第五全國高中數(shù)學青年教師觀摩與評比活動：《簡單的線性規(guī)劃問題》教學設計（天津市濱海新區(qū)漢沽一中劉勇）

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1、高考資源網(wǎng)（） 您身邊的高考專家 “卡西歐杯”第五屆全國高中青年 數(shù)學教師優(yōu)秀課觀摩與評比活動 優(yōu)秀論文評選 《簡單的線性規(guī)劃問題》教學設計 （人教A版高中課標教材數(shù)學必修5第三章第3.3節(jié)） 授課教師：劉 勇 天津市濱海新區(qū)漢沽一中 指導教師：沈 婕 天津市中小學教育教學研究室 張志坤 天津市漢沽教育中心 王瑞雪 天津市濱海新區(qū)漢沽一中

2、2010年10月 《簡單的線性規(guī)劃問題》（第一課時）教學設計 天津市濱海新區(qū)漢沽第一中學 劉勇 一、內(nèi)容與內(nèi)容解析 本節(jié)課是《普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學》人教A版必修5第三章《不等式》中3.3.2《簡單的線性規(guī)劃問題》的第一課時. 主要內(nèi)容是線性規(guī)劃的相關(guān)概念和簡單的線性規(guī)劃問題的解法． 線性規(guī)劃是運籌學中研究較早、發(fā)展較快、應用廣泛、方法較成熟的一個重要分支，它是輔助人們進行科學管理的一種數(shù)學方法，廣泛地應用于軍事作戰(zhàn)、經(jīng)濟分析、經(jīng)營管理和工程技術(shù)等方面．簡單的線性規(guī)劃指的是目標函數(shù)含兩個自變量的線性規(guī)劃，其最優(yōu)解可以用數(shù)形結(jié)合方法求出。簡單的線性規(guī)劃關(guān)心的是兩類

3、問題：一是在人力、物力、資金等資源一定的條件下，如何使用它們來完成最多的任務；二是給定一項任務，如何合理規(guī)劃，能以最少的人力、物力、資金等資源來完成. 教科書利用生產(chǎn)安排的具體實例，介紹了線性規(guī)劃問題的圖解法，引出線性規(guī)劃等概念，最后舉例說明了簡單的二元線性規(guī)劃在飲食營養(yǎng)搭配中的應用. 本節(jié)內(nèi)容蘊含了豐富的數(shù)學思想方法，突出體現(xiàn)了優(yōu)化思想、數(shù)形結(jié)合思想和化歸思想. 本節(jié)教學重點：線性規(guī)劃問題的圖解法；尋求有實際背景的線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解. 二、目標和目標解析 （一）教學目標 1.了解約束條件、目標函數(shù)、可行解、可行域、最優(yōu)解等基本概念. 2. 會用圖解法求線性目標函

4、數(shù)的最大值、最小值. 3.培養(yǎng)學生觀察、聯(lián)想、作圖和理解實際問題的能力，滲透化歸、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想. 4.結(jié)合教學內(nèi)容培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣和“用數(shù)學”的意識. （二）教學目標解析 1. 了解線性規(guī)劃模型的特征：一組決策變量表示一個方案；約束條件是一次不等式組；目標函數(shù)是線性的，求目標函數(shù)的最大值或最小值．熟悉線性約束條件（不等式組）的幾何表征是平面區(qū)域（可行域）．體會可行域與可行解、可行域與最優(yōu)解、可行解與最優(yōu)解的關(guān)系． 2.使學生學會從實際優(yōu)化問題中抽象、識別出線性規(guī)劃模型．能理解目標函數(shù)的幾何表征（一組平行直線）．能依據(jù)目標函數(shù)的幾何意義，運用數(shù)形結(jié)合方法求出最優(yōu)解和線性目標

5、函數(shù)的最大（小）值，其基本步驟為畫、移、求、答. 3.教學中不但要教教材,還要教教材中的蘊含的方法.在探究如何求目標函數(shù)的最值時，通過以下幾方面讓學生領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想在數(shù)學中的應用.(1)不定方程的解與平面內(nèi)點的坐標的結(jié)合，進而產(chǎn)生了直線的方程.(2)線性目標函數(shù)解析式與直線的斜截式方程的結(jié)合.(3)線性目標函數(shù)的函數(shù)值與直線的縱截距的結(jié)合.(4)二元一次不等式(組)的解集與可行域的結(jié)合.(5)線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最值與直線過可行域內(nèi)的點時縱截距的最值的結(jié)合.這樣就能使學生對數(shù)形結(jié)合思想的理解更透徹,為以后解析幾何的學習和研究奠定基礎(chǔ), 使學生從更深層次理解“以形助數(shù)”的

6、作用以及具體方法. 4. 在線性規(guī)劃問題的探究過程中，使學生經(jīng)歷觀察、分析、操作、歸納、概括的認知過程，培養(yǎng)解決運用已有知識解決新問題的能力. 三、教學問題診斷分析 本節(jié)課學生在學習過程中可能遇到以下疑慮和困難： （1）將實際問題抽象成線性規(guī)劃問題； （2）用圖解法解線性規(guī)劃問題中，為什么要將求目標函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化為經(jīng)過可行域的直線在y軸上的截距的最值問題？如何想到要這樣轉(zhuǎn)化？ （3）數(shù)形結(jié)合思想的深入理解. 為此教學中教師要千方百計地為學生創(chuàng)設探究情境，并作合理適度的引導，通過學生的積極主動思考，運用由特殊到一般的研究方法，借助于討論、動手畫圖等形式進行深入探究.教師的引導是至

7、關(guān)重要的，要做到既能給學生啟示又能發(fā)展學生思維，讓學生通過自己的探究獲取直接經(jīng)驗. 教學難點：用圖解法求最優(yōu)解的探索過程；數(shù)形結(jié)合思想的理解. 教學關(guān)鍵：指導學生緊緊抓住化歸、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法找到目標函數(shù)與直線方程的關(guān)系 四、教法分析 新課程倡導學生積極主動、勇于探索的學習方式，課堂中應注重創(chuàng)設師生互動、生生互動的和諧氛圍，通過學生動手實踐、動腦思考等方法探究數(shù)學知識獲取直接經(jīng)驗，進而培養(yǎng)學生的思維能力和應用意識等. 本節(jié)課以學生為中心，以問題為載體，采用啟發(fā)、引導、探究相結(jié)合的教學方法. （1）設置“問題”情境，激發(fā)學生解決問題的欲望； （2）提供“觀察、探索、交流”

8、的機會，引導學生獨立思考，有效地調(diào)動學生思維，使學生在開放的活動中獲取直接經(jīng)驗. （3）在教學中體現(xiàn)“重過程、重情感、重生活”的理念； （4）讓學生經(jīng)歷“學數(shù)學、做數(shù)學、用數(shù)學”的過程. 五、教學支持條件分析 根據(jù)本節(jié)課教材內(nèi)容的特點，為了更直觀、形象地突出重點，突破難點，調(diào)動學生的學習興趣，借助信息技術(shù)工具，以“幾何畫板”軟件為平臺，將目標函數(shù)與直線方程進行轉(zhuǎn)化，通過直線的平行移動的演示，觀察縱坐標的變化，求出目標函數(shù)的最值.讓學生學會用“數(shù)形結(jié)合”思想方法建立起代數(shù)問題和幾何問題間的密切聯(lián)系． 六、教學過程 （一） 創(chuàng)設情境，激發(fā)探究欲望 組織學生做選盒子的游戲活動. 在

9、下圖的方格中,每列(x)與每行(y)的交匯處都放有一個盒子,每次你只能選其中的一個盒子，每個盒子對應一個分值，即為你的得分，而且該分值與盒子所在的行數(shù)和列數(shù)有關(guān),且每次的關(guān)系式在變化,你會選哪個盒子? 例如: 第一次:分值= (即: 列數(shù)+行數(shù)) 第二次:分值= (即: 行數(shù)-列數(shù)2) x y 0 1 2 3 4 5 1 2 4 3 y 0 1 2

10、 3 4 5 x 1 2 4 3 圖1 圖2 師生活動：教師組織學生做選盒子得分的游戲，學生用“運算—比較”的方法容易解決老師提出的問題.之后，給出圖3，讓學生在圖中找目標函數(shù)的最大值，學生沿用上面計算的方法顯然很復雜，于是學生的思維產(chǎn)生“結(jié)點”.引出課題,提出何為線性（即為一次的）？怎么規(guī)劃（即求函數(shù)的最值）？是本節(jié)課的研究重點. 【設計意圖】數(shù)學是現(xiàn)實世界的反映.創(chuàng)設學生感興趣的問題情境，從興趣解決→稍有困難→有較大困難，使學生產(chǎn)生急于解決問題的內(nèi)驅(qū)力，同時培養(yǎng)學生從實際問題抽象出數(shù)學模型的能力. x 1 4 5 2 3

11、 7 9 10 11 8 1 2 3 4 O y 圖3 （二）獨思共議，引導探究方法 引導學生由特殊到一般分析目標函數(shù)的函數(shù)值. 問題1：當時，求x，y的值. 師生活動：學生通過計算找到三個點的坐標，并觀察出三點共線，求出直線方程，教師引導學生觀察所對應的直線的縱截距. 【設計意圖】通過特殊問題，幫助學生理解問題的實質(zhì)：求x，y的值即求不定方程的解.數(shù)形結(jié)合，將求變量x，y轉(zhuǎn)化成求點的坐標.觀察時三個盒子所在點的位置關(guān)系及直線的方程，使學生體會b值就是直線的縱截距. 問題2．在圖3中，求的最大值. 師生活動：學生在教師的引導下分組討論，求b的最大值.

12、 通過之前教師的引導及學生對上一節(jié)“二元一次不等式表示的平面區(qū)域”的學習,對學生的討論結(jié)果有兩種預案： 預案1:學生通過由特殊到一般的分析，將目標函數(shù)轉(zhuǎn)化成，x，y在取得每個可行解時，b的取值就是直線過這個點時的縱截距，而所有這些直線都是平行的，因此只需平移直線看縱截距的最大值即可. 預案2：根據(jù)上一節(jié)“二元一次不等式（組）所表示的平面區(qū)域”的知識，學生認為b取最大值時x、y的取值一定在直線的右上方的位置，為此就依次在這些位置上畫平行于的直線，只要上面有點就不停的畫，直至最后一點. 師生活動：學生展示討論結(jié)果，教師借助幾何畫板作演示、分析，滲透轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想.并對學生的結(jié)論作出

13、總結(jié)，先作直線，再作平移，觀察直線的縱截距. 【設計意圖】由特殊到一般，利用數(shù)形結(jié)合，尋求解題思路. （三）變式思考，深化探究思路 1．將目標函數(shù)變成， 求b的最大值. 師生活動：通過學生將化成的形式，做直線并進行平移，觀察縱截距的最大值的回答過程，教師強調(diào)解題步驟:畫、作、移、求. 【設計意圖】規(guī)范方法并檢驗學生對方法的理解程度，使學生感受由直線斜率的變化引起使取最大值的過程中點的變化. 2．將目標函數(shù)變成，求b的最大值. 師生活動：教師引導學生比較此題和上題的區(qū)別，學生發(fā)現(xiàn)平移直線時若按上題的方法找縱截距的最大值便會出現(xiàn)問題，通過思考、討論，找到本題需取截距最小的原因. 【

14、設計意圖】通過目標函數(shù)的不同變式，讓學生熟悉求最值的方法，尤其是直線中縱截距的符號為負的情況．借助“幾何畫板”集中呈現(xiàn)目標函數(shù)的圖形變化，提高課堂效率，建立精準的數(shù)形聯(lián)系． （四）規(guī)范格式，應用探究成果 1．例1：(習題3.3A組第3題)電視臺應某企業(yè)之約播放兩套連續(xù)劇，其中，連續(xù)劇甲每次播放時間為80min，其中廣告時間為1min，收視觀眾為60萬；連續(xù)劇乙每次播放時間為40min，廣告時間為1min，收視觀眾為20萬.已知此企業(yè)與電視臺達成協(xié)議，要求電視臺每周至少播放6min廣告，而電視臺每周只能為該企業(yè)提供不多于320min的節(jié)目時間.如果你是電視臺的制片人，電視臺每周應播映兩套連續(xù)

15、劇各多少次，才能獲得最高的收視率？ 播放時間(min) 廣告時間(min) 觀眾人數(shù)（萬） 甲 80 1 60 乙 40 1 20 x y O 解:設甲播放x次，乙播放y次，收視觀眾z萬人次 則. 用如下步驟求z的最大值： 圖４ （1）畫出可行域； （2）作出直線：（3）平移至點A處縱截距最大，即z最大； （4）解方程組： 得，因此. 答：甲播放2次，乙播放4次，收視觀眾最多為200萬人次. 師生活動：教師引領(lǐng)學生理解題意，讓學生繼續(xù)領(lǐng)會用表格形式描述數(shù)據(jù)的直觀性.讓學生獨立建立線性規(guī)劃的數(shù)學模型，并正確設出變量，找好目

16、標函數(shù)及約束條件后自行完成此題.通過學生板演，教師規(guī)范寫法，然后借助解題的過程介紹線性目標函數(shù)、線性約束條件、可行解、可行域、最優(yōu)解及線性規(guī)劃的數(shù)學概念. 【設計意圖】利用學生感興趣的例子激發(fā)學習動機，通過一道完整的簡單線性規(guī)劃問題，讓學生掌握解決簡單線性規(guī)劃問題的基本步驟，培養(yǎng)學生的數(shù)學建模意識.同時進一步加深對圖解法的認識. 2．反思例1解題過程，深入體會數(shù)形結(jié)合思想 轉(zhuǎn)化 師生活動：教師引導學生縱觀解題過程，體會在解題中“數(shù)”與“形”是怎樣結(jié)合的，并加以總結(jié). 代數(shù) 幾何 線性目標函數(shù) 直線 線性目標函數(shù)的函數(shù)值

17、 直線的縱截距 線性約束條件(二元一次不等式（組）的解集) 可行域 線性目標函數(shù)的最值 直線的縱截距的最值 【設計意圖】通過反思總結(jié)，加強對“數(shù)形結(jié)合”數(shù)學思想的認識，形成學生良好的認知結(jié)構(gòu). 3．例2：(課本例2)營養(yǎng)學家指出，成人良好的日常飲食應該至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白質(zhì)，0.06kg的脂肪.1kg食物A含有0.105kg的碳水化合物，0.07kg的蛋白質(zhì)，0.14kg的脂肪,花費28元； 1kg食物B含有0.105kg的碳水化合物，0.14kg的蛋白質(zhì)，0.07kg的脂肪,花費21元.為了

18、滿足飲食要求，同時使花費最低，需要同時食用食物A和食物B各多少kg? 師生活動：學生獨自完成此題，由一位同學生展示自己的解題過程和結(jié)果.規(guī)范解題步驟和格式. M N 圖5 O x y 解：設每天食用xkg食物A，ykg食物B，總成本為z，那么 ① 目標函數(shù)為. 二元一次不等式組①等價于 ② 二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域（圖5），即可行域． 考慮，將它變形為. 這里是斜率為，隨z變化的一組平行直線，是直線在y軸上的截距，當取最小值時，z的值最?。斎恢本€要與可

19、行域相交，即在滿足約束條件時目標函數(shù)取得最小值． 由圖5可見，當直線經(jīng)過可行域上的點M時，截距最小，即z最?。? 解方程組 得M的坐標為,. 所以． 答：每天食用食物A為kg，食物B為kg，能夠滿足日常飲食要求，又使花費最低，最低成本為16元. 【設計意圖】通過此題檢測學生對已學知識的掌握情況，進一步培養(yǎng)學生的運算能力和準確作圖的能力. 4．反思例2的求解過程.教師通過巡視發(fā)現(xiàn)錯解的學生，幫助學生找到錯誤的原因.并提出問題：有時若由于不可避免的誤差帶來錯解，你如何解決? 師生活動:由教師幫助學生分析錯解的原因,并提出問題.學生意識到可以把所有可能的解都求出來,進行比較即可.

20、 【設計意圖】通過反思及尋求問題答案，讓學生深入思考,培養(yǎng)學生科學嚴謹?shù)膶W習態(tài)度和解決問題的能力. （五） 歸納梳理，體會探究價值 由學生和教師共同總結(jié)本節(jié)課所學到的知識. 師生活動：先由學生總結(jié)學習的內(nèi)容，教師作補充說明，尤其是本節(jié)課是如何經(jīng)歷的知識探究過程，如何運用化歸與數(shù)形結(jié)合思想得到方法，以及如何通過數(shù)學建模解決實際問題.再有教師介紹數(shù)學是有用的，通過本節(jié)課看到了時間如何合理分配收獲最大的問題,如何使消費最少保證飲食健康的問題,還有很多實際應用由學生自己查資料作為拓展作業(yè). 【設計意圖】通過總結(jié)，培養(yǎng)學生數(shù)學交流和表達的能力，養(yǎng)成及時總結(jié)的良好習慣，并將所學知識納入已有的認知結(jié)

21、構(gòu). （六） 目標檢測題 1．在線性約束條件下，求①目標函數(shù)的最大值和最小值；②目標函數(shù)的最大值和最小值； 2．某工廠用A、B兩種配件生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品使用4個A配件耗時1h，每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品使用4個B配件耗時2h，該廠每天最多可從配件廠獲得16個A配件和12個B配件，按每天工作8h計算，該廠所有可能的日生產(chǎn)安排是多少？ 【設計意圖】檢測題主要考查學生對本節(jié)課重點知識的掌握情況，檢查學生能否運用所學知識解決問題的能力；拓展作業(yè)的設置是為了教會學生怎樣利用資料進行數(shù)學學習，同時讓學生了解網(wǎng)絡是自主學習和拓展知識面的一個重要平臺，這是本節(jié)內(nèi)容的一個提高與拓展. .精品資料。歡迎使用。 高考資源網(wǎng) w。w-w*k&s%5￥u 高考資源網(wǎng) w。w-w*k&s%5￥u 版權(quán)所有@高考資源網(wǎng)