布朗運動理論一百年 ZZ

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1、布朗運動理論一百年 ZZ 布朗運動理論一百年(ZZ) 2011年05月02日 　　由愛因斯坦、斯莫魯霍夫斯基（M.Smoluchowski）等人在20世紀(jì)初開始的布朗運動理論，在一百年間發(fā)展出內(nèi)容豐富的眾多學(xué)科分支，現(xiàn)在正在成為分析生物細(xì)胞內(nèi)分子機器運作原理的有力工具。愛因斯坦1905年發(fā)表的5篇論文中，關(guān)于布朗運動的文章可能人們知道得最少，而實際上它被引用的次數(shù)卻超過了狹義相對論。 英國植物學(xué)家羅伯特布朗在1828年和1829年的《哲學(xué)》雜志上發(fā)表了兩篇文章，描述自己在1927年夏天在顯微鏡下觀察到花粉顆粒在液體中的不停頓的運動。他最初曾經(jīng)以為是看到了生命運動，但后來確認(rèn)這種運動

2、對細(xì)小的有機和無機顆粒都存在，因而不是生命現(xiàn)象所致。布朗認(rèn)為運動的原因在于這些顆粒包含著“活性分子”（active molecules），而與所處液體沒有關(guān)系。 　　事實上，布朗并不是觀察到這類運動的第一人。他在上述兩篇文章里就曾提到了約十位前人，包括做過大量觀察的制作顯微鏡的巧手列文胡克（Antonnie von Leeuwenhock）。 　　愛因斯坦在1901—1905年期間致力于博士論文研究。他1905年發(fā)表的頭一篇文章——“分子大小的新測定”就基于其博士論文。愛因斯坦考察了液體中懸浮粒子對滲透壓的貢獻，把流體力學(xué)方法和擴散理論結(jié)合起來，建議了測量分子尺寸和阿佛伽德羅常數(shù)的新辦

3、法。這樣的研究同布朗運動發(fā)生關(guān)系是很自然的。然而，他1905年5月撰寫的第二篇論文的題目并沒有提及布朗運動。這篇題為《熱的分子運動論所要求的靜止液體中懸浮小粒子的運動》的文章，一開始就說：“可能，這里所討論的運動就是所謂的布朗分子運動；可是，關(guān)于后者我所能得到唯一的資料是如此的不準(zhǔn)確，以致在這個問題上我無法形成判斷?！? 　　愛因斯坦確實建立了布朗運動的分子理論，并且開啟了借助隨機過程描述自然現(xiàn)象的數(shù)理科學(xué)發(fā)展方向。 　　我們不在此重復(fù)愛因斯坦當(dāng)年對擴散系數(shù)D的推導(dǎo)，直接從熟知的（一維）擴散方程出發(fā)： 　　假定在t=0時刻粒子位于x=0處，即ρ（x，0）=δ（x），擴散方程的解是：

4、 　　即粒子的密度遵從高斯分布。對于固定的時刻t，x和x2的平均值分別是： 　　〈x〉=0，〈x2〉=2Dt 　　于是得到擴散長度的公式： 　　這里出現(xiàn)了著名的愛因斯坦的1/2指數(shù)。 如果把時間離散化為步長Δt的小段，令t=nΔt，同時保持Δt適當(dāng)?shù)拇?，使得每小段時間頭尾的運動彼此無關(guān)，于是行走n步的結(jié)果xn就是n個獨立隨機變量之和。自然： 　　〈xn〉=0，〈xn2〉∝n 　　可見，均方距離并不比例于步數(shù)n，而是： 　　∝ 　　這里的1/2冪次出現(xiàn)在高分子構(gòu)象統(tǒng)計等許多涉及隨機運動的理論中。 　　離散的無規(guī)行走問題本身早已經(jīng)發(fā)展成一個活躍的研究領(lǐng)域。最簡單的

5、等步長的無規(guī)行走問題，除了〈xn〉=0，〈xn2〉∝n，還有一個重要特征量：從原點出發(fā)再次返回原點的概率。它與空間維數(shù)有關(guān)。一維行走返回原點的概率為1；二維行走返回原點的概率也是1；但三維行走返回原點的概率小于1，僅為 0.3405373296… （Ply常數(shù)）。 　　純無規(guī)行走對于走過的點沒有記憶。非隨機性表現(xiàn)為對歷史的某種記憶?？梢钥疾臁磝n2〉同n的關(guān)系，來判斷所研究的過程偏離完全隨機的程度。如果走過的點都不許再碰，稱為自回避行走（英文縮寫是SAW）。這是對溶液中高分子鏈的很好描述。一種二維的、只是第一步不許返回的無規(guī)行走問題導(dǎo)致統(tǒng)計物理學(xué)中著名的二維伊辛（Ising）模型的嚴(yán)格解，

6、但相應(yīng)的三維推廣只給出一個封閉的高溫近似解。[1] 　　試問平面中n步正向SAW有多少種？這個種類數(shù)m是沒有封閉解但存在具體答案的計數(shù)問題的實例： 　　這是《整數(shù)序列全書》[2]中的第A046170號序列。 　　我們再看一個無規(guī)行走的“現(xiàn)代”應(yīng)用：DNA行走。 　　對很長的由4個字母組成的DNA序列，令A(yù)、C、G、T對應(yīng)上下左右4個方向。從2維格子的原點和序列的最左端出發(fā)，每見到一個字母移動一格。這不是隨機行走，因為每個序列對應(yīng)一個特定的實現(xiàn)，不能隨機重復(fù)和取平均值。然而，可以隨著n增加，問行走n步之后，到原點的距離rn的平均值和平方平均值如何隨n變化？自然，〈rn〉=0，但〈

7、rn2〉∝nα中的指數(shù)α是大于、小于還是等于1/2？ 　　1992年發(fā)表在英國《自然》雜志上的一篇文章[3]考察了一維的DNA行走，即只區(qū)分兩個左右方向：遇嘌呤（A或G）向左一步、遇嘧啶（C或T）向右一步。他們的結(jié)論是α＞1/2，而且編碼段比非編碼段更隨機。這篇文章引起了幾百篇后繼論文，正反參半。 愛因斯坦并沒有因為布朗運動理論而得到諾貝爾獎，但法國物理學(xué)家皮蘭（Jean Baptiste Perrin，1870—1942）卻因為1908年以來證實愛因斯坦理論的實驗研究獲得1926年的諾貝爾物理學(xué)獎。獲獎?wù)f明是“為了他關(guān)于物質(zhì)離散結(jié)構(gòu)特別是沉積平衡的發(fā)現(xiàn)”。 　　當(dāng)時布朗運動實驗的主要

8、意義在于它證明了分子存在，并且提供了測量阿佛伽德羅常數(shù)的一種新辦法。沉積平衡的直觀實例發(fā)生在超速離心機中。高速旋轉(zhuǎn)的處于水平位置的試管里，大小不同的顆粒在離心力作用下沿徑向往外運動，越往外離心力也越大，但所受到的液體的黏滯阻力也越大，于是在一定半徑處達到平衡。這是現(xiàn)代分子生物學(xué)實驗室里分離大小分子集團的重要手段之一。由沉積平衡定義的沉積系數(shù)S，在分子生物學(xué)中作為分子量的度量一直沿用至今。例如，23S rRNA確實比16S rRNA大，但并不成簡單比例關(guān)系。 　　有趣的是同年的諾貝爾化學(xué)獎頒給了瑞典人斯維德堡（Theodor Svedberg，1884—1971），理由是“為了他關(guān)于彌散系統(tǒng)

9、的工作”，而斯維德堡的諾貝爾演講題目卻是“超速離心機”。沉降系數(shù)S又稱斯維德堡單位，并沒有因為皮蘭而改用P。 法國物理學(xué)家朗之萬（Paul Langevin，1872—1946）是中國物理學(xué)界的朋友。他在1931年作為國際物理學(xué)聯(lián)合會的代表來到當(dāng)時的北平，協(xié)助建立了中國物理學(xué)會，并且當(dāng)選為中國物理學(xué)會的第一位外籍會員。他是我國聲學(xué)前輩汪德昭先生的老師。朗之萬晚年成為法國共產(chǎn)黨人和反法西斯抵抗運動的斗士。 　　愛因斯坦用統(tǒng)計物理和流體力學(xué)方法，考察多個布朗粒子的分布，導(dǎo)出了擴散長度公式。朗之萬在1908年為單個粒子寫出“隨機力”F(t)作用下的“牛頓方程”： 　　其中摩擦系數(shù)由斯托克斯公

10、式k=6πηa/m給出，這里η是液體的黏性、a是球形粒子的半徑，而m是粒子質(zhì)量。 　　這是歷史上第一個隨機微分方程。我們先不把隨機力F(t)具體化，直接對線性的朗之萬方程求積分： 　　重要的不是各種物理量的瞬時值，而是它們的時間平均值，例如： 　　上面各式中的尖括號表示對隨機力的分布求平均值。 　　很自然地假定： 　　于是在t→∞的極限，速度的平均值為零，而速度的自關(guān)聯(lián)也極短。 　　朗之萬方程肇始了整個隨機微分方程的數(shù)學(xué)理論。我們主要沿三條線對后來的發(fā)展稍作說明： 　?。?）朗之萬方程的各種推廣：廣義朗之萬方程； 　?。?）決定朗之萬隨機變量分布函數(shù)的方程：?？?/p>

11、—普朗克方程； 　?。?）朗之萬解空間上的連續(xù)積分。 線性的朗之萬方程后來結(jié)合各種應(yīng)用被大踏步地推廣。廣義朗之萬方程可以寫成： 　　其中非隨機力Ki由兩項組成： 　　第一項是可以由位勢V微分得到的廣義力，σij的對稱部分對應(yīng)耗散，而反稱部分對應(yīng)保守的正則力；第二項是不能由位勢得到的正則力，例如磁矩在磁場中所受力。這就是川崎恭治用手工加進去的“模模耦合項”： 　　其中Aij是反稱的泊松括號或?qū)σ鬃印? 　　對隨機力做高斯分布假定： 　　上式中σij與非隨機力中的σij的對稱部分相同，這是漲落耗散定理的后果。 其實，出現(xiàn)在線性的朗之萬方程或廣義朗之萬方程中的兩個常數(shù)，摩擦系數(shù)

12、k和漲落力的關(guān)聯(lián)強度D（或前面σij的對稱部分）并不能隨便給定。它們的關(guān)系要由“終值條件”決定：時間無窮長時，布朗粒子要與所處環(huán)境達到熱平衡，也遵從能量均分定理。聯(lián)系這兩個量的關(guān)系因而含有溫度T。這個關(guān)系式也出現(xiàn)在愛因斯坦1905年的論文中。這是漲落耗散定理的一個實例。漲落耗散定理的另一個早期實例是電路中電流噪聲和電阻的關(guān)系。這兩個例子代表著兩類漲落耗散定理。線性輸運過程框架內(nèi)的漲落耗散定理的一般理論，是在20世紀(jì)50年代建立的。 　　漲落耗散定理是接近平衡態(tài)的非平衡理論的重要內(nèi)容。接近平衡但又處于不平衡的系統(tǒng)中有三種最基本的過程，這就是趨向平衡、線性輸運和漲落。這三種過程本質(zhì)上密切相關(guān)。

13、假定液體中某處的溶質(zhì)濃度忽然比附近增高，因而局部偏離平衡，那下一時刻就會產(chǎn)生粒子流使得多余的溶質(zhì)向濃度低的方向擴散。擴散流比例于濃度梯度。擴散引起耗散，不過耗散是比例于擴散流的平方的二階效應(yīng)。無論局部的濃度增加是由于從外界注入溶質(zhì)，還是來自內(nèi)部漲落，隨后發(fā)生的擴散過程是一樣的。這是漲落耗散定理的物理基礎(chǔ)。 　　微分方程的初值問題在物理學(xué)中處理簡單問題時比比皆是、司空見慣。漲落耗散定理出現(xiàn)在求解朗之萬方程所加的終值條件中。我們在討論布朗運動這樣的復(fù)雜現(xiàn)象時常常遇到“終值條件”。生物學(xué)家們描述更復(fù)雜的生命現(xiàn)象時有時使用“目的論”（teleology）的語言就更不足為奇了。 既然提到了線性輸運過

14、程，我們就再說幾句，以便后面講到漲落場論特別是其非線性推廣時，有所對比。 　　首先是廣義力和廣義流的概念。電位差導(dǎo)致電流，濃度差導(dǎo)致擴散流，溫度差導(dǎo)致熱流，等等。可以定義廣義勢V，它的勢差給出廣義力Fi，而廣義力導(dǎo)致廣義流Ji。這是“對角項”。還可以存在非對角的交叉項：電位差可以導(dǎo)致熱流，溫度差可以引起電流，等等。在線性范圍內(nèi)可以寫成。 　　上式中sij稱為輸運系數(shù)。恰當(dāng)定義輸運系數(shù)后，sij =sji，這就是輸運系數(shù)對稱原理或“倒易關(guān)系”。歷史上最早的倒易關(guān)系是19世紀(jì)湯姆遜為熱電系數(shù)和電熱系數(shù)導(dǎo)出的，他當(dāng)時巧妙地利用了一個熱循環(huán)做論據(jù)。1968年昂薩格（Lars Onsager，1

15、903—1976）因在1931年提出輸運系數(shù)對稱原理而獲得諾貝爾化學(xué)獎。順便提一句，所謂“恰當(dāng)”定義輸運系數(shù)，就是考察決定總耗散的二次型，把它對角化以后的平方項的系數(shù)適當(dāng)?shù)貧w入原來線性輸運系數(shù)的定義。通常，這就是補上溫度T的一定冪次。 其實，前面依據(jù)物理直觀寫出的朗之萬方程或廣義朗之萬方程，在數(shù)學(xué)上很成問題。隨機項使得它們的解可能變得無界，所涉及的導(dǎo)數(shù)也可能不存在。由此在隨機微分方程理論中引出來整個新篇章，如所謂伊藤清（It）算法和Stratonovich算法，它們在數(shù)學(xué)上等價，但數(shù)值計算時的方便程度不同。我們不去涉足這些數(shù)學(xué)理論，只指出朗之萬方程的一種研究得比較好的極限情況，是定常、高斯、馬

16、可夫和連續(xù)概率分布條件下的隨機過程，即歐爾斯坦-烏倫別克（OU）過程。 　　我們不進入OU過程的理論本身，而只借此提及非平衡統(tǒng)計理論中幾代人的故事。歐爾斯坦（L.S.Orstein，1880—1941）同烏倫別克（George E.Uhlenbecd，1900—1988）在1930年撰寫的綜述[4]是愛因斯坦最初文章之后25年布朗運動理論的總結(jié)，又過了15年烏倫別克和他的中國女學(xué)生王明貞（1906—）又撰寫了綜述的第二部分[5]。這兩篇文章至今是鉆研經(jīng)典布朗運動理論的入門必讀。今年99歲高齡的王明貞女士是清華大學(xué)的退休教授。 　　烏倫別克的另一位中國女學(xué)生是已故的王承書（1912—19

17、94）院士。她在流體力學(xué)基本方程的統(tǒng)計推導(dǎo)和高階聲波的研究方面有過重要貢獻。 朗之萬方程可以看成從隨機變量x(t)向隨機變量v(t)的變換關(guān)系。假定隨機變量x的初始分布函數(shù)為 　　隨機變量v的分布函數(shù)P(r,v;r0,v0;t)由?？耍ˋ. D. Fokker）在1914年和普朗克（M. Planck）在1917年研究的方程決定： 　　這里Ki是漂移項的系數(shù)，而Dij是擴散項的系數(shù)矩陣，而Yi是支撐起隨機過程的空間中的“場”量，例如坐標(biāo)或速度。 　　從每個朗之萬方程可以推導(dǎo)出一個?？?普朗克方程，而每個福克-普朗克方程對應(yīng)無窮多個朗之萬方程。這是因為無窮多組隨機變量可以遵從同一種概

18、率分布，它們是隨機等價的。隨機等價與規(guī)范場理論中的規(guī)范等價有一些相似性。如果從技術(shù)上追究這種多值性的原因，則它源于矩陣開方的多值性。 　　如果?？?普朗克方程的解不隨時間變化，即P/t = 0，則這是一個定態(tài)解。漂移系數(shù)Ki和擴散系數(shù)Dij必須滿足一定條件，才能保證存在定態(tài)解，而且這個定態(tài)解可以通過位勢函數(shù)V表示：Pe－V/kT。這就是“位勢條件”。馮坎本（von Kampen）在1958年，哈肯（H. Haken）等在1970年代都研究過位勢條件。位勢條件的背后是細(xì)致平衡原理，細(xì)致平衡原理的基礎(chǔ)是時間反演不變性。因此，位勢條件不僅適用于滿足細(xì)致平衡原理的近平衡態(tài)，還適用于某些遠(yuǎn)離平衡的非

19、平衡定態(tài)。 　　如果在?？?普朗克方程中把時間t換成“虛”時間it（作一個“維克旋轉(zhuǎn)”），就得到形式上與量子力學(xué)中薛定諤方程結(jié)構(gòu)類似的方程。理論物理研究所鄭偉謀曾利用此種聯(lián)系，前后為?？?普朗克方程和薛定諤方程各找到一組包含雙阱位勢的嚴(yán)格解。 朗之萬方程的解依賴于隨機變量的分布，因而不是一條軌道，而是無窮多條軌道的集合： 　　令相臨時刻之差ti+1－ti = 足夠大，以致前后兩點獨立，每點遵從高斯分布。整個軌道是許多個獨立分布的聯(lián)合分布： 　　同時要求相鄰時刻之差ti+1－ti = 足夠小，使得指數(shù)上的求和可以換成積分： 　　于是有， 　　物理量是對一切可能運動軌道平均的結(jié)

20、果。這是一個無窮維泛函空間中的連續(xù)積分?？刂普摰膭?chuàng)始人維納（Nobert Wiener，1894—1964）早在1921—1923年期間就引入了這種無窮維的連續(xù)積分。 　　量子場論中的費曼連續(xù)積分出現(xiàn)于1948年，那是拉格朗日形式的積分。相應(yīng)的哈密頓形式的連續(xù)積分，到1959年才由顧茨維勒（M. C. Gutzwiller）引入。 　　維納的連續(xù)積分是哈密頓形式的。拉格朗日形式的維納連續(xù)積分直到1953年才出現(xiàn)。這就是對應(yīng)線性朗之萬方程的昂薩格-馬克樂普(Machlup)泛函。它的非線性推廣，導(dǎo)致與量子場論高度并行的漲落場論。 布朗粒子所受到的磨擦力和隨機力都來自“環(huán)境”。包含無窮自由

21、度的環(huán)境沒有精確的描述方式，它的一種模型是無窮多個諧振子組成的“熱浴”。正是對環(huán)境的熱平衡假定把溫度引進了漲落耗散定理的表述。1960年代以后，激光的發(fā)展把量子噪聲的研究提上了日程。量子耗散的描述也同熱浴相關(guān)。這就促進了量子布朗運動理論的發(fā)展和量子漲落耗散定理的證明。納米結(jié)構(gòu)中粒子的運動更使得量子漲落和統(tǒng)計漲落必須同時研究。 　　布朗運動是一種無規(guī)的“永動”。正是對宏觀系統(tǒng)和無窮長時間大量粒子運動的完全隨機的假定，避免了布朗運動理論和熱力學(xué)第二定律的矛盾。然而在納米結(jié)構(gòu)和小時間尺度下，對熱力學(xué)第二定律的偏離也成為可以檢驗的事實。量子布朗粒子和熱浴量子態(tài)糾纏，成為“退相干”的原因之一。這是量

22、子計算和量子通信必須面對的困難。這一切使量子布朗運動成為1990年代以來的前沿研究課題。量子朗之萬方程和量子連續(xù)積分的理論都有所發(fā)展。 像玻璃或“自旋玻璃”這樣的無序固體是不同于晶體的一大類物質(zhì)。它們的理論研究自然地和隨機過程有密切聯(lián)系。另一方面，許多優(yōu)化和識別問題導(dǎo)致在極其復(fù)雜的高維的“能量”地形圖中尋求最大或最小值，就像是為自旋玻璃尋找能量最小的基態(tài)。這類問題不可能用窮舉或比較一切情況來獲取答案，因為其計算量超過任何現(xiàn)在和未來的計算機的承受能力。較為有效的辦法是設(shè)計適當(dāng)?shù)碾S機過程，來探索地形分布。隨機模擬因而成為重要的計算方法，這里要用到布朗運動理論武庫中的許多工具和概念。 我們用一種極為

23、簡單但并不嚴(yán)格的方法，引入對應(yīng)廣義朗之萬方程的漲落場論?！耙簧?、二生三、三生萬物”。可以從“1的分解”推導(dǎo)出一切 　　先把普通的一維d函數(shù) 　　推廣成無窮維的連續(xù)積分形式： 　　現(xiàn)在用它來保證無窮多個漲落場分量所滿足的廣義朗之萬方程成立： 　　這里由于從連續(xù)變量x(T)換成由廣義朗之萬方程決定的Y，出現(xiàn)了泛函雅可比行列式D[Y]： 　　好在它已經(jīng)“指數(shù)化”（Graham，1973）。 　　利用泛函d函數(shù)的積分定義： 　　把前面的d函數(shù)提升到指數(shù)上去： 　　在上式中補入與場量Y和共扼場 相偶合的流J與對偶流： 　　就使歸一條件Zx[0,0]=1成為依賴于隨機

24、過程 的生成泛函： 　　它對于J和 的各階變分導(dǎo)數(shù)給出種種復(fù)合算子的平均值，即物理量。 Martin、Siggia和Rose三人在1973年為經(jīng)典的流體力學(xué)基本方程組即Navier-Stokes方程寫出變分原理。對于簡單流體，一共有5個場量fi， =1,…，5。然而，還必須引入5個同fi不對易的共扼場 ，才能使得相應(yīng)的Euler-Lagrange方程就是原來的流體力學(xué)方程組。 　　后來知道，MSR的共扼場 相當(dāng)于切矢場/f。換言之，不能只用基底空間，還必須把切空間引進來。非線性動力學(xué)中求李亞彭諾夫指數(shù)也是切空間中的計算。 　　MSR場論當(dāng)時的主要貢獻是把克萊奇南（R.H.Kraic

25、hnan）用類似費曼圖的辦法對湍流做微擾描述時高階圖的數(shù)目弄清楚。直到最近還有人把MSR場論繼續(xù)用于湍流研究。周光召等發(fā)展的統(tǒng)一描述平衡和非平衡現(xiàn)象的閉路格林函數(shù)理論[6,7]，則更便于用拉格朗日形式的隨機泛函論證MSR場論，使其與維納連續(xù)積分更為接近。 在漲落場論中場量是對稱性和守恒性的攜帶者，而物理量是復(fù)合算子的平均值。場量本身并不出現(xiàn)在最后的物理結(jié)果中。這在閉路格林函數(shù)的理論框架[6,7]中看得很清楚。所謂“閉路”是指時間軸從負(fù)無窮大發(fā)展到正無窮大，再回到負(fù)無窮大。由于正負(fù)時間支的選取，每個N點費曼圖都是對應(yīng)2N個積分。任何多點格林函數(shù)都有三套，一套用于同量子場論高度平行的理論表示，一套

26、用于實際計算，一套用于表示最終需要的物理理。三套格林函數(shù)之間存在明確定義的變換。 　　閉路格林函數(shù)方法用于動態(tài)臨界現(xiàn)象的分析，直接導(dǎo)致原來用廣義朗之萬方程實現(xiàn)的各種模型[6,7]。從這一理論自然看出，前面提到的模模偶合項乃是量子場論中熟知的Ward-Takahashi恒等式，是對稱性的后果。模模偶合項的此種本質(zhì)，后來被許多作者在不同的問題中重新發(fā)現(xiàn)過。 　　非平衡現(xiàn)象的各種較為普遍的數(shù)學(xué)表述，都有一個共同特點，那就是已經(jīng)無窮多的自由度還要“雙倍化”：閉路格林函數(shù)方法中的正負(fù)時間支，MSR場論中的基本場和共扼場，普里高津（I.Prigogine）理論中的超算子所作用的超空間，都是這樣。目

27、前還沒有對此問題的一般性分析。 規(guī)范場量子化時對輔助場的連續(xù)積分，導(dǎo)致法捷耶夫-波波夫（Faddeev-Popov）“鬼”， 它們會違反自旋和統(tǒng)計關(guān)系，帶來一些理論困難。意大利理論物理學(xué)家帕里西（G. Parisi）建議把4維時空中的規(guī)范場方程放入5維空間，引入隨第5維“時間”變化的隨機力，使它們成為5維時空中的廣義朗之萬方程。當(dāng)?shù)?維“時間”趨向無窮時，系統(tǒng)達到與“時間”無關(guān)的定態(tài)，其“位勢”由相應(yīng)的福克-普朗克方程決定。這樣就避開了法捷耶夫-波波夫“鬼”。帕里西和吳詠時1980年在中國科學(xué)院理論物理研究所完成的這一工作發(fā)表于《中國科學(xué)》[8]，它肇始了規(guī)范場理論中隨機量子化的研究方向。 布

28、朗運動理論最新、最積極的應(yīng)用，可能在于對細(xì)胞中各種分子“機器”作用原理的認(rèn)識。 　　布朗粒子從極小時間尺度上的無規(guī)漲落獲取能量，實現(xiàn)各種較大尺度上的無規(guī)運動，斯莫魯霍夫斯基早在1912年就考慮過能否利用布朗運動實現(xiàn)定向運動的問題。費曼（R. Feynman）在1963年提出的“棘齒和棘爪”（ratchet and pawl）模型，原則上可以從兩個不同的熱浴獲得能量，緩慢地做定向機械功。這是一種布朗馬達。 　　細(xì)胞中有各種高效地把化學(xué)能轉(zhuǎn)變?yōu)闄C械功的分子馬達。例如，生物化學(xué)過程所需能量存儲在稱為“腺三磷”（三磷酸腺苷即ATP）的小分子的三磷酸鍵中，ATP貢獻能量后成為ADP（腺二磷），需

29、要重新“充電”成ATP。實現(xiàn)充電的蛋白質(zhì)機器ATP合成酶，真是具有轉(zhuǎn)動部分的小機器。還有許多長著蛋白質(zhì)雙腳或單腿的小膜泡，沿細(xì)胞骨架行走以輸送各種物質(zhì)，這些是線性分子馬達。許多人嘗試用布朗馬達來解釋分子馬達。小分子在微觀漲落上“沖浪”，它們以極高效率消耗能量，并不違反熱力學(xué)定律。本書中歐陽鐘燦的文章會繼續(xù)介紹布朗運動理論與生物學(xué)有關(guān)的最新發(fā)展。 　　其實，從廣義上講，達爾文的進化論就是描述隨機突變背景上的定向演化?？梢詤⒖从蹲匀弧冯s志的一篇題為“達爾文馬達”的短文[9]。 　　* * * 　　對液體中小懸浮無規(guī)運動的研究，1905年以前主要是實驗觀察、積累事實，逐步形成基本認(rèn)識

30、。從1905年到1950，理論和實驗的重心在于證明原子和分子的存在。這一時期布朗運動理論成為非平衡態(tài)統(tǒng)計物理的重要組成部分、也成為隨機微分方程和隨機過程理論的試金石。從1950到1990，是漲落場論的形成階段，這一理論的廣泛應(yīng)用尚有待開拓。1990年代以來，量子布朗運動理論進一步發(fā)展，對納米結(jié)構(gòu)中粒子運動和生物細(xì)胞中分子機器的認(rèn)識可能成為布朗運動理論最重要和最富于建設(shè)性的應(yīng)用。 　　在結(jié)束本文之前，我們把布朗運動理論放在更一般的背景上?，F(xiàn)代數(shù)理科學(xué)描述自然界，有三種基本的“逼近”模式：周期、隨機和混沌。周期模式以二體問題為典范，可以從刻普勒行星運動三定律、牛頓力學(xué)、狹義和廣義相對論、從玻爾

31、到狄拉克的氫原子模型，一直研究到楊氏對稱關(guān)系（Yangian）?；煦缒Ｊ揭砸痪S非線性映射為可解實例，橫跨尺度變換下的不變性、標(biāo)度律、對稱破缺、臨界指數(shù)、符號動力學(xué)、分形與分維，乃至重正化群等重要概念。隨機模式以布朗運動為試金石，涉及本文提到和沒有提到的方方面面。目前在我國數(shù)理和工程科學(xué)的高等教育中，對后兩種模式還沒有給予充分注意。愿這篇短文能起到一點促進作用。 [1] 石赫，許以超，郝柏林. 物理學(xué)報. 29（1978）47-62. 　　[2] N. J. A. Sloane, S. Plouffe. The Encyclopedia of Integer Sequences，New Yo

32、rk: Acdemic Press, 1995. 　　[3] C.-K. Peng(彭仲昆) et al., Nature 365（1992）168. 　　[4] G. E.Uhlenbeck, L.S.Orstein. Phys. Rev. 36（1930）823-841. 　　[5] Ming Chen Wang（王明貞），G . E. Uhlenbeck. Rev. Mod. Phys. 17（1945）323-342. 　　[6] 周光召，蘇肇冰，郝柏林，于淥. Phys. Reports 118（1985）1-131. 　　[7] 周光召，蘇肇冰，郝柏林，于淥.

33、Phys. Rev. B22（1980）3385-3407. 　　[8] G. Parisi，Y. S. Wu（吳詠時）. 中國科學(xué)，24（1981）483-496. 　　[9] G. Oster，Nature，417（2002）25. 　　作者簡介 　　郝柏林，復(fù)旦大學(xué)理論生命科學(xué)研究中心，中國科學(xué)院理論物理研究所，院士。 　　本文基于2005年9月26日在以“相對論物理學(xué)100年的發(fā)展與展望”為題的第263次香山科學(xué)會議上的報告，發(fā)表在香山科學(xué)會議主編的《科學(xué)前沿與未來》第十集，中國環(huán)境科學(xué)出版社，北京，2006，1-17。 特別聲明： 1：資料來源于互聯(lián)網(wǎng)，版權(quán)歸屬原作者 2：資料內(nèi)容屬于網(wǎng)絡(luò)意見，與本賬號立場無關(guān) 3：如有侵權(quán)，請告知，立即刪除。 4691813?