數(shù)學(xué)物理方程--- 3 Bessel 函數(shù)

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1、第三章 貝塞爾函數(shù)本 章 中 心 內(nèi) 容 第 3章 Bessel 函 數(shù) 求 解 多 個 自 變 量 的 方 程 第三章 貝塞爾函數(shù)第 一 節(jié) 、 二 階 線 性 常 微 分 方 程 的 冪 級 數(shù) 解 法 第三章 貝塞爾函數(shù)一 、 二 階 線 性 微 分 方 程 解 的 結(jié) 構(gòu)二 階 微 分 方 程 的 如 下 形 式y(tǒng) + p(x)y + q(x)y = f (x) 稱 為 二 階 線 性 微 分 方 程 ， 簡 稱 二 階 線 性 方 程 . f (x) 稱 為 自 由 項 ， 當(dāng) f (x) 0 時 ， 稱 為 二 階 線 性 非 齊 次微 分 方 程 ， 簡 稱 二 階 線 性 非

2、齊 次 方 程 . 當(dāng) f (x) 恒 為 0 時 ， 稱 為 二 階 線 性 齊 次 微 分 方 程 ， 簡 稱 二 階 線 性齊 次 方 程 . 方 程 中 p(x)、 q(x) 和 f (x) 都 是 自 變 量的 已 知 連 續(xù) 函 數(shù) . 這 類 方 程 的 特 點 是 ： 右 邊 是 已 知函 數(shù) 或 零 ， 左 邊 每 一 項 含 y 或 y 或 y， 且 每 項 均 為 y 或 y 或 y 的 一 次 項 ， 例 如 y + xy + y = x2 就 是 二階 線 性 非 齊 次 方 程 . 而 y + x(y) 2 + y = x2 就 不 是 二階 線 性 方 程 . 第

3、三章 貝塞爾函數(shù) 定 理 1 如 果 函 數(shù) y1 與 y2 是 線 性 齊 次 方 程 的兩 個 解 ， y = C1 y1 + C2 y2仍 為 該 方 程 的 解 ， 其 中 C1， C2 是 任 意 常 數(shù) .則 函 數(shù) 第三章 貝塞爾函數(shù) 定 義 設(shè) 函 數(shù) y1(x) 和 y2(x) 是 定 義 在 某 區(qū) 間 I 上的 兩 個 函 數(shù) ， k1 y1(x) + k2 y2(x) = 0不 失 一 般 性 ，考 察 兩 個 函 數(shù) 是 否 線 性 相 關(guān) ， 我 們 往 往 采 用 另 一 種簡 單 易 行 的 方 法 ， 即 看 它 們 的 比 是 否 為 常 數(shù) ， 事 實 上

4、 ，當(dāng) y1(x) 與 y2(x) 線 性 相 關(guān) 時 ， 有 k1 y1 + k2 y2 = 0， 其 中 k1, k2 不 全 為 0， ,0 12211 kkyyk 則設(shè) 如 果 存 在 兩 個 不 全 為 0 的 常 數(shù) k1和 k2， 使在 區(qū) 間 I 上 恒 成 立 . 則 稱 函 數(shù) y1(x) 與 y2(x) 在 區(qū) 間 上是 線 性 相 關(guān) 的 ， 否 則 稱 為 線 性 無 關(guān) . 第三章 貝塞爾函數(shù)即 y1 與 y2 之 比 為 常 數(shù) . 反 之 ， 若 y1 與 y2 之 比 為 常 數(shù) ，,21 yy設(shè) 則 y1 = y2， 即 y1 - y2 = 0. 所 以 y

5、1 與 y2 線 性 相 關(guān) . 因 此 ， 如 果 兩 個 函 數(shù) 的 比 是 常 數(shù) ， 則 它 們線 性 相 關(guān) ； 例 如 函數(shù) y1 = ex， y2 = e -x， 常 數(shù) ，而 21yy 所 以 ， 它 們 是 線性 無 關(guān) 的 . 如 果 不 是 常 數(shù) ， 則 它 們 線 性 無 關(guān) . 第三章 貝塞爾函數(shù) 定 理 2 如 果 函 數(shù) y1 與 y2 是 二 階 線 性 齊 次 方 程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的 兩 個 線 性 無 關(guān) 的 特 解 ，y = C1 y1 + C2 y2是 該 方 程 的 通 解 ， 則其 中 C1, C2為 任 意 常 數(shù)

6、 . 第三章 貝塞爾函數(shù) 定 理 3 如 果 函 數(shù) y* 是 線 性 非 齊 次 方 程 的 一 個特 解 ， y = Y + y*，是 線 性 非 齊 次 方 程 的 通 解 .Y 是 該 方 程 所 對 應(yīng) 的 線 性 齊 次 方 程 的 通 解 ， 則 第三章 貝塞爾函數(shù)求 二 階 線 性 非 齊 次 方 程 通 解 的 一 般 步 驟 為 ： (1) 求 線 性 齊 次 方 程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的 線 性無 關(guān) 的 兩 個 特 解 y1 與 y2， 得 該 方 程 的 通 解 Y=C1 y1 + C2 y2. (2) 求 線 性 非 齊 次 方 程 y +

7、 p(x)y + q(x)y = f (x) 的一 個 特 解 y*.那 么 ， 線 性 非 齊 次 方 程 的 通 解 為 y = Y + y*. 又 Y 是 二 階 線 性 齊 次 方 程 的 通 解 ， 它 含 有 兩 個 任 意 常數(shù) ， 故 y = Y + y* 中 含 有 兩 個 任 意 常 數(shù) . 即 y = Y + y* 是 線 性 非 齊 次 方 程 y + p(x)y + q(x)y = f (x) 的 通 解 .這 說 明 函 數(shù) y = Y + y* 是 線 性 非 齊 次 方 程 的 解 ， 第三章 貝塞爾函數(shù)y + p(x)y + q(x)y = f1 (x) +

8、f2 (x)，分 別 是與且 *2*1 yy y + p(x)y + q(x)y = f1 (x)，和 y + p(x)y + q(x)y = f2 (x)則 *2*1 yy 是 方 程 的 特 解 . 定 理 4 設(shè) 二 階 線 性 非 齊 次 方 程 為 的 特 解 ， 第三章 貝塞爾函數(shù)二 、 二 階 常 系 數(shù) 線 性 微 分 方 程 的 解 法如 果 二 階 線 性 微 分 方 程 為y + py + qy = f(x) ，其 中 p、 q 均 為 常 數(shù) ， 則 稱 該 方 程 為 二 階 常 系 數(shù) 線性 微 分 方 程 . 第三章 貝塞爾函數(shù)設(shè) 二 階 常 系 數(shù) 線 性 齊

9、次 方 程 為y + py + qy = 0 .考 慮 到 左 邊 p， q 均 為 常 數(shù) ， 我 們 可 以 猜 想 該 方 程具 有 y = erx 形 式 的 解 ， 其 中 r 為 待 定 常 數(shù) . 將 y = rerx, y = r2erx 及 y = erx 代 入 上 式 ，erx (r2 + pr + q) = 0 . 1.二 階 常 系 數(shù) 線 性 齊 次 方 程 的 解 法由 于 erx 0， 因 此 ， 只 要 r 滿 足 方 程r2 + pr + q = 0，即 r 是 上 述 一 元 二 次 方 程 的 根 時 ， y = erx 就 是 式 的 解 .方 程 稱

10、 為 方 程 的 特 征 方 程 . 特 征 方程 根 稱 為 特 征 根 . 得 第三章 貝塞爾函數(shù)例 1 求 方 程 y - 2y - 3y = 0 的 通 解 . 解 該 方 程 的 特 征 方 程 為 r2 - 2r 3 = 0, 它 有 兩個 不 等 的 實 根 r1 = - 1， r2 = 3, 其 對 應(yīng) 的 兩 個 線 性 無關(guān) 的 特 解 為 y1 = e- x 與 y2 = e3x, 所 以 方 程 的 通 解 為.ee 321 xx CCy 第三章 貝塞爾函數(shù) 例 2 求 方 程 y - 4y + 4y = 0 的 滿 足 初 始 條 件 y(0) = 1， y(0) =

11、 4 的 特 解 . 解 該 方 程 的 特 征 方 程 為 r2 - 4r + 4 = 0，,e) 221 xxCCy （ .e)(2e 22122 xx xCCCy 將 y(0) = 1， y(0) = 4 代 入 上 兩 式 ， 得 C1 = 1， C2 = 2，y = (1 + 2x)e2x. 其 對 應(yīng) 的 兩 個 線 性 無 關(guān) 的 特 解 為 y1 = e2x 與 y2 = xe2x因 此 ， 所 求 特 解 為 它 有重 根 r= 2. 第三章 貝塞爾函數(shù)例 3 求 方 程 2y + 2y + 3y = 0 的 通 解 . 解 該 方 程 的 特 征 方 程 為 2r2 + 2

12、r + 3 = 0， 它有 共 軛 復(fù) 根 4 24422,1 r .i52121,21即 ,521 對 應(yīng) 的 兩 個 線 性 無 關(guān) 的 解 為,25cose 211 xy x ,25sine 212 xy x .521sin521cose 2121 xCxCy x 第三章 貝塞爾函數(shù)例 4 求 方 程 y + 4y = 0 的 通 解 . 解 該 方 程 的 特 征 方 程 為 r2 + 4 = 0， 它 有 共 軛復(fù) 根 r1,2 = 2i. 即 = 0， = 2. 對 應(yīng) 的 兩 個 線 性無 關(guān) 的 解 y1 = cos 2x. y2 = sin 2x. 所 以 方 程 的 通 解

13、 為.2sin2cos 21 xCxCy 第三章 貝塞爾函數(shù) 2.二 階 常 系 數(shù) 線 性 非 齊 次 方 程 的 解 法1 自 由 項 f (x) 為 多 項 式 Pn(x).設(shè) 二 階 常 系 數(shù) 線 性 非 齊 次 方 程 為y + py + qy = Pn(x),其 中 Pn(x) 為 x 的 n 次 多 項 式 . ),(* xQxy nk 當(dāng) 原 方 程 中 y 項 的 系 數(shù) q 0 時 ， k 取 0； 當(dāng) q = 0， 但 p 0 時 ，k 取 1； 當(dāng) p = 0， q = 0 時 ， k 取 2. 因 為 方 程 中 p、 q 均 為常 數(shù) 且 多 項 式 的 導(dǎo) 數(shù)

14、仍 為 多 項 式 ， 所 以 可 設(shè) 式 的特 解 為其 中 Qn(x) 與 Pn(x)是 同 次 多 項 式 ， 第三章 貝塞爾函數(shù)例 5 求 方 程 y - 2y + y = x2 的 一 個 特 解 .解 因 為 自 由 項 f (x) = x2 是 x 的 二 次 多 項 式 ，,2* CBxAxy 則 ,2* BAxy ,2* Ay 代 入 原 方 程 后 ， 有 .)22()4( 22 xCBAxBAAx 且 y 的 系 數(shù) q = 1 0， 取 k = 0 . 所 以 設(shè) 特 解 為 第三章 貝塞爾函數(shù)比 較 兩 端 x 同 次 冪 的 系 數(shù) ， 有 .022 ,04 ,1

15、CBA BAA解 得 A = 1， B = 4， C = 6.故 所 求 特 解 為 .64 2* xxy 第三章 貝塞爾函數(shù)例 6 求 方 程 y + y = x3 x + 1 的 一 個 特 解 . 解 因 為 自 由 項 f (x) = x3 x + 1 是 一 個 x 的 三次 多 項 式 ， ).(* 23 DCxBxAxxy 則 ,234* 23 DCxBxAxy ,2612* 2 CBxAxy 代 入 原 方 程 后 ， 有 )2()26()312(4 23 DCxCBxBAAx .13 xx 且 y 的 系 數(shù) q = 0， p = 1 0， 取 k = 1.所 以 設(shè) 方 程

16、 的 特 解 為 第三章 貝塞爾函數(shù)比 較 兩 端 x 同 次 冪 的 系 數(shù) ： .12 ,126 ,0312 ,14 DC CB BAA解 得 .4,25,1,41 DCBA故 所 求 特 解 為 .4 2541 23* xxxxy 第三章 貝塞爾函數(shù)2 自 由 項 f (x) 為 Aex 型設(shè) 二 階 常 系 數(shù) 線 性 非 齊 次 方 程 為y + py + qy = Aex，其 中 ， A 均 為 常 數(shù) . 由 于 p， q 為 常 數(shù) ， 且 指 數(shù) 函 數(shù) 的 導(dǎo) 數(shù) 仍 為 指數(shù) 函 數(shù) ，其 中 B 為 待 定 常 數(shù) ， .e* xkBxy 當(dāng) 不 是 式 所 對 應(yīng) 的

17、 線 性 齊次 方 程 的 特 征 方 程 r2 + pr + q = 0 的 根 時 ， 取 k = 0；當(dāng) 是 其 特 征 方 程 單 根 時 ， 取 k = 1； 當(dāng) 是 其 特 征方 程 重 根 時 ， 取 k = 2. 因 此 ， 我 們 可 以 設(shè) 的 特 解 第三章 貝塞爾函數(shù)例 7 求 方 程 y + y + y = 2e2x 的 通 解 . 解 = 2 它 不 是 特 征 方 程 r2 + r + 1 = 0 的 根 ，取 k = 0， ,e2* xBy 則 ,e2* 2xBy ,e4* 2xBy 代 入 方 程 ， 得故 原 方 程 的 特 解 為 .e72* 2xy 所

18、以 ， 設(shè) 特 解 為.B 72 第三章 貝塞爾函數(shù)例 8 求 方 程 y + 2y - 3y = ex 的 特 解 . 解 = 1 是 特 征 方 程 r2 + 2r - 3 = 0 的 單 根 ，取 k = 1， ,e* xBxy 則 ,ee* xx BxBy ,ee2* xx BxBy 代 入 方 程 ， 得 故 原 方 程 的 特 解 為.e 41* xxy 所 以 ， 設(shè) 特 解 為,41B 第三章 貝塞爾函數(shù)3 自 由 項 f (x) 為 ex (Acos wx + Bsin wx)型設(shè) 二 階 常 系 數(shù) 線 性 非 齊 次 方 程 為y + py + qy = ex (Acos

19、 wx + Bsin wx)，其 中 ， A ， B 均 為 常 數(shù) . 由 于 p， q 為 常 數(shù) ， 且 指 數(shù) 函 數(shù) 的 各 階 導(dǎo) 數(shù) 仍為 指 數(shù) 函 數(shù) ， 正 弦 函 數(shù) 與 余 弦 函 數(shù) 的 導(dǎo) 數(shù) 也 總 是余 弦 函 數(shù) 與 正 弦 函 數(shù) ， 因 此 , 我 們 可 以 設(shè) 有 特 解).sincos(e * xDxCxy xk ww 其 中 C， D 為 待 定 常 數(shù) . 取 k = 0， 是 根 時 ，取 k = 1， 代 入 式 ， 求 得 C 及 D. 當(dāng) + wi 不 是 式 所 對應(yīng) 的 齊 次 方 程 的 特 征 方 程 的 根 時 ， 第三章 貝塞

20、爾函數(shù)例 9 求 方 程 y + 3y - y = ex cos 2x 的 一 個 特 解 . 解 自 由 項 f (x) = ex cos 2x 為 ex(Acoswx + Bsinwx) 型 的 函 數(shù) ， ),2sin2cos(e* xDxCy x 則 ,2sin)2(2cos)2(e* xCDxDCy x .2sin)34(2cos)34(e* xDCxCDy x 且 + wi = 1 + 2i， 它 不 是 對 應(yīng) 的常 系 數(shù) 線 性 齊 次 方 程 的 特 征 方 程 r2 + 3r 1 = 0 的 根 ，取 k = 0， 所 以 設(shè) 特 解 為 第三章 貝塞爾函數(shù)代 入 原 方

21、 程 ， 得 .2cos2sin)10(2cos)10( xxCDxCD 比 較 兩 端 cos 2x 與 sin 2x 的 系 數(shù) ， 得 .010 ,110 CD CD解 此 方 程 組 ， 得 .10110,1011 DC故 所 求 特 解 為 . 2sin 101102cos1011e* xxy x 第三章 貝塞爾函數(shù)例 10 求 方 程 y + y = sin x 的 一 個 特 解 . 解 自 由 項 f (x) = sin x 為 ex(Acoswx + Bsinwx) 型 的 函 數(shù) ， 且 = 0， w = 1， ).sincos(* xDxCxy 則 ),sincos(si

22、ncos* xCxDxxDxCy ).sincos(sin2cos2* xDxCxxCxDy 代 入 原 方 程 ， 得 .sincos2sin2 xxDxC 且 + wi = i 是 特 征方 程 r2 + 1 = 0 的 根 ， 取 k = 1， 所 以 ， 設(shè) 特 解 為 第三章 貝塞爾函數(shù)比 較 兩 端 sinx 與 cosx 的 系 數(shù) ， 得 .021 DC ，故 原 方 程 的 特 解 為 .cos21* xxy 而 對 應(yīng) 齊 次 方 程 y + y = 0 的 通 解 為Y = C1cosx + C2sinx.故 原 方 程 的 通 解 為 .sincoscos 21 21*

23、 xCxCxxYyy 第三章 貝塞爾函數(shù)例 11 方 程 y + 4y = x +1 + sinx 的 通 解 . 解 自 由 項 f (x) = x +1 + sinx可 以 看 成 f1 (x) = x +1 和 f2 (x) = sin x 之 和 ， y + 4y = x +1，y + 4y = sin x .和 方 程 的 特 解 易 求 得 ， ,sin* 2 xAy 設(shè) 方 程 的 特 解 為 ,cos*2 xAy .sin*2 xAy ,4141*1 xy的 特 解 . 所 以 分 別 求 方 程 第三章 貝塞爾函數(shù)代 入 ， 得 3Asin x = sin x.31A所 以

24、.sin31*2 xy 得 原 方 程 的 特 解 .sin314141 *2*1* xxyyy 第三章 貝塞爾函數(shù) 原 方 程 所 對 應(yīng) 的 線 性 齊 次 方 程 為 y + 4y = 0，其 通 解 為 Y = C1cos 2x + C2sin 2x，故 原 方 程 的 通 解 為 .2sin2cossin314141 21* xCxCxxYyy 第三章 貝塞爾函數(shù)0 0( ) | B x x R x x 00( ) ( ) (4)nnny x a x x ( 0) na n 二 、 變 系 數(shù) 線 性 方 程 的 冪 級 數(shù) 解 法y + p(x)y +q(x)y= 0 (3)p(x

25、)、q(x) x0 (1) 0;(2) (sin ) 0y xy yy x y 第三章 貝塞爾函數(shù)(1) 0;(2) (sin ) 0y xy yy x y 0( ) nnny x a xy(x),y (x)和 y(x)代入到原方程22 1 0( 1) 0n n nn n nn n nn n a x na x a x 20 0 0( 1)( 2) 0n n nn n nn n nn n a x na x a x 2( 1)( 2) 0, 0n n nn n a na a n 2 1 , 02n na a nn 第三章 貝塞爾函數(shù)2 0 2 1 1( 1) ( 1), , 0(2 )! (2 1

26、)!n nn na a a a nn n 0( ) nnny x a x2 2 10 10 0 0 1 1 2( 1) ( 1)( ) (2 )! (2 1)!( ) ( )n nn nn ny x a x a xn na y x a y x (2) (sin ) 0y x y ( ) 0, ( ) sinp x q x x 0( ) nnny x a x 第三章 貝塞爾函數(shù)22 0( 1) sin 0n nn nn nn n a x x a x 20 0( 1)( 2) sin 0 (5)n nn nn nn n a x x a x 2 10 ( 1)sin (2 1)!n nnx xn 2

27、 120 0 0( 1)( 1)( 2) 0(2 1)!nn n nn nn n nn n a x x a xn 22 0 3 1 430 2 52 ( 3 2 ) ( 4 3 )1( 5 4 ) . 03!a a a x a a xa a a x 第三章 貝塞爾函數(shù)22 0 3 1 430 2 52 ( 3 2 ) ( 4 3 )1( 5 4 ) . 03!a a a x a a xa a a x 22 3 0 4 1 5 01 1 10, , , ( 1) ,.3! 3 4 5!a a a a a a a 3 5 40 1 6 0 1 1 21 1 1( ) (1 .) (3! 5! 3

28、41 .) ( ) ( )2 3 5 6y x a x x a x xx a y x a y x 2 0y xy 第三章 貝塞爾函數(shù)y + p(x)y +q(x)y= 0 (5)、x00 0( ) | B x x R x x 0 0( ) | B x x R x x 0 00( ) ( ) ( ) (4)nnny x x x a x x , ( 0)na n 0 0a 第三章 貝塞爾函數(shù)r 02 2 2( ) 0 (1)x y xy x r y 2 221 0 (2)x ry y yx x 2 221( ) , ( ) x rp x q xx x 0 0( ) (3)n nn nn ny x

29、x a x a x ( 0 )na n 第三章 貝塞爾函數(shù) 第 二 節(jié) Bessel函 數(shù)一 、 函 數(shù) 10( ) (1)xx e dx (0, ) 1(1) (1) 1, ( ) ; (2)2(2) ( 1) ( ), 0 (3) 0 00 0(1) | 1x x xx e dx e dx e 第三章 貝塞爾函數(shù)0 0( 1) ( )x xx e dx x d e 0 0( ) |x xx e e dx 100 xx e dx 10 ( )xx e dx 1( )2 20 xI e dx 2 2 2( , ) | 0, 0, R x y x y x y R 2 2 2 22 ( )0 0

30、0 0 x y x yI e dx e dy e dxdy 第三章 貝塞爾函數(shù)2 2 2( ) 20 0lim limR Rx y rR Re dxdy d re dr 2 22 00lim lim( ) |4 4 4R r r RR Re dr e 4 2I 1 1 12 2 2 0 01( ) 2 ( )2 x xx e dx e dx u x 202 2ue du I ( ) ( 1)!1 (2 1)!( )2 2nn n nn 第三章 貝塞爾函數(shù) | 0R n Z n 1 0 ( 1)( ) ( ) ( ) 第三章 貝塞爾函數(shù)226 4 20 0(1) (2) xxx e dx x e

31、 dx 2 1 56 3 2 20 0 01 12 2x tx t tx e dx t e t dt t e dt 1 7 1 1( ) (3 )2 2 2 2 31 5! 152 2 16 2 324 2 20 0(2) 4 2x x t tx e dx t e dt 第三章 貝塞爾函數(shù)25 3!4 2 4 22 2 3 2 第三章 貝塞爾函數(shù)二 、 Bessel方 程 和 Bessel函 數(shù)r 02 2 2( ) 0 (1)x y xy x r y 2 221 0 (2)x ry y yx x 2 221( ) , ( ) x rp x q xx x 0 0( ) (3)n nn nn n

32、y x x a x a x ( 0 )na n 第三章 貝塞爾函數(shù)0 0( ) (3)n nn nn ny x x a x a x 10( ) ( ) ,nnny x n a x 20( ) ( )( 1) nnny x n n a x 2 2 2( ) 0 (1)x y xy x r y 2 10 02 02 2 ( )( 10)( ( ) n nn nn nnnnn n a x n a xa xx xx r 20 0 02( ) 0( )( 1) ( )n n nn n nn n nn n a x n a x r a xx 第三章 貝塞爾函數(shù)20 0 02( ) 0( )( 1) ( )n

33、 n nn n nn n nn n a x n a x r a xx 2 2 20 0( ) ( ) 0n nn nn nn a x x r a x 2 2 20 0( ) 0n nn nn nn r a x a x 2 2 2 0 0( ) 0n nn nn nn r a x a x 2x 2 2 02 2 12 2 2( ) 0(1 ) 0 (4)( ) 0, 0n nr ar an r a a n 第三章 貝塞爾函數(shù)2 2 02 2 12 2 2( ) 0(1 ) 0 (4)( ) 0, 2n nr ar an r a a n 0 0a 2 2 1 20, , .r r r 0,r 1

34、0a 2 22 2 , 2( ) ( 2 )n nn a aa nn r n n r 2 1 0, 1na n 0 02 22(2 2 ) 2 (1 )a aa r r 2 02 24 3 4( 1)4(4 2 ) 2 (2 ) 2 2(2 )(1 )aa aa r r r r 第三章 貝塞爾函數(shù)3 04 46 2 6( 1)6(6 2 ) 2 3(3 ) 2 3!(3 )(2 )(1 )aa aa r r r r r 02 2 02( 1) 2 !( )( 1 ) (1 )(1 )( 1) 2 ! ( 1 )nn nn n aa n n r n r rr an n r ( 1)( ), 0

35、0 12 (1 )ra r 2 2 (1 )( 1) 2 2 ! ( 1 )nn r n ra n n r 第三章 貝塞爾函數(shù)0 0( ) (3)n nn nn ny x x a x a x 21 0 1( ) ( 1)2 ! ( 1 ) 2r nnnx xy x n n r 2 0 1( ) ( 1)2 ! ( 1 ) 2r nnr nx xJ x n n r 0,r 2 2 02 2 12 2 2( ) 0(1 ) 0 (4)( ) 0, 2n nr ar an r a a n 第三章 貝塞爾函數(shù)1 0a 2 22 2 , 2( ) ( 2 )n nn a aa nn r n n r 2

36、1 0, 1na n 0 02 22(2 2 ) 2 (1 )a aa r r 2 02 24 3 4( 1)4(4 2 ) 2 (2 ) 2 2(2 )(1 )aa aa r r r r 3 04 46 2 6( 1)6(6 2 ) 2 3(3 ) 2 3!(3 )(2 )(1 )aa aa r r r r r 第三章 貝塞爾函數(shù)02 2 02( 1) 2 !( )( 1 ) (1 )(1 )( 1) 2 ! ( 1 )nn nn n aa n n r n r rr an n r 0 12 (1 )ra r 2 2 (1 )( 1) 2 2 ! ( 1 )nn r n ra n n r 0

37、0( ) (3)n nn nn ny x x a x a x 22 0 1( ) ( 1)2 ! ( 1 ) 2r nnnx xy x n n r 第三章 貝塞爾函數(shù)20 1( ) ( 1)2 ! ( 1 ) 2r nnr nx xJ x n n r , 1r l l ,r l 2 2 2( ) 0, 2n nn r a a n 2n l nana ( )mJ x1m 0 n m ( 1)n m 20 1( ) ( 1)2 ! ( 1 ) 2r nnr nx xJ x n n r 第三章 貝塞爾函數(shù)0 1n m 21( ) ( 1)2 ! ( 1 ) 2m nnm n mx xJ x n n

38、m 21( ) ( 1)2 ! ( 1 ) 2m nnm n mx xJ x n n m ( ), ( ) r rJ x J x( )rJ x 2 221 ( 1)! ( 2 )2lim lim ! ( 1 )2 nn nn nna n n ra n n r 第三章 貝塞爾函數(shù)lim 4( 1)( 1 )n n n r ( )rJ x ( )rJ x( )rJ x ( )rJ x 2 rx 2 rx ( )rJ x ( )rJ x 21( ) ( 1)2 ! ( 1 ) 2m nnm n mx xJ x n n m n m j 2 20 1( ) ( 1)2 ( )! ( 1) 2m m jj

39、 mm jx xJ x m j j 第三章 貝塞爾函數(shù)2 20 1( ) ( 1)2 ( )! ( 1) 2m m jj mm jx xJ x m j j 20 1( 1) ( 1)2 ( )! ( 1) 2m jm jjx xm j j 20 1( 1) ( 1)2 ! ( 1 ) 2m jm jjx xj j m 2 0 1( ) ( 1)2 ! ( 1 ) 2r nnr nx xJ x n n r 20 11( ) 1 ( 1)2 ! ( ) 1 ) 2m jm jm jm m x xJ x j jJ x m 第三章 貝塞爾函數(shù)( )cos ( )( ) sinn nn J x n J

40、xY x n )()( xBYxAJy nn 20 ( 1)( ) ! ( 1) 2 n mmn m xJ x m n m ( )nJ x ( )nJ x( ) ( )n ny AJ x BJ x cot cscA n B n Neumann )()1()( xJxJ nnn 1 0 0,1,2 ( 1)( 1) m Nn m sin )(cos)(lim)( xJxJxY nn ( ) ( )n ny AJ x BY x 第三章 貝塞爾函數(shù) 0222 ynxyxyx 20 ( 1)( ) ! ( 1) 2 n mmn m xJ x m n m sin )(cos)(lim)( xJxJxY

41、nn ( ) ( ) n ny AJ x BY x 第三章 貝塞爾函數(shù)mnm mn xmnmxJ 20 2)1(! )1()( sin )(cos)(lim)( xJxJxY nn )(xJ n )(xYn0 x)0(nY )()1()( xJxJ nnn )()1()( xYxY nnn 第三章 貝塞爾函數(shù)2 220d d ( 1)( )d d 2 ! ( 1)m n mn n n mm xx J xx x m n m mnm mn xmnmxJ 20 2)1(! )1()( sin )(cos)(lim)( xJxJxY nn 2 2 120 ( 1) 2 22 ! ( 1)m n mn

42、mm n m xm n m 2 12 10 ( 1)2 ! ( )m n mn n mm xx m n m )(1 xJx nn )()()( 11 xJxxJnxxJx nnnnnn 1( ) ( ) ( )n n nxJ x nJ x xJ x 1 1( ) ( ) ( )n n nn n nx J x nx J x x J x 1( ) ( ) ( )n n nxJ x nJ x xJ x 1d ( ) ( )d n nn nx J x x J xx 1d ( ) ( )d n nn nx J x x J xx 0 1d ( ) ( )d J x J xx 1 0d ( ) ( )d x

43、J x xJ xx 1 1 2( ) ( ) ( )n n nnJ x J x J xx 1 1( ) ( ) 2 ( )n n nJ x J x J x 第三章 貝塞爾函數(shù) )()(dd 1 xYxxYxx nnnn )()(dd 1 xYxxYxx nnnn )(2)()( 11 xYxnxYxY nnn )(2)()( 11 xYxYxY nnn 1d ( ) ( )d n nn nx J x x J xx 1d ( ) ( )d n nn nx J x x J xx 1 1 2( ) ( ) ( )n n nnJ x J x J xx 1 1( ) ( ) 2 ( )n n nJ x

44、J x J x 0d(1) ( )d J xx )(0 xJ )(1 xJ 0 01(2) ( ) ( )J x J xx )(1)( 11 xJxxJ )(21)(21)(21)(21 2020 xJxJxJxJ )(2 xJ0 0(3) 3 ( ) 4 ( )J x J x )(4)(3 11 xJxJ )(2)(2)(3 201 xJxJxJ )()()(2)(3 3111 xJxJxJxJ )(3 xJ 第三章 貝塞爾函數(shù)2(4) ( )dxJ x x xxJxx d)(212 )(d 112 xJxx2111 d)()( xxJxxxJ xxJxxJ d)(2)( 11)(d2)(

45、01 xJxxJ CxJxxJ )(2)( 01 )()(dd 1 xJxxJxx nnnn )(2)()( 11 xJxnxJxJ nnn )(2)()( 11 xJxJxJ nnn )()(dd 1 xJxxJxx nnnn 00(6) ( )cos dR J x x x RR xxJxxxxJ 0 000 cos)(d|cos)( R xxxJxxJxRRRJ 0 000 dsin)(cos)(cos)( R xxxxJxxxJRRRJ 0 110 dsin)(cos)(cos)( R xxxxJRRRJ 0 10 dsin)(cos)( RRRJRRRJ sin)(cos)( 10 3

46、 0(5) ( )dx J x x )(d 12 xxJx xxJxxJx d)(2)( 1213 )(d2)( 2213 xJxxJx CxJxxJx )(2)( 22131(7) ( )dn nx J x x ttJt nn d)(1 ttJt nnn d)(1 12 )(d1 112 tJt nnn CtJt nnn )(121 第三章 貝塞爾函數(shù)mnm mn xmnmxJ 20 2)1(! )1()( sin )(cos)(lim)( xJxJxY nn 1)0(0 J 0)0( nJ ( 0)n )0(nY 21)0()0(21)0( 201 JJJ 0)0()0(21)0( 11

47、nnn JJJ1n )(2)()( 11 xJxJxJ nnn 零 點 )(xJn )(1 xJn)(xJn， )()( 1lim nmnmm ( )( ) 0nn mJ 第三章 貝塞爾函數(shù)20 ( 1)( ) ! ( 1) 2 n mmn m xJ x m n m 1 221 02 ( 1)( ) 3 2! ( )2 mmm xJ x m m mm m xmm 2210 2)21(2121221121! )1( mm mm xmm 2210 1 2)21(12531! 2)1( mm mm xm 2210 12 2!12 2)1( 2 102 ( 1)2 1 !m mm xx m xx si

48、n2xxxJ cos2)(21 x xxxxxJ nnnn sindd12)1()( 2121 x xxxxxJ nnn cosdd12)( 21)21( 2 10 ( 1) 22 1 !m mm xm x 第三章 貝塞爾函數(shù)mnm mn xmnmxJ 20 2)1(! )1()( sin )(cos)(lim)( xJxJxY nn 241cos2)( nxxxJ n 241sin2)( nxxxYn 0)(,0)(, xYxJx nn 第三章 貝塞爾函數(shù) ( ) ( ) 2 22 ( ) 2 ( )0 1 10,d ( ) ( ),2 2n nR m kn n n nn m n m m k

49、rJ r J r r R RR R J J m k )()()( 1 xxJxnJxJx nnn 1( ) ( ) ( )n n nxJ x nJ x xJ x ( ) ( ) ( )1 1 ( ) ( ) ( )n n nn m n m n mJ J J ( )( ) 0nn mJ ( )2 0 nR mnrJ r drR ( )nmnJ rR ( )1( ) nmm nmf r A J rR ( )2 02 ( )11 ( ) d( )2 nR mm nnn mA rf r J r rR RJ 第三章 貝塞爾函數(shù)：021 2 222 yx myxy ( )my x J x )()(1 xJ

50、xxJxy mm )()()()(1 2112 xJxxJxxJxxJxy mmmm )(1)(2)( 212 xJxxJxxJx mmm )()()(21 )(1)(2)( 2 2221 212 xJxx mxJxxJxx xJxxJxxJx mmm mmm )()()( 222212 xJxmxxJxxJx mmm )()()( 222222 xJmxxJxxJxx mmm )()()( 2222 tJmttJttJtx mmm 0 第三章 貝塞爾函數(shù)22dA dx 22dA dx ( ) xx yyu u u 21 1xx yyu u u u u u ( ) 0 21 1( ) ( ,

51、).0 ,0 2 (1)u u u u 0( , ) 0u 0( , ) 0u 第三章 貝塞爾函數(shù)( , ) ( ) ( )u R 21 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )R R R R 21 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )R R R R 21( ) ( ) ( )( ) 1( ) ( )R R RR 2 2( ) ( ) 0 (2)( ) ( 2 )( ) ( ) ( ) ( ) 0 (3)R R R 第三章 貝塞爾函數(shù)2 , ( ) cos ,sin , 0n nn n n n 2n n 2 2( ) ( ) ( ) ( )

52、0 (4)nR R R 2 2 2 00 ( ) ( ) ( ) ( ) 0,0 (5)( ) 0,| (0) |R R n RR R 0 ( ) ( 1)nm m ( )nJ x( ) 0nJ x 2( )0 ( )0, 1 (6)( ) , 1nmm nmm n mR J m 第三章 貝塞爾函數(shù)1 ( )m mR 0 2 ( ) 200 ( ) ( ) ( ) (7)2 ni j ij n mR R d J 1, , , 10,ij i j i ji j 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) 0R R n R 2( ) ( ) ( ) ( ) 0nR R R 2( ( ) ( ) (

53、) 0nR R 2 2( ( ) ( ) ( ) ( ) 0nR R R 0 0 0 22 20 0 0 ( )( ( ) ( ) ( ) 0RR R d R d n d 00 20 0( ( ) ( ) | ( ( )R R R d 第三章 貝塞爾函數(shù)0 0 22 20 0 ( )( ) 0RR d n d 0( ) 0R 0 0 0 22 2 20 0 0 ( )( ( ) ( ) 0RR d R d n d 0 00 22 20 020 ( )( ( ) ( ) RR d n dR d 0 0 2 2 2 00 ( ) ( ) ( ) ( ) 0,0 (5)( ) 0,| (0) |R

54、R n RR R 2 0 ( ) ( ) 0( ) 0,| (0) |R RR R 第三章 貝塞爾函數(shù)1 2( ) lnR C C 0( ) 0,| (0) |R R 1 2 0C C ( ) 0R 0 0 2 2 2 00 ( ) ( ) ( ) ( ) 0,0 (5)( ) 0,| (0) |R R n RR R x 2 2 22( ) ( ) ( ) ( ) 0 x xd R dRx x xx n Rdx dx ( ) ( )xR K x 22 22( ) ( ) ( ) ( ) 0d K x dK xx x x n K xdx dx 第三章 貝塞爾函數(shù)1 2( ) ( ) ( )n n

55、K x C J x C N x 1 2( ) ( ) ( ) ( )n nxR K x C J x C N x 1 2( ) ( ) ( )n nR C J C N | (0) |R 2 0C 0( ) 0R 1 0( ) 0nC J 1 00, 0C 0 ( )nJ x( )0 , 1nm m 2( ) 0 , 1nmm m 1 2( ) ( ) ( )n nR C J C N 1C( )0( ) ( ), 1nmm nR J m 第三章 貝塞爾函數(shù) ( ) | 1mR m i j ( ), ( )i jR R 2( ( ) ( ) 0i i inR R 2( ( ) ( ) 0j j jn

56、R R 2( ) ( ) 0i j i i jnR R R R 2( ) ( ) 0j i j j inR R R R ( ) ( ) ( ) 0 i j j i i j i jR R R R R R ( ) ( ) ( )i j i j j i i jR R R R R R 0 0 00 0 0( ) ( ) ( )i j i j j i i jR R d R R d R R d 第三章 貝塞爾函數(shù)0 0 00 0 0( ) ( ) ( )i j i j j i i jR R d R R d R R d 0 00 00 00 00 0( ) ( ) |( ) |i j i j j i j i

57、i j i jR R d R R R R dR R R R d 000 0i jR R d ( )0( ) ( ), 1nmm nR J m ( )1 0nmm 1| | 1 1 1( ) ( ), ( ) ( )n nR J R J 2 2 21 1 1 1 01 0 1( ) ( ) ( ) ( ) 0,0 (7)( ) 0,| (0) |R R n RR R 第三章 貝塞爾函數(shù)2 2 21 1 1 1 01 0 1( ) ( ) ( ) ( ) 0,0 (7)( ) 0,| (0) |R R n RR R 2 2 2 00 ( ) ( ) ( ) ( ) 0,0 (8)( ) 0,| (

58、0) |R R n RR R 1 221 1( ) ( ) 0nR R 22( ) ( ) 0nR R 1 221 1( ) ( ) 0nR R R R 221 1( ) ( ) 0nR R RR 12 21 1 1( ) ( ) ( ) 0R R R R R R 12 2 1 1 1( ) ( ) ( )R R R R R R 第三章 貝塞爾函數(shù)0 0 012 2 1 1 10 0 0( ) ( ) ( )R Rd R R d R Rd 00 001 0 101 0 10( ) |( ) |R R R R dR R R R d 0 01 1( ) | ( ) |R R R R 1 1( )

59、( ), ( ) ( )n nR J R J 1 0 1 0 0( ) ( )n nJ J 0 11 0 1 0 01 2 20 ( ) ( )n nJ JR Rd 1 0 1 1 22 1 0 1 0 00 ( ) ( )lim 2n nJ JR d 第三章 貝塞爾函數(shù)0 1 1 22 1 0 1 0 00 ( ) ( )lim 2n nJ JR d 20 1 0 1 0( ) ( )2n nJ J ( )1 0nmm 2 ( ) 20 00( ( )2 nmnJ ( )f 00, 00, ( )f ( ) 0( ) , 1nmm nR J m ( )1 1 0( ) ( ) (9)nmm

60、m m nm mf A R A J 0 ( )( ) 2 0 00 2 ( ) (10) nmm nnn mA f J dJ 第三章 貝塞爾函數(shù)：10 x )( )0(0 xJ i 1 )0(0 )(1 i ii xJC 10 1 )0(0)0(010 )0(0 d)()(d)( xxJCxxJxxxJ i iijj )0(0 02)0( d)(1 j tttJj )(2 )0(1)0( jjj JC 1 )0(1)0( )0(0 )( )(21 i ii iJ xJ xxJxxJCi iji d)()(1 10 )0(0)0(0 xxxJC jj d)(10 )0(02 )(21 )0(21

61、 jj JC )0(0 12)0( )(d1 j ttJj )(1 )0(1)0( j j J )()(dd 1 xJxxJxx nnnn )(2)()( 11 xJxnxJxJ nnn )(2)()( 11 xJxJxJ nnn )()(dd 1 xJxxJxx nnnn 第三章 貝塞爾函數(shù)例4：將 x在 0 x2區(qū) 間 內(nèi) 展 成 )2( )1(1 xJ i 的 級 數(shù) 形 式 1 )1(1 )2(i ii xJCx 20 1 )1(1)1(120 )1(1 d)2()2(d)2( xxJCxxJxxxxJ i iijj )1(0 123)1( d)(8 j ttJtj )(4 )1(2)

62、1( jjj JC 1 )1(2)1( )1(1 )( )2/(4 i jj iJ xJx x xJxxJCi iji d)2()2(1 20 )1(0)1(1 xxxJC jj d)2(20 )1(12 )(2 )1(22 jj JC )1(0 223)1( )(d8 j tJtj )(8 )1(2)1( j j J )()(dd 1 xJxxJxx nnnn )(2)()( 11 xJxnxJxJ nnn )(2)()( 11 xJxJxJ nnn )()(dd 1 xJxxJxx nnnn 第三章 貝塞爾函數(shù)例5：將 21 x 在 0 x1區(qū) 間 內(nèi) 展 成 )( )0(0 xJ i 的

63、 級 數(shù) 形 式 1 )0(02 )(1 i ii xJCx 10 1 )0(0)0(010 )0(02 d)()(d)(1 xxJCxxJxxxJx i iijj )0(0 02)0(22)0( d)(/11 j tttJt jj )( )(4 )0(21 )0(22)0( jjjj JJC 1 )0(13)0( )0(02 )( )(81 i jj iJ xJx xxJxxJCi iji d)()(1 10 )0(0)0(0 xxxJC jj d)(10 )0(02 )(21 )0(21 jj JC )0(0 12)0(22)0( )(d/11 j ttJt jj ttJt jj )0(0

64、 124)0( d)(2 )(2 )0(22)0( jj J )( )()(24 )0(21 )0(0)0(1)0(2)0( j jjjj J JJ )(8 )0(13)0( jj J )()(dd 1 xJxxJxx nnnn )()(dd 1 xJxxJxx nnnn )(2)()( 11 xJxnxJxJ nnn )(2)()( 11 xJxJxJ nnn 第三章 貝塞爾函數(shù) 第 三 節(jié) 多 個 自 變 量 分 離 變 量 例 子1|),( 22 yxzyx),( zyx ),( zyx 22 yx ),( tzyxuzzyyxx uuuu 2 2 2 2 20 ,( , , ) , 0

65、 (3.3.9)0,( , , ) , 0 (3.3.10)| ( ), 1 (3.3.11)t tu a u x y z tu x y z tu x y x y 22 yx 0,0 uuzz 第三章 貝塞爾函數(shù),sin,cos yx 210 1( ),0 1, 0 (3.3.12)| 0, 0 (3.3.13)| ( ),0 1 (3.3.14)t tu a u u tu tu )()(),( tTRtu )1( 2 RRTaRT R RRTaT 2 1 第三章 貝塞爾函數(shù)01,0 2 RRRTaT | (0) | (3.3.15)R 2 2 0,0 1 (3.3.16)| (0) | ,

66、(1) 0R R RR R 1 0 ,)( 2)0(mm 1m),()( )0(0 mm JR 1m 第三章 貝塞爾函數(shù)m 02 TaT ,)( 2)0(2 )( tam mAetT 1m 1m),(),( )0(0 mmm JAtu )17.3.3()(),( )0(0)(1 2)0(2 mtam JAetu m )()( )0(01 mmm JA 10 )0(02)0(0 )()()( 2 dJJA mmmmA 第三章 貝塞爾函數(shù)2 222 2 221 , , 0( , ) 0, (0, ) 0( ,0)( ,0) 0, 1 , 0u u ua R ttu R t u t tuu Rt R Tu TTaT 12 1 2TaT 02 TaT 0222 )0(,0)(R 0 02 lnBA 00 A02 )()( 00 BYAJ )(0 AJ0( ) ( )R A J Rn )1( ,3,2,1,2)1( nRnn )( )1(0 RJA nnn 022 1( ) 0AJ R 例6:解下列定解問題 第三章 貝塞爾函數(shù)2 222 2 221 , , 0( , ) 0, 0( ,0)( ,