第二十五章概率學(xué)案

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1、 第二十五章 概率學(xué)案 課題： 25.1 隨機事件 教學(xué)目標(biāo)： 知識技能目標(biāo) 了解必然發(fā)生的事件、不可能發(fā)生的事件、隨機事件的特點. 數(shù)學(xué)思考目標(biāo) 學(xué)生經(jīng)歷體驗、操作、觀察、歸納、總結(jié)的過程,發(fā)展學(xué)生從紛繁復(fù)雜的表 象中，提煉出本質(zhì)特征并加以抽象概括的能力. 解決問題目標(biāo) 能根據(jù)隨機事件的特點,辨別哪些事件是隨機事件. 情感態(tài)度目標(biāo) 引領(lǐng)學(xué)生感受隨機事件就在身邊,增強學(xué)生珍惜機會，把握機會的意識. 教學(xué)重點： 隨機事件的特點. 教學(xué)難點： 判斷現(xiàn)實生活中哪些事件是隨機事件. 教學(xué)過程 <活動一> 【問題情境】 摸球游戲 三個不透明的

2、袋子均裝有10個乒乓球.挑選多名同學(xué)來參加游戲. 游戲規(guī)則 每人每次從自己選擇的袋子中摸出一球,記錄下顏色,放回,攪勻,重復(fù)前面的試驗.每人摸球5次.按照摸出黃色球的次數(shù)排序,次數(shù)最多的為第一名,其次為第二名,最少的為第三名. 【師生行為】 教師事先準(zhǔn)備的三個袋子中分別裝有10個白色的乒乓球；5個白色的乒乓球和5個黃色的乒乓球；10個黃色的乒乓球. 學(xué)生積極參加游戲,通過操作和觀察,歸納猜測出在第1個袋子中摸出黃色球是不可能的,在第2個袋子中能否摸出黃色球是不確定的,在第3個袋子中摸出黃色球是必然的. 教師適時引導(dǎo)學(xué)生歸納出必然發(fā)生的事件、隨機事件、不可能發(fā)生的事件的

3、特點. 【設(shè)計意圖】 通過生動、活潑的游戲,自然而然地引出必然發(fā)生的事件、隨機事件和不可能發(fā)生的事件,不僅能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,并且有利于學(xué)生理解.能夠巧妙地實現(xiàn)從實踐認(rèn)識到理性認(rèn)識的過渡. <活動二> 【問題情境】 指出下列事件中哪些是必然發(fā)生的,哪些是不可能發(fā)生的，哪些是隨機事件？ 1.通常加熱到100C時，水沸騰；必然 2.姚明在罰球線上投籃一次，命中；隨機事件 3.擲一次骰子，向上的一面是6點；隨機事件 4.度量三角形的內(nèi)角和，結(jié)果是360；不可能 5. 經(jīng)過城市中某一有交通信號燈的路口，遇到紅燈；隨機事件 6.某射擊運動員射擊一次，命中靶心；隨機事件 7

4、.太陽東升西落；必然 8.人離開水可以正常生活100天；不可能 9.正月十五雪打燈；隨機事件 10.宇宙飛船的速度比飛機快. 必然 【師生行為】 教師利用多媒體課件演示問題,使問題情境更具生動性. 學(xué)生積極思考,回答問題,進一步夯實必然發(fā)生的事件、隨機事件和不可能發(fā)生的事件的特點.在比較充分的感知下，達(dá)到加深理解的目的. 教師在學(xué)生完成問題后應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)在我們生活的周圍大量地存在著隨機事件. 【設(shè)計意圖】 引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷由實踐認(rèn)識到理性認(rèn)識再重新認(rèn)識實踐問題的過程, 同時引入一些常識問題,使學(xué)生進一步感悟數(shù)學(xué)是認(rèn)識客觀世界的重要工具. <活動三> 【

5、問題情境】 情境1 5名同學(xué)參加講演比賽,以抽簽方式?jīng)Q定每個人的出場順序.簽筒中有5根形狀、大小相同的紙簽,上面分別標(biāo)有出場的序號1,2,3,4,5.小軍首先抽簽,他在看不到紙簽上的數(shù)字的情況下從簽筒中隨機地抽取一根紙簽. 情境2 小偉擲一個質(zhì)地均勻的正方體骰子，骰子的六個面上分別刻有1到6的點數(shù). 在具體情境中列舉不可能發(fā)生的事件、必然發(fā)生的事件和隨機事件. 【師生行為】 學(xué)生首先獨立思考,再把自己的觀點和小組其他同學(xué)交流,并提煉出小組成員列舉的主要事件，在全班發(fā)布. 【設(shè)計意圖】 開放性的問題有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維和創(chuàng)新思維,也有利于學(xué)生加深對學(xué)習(xí)內(nèi)容的理解

6、. <活動四> 【問題情境】 請你列舉一些生活中的必然發(fā)生的事件、隨機事件和不可能發(fā)生的事件. 【師生行為】 教師引導(dǎo)學(xué)生充分交流，熱烈討論. 【設(shè)計意圖】 隨機事件在現(xiàn)實世界中廣泛存在.通過讓學(xué)生自己找到大量豐富多彩的實例，使學(xué)生從不同側(cè)面、不同視角進一步深化對隨機事件的理解與認(rèn)識. <活動五> 【問題情境】 李寧運動品牌打出的口號是“一切皆有可能”，請你談?wù)剬@句話的理解. 【師生行為】 教師注意引導(dǎo)學(xué)生獨立思考,交流合作,提升學(xué)生對問題的理解與判斷能力. 【設(shè)計意圖】 有意識地引領(lǐng)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度重新審視現(xiàn)實世界，初步感悟辯證統(tǒng)一的思想. <活動六>

7、 【問題情境】 歸納、小結(jié) 布置作業(yè) 設(shè)計一個摸球游戲,要求對甲乙公平. 【師生行為】 學(xué)生反思、討論. 學(xué)生在設(shè)計游戲的過程中，進一步感悟隨機事件的特點.作業(yè)的開放性為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了更大的學(xué)習(xí)空間. 【設(shè)計意圖】 課堂小結(jié)采取學(xué)生反思匯報形式,幫助學(xué)生形成較完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu).作業(yè)使課堂內(nèi)容得以豐富和延展. 教 學(xué) 設(shè) 計 說 明 現(xiàn)實生活中存在著大量的隨機事件，而概率正是研究隨機事件的一門學(xué)科.本課是“概率初步”一章的第一節(jié)課.教學(xué)中，教師首先以一個學(xué)生喜聞樂見的摸球游戲為背景，通過試驗與分析，使學(xué)生體驗有些事件的發(fā)生是必然的、有些是不確定的、有些是不可

8、能的，引出必然發(fā)生的事件、隨機事件、不可能發(fā)生的事件.然后，通過對不同事件的分析判斷，讓學(xué)生進一步理解必然發(fā)生的事件、隨機事件、不可能發(fā)生的事件的特點.結(jié)合具體問題情境，引領(lǐng)學(xué)生設(shè)計提出必然發(fā)生的事件、隨機事件、不可能發(fā)生的事件，具有相當(dāng)?shù)拈_放度，鼓勵學(xué)生的逆向思維與創(chuàng)新思維，在一定程度上滿足了不同層次學(xué)生的學(xué)習(xí)需要. 做游戲是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)最好的方法之一，根據(jù)本節(jié)課內(nèi)容的特點，教師設(shè)計了摸球游戲，力求引領(lǐng)學(xué)生在游戲中形成新認(rèn)識，學(xué)習(xí)新概念，獲得新知識，充分調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，體現(xiàn)了學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性.在游戲中參與數(shù)學(xué)活動，在游戲中分析、歸納、合作、思考，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)道理.在快樂輕松的學(xué)習(xí)氛圍中

9、，顯性目標(biāo)和隱性目標(biāo)自然達(dá)成,在一定程度上,開創(chuàng)了一個嶄新的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)模式. 課題: 25.1.2 概率的意義 教學(xué)目標(biāo): 〈一〉知識與技能 1.知道通過大量重復(fù)試驗時的頻率可以作為事件發(fā)生概率的估計值 2.在具體情境中了解概率的意義 〈二〉教學(xué)思考 讓學(xué)生經(jīng)歷猜想試驗--收集數(shù)據(jù)--分析結(jié)果的探索過程，豐富對隨機現(xiàn)象的體驗，體會概率是描述不確定現(xiàn)象規(guī)律的數(shù)學(xué)模型.初步理解頻率與概率的關(guān)系. 〈三〉解決問題 在分組合作學(xué)習(xí)過程中積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，發(fā)展學(xué)生合作交流的意識與能力.鍛煉質(zhì)疑、獨立思考的習(xí)慣與精神，幫助學(xué)生逐步建立正確的隨機觀念. 〈四〉情感態(tài)度與價值觀 在

10、合作探究學(xué)習(xí)過程中，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的好奇心與求知欲.體驗數(shù)學(xué)的價值與學(xué)習(xí)的樂趣.通過概率意義教學(xué)，滲透辯證思想教育. 【教學(xué)重點】在具體情境中了解概率意義. 【教學(xué)難點】對頻率與概率關(guān)系的初步理解 【教具準(zhǔn)備】壹元硬幣數(shù)枚、圖釘數(shù)枚、多媒體課件 【教學(xué)過程】 一、創(chuàng)設(shè)情境，引出問題 教師提出問題：周末市體育場有一場精彩的籃球比賽，老師手中只有一張球票，小強與小明都是班里的籃球迷，兩人都想去.我很為難，真不知該把球給誰.請大家?guī)臀蚁雮€辦法來決定把球票給誰. 學(xué)生：抓鬮、抽簽、猜拳、投硬幣，…… 教師對同學(xué)的較好想法予以肯定.（學(xué)生肯定有許多較好的想法，在眾多方法中推舉出大家較認(rèn)可的

11、方法.如抓鬮、投硬幣） 追問，為什么要用抓鬮、投硬幣的方法呢？ 由學(xué)生討論：這樣做公平.能保證小強與小明得到球票的可能性一樣大 在學(xué)生討論發(fā)言后，教師評價歸納. 用拋擲硬幣的方法分配球票是個隨機事件，盡管事先不能確定“正面朝上”還上“反面朝上”，但同學(xué)們很容易感覺到或猜到這兩個隨機事件發(fā)生的可能性是一樣的，各占一半，所以小強、小明得到球票的可能性一樣大. 質(zhì)疑：那么，這種直覺是否真的是正確的呢？ 引導(dǎo)學(xué)生以投擲壹元硬幣為例，不妨動手做投擲硬幣的試驗來驗證一下. 說明：現(xiàn)實中不確定現(xiàn)象是大量存在的， 新課標(biāo)指出：“學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容應(yīng)當(dāng)是現(xiàn)實的、有意義、富有挑戰(zhàn)的”，設(shè)置實際生活問

12、題情境貼近學(xué)生的生活實際，很容易激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，教師應(yīng)對此予以肯定，并鼓勵學(xué)生積極思考，為課堂教學(xué)營造民主和諧的氣氛，也為下一步引導(dǎo)學(xué)生開展探索交流活動打下基礎(chǔ). 二 、動手實踐，合作探究 1．教師布置試驗任務(wù). （1）明確規(guī)則. 把全班分成10組，每組中有一名學(xué)生投擲硬幣，另一名同學(xué)作記錄，其余同學(xué)觀察試驗必須在同樣條件下進行. （2）明確任務(wù)，每組擲幣50次，以實事求是的態(tài)度，認(rèn)真統(tǒng)計“正面朝上” 的頻數(shù)及 “正面朝上”的頻率，整理試驗的數(shù)據(jù),并記錄下來.. 2．教師巡視學(xué)生分組試驗情況. 注意： （1）．觀察學(xué)生在探究活動中，是否積極參與試驗活動、是否愿意交流等，關(guān)注

13、學(xué)生是否積極思考、勇于克服困難. （2）．要求真實記錄試驗情況.對于合作學(xué)習(xí)中有可能產(chǎn)生的紀(jì)律問題予以調(diào)控. 3.各組匯報實驗結(jié)果. 由于試驗次數(shù)較少，所以有可能有些組試驗獲得的“正面朝上”的頻率與先前的猜想有出入. 提出問題：是不是我們的猜想出了問題？引導(dǎo)學(xué)生分析討論產(chǎn)生差異的原因. 在學(xué)生充分討論的基礎(chǔ)上，啟發(fā)學(xué)生分析討論產(chǎn)生差異的原因.使學(xué)生認(rèn)識到每次隨機試驗的頻率具有不確定性，同時相信隨機事件發(fā)生的頻率也有規(guī)律性， 引導(dǎo)他們小組合作，進一步探究. 解決的辦法是增加試驗的次數(shù)，鑒于課堂時間有限，引導(dǎo)學(xué)生進行全班交流合作. 4．全班交流. 把各組測得數(shù)據(jù)一一匯報，教師將各

14、組數(shù)據(jù)記錄在黑板上.全班同學(xué)對數(shù)據(jù)進行累計，按照書上P140要求填好25-2.并根據(jù)所整理的數(shù)據(jù)，在25.1-1圖上標(biāo)注出對應(yīng)的點,完成統(tǒng)計圖. 表25-2 拋擲次數(shù) 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 “正面向上”的頻數(shù) “正面向上”的頻率 0.5 1 正面向上的頻率 投擲次數(shù)n 100 50 250 150 500 450 300 350 200 圖25.1-1

15、 想一想1（投影出示）. 觀察統(tǒng)計表與統(tǒng)計圖，你發(fā)現(xiàn)“正面向上”的頻率有什么規(guī)律？ 注意學(xué)生的語言表述情況，意思正確予以肯定與鼓勵.“正面朝上”的頻率在0.5上下波動. 想一想2（投影出示） 隨著拋擲次數(shù)增加，“正面向上”的頻率變化趨勢有何規(guī)律？ 在學(xué)生討論的基礎(chǔ)上，教師幫助歸納.使學(xué)生認(rèn)識到每次試驗中隨機事件發(fā)生的頻率具有不確定性，同時發(fā)現(xiàn)隨機事件發(fā)生的頻率也有規(guī)律性.在試驗次數(shù)較少時，“正面朝上”的頻率起伏較大，而隨著試驗次數(shù)的逐漸增加，一般地，頻率會趨于穩(wěn)定，“正面朝上”的頻率越來越接近0.5. 這也與我們剛開始的猜想是一致的.我們就用0.5這個常數(shù)表示“正面向上”發(fā)生的可

16、能性的大小. 說明：注意幫助解決學(xué)生在填寫統(tǒng)計表與統(tǒng)計圖遇到的困難.通過以上實踐探究活動，讓學(xué)生真實地感受到、清楚地觀察到試驗所體現(xiàn)的規(guī)律，即大量重復(fù)試驗事件發(fā)生的頻率接近事件發(fā)生的可能性的大?。ǜ怕剩?鼓勵學(xué)生在學(xué)習(xí)中要積極合作交流，思考探究.學(xué)會傾聽別人意見，勇于表達(dá)自己的見解. 為了給學(xué)生提供大量的、快捷的試驗數(shù)據(jù),利用計算機模擬擲硬幣試驗的課件，豐富學(xué)生的體驗、提高課堂教學(xué)效率，使他們能直觀地、便捷地觀察到試驗結(jié)果的規(guī)律性--大量重復(fù)試驗中，事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定到某個常數(shù)附近 . 其實，歷史上有許多著名數(shù)學(xué)家也做過擲硬幣的試驗.讓學(xué)生閱讀歷史上數(shù)學(xué)家做擲幣試驗的數(shù)據(jù)統(tǒng)計

17、表（看書P141表25-3）. 表25-3 試驗者 拋擲次數(shù)（n） “正面朝上”次數(shù)（m） “正面向上”頻率（m/n） 棣莫弗 2048 1061 0.518 布豐 4040 2048 0.5069 費勒 10000 4979 0.4979 皮爾遜 12000 6019 0.5016 皮爾遜 24000 12012 0.5005 通過以上學(xué)生親自動手實踐,電腦輔助演示,歷史材料展示, 讓學(xué)生真實地感受到、清楚地觀察到試驗所體現(xiàn)的規(guī)律，大量重復(fù)試驗中，事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定到某個常數(shù)附近,即大量重復(fù)試驗事件發(fā)生的頻率接近事件發(fā)生的可能性的大

18、?。ǜ怕剩?同時,又感受到無論試驗次數(shù)多么大,也無法保證事件發(fā)生的頻率充分地接近事件發(fā)生的概率. 在探究學(xué)習(xí)過程中,應(yīng)注意評價學(xué)生在活動中參與程度、自信心、是否愿意交流等，鼓勵學(xué)生在學(xué)習(xí)中不怕困難積極思考，敢于表達(dá)自己的觀點與感受,養(yǎng)成實事求是的科學(xué)態(tài)度. 5.下面我們能否研究一下“反面向上”的頻率情況？ 學(xué)生自然可依照“正面朝上”的研究方法，很容易總結(jié)得出：“反面向上”的頻率也相應(yīng)穩(wěn)定到0.5. 教師歸納： （1）由以上試驗，我們驗證了開始的猜想，即拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣時，“正面向上”與“反面向上”的可能性相等（各占一半）.也就是說，用拋擲硬幣的方法可以使小明與小強得到球票的可能

19、性一樣. （2）在實際生活還有許多這樣的例子，如在足球比賽中，裁判用擲硬幣的辦法來決定雙方的比賽場地等等. 說明：這個環(huán)節(jié)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷了猜想試驗——收集數(shù)據(jù)——分析結(jié)果的探索過程，在真實數(shù)據(jù)的分析中形成數(shù)學(xué)思考，在討論交流中達(dá)成知識的主動建構(gòu)，為下一環(huán)節(jié)概率意義的教學(xué)作了很好的鋪墊. 三、評價概括，揭示新知 問題1.通過以上大量試驗，你對頻率有什么新的認(rèn)識？有沒有發(fā)現(xiàn)頻率還有其他作用？ 學(xué)生探究交流.發(fā)現(xiàn)隨機事件的可能性的大小可以用隨機事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定到的值（或常數(shù)）估計或去描述. 通過猜想試驗及探究討論，學(xué)生不難有以上認(rèn)識.對學(xué)生可能存在語言上、描述中的不準(zhǔn)確等注意予以

20、糾正，但要求不必過高. 歸納：以上我們用隨機事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定到的常數(shù)刻畫了隨機事件的可能性的大小. 那么我們給這樣的常數(shù)一個名稱，引入概率定義.給出概率定義（板書）：一般地，在大量重復(fù)試驗中，如果事件A發(fā)生的頻率會穩(wěn)定在某個常數(shù)p附近，那么這個常數(shù)p就叫做事件A的概率（probability）, 記作P（A）= p. 注意指出： 1．概率是隨機事件發(fā)生的可能性的大小的數(shù)量反映. 2．概率是事件在大量重復(fù)試驗中頻率逐漸穩(wěn)定到的值，即可以用大量重復(fù)試驗中事件發(fā)生的頻率去估計得到事件發(fā)生的概率，但二者不能簡單地等同. 想一想(學(xué)生交流討論) 問題2．頻率與概率有什么區(qū)別與聯(lián)系

21、? 從定義可以得到二者的聯(lián)系, 可用大量重復(fù)試驗中事件發(fā)生頻率來估計事件發(fā)生的概率.另一方面,大量重復(fù)試驗中事件發(fā)生的頻率穩(wěn)定在某個常數(shù)(事件發(fā)生的概率)附近，說明概率是個定值,而頻率隨不同試驗次數(shù)而有所不同,是概率的近似值,二者不能簡單地等同. 說明：猜想試驗、分析討論、合作探究的學(xué)習(xí)方式十分有益于學(xué)生對概率意義的理解，使之明確頻率與概率的聯(lián)系，也使本節(jié)課教學(xué)重難點得以突破.為下節(jié)課進一步研究概率和今后的學(xué)習(xí)打下了基礎(chǔ). 當(dāng)然，學(xué)生隨機觀念的養(yǎng)成是循序漸進的、長期的.這節(jié)課教學(xué)應(yīng)把握教學(xué)難度，注意關(guān)注學(xué)生接受情況. 四．練習(xí)鞏固，發(fā)展提高. 學(xué)生練習(xí) 1．書上P143.練習(xí).1.

22、 鞏固用頻率估計概率的方法. 2．書上P143.練習(xí).2 鞏固對概率意義的理解. 教師應(yīng)當(dāng)關(guān)注學(xué)生對知識掌握情況，幫助學(xué)生解決遇到的問題. 五．歸納總結(jié)，交流收獲： 1．學(xué)生互相交流這節(jié)課的體會與收獲，教師可將學(xué)生的總結(jié)與板書串一起，使學(xué)生對知識掌握條理化、系統(tǒng)化. 2．在學(xué)生交流總結(jié)時，還應(yīng)注意總結(jié)評價這節(jié)課所經(jīng)歷的探索過程，體會到的數(shù)學(xué)價值與合作交流學(xué)習(xí)的意義. 【作業(yè)設(shè)計】 （1）完成P144 習(xí)題25.1 2、4 （2）課外活動分小組活動，用試驗方法獲得圖釘從一定高度落下后釘尖著地的概率. 【教學(xué)設(shè)計說明】 這節(jié)課是在學(xué)習(xí)了25.1.1節(jié)隨機事件的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)

23、的，學(xué)生通過大量重復(fù)試驗，體驗用事件發(fā)生的頻率去刻畫事件發(fā)生的可能性大小，從而得到概率的定義. 1．對概率意義的正確理解，是建立在學(xué)生通過大量重復(fù)試驗后，發(fā)現(xiàn)事件發(fā)生的頻率可以刻畫隨機事件發(fā)生可能性的基礎(chǔ)上.結(jié)合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律與教材特點，這節(jié)課以用擲硬幣方法分配球票為問題情境，引導(dǎo)學(xué)生親身經(jīng)歷猜測試驗—收集數(shù)據(jù)—分析結(jié)果的探索過程.這符合《新課標(biāo)》“從學(xué)生已有生活經(jīng)驗出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實際問題抽象為數(shù)學(xué)模型并進行解釋與應(yīng)用的過程”的理念. 貼近生活現(xiàn)實的問題情境，不僅易于激發(fā)學(xué)生的求知欲與探索熱情，而且會促進他們面對要解決的問題大膽猜想，主動試驗，收集數(shù)據(jù)，分析結(jié)果，為尋求問題解決主動與

24、他人交流合作.在知識的主動建構(gòu)過程中，促進了教學(xué)目標(biāo)的有效達(dá)成.更重要的是，主動參與數(shù)學(xué)活動的經(jīng)歷會使他們終身受益. 2．隨機現(xiàn)象是現(xiàn)實世界中普遍存在的，概率的教學(xué)的一個很重要的目標(biāo)就是培養(yǎng)學(xué)生的隨機觀念.為了實現(xiàn)這一目標(biāo)，教學(xué)設(shè)計中讓學(xué)生親身經(jīng)歷對隨機事件的探索過程，通過與他人合作探究，使學(xué)生自我主動修正錯誤經(jīng)驗，揭示頻率與概率的關(guān)系，從而逐步建立正確的隨機觀念，也為以后進一步學(xué)習(xí)概率有關(guān)知識打下基礎(chǔ). 3．在教學(xué)中，本課力求向?qū)W生提供從事數(shù)學(xué)活動的時間與空間，為學(xué)生的自主探索與同伴的合作交流提供保障，從而促進學(xué)生學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變，使之獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.教師在學(xué)習(xí)活動中是組織者、引導(dǎo)

25、者與合作者，應(yīng)注意評價學(xué)生在活動中參與程度、自信心、是否愿意交流等，給學(xué)生以適時的引導(dǎo)與鼓勵. 課題: 25.2 列舉法求概率 教學(xué)目標(biāo)： 知識與技能目標(biāo) 學(xué)習(xí)用列表法、畫樹形圖法計算概率，并通過比較概率大小作出合理的決策。 過程與方法目標(biāo) 經(jīng)歷實驗、列表、統(tǒng)計、運算、設(shè)計等活動，學(xué)生在具體情境中分析事件，計算其發(fā)生的概率。滲透數(shù)形結(jié)合，分類討論，由特殊到一般的思想，提高分析問題和解決問題的能力。 情感與態(tài)度目標(biāo) 通過豐富的數(shù)學(xué)活動，交流成功的經(jīng)驗，體驗數(shù)學(xué)活動充滿著探索和創(chuàng)造，體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，培養(yǎng)積極思維的學(xué)習(xí)習(xí)慣。 教學(xué)重點： 習(xí)

26、運用列表法或樹形圖法計算事件的概率。 教學(xué)難點： 能根據(jù)不同情況選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟM行列舉，解決較復(fù)雜事件概率的計算問題。 教學(xué)過程 1.創(chuàng)設(shè)情景，發(fā)現(xiàn)新知 教材是通過P151—P152的例5、例6來介紹列表法和樹形圖法的。 例5（教材P151）：同時擲兩個質(zhì)地均勻的骰子，計算下列事件的概率： (1) 兩個骰子的點數(shù)相同； (2) 兩個骰子的點數(shù)的和是9； (3) 至少有一個骰子的點數(shù)為2。 這個例題難度較大，事件可能出現(xiàn)的結(jié)果有36種。若首先就拿這個例題給學(xué)生講解，大多數(shù)學(xué)生理解起來會比較困難。所以在這里，我將新課的引入方式改為了一個有實際背景的轉(zhuǎn)盤游戲（前一課已有例２作基

27、礎(chǔ)）。 （1）創(chuàng)設(shè)情景 引例：為活躍聯(lián)歡晚會的氣氛，組織者設(shè)計了以下轉(zhuǎn)盤游戲：A、B兩個帶指針的轉(zhuǎn)盤分別被分成三個面積相等的扇形，轉(zhuǎn)盤A上的數(shù)字分別是1，6，8，轉(zhuǎn)盤B上的數(shù)字分別是4，5，7（兩個轉(zhuǎn)盤除表面數(shù)字不同外，其他完全相同）。每次選擇2名同學(xué)分別撥動A、B兩個轉(zhuǎn)盤上的指針，使之產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)，指針停止后所指數(shù)字較大的一方為獲勝者，負(fù)者則表演一個節(jié)目（若箭頭恰好停留在分界線上，則重轉(zhuǎn)一次）。作為游戲者，你會選擇哪個裝置呢？并請說明理由。 1 6 8 A 4 5 7 B 圖2 聯(lián)歡晚會游戲轉(zhuǎn)盤

28、 【設(shè)計意圖】 選用這個引例，是基于以下考慮：以貼近學(xué)生生活的聯(lián)歡晚會為背景，創(chuàng)設(shè)轉(zhuǎn)盤游戲引入，能在最短時間內(nèi)激發(fā)學(xué)生的興趣，引起學(xué)生高度的注意力，進入情境。 （2）學(xué)生分組討論，探索交流 在這個環(huán)節(jié)里，首先要求學(xué)生分組討論，探索交流。然后引導(dǎo)學(xué)生將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，即： “停止轉(zhuǎn)動后，哪個轉(zhuǎn)盤指針?biāo)笖?shù)字較大的可能性更大呢？” 由于事件的隨機性，我們必須考慮事件發(fā)生概率的大小。此時我首先引導(dǎo)學(xué)生觀看轉(zhuǎn)盤動畫，同學(xué)們會發(fā)現(xiàn)這個游戲涉及A、B兩轉(zhuǎn)盤， 即

29、涉及2個因素，與前一課所講授單轉(zhuǎn)盤概率問題（教材P148例2）相比，可能產(chǎn)生的結(jié)果數(shù)目增多了，列舉時很容易造成重復(fù)或遺漏。怎樣避免這個問題呢？ 實際上，可以將這個游戲分兩步進行。 于是，指導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造表格 （3）指導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造表格 A B 4 5 7 1 (1,4) 1,5 1,7 6 6,4 6,5 6,7 8 8,4 8,5 8,7 首先考慮轉(zhuǎn)動A盤：指針可能指向1，6，8三個數(shù)字中的任意一個，可能出現(xiàn)的結(jié)果就會有3個。接著考慮轉(zhuǎn)動B盤：當(dāng)A盤指針指向1時，B盤指針可能指向4、5、7三個數(shù)字中的任意一個，這是列舉法的簡單情況。當(dāng)A盤指針指向6

30、或8時，B盤指針同樣可能指向4、5、7三個數(shù)字中的任意一個。一共會產(chǎn)生9種不同的結(jié)果。 【設(shè)計意圖】　這樣既分散了難點，又激發(fā)了學(xué)生興趣，滲透了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。 （4）學(xué)生獨立填寫表格，通過觀察與計算，得出結(jié)論（即列表法） A B 4 5 7 1 （1，4） （1，5） （1，7） 6 （6，4） （6，5） （6，7） 8 （8，4） （8，5） （8，7） 從表中可以發(fā)現(xiàn)：A盤數(shù)字大于B盤數(shù)字的結(jié)果共有5種。 ∴P(A數(shù)較大)= , P(B數(shù)較大)=. ∴P(A數(shù)較大)＞ P(B數(shù)較大) ∴選擇A裝

31、置的獲勝可能性較大。 在學(xué)生填寫表格過程中，注意向?qū)W生強調(diào)數(shù)對的有序性。 由于游戲是分兩步進行的，我們也可用其他的方法來列舉。即先轉(zhuǎn)動Ａ盤，可能出現(xiàn)1，6，8三種結(jié)果；第二步考慮轉(zhuǎn)動Ｂ盤，可能出現(xiàn)4，5，7三種結(jié)果。 1 6 8 開始 A裝置 4 5 7 4 5 7 4 5 7 B裝置 （5）解法二： 　　 由圖知：可能的結(jié)果為： （1，4），（1，5），（1，7）， 　　　　　　　　　　　　　?。?，4），（6，5），（6，7）， 　　　　　　　　　　　　　?。?，4），（

32、8，5），（8，7）。共計9種。 ∴P(A數(shù)較大)= , P(B數(shù)較大)=. ∴P(A數(shù)較大)＞ P(B數(shù)較大) ∴選擇A裝置的獲勝可能性較大。 然后，引導(dǎo)學(xué)生對所畫圖形進行觀察：若將圖形倒置，你會聯(lián)想到什么？這個圖形很像一棵樹，所以稱為樹形圖（在幻燈片上放映）。列表和樹形圖是列舉法求概率的兩種常用的方法。 【設(shè)計意圖】自然地學(xué)生感染了分類計數(shù)和分步計數(shù)思想。 2.自主分析，再探新知 通過引例的分析，學(xué)生對列表法和樹形圖法求概率有了初步的了解，為了幫助學(xué)生熟練掌握這兩種方法，我選用了下列兩道例題（本節(jié)教材P151—P152的例5和例6）。 例1：同時擲兩個質(zhì)地

33、均勻的骰子，計算下列事件的概率： (1) 兩個骰子的點數(shù)相同； (2) 兩個骰子的點數(shù)的和是9； (3) 至少有一個骰子的點數(shù)為2。 例1是教材上一道“擲骰子”的問題，有了引例作基礎(chǔ)，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)：引例涉及兩個轉(zhuǎn)盤，這里涉及兩個骰子，實質(zhì)都是涉及兩個因素。于是，學(xué)生通過類比列出下列表。 第2個 第1個 1 2 3 4 5 6 1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6） 2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6） 3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4）

34、 （3，5） （3，6） 4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6） 5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6） 6 （6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6） 　由上表可以看出，同時擲兩個骰子，可能出現(xiàn)的結(jié)果有36個，它們出現(xiàn)的可能性相等。由所列表格可以發(fā)現(xiàn)： （1）滿足兩個骰子的點數(shù)相同（記為事件A）的結(jié)果有6個，即（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6），所以P(A)==。 [滿足條件的結(jié)果在表格的對角線上] （2

35、）滿足兩個骰子的點數(shù)的和是9（記為事件B）的結(jié)果有4個，即（3，6），（4，5），（5，4），（6，3），所以P(B)==。 [滿足條件的結(jié)果在（3，6）和（6，3）所在的斜線上] （3）至少有一個骰子的點數(shù)為2（記為事件C）的結(jié)果有11個，所以P(C)=。 [滿足條件的結(jié)果在數(shù)字2所在行和2所在的列上] 接著，引導(dǎo)學(xué)生進行題后小結(jié)： 當(dāng)一個事件要涉及兩個因素并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時，通常采用列表法。運用列表法求概率的步驟如下： ①列表 ； ②通過表格計數(shù)，確定公式P(A)=中m和n的值； ③利用公式P(A)=計算事件的概率。 分析到這里，我會問學(xué)生：“例1題目中的“擲

36、兩個骰子”改為“擲三個骰子”，還可以使用列表法來做嗎？”由此引出下一個例題。 例2： 甲口袋中裝有2個相同的球，它們分別寫有字母A和B；乙口袋中3個相同的球，它們分別寫有字母C、D和E；丙口袋中2個相同的球，它們分別寫有字母H和I。從三個口袋中各隨機地取出1個球。 （1）取出的三個球上恰好有1個、2個和3個元音字母的概率分別為多少？ （2）取出的三個球上全是輔音字母的概率是多少？ 例2與前面兩題比較，有所不同：要從三個袋子里摸球，即涉及到3個因素。此時同學(xué)們會發(fā)現(xiàn)用列表法就不太方便，可以嘗試樹形圖法。 本游戲可分三步進行。分步畫圖和分類排列相關(guān)的結(jié)論是解題的關(guān)鍵。 A C

37、D E H I H I H I B C D E H I H I H I 甲 乙 丙 A C H A C I A D H A D I A E H A E I B C H B D H B D I B E H B E I B C I 從圖形上可以看出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有12個，即： （幻燈片上用顏色區(qū)分） 這些結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等。 （1）只有一個元音字母的結(jié)果（黃色）有5個，即ACH，ADH，BCI，BDI，BEH，所以； 有兩個元音的結(jié)果（白色）有4

38、個，即ACI，ADI，AEH，BEI，所以； 全部為元音字母的結(jié)果（綠色）只有1個，即AEI ，所以。 （2）全是輔音字母的結(jié)果（紅色）共有2個，即BCH，BDH，所以。 通過例2的解答，很容易得出題后小結(jié)： 當(dāng)一次試驗要涉及3個或更多的因素時，通常采用“畫樹形圖”。運用樹形圖法 求概率的步驟如下：（幻燈片） ①畫樹形圖 ； ②列出結(jié)果，確定公式P(A)=中m和n的值； ③利用公式P(A)=計算事件概率。 接著我向?qū)W生提問：到現(xiàn)在為止，我們所學(xué)過的用列舉法求概率分為哪幾種情況？ 列表法和畫樹形圖法求概率有什么優(yōu)越性？什么時候使用“列表法”方便，什么時候使用“樹形圖法”更好呢

39、？ 【設(shè)計意圖】 通過對上述問題的思考，可以加深學(xué)生對新方法的理解，更好的認(rèn)識到列表法和畫樹形圖法求概率的優(yōu)越性在于能夠直觀、快捷、準(zhǔn)確地獲取所需信息，有利于學(xué)生根據(jù)實際情況選擇正確的方法。 3.應(yīng)用新知，深化拓展 為了檢驗學(xué)生對列表法和畫樹形圖法的掌握情況，提高應(yīng)用所學(xué)知識解決問題的能力，在此我選擇了教材P154課后練習(xí)作為隨堂練習(xí)。 （1）經(jīng)過某十字路口的汽車，它可能繼續(xù)前行，也可能向左或向右，如果這三種可能性大小相同。三輛汽車經(jīng)過這個十字路口，求下列事件的概率： ①三輛車全部繼續(xù)前行； ②兩輛車向右轉(zhuǎn)，一輛車向左轉(zhuǎn)； ③至少b。 [隨堂練習(xí)（1）是一道與實際生活相關(guān)的交通

40、問題，可用樹形圖法來解決。] （2）在6張卡片上分別寫有1——6的整數(shù)，隨機地抽取一張后放回，再隨機地抽取一張，那么第二次取出的數(shù)字能夠整除第一次取出的數(shù)字的概率是多少？ 通過解答隨堂練習(xí)（2），學(xué)生會發(fā)現(xiàn)列出的表格和例1的表格完全一樣。不同的是：變換了實際背景，設(shè)置的問題也不一樣。這時，我提出：我們是否可以根據(jù)這個表格再編一道用列舉法求概率的題目來呢？ 為了進一步拓展思維，我向?qū)W生提出了這樣一個問題，供學(xué)生課后思考： 在前面的引例中，轉(zhuǎn)盤的游戲規(guī)則是不公平的，你能把它改成一個公平的游戲嗎？ 【設(shè)計意圖】 以上問題的提出和解決有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，做到舉一反三，融會貫通。

41、4.歸納總結(jié)，形成能力 我將引導(dǎo)學(xué)生從知識、方法、情感三方面來談一談這節(jié)課的收獲。要求每個學(xué)生在組內(nèi)交流，派小組代表發(fā)言。 【設(shè)計意圖】 通過這個環(huán)節(jié)，可以提高學(xué)生概括能力、表達(dá)能力，有助于學(xué)生全面地了解自己的學(xué)習(xí)過程，感受自己的成長與進步，增強自信，也為教師全面了解學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況、因材施教提供了重要依據(jù)。 5.布置作業(yè)，鞏固提高 考慮到學(xué)生的個體差異，為促使每一個學(xué)生得到不同的發(fā)展，同時促進學(xué)生對自己的學(xué)習(xí)進行反思，在第五個環(huán)節(jié)“布置作業(yè)，鞏固提高”里作如下安排： （1）必做題：書本P154/ 3，P155/ 4，5 （2）選做題： ①請設(shè)計一個游戲，并用列舉法計算游戲者獲勝的

42、概率。 ②研究性課題：通過調(diào)查學(xué)校周圍道路的交通狀況，為交通部門提出合理的建議等。 【設(shè)計意圖】 通過教學(xué)實踐作業(yè)和社會實踐活動，引導(dǎo)學(xué)生靈活運用所學(xué)知識，讓學(xué)生把動腦、動口、動手三者結(jié)合起來，啟發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，培養(yǎng)協(xié)作精神和科學(xué)的態(tài)度。 25．3 利用頻率估計概率 疑難分析： 1．當(dāng)試驗的可能結(jié)果不是有限個，或各種結(jié)果發(fā)生的可能性不相等時，一般用統(tǒng)計頻率的方法來估計概率． 2．利用頻率估計概率的數(shù)學(xué)依據(jù)是大數(shù)定律：當(dāng)試驗次數(shù)很大時，隨機事件A出現(xiàn)的頻率，穩(wěn)定地在某個數(shù)值P附近擺動．這個穩(wěn)定值P，叫做隨機事件A的概率，并記為P(A)=P． 3．利用頻

43、率估計出的概率是近似值. 例題選講 例1 某籃球運動員在最近的幾場大賽中罰球投籃的結(jié)果如下： 投籃次數(shù)n 8 10 12 9 16 10 進球次數(shù)m 6 8 9 7 12 7 進球頻率 0.75 0.8 0.75 0.78 0.75 0.7 　　(1)計算表中各次比賽進球的頻率； 　　(2)這位運動員投籃一次，進球的概率約為多少？0.75 解答：（1）0.75,0.8,0.75,0.78,0.75,0.7； （2）0.75． 評注：本題中將同一運動員在不同比賽中的投籃視為同等條件下的重復(fù)試驗，所求出的概率只是近似值． 例2 某商場設(shè)立

44、了一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤(如圖)，并規(guī)定：顧客購物10元以上能獲得一次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的機會，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止時，指針落在哪一區(qū)域就可以獲得相應(yīng)的獎品，下表是活動進行中的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)： (1) 計算并完成表格： 轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的次數(shù)n 100 150 200 500 800 1000 落在“鉛筆”的次數(shù)m 68 111 136 345 546 701 落在“鉛筆”的頻率 0.68 0.74 0.68 0.69 0.6825 0.701 (2) 請估計，當(dāng)很大時，頻率將會接近多少？0.69 (3) 轉(zhuǎn)動該轉(zhuǎn)盤一次，獲得鉛筆的概率約是多少？0.69 (4) 在該轉(zhuǎn)盤中

45、，標(biāo)有“鉛筆”區(qū)域的扇形的圓心角大約是多少？(精確到1) 248度 解答：（1）0.68、0.74、0.68、0.69、0.6825、0.701； （2）0.69； （3）0.69； （4）0.69360≈248． 評注：（1）試驗的次數(shù)越多，所得的頻率越能反映概率的大?。唬?）頻數(shù)分布表、扇形圖、條形圖、直方圖都能較好地反映頻數(shù)、頻率的分布情況，我們可以利用它們所提供的信息估計概率． 基礎(chǔ)訓(xùn)練 一、選一選（請將唯一正確答案的代號填入題后的括號內(nèi)） 1．盒子中有白色乒乓球8個和黃色乒乓球若干個，為求得盒中黃色乒乓球的個數(shù)，某同學(xué)進行了如下實驗：每次摸出一個乒乓球記下它的顏色，如

46、此重復(fù)360次，摸出白色乒乓球90次，則黃色乒乓球的個數(shù)估計為 ( B ) A．90個 B．24個 C．70個 D．32個 2．從生產(chǎn)的一批螺釘中抽取1000個進行質(zhì)量檢查，結(jié)果發(fā)現(xiàn)有5個是次品，那么從中任取1個是次品概率約為（ B ）． A． B． C． D． 3．下列說法正確的是(B )． A．拋一枚硬幣正面朝上的機會與拋一枚圖釘釘尖著地的機會一樣大； B．為了解漢口火車站某一天中通過的列車車輛數(shù)，可采用全面調(diào)查的方式進行； C．彩票中獎的機會是1％，買100張一定會中獎；

47、 D．中學(xué)生小亮，對他所在的那棟住宅樓的家庭進行調(diào)查，發(fā)現(xiàn)擁有空調(diào)的家庭占100％，于是他得出全市擁有空調(diào)家庭的百分比為100％的結(jié)論． 4．小亮把全班50名同學(xué)的期中數(shù)學(xué)測試成績，繪成如圖所示的條形圖，其中從左起第一、二、三、四個小長方形高的比是1∶3∶5∶1．從中同時抽一份最低分?jǐn)?shù)段和一份最高分?jǐn)?shù)段的成績的概率分別是（ B ）． A．、 B．、 C．、 D．、 5．某人把50粒黃豆染色后與一袋黃豆充分混勻，接著抓出100黃豆，數(shù)出其中有10粒黃豆被染色，則這袋黃豆原來有（C ）． A．10粒 B．160粒 C．450

48、粒 D．500粒 6．某校男生中，若隨機抽取若干名同學(xué)做“是否喜歡足球”的問卷調(diào)查，抽到喜歡足球的同學(xué)的概率是，這個的含義是（C ）． A．只發(fā)出5份調(diào)查卷，其中三份是喜歡足球的答卷； B．在答卷中，喜歡足球的答卷與總問卷的比為3∶8； C．在答卷中，喜歡足球的答卷占總答卷的； D．在答卷中，每抽出100份問卷，恰有60份答卷是不喜歡足球． 7．要在一只口袋中裝入若干個形狀與大小都完全相同的球，使得從袋中摸到紅球的概率為，四位同學(xué)分別采用了下列裝法，你認(rèn)為他們中裝錯的是（C ）． A．口袋中裝入10個小球，其中只有兩個紅球； B．裝入1個紅球，1個白球，1

49、個黃球，1個藍(lán)球，1個黑球； C．裝入紅球5個，白球13個，黑球2個； D．裝入紅球7個，白球13個，黑球2個，黃球13個． 8．某學(xué)生調(diào)查了同班同學(xué)身上的零用錢數(shù)，將每位同學(xué)的零用錢數(shù)記錄了下來（單位：元）：2，5，0，5，2，5，6，5，0，5，5，5，2，5，8，0，5，5，2，5，5，8，6，5，2，5，5，2，5，6，5，5，0，6，5，6，5，2，5，0. 假如老師隨機問一個同學(xué)的零用錢，老師最有可能得到的回答是（B ）． A． 2元 B．5元 C．6元 D．0元 二、填一填 9． 同時拋擲兩枚硬幣，按照正面出現(xiàn)的次數(shù)，可以分為“2個

50、正面”、“1個正面”和“沒有正面”這3種可能的結(jié)果，小紅與小明兩人共做了6組實驗，每組實驗都為同時拋擲兩枚硬幣10次，下表為實驗記錄的統(tǒng)計表： 結(jié)果 第一組 第二組 第三組 第四組 第五組 第六組 兩個正面 3 3 5 1 4 2 一個正面 6 5 5 5 5 7 沒有正面 1 2 0 4 1 1 由上表結(jié)果，計算得出現(xiàn)“2個正面”、“1個正面”和“沒有正面”這3種結(jié)果的頻率分別是_0.3,0.55,0.15__________________．當(dāng)試驗組數(shù)增加到很大時，請你對這三種結(jié)果的可能性的大小作出預(yù)測：_0.3,0.55,0.15

51、_____________． 10．紅星養(yǎng)豬場400頭豬的質(zhì)量(質(zhì)量均為整數(shù)千克)頻率分布如下，其中數(shù)據(jù)不在分點上 組別 頻數(shù) 頻率 46 ~ 50 40 0.1 51 ~ 55 80 0.2 56 ~ 60 160 0.4 61 ~ 65 80 0.2 66 ~ 70 30 0.075 71~ 75 10 0.025 從中任選一頭豬，質(zhì)量在65kg以上的概率是__0.1___________． 11．為配和新課程的實施，某市舉行了“應(yīng)用與創(chuàng)新”知識競賽，共有1萬名學(xué)生參加了這次競賽（滿分100分，得分全為整數(shù)）。為了解本次競賽成績情況，從中隨

52、機抽取了部分學(xué)生的競賽成績，進行統(tǒng)計，整理見下表： 組別 分 組 頻 數(shù) 頻率 1 49.5～59.5 60 0.12 2 59.5～69.5 120 0.24 3 69.5～79.5 180 0.36 4 79.5～89.5 130 c 5 89.5～99.5 b 0.02 合 計 a 1.00 表中a=_500_______,b=_10_______, c＝_0.26______；若成績在90分以上（含90分）的學(xué)生獲一等獎，估計全市獲一等獎的人數(shù)為__200_________． 三、做一做 12．小穎有20張

53、大小相同的卡片，上面寫有1~20這20個數(shù)字，她把卡片放在一個盒子中攪勻，每次從盒中抽出一張卡片，記錄結(jié)果如下： 實驗次數(shù) 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 3的倍數(shù)的頻數(shù) 5 13 17 26 32 36 39 49 55 61 3的倍數(shù)的頻率 （1）完成上表； （2）頻率隨著實驗次數(shù)的增加，穩(wěn)定于什么值左右？ （3）從試驗數(shù)據(jù)看，從盒中摸出一張卡片是3的倍數(shù)的概率估計是多少？ （4）根據(jù)推理計算可知，從盒中摸出一張卡片是3的倍數(shù)的概率應(yīng)該是多少？

54、 13．甲、乙兩同學(xué)開展“投球進筐”比賽，雙方約定：① 比賽分6局進行，每局在指定區(qū)域內(nèi)將球投向筐中，只要投進一次后該局便結(jié)束；② 若一次未進可再投第二次，以此類推，但每局最多只能投8次，若8次投球都未進，該局也結(jié)束；③ 計分規(guī)則如下：a. 得分為正數(shù)或0；b. 若8次都未投進，該局得分為0；c. 投球次數(shù)越多，得分越低；d.6局比賽的總得分高者獲勝 . (1) 設(shè)某局比賽第n(n=1,2,3,4,5,6,7,8)次將球投進，請你按上述約定，用公式、表格或語言敘述等方式，為甲、乙兩位同學(xué)制定一個把n換算為得分M的計分方案； (2) 若兩人6局比賽的投球情況如下(其中的數(shù)字表示該局比賽進球時的投球次數(shù)，“”表示該局比賽8次投球都未進)： 第一局 第二局 第三局 第四局 第五局 第六局 甲 5 4 8 1 3 乙 8 2 4 2 6 根據(jù)上述計分規(guī)則和你制定的計分方案，確定兩人誰在這次比賽中獲勝. 四、試一試 16．理論上講，兩個隨機正整數(shù)互質(zhì)的概率為P=．請你和你班上的同學(xué)合作，每人隨機寫出若干對正整數(shù)（或自己利用計算器產(chǎn)生），共得到n對正整數(shù)，找出其中互質(zhì)的對數(shù)m，計算兩個隨機正整數(shù)互質(zhì)的概率，利用上面的等式估算的近似值。