分
（2）因為是圓的切線，所以，
又，所以，
因為，又，所以∽.
所以，得
……… 10分
23．（10分）選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
解（1）由 得，
所以曲線可化為，， 由得，
所以，所以曲線可化為. ……… 5分
（2）若曲線，有公共點(diǎn)，則當(dāng)直線過點(diǎn)時滿足要求，此時，并且向左下方平行運(yùn)動直到相切之前總有公共點(diǎn)，相切時仍然只有一個公共點(diǎn)，
聯(lián)立，得，
，解得，綜上可求得的取值范圍是. ……… 10分
24.（本小題滿分10分）選修4—5：不等式選講
解：（I）不等式，即，
當(dāng)時，即 解得
當(dāng)時，即 解得
當(dāng)時，即無解， 綜上所述 ……… 5分
（Ⅱ），
令
時，，要使不等式恒成立，
只需即. ……… 10分
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