《復(fù)變函數(shù)》練習(xí)題

《《復(fù)變函數(shù)》練習(xí)題》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《《復(fù)變函數(shù)》練習(xí)題（17頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 福師12秋《復(fù)變函數(shù)》練習(xí)題 注： 1、本課程練習(xí)題所提供的答案僅供學(xué)員在學(xué)習(xí)過(guò)程中參考之用，有問(wèn)題請(qǐng)到課程論壇提問(wèn)。 一、單項(xiàng)選擇題 1．2sini=( ) A． B. C． D． 答案：D 2．函數(shù)在復(fù)平面上( ) A．處處不連續(xù) B.處處連續(xù)，處處不可導(dǎo) C.處處連續(xù)，僅在點(diǎn)z=0可導(dǎo) D.處處連續(xù)，僅在點(diǎn)z=0解析 答案：C 3．設(shè)C是繞點(diǎn)的正向簡(jiǎn)單閉曲線，則 ( ) A． B． C． D．0 答案：C 4．,分別是正向圓周與,則 ( ) A． B．cos2 C．

2、0 D．sin2 答案：D 二、填空題 1. 設(shè)，則________。 考核知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)代值。 2．設(shè)是解析函數(shù)．若，則______． 考核知識(shí)點(diǎn)：解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 3. 設(shè)C為正向圓周，則 . 考核知識(shí)點(diǎn)：柯西積分公式。 4．冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為_(kāi)________. 考核知識(shí)點(diǎn)：冪級(jí)數(shù)的收斂半徑。 5. = . 考核知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)的乘冪。 提示： 6．設(shè)為的極點(diǎn)，則____________________． 考核的知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)的極點(diǎn)。 7. 設(shè)，則的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 . 考核知識(shí)點(diǎn)：零點(diǎn)的定義。

3、 8. 函數(shù)在點(diǎn)處的留數(shù)為_(kāi)_____________. 考核知識(shí)點(diǎn)：留數(shù)的定義。 9.方程z5+4z3-1=0在單位圓|z|<1內(nèi)有________個(gè)根. 考核知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)根的求法。 三、判斷題（正確的在括號(hào)內(nèi)打“√”，錯(cuò)的打“”） 1．互為共軛的兩個(gè)復(fù)數(shù)的模相等.（ ） 答案：√ 2．sin z的周期為.（ ） 答案： 3．若函數(shù)f(z)在z0解析，則f(z)在z0連續(xù). ( ) 答案：√ 4．若是的階零點(diǎn)，則是的階極點(diǎn).（ ） 答案：√ 5．函數(shù)在可去奇點(diǎn)處的留數(shù)為0.（ ） 答案： 四、完成下列各題 1.

4、計(jì)算． 考核知識(shí)點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)。 2. 函數(shù)是否為解析函數(shù)？求出其導(dǎo)數(shù). 考核知識(shí)點(diǎn)：解析函數(shù)。 提示：不是解析函數(shù)，因?yàn)闈M(mǎn)足C-R條件的只有兩個(gè)點(diǎn)，不成區(qū)域。 3. 已知u=，求出相應(yīng)的解析函數(shù)f(z)=u+iv. 考核知識(shí)點(diǎn)：解析函數(shù)。 提示：利用柯西-黎曼方程來(lái)求解。 4. 將在以?xún)?nèi)展開(kāi)為羅朗級(jí)數(shù). 考核知識(shí)點(diǎn)：解析函數(shù)的洛朗展式。 5. 已知，求. 考核知識(shí)點(diǎn)：柯西積分公式。 提示： 6. 求在處的泰勒展開(kāi)式. 考核知識(shí)點(diǎn)：泰勒展式。 7. 討論函數(shù)f(z)=的奇點(diǎn)（包括無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)）及其類(lèi)型. 考核的知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)的奇點(diǎn)的類(lèi)型。 提示：令可得，故它為的

5、孤立奇點(diǎn)． 為的一級(jí)零點(diǎn)。 8. 求. 考核知識(shí)點(diǎn)：柯西積分公式。 9. 設(shè)是的共軛調(diào)和函數(shù)，問(wèn)是不是的共軛調(diào)和函數(shù)？判斷并給出理由. 考核知識(shí)點(diǎn)：共軛調(diào)和函數(shù)的定義。 五、用留數(shù)計(jì)算積分：. 考核知識(shí)點(diǎn):用留數(shù)計(jì)算積分。 提示：函數(shù)在的圓周內(nèi)只有一階極點(diǎn)。 六、求把平面的單位圓變?yōu)槠矫娴膯挝粓A的線性變換，使. 考核知識(shí)點(diǎn)：分式線性變換。 提示：由，分式線性變換把變到。 七、證明：若積分路徑不經(jīng)過(guò)，則 考核知識(shí)點(diǎn)：柯西定理。 提示： 積分路徑繞過(guò)，由柯西定理知： 福師12秋《復(fù)變函數(shù)》輔導(dǎo)課件知識(shí)點(diǎn)和例題整理 第一講 知識(shí)點(diǎn)： 第一章

6、復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù) 復(fù)數(shù)的三種表示、(主)輻角、復(fù)數(shù)的運(yùn)算(乘方、開(kāi)方) 第二章 解析函數(shù) 解析、初等多值函數(shù) 在復(fù)平面上處處連續(xù)、0處可導(dǎo)、無(wú)解析性 柯西-黎曼條件 第三章 復(fù)積分的簡(jiǎn)單概念和性質(zhì) 1.柯西積分定理：若函數(shù)在復(fù)平面的單連通區(qū)域內(nèi)解析，則函數(shù)在該連通區(qū)域內(nèi)的任意圍線上的積分等于零。 2.重要積分：a為圍線c(c可以是圓周也可以是任意圍線)內(nèi)部的一點(diǎn) 3.柯西積分公式：函數(shù)f(z)在區(qū)域D上解析，在區(qū)域D及邊界C所成的閉域上連續(xù)，則在邊界C上

7、有 4. 高階導(dǎo)數(shù)公式：函數(shù)f(z)在區(qū)域內(nèi)解析，在閉域上連續(xù)，則在區(qū)域內(nèi)與各階導(dǎo)數(shù) 5.在滿(mǎn)足柯西黎曼條件的兩個(gè)調(diào)和函數(shù)(二元函數(shù)關(guān)于兩個(gè)變量的二階偏導(dǎo)的和為零)u、v中，u稱(chēng)為v的共軛調(diào)和函數(shù)。 從已知解析函數(shù)的實(shí)部求虛部 已知調(diào)和函數(shù)，求共軛調(diào)和函數(shù)。 及解析函數(shù) 第四章 解析函數(shù)的冪級(jí)數(shù)表示法 一個(gè)解析函數(shù)如何在指定點(diǎn)展開(kāi)成一個(gè)冪級(jí)數(shù)（牢記幾個(gè)基本公式） 解析函數(shù)的零點(diǎn)的級(jí)主要通過(guò)“求導(dǎo)”和“表示為

8、 的形式”的方法做。 注意與奇點(diǎn)中極點(diǎn)的級(jí)的判別的對(duì)比、整理。（函數(shù)的零點(diǎn)首先必須是函數(shù)的解析點(diǎn)） 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2。 第五章 解析函數(shù)的羅朗展式與孤立奇點(diǎn) 在內(nèi)展開(kāi)成羅朗級(jí)數(shù) 在內(nèi)展開(kāi)成羅朗級(jí)數(shù) 求 的奇點(diǎn)及類(lèi)型。 且均為一級(jí)零點(diǎn)，從而為f(z)的一級(jí)極點(diǎn)， 因此無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)是非孤立奇點(diǎn)。 第六 章 留數(shù)理論及其應(yīng)用 一、基本概念 注意前提——僅在孤立奇點(diǎn)處，并且區(qū)分有限點(diǎn)和無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，因此，留數(shù)的計(jì)算也區(qū)分有限點(diǎn)和無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)。

9、 二、求留 數(shù)的方法（重點(diǎn)） （一）、在孤立奇點(diǎn)為有限點(diǎn)時(shí) 1、若a為可去奇點(diǎn)，則留數(shù)為0； 2、若a為本質(zhì)奇點(diǎn)，或者a的類(lèi)型不明確，則留數(shù)為函數(shù)的羅朗展式中z-a的-1次冪項(xiàng)系數(shù)①(一般方法)； 3、若a為極點(diǎn)，先求極點(diǎn)的級(jí)數(shù)： 若為一級(jí)極點(diǎn)，則 若為二級(jí)極點(diǎn)，則； 若為n>2級(jí)極點(diǎn)，則 （這個(gè)公式涉及高階導(dǎo)數(shù)公式，并不常用，而更常用一般方法，即①）。 （二）在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)時(shí) 1、當(dāng)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)為f(z)的至少二級(jí)零點(diǎn)時(shí)，留數(shù)為0； 3、一般方法②，即求函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的羅

10、朗展式的z的-1次冪項(xiàng)的系數(shù)的相反數(shù)。 （三）留數(shù)和定理 若函數(shù)在擴(kuò)充復(fù)平面上只有有限個(gè)孤立奇點(diǎn)(包括無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi))，則函數(shù)在各點(diǎn)的留數(shù)總和為零。 f(z)僅有z=a，z=b及無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)三個(gè)孤立奇點(diǎn)， 第二講 知識(shí)點(diǎn)： 三、利用留數(shù)求積分（重點(diǎn)） （一）復(fù)積分 1、Cauchy留數(shù)定理 f(z)在圍線或復(fù)圍線C所圍區(qū)域D內(nèi)，除外解析，在閉域上外連續(xù)，則 四、輻角原理及其應(yīng)用 1、輻角原理：若函數(shù)f(z)在圍線C上解析且不為0，在圍線C內(nèi)部除可能有極點(diǎn)外是解析的，則 2、Rouche定理（又稱(chēng)

11、零點(diǎn)個(gè)數(shù)比較定理）：函數(shù)f(z)與g(z)在圍線C的內(nèi)部均解析且連續(xù)到C，在C上 ,則函數(shù)f(z)與f(z)+g(z)在C的內(nèi)部有同樣多（幾級(jí)算幾個(gè)）的零點(diǎn)，即 第七章 保形變換 1、求將上半平面保形變換為上半平面的分式線性變換——a、b、c、d均為實(shí)數(shù)且ad-bc>0 2、把上半平面保形變換成單位圓內(nèi)部，并把上半z平面的指定的某一點(diǎn)a變?yōu)閣平面單位圓的圓心的分式線性變換 3、把z平面的單位圓保形變換成w平面的單位圓的保形變換，并使指定的z平面的單位圓內(nèi)某一點(diǎn)a變?yōu)閣平面的單位圓圓心的分式線性變換 例題解析： 1、

12、 2、 （二）實(shí)積分 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 求把上半z平面變?yōu)樯蟱半平面，且使0,1, 無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)變?yōu)?,無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)和0的分式線性變換。 方法一 設(shè) 方法二 由交比不變性 10、 求把單位圓變?yōu)閱挝粓A，使1成為不動(dòng)點(diǎn)，使1+i變?yōu)闊o(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的分式線性變換。 11、 求將z平面的單位圓變?yōu)閣平面的單位圓的分式線性變換w=f(z), 并滿(mǎn)足： 解