高中數學 222 用樣本的數字特征估計總體的數字特征配套訓練 新人教A版必修3

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1、 2.2.2　用樣本的數字特征估計總體的數字特征 1.某校舉行2012年元旦匯演,七位評委為某班的小品打出的分數如下莖葉統(tǒng)計圖所示,去掉一個最高分和一個最低分后,所剩數據的平均數和方差分別為(　　) 　　　　　　　　　　　　　　 A.85,1.6 B.85,4 C.84,1.6 D.84,4.84 解析:所剩數據為84,84,86,84,87, ∴平均數為=85. ∴s2=[(84-85)2+(84-85)2+(86-85)2+(84-85)2+(87-85)2] =1.6. 答案:A 2.如圖是某賽季甲、乙兩名籃球運動員每場比賽得分的莖葉圖,則甲、乙

2、兩人這幾場比賽得分的中位數之和是(　　) A.62 B.63 C.64 D.65 解析:甲得分的中位數為28,乙得分的中位數為36,所以甲、乙兩人得分的中位數之和為64. 答案:C 3.某校有甲、乙兩個數學興趣班,其中甲班有40人,乙班有50人,現分析兩個班的一次考試成績,算得甲班的平均分為90分,乙班的平均分為81分,則這兩個班的總平均分為　　　　. 解析:=85. 答案:85 4.一位研究化肥的科學家將一片土地劃分成100個50m2的小塊,并在50個小塊上施用新化肥,留下50個條件大致相當的小塊不施新化肥. 施用新化肥的50塊土地的小麥產量如下(單位:kg): 15　29

3、　22　15　3　30　22　16　5　2 22　13　20　25　42　25　20　38　12　29 14　21　26　13　21　27　13　21　11　18 10　18　24　24　36　34　23　18　10　9 17　23　23　8　16　23　31　16　23　40 沒有施用新化肥的50塊土地的小麥產量如下(單位:kg): 23　16　16　17　22　3　10　10　8　14 16　5　24　16　32　23　15　18　9　21 4　24　5　24　15　2　15　25　17　29 33　39　16　17　2　15　17　17　26　13 26　11　18　

4、19　12　20　27　12　28　22 你認為新化肥已經取得成功了嗎? 解:利用科學計算器進行計算, 第一組數據的平均數=20.32,標準差s1≈8.9609; 第二組數據的平均數=17.36,標準差s2≈8.1578. 可見,施用新化肥后平均產量有了提高,雖然出現了幾個極端值,但產量相對穩(wěn)定,所以新化肥已經取得了初步成效,但還需在穩(wěn)定性上加強. 新化肥是比較成功的. 5.已知一樣本的各個體的值由小到大依次為2,3,3,7,a,11,12,14,18,20,且該樣本的中位數為10.5. (1)求該樣本的平均數; (2)求該樣本的方差. 解:(1)由題意得=10.5,即a=

5、10. 于是2+3+3+7+a+11+12+14+18+20=100, 所以2,3,3,7,10,11,12,14,18,20的平均數為=10. (2)設2,3,3,7,10,11,12,14,18,20的方差為s2,則s2=[(2-10)2+(3-10)2+…+(20-10)2]=35.6. 6.甲、乙兩名戰(zhàn)士在相同條件下各射靶10次,每次命中的環(huán)數分別是: 甲:8,6,7,8,6,5,9,10,4,7 乙:6,7,7,8,6,7,8,7,9,5 (1)分別計算以上兩組數據的平均數; (2)分別求出兩組數據的方差; (3)根據計算結果,估計一下兩名戰(zhàn)士的射擊情況. 解:(

6、1)(8+6+7+8+6+5+9+10+4+7)=7(環(huán)), (6+7+7+8+6+7+8+7+9+5)=7(環(huán)). (2)由方差公式s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]得=3.0(環(huán)2),=1.2(環(huán)2). (3),說明甲、乙兩戰(zhàn)士的平均水平相當; 又∵,說明甲戰(zhàn)士射擊情況波動大,因此乙戰(zhàn)士比甲戰(zhàn)士射擊情況穩(wěn)定. 7.(2012廣東高考,文13)由正整數組成的一組數據x1,x2,x3,x4,其平均數和中位數都是2,且標準差等于1,則這組數據為　　　　　.(從小到大排列) 解析:設該組數據依次為x1≤x2≤x3≤x4,則=2,=2, ∴x1+x4=4,x2+

7、x3=4. ∵x1,x2,x3,x4∈N*,∴ 又∵標準差為1,∴x1=1,x2=1,x3=3,x4=3. 答案:1,1,3,3 8.如果數據a1,a2,a3,…,an的平均數為,方差為s2,則數據2a1,2a2,2a3,…,2an的平均數與方差分別為　　　　?,　　　　?;數據2a1+1,2a2+1,2a3+1,…,2an+1的平均數與方差分別為　　　　　,　　　　　. 解析:記數據2a1,2a2,…,2an的平均數為,方差為, 則 ==2; =4s2. 記數據2a1+1,…,2an+1的平均數為,方差為, 則 = =+1=2+1; =4s2. 答案:2　

8、4s2　2+1　4s2 9.一次科技知識競賽,兩組學生成績如下表: 分數 50 60 70 80 90 100 人數 甲組 2 5 10 13 14 6 乙組 4 4 16 2 12 12 已經計算得兩個組的平均分都是80分,請根據你所學過的統(tǒng)計知識,進一步判斷這兩個組這次競賽中成績誰優(yōu)誰次,并說明理由. 解:(1)甲組成績的眾數為90分,乙組成績的眾數為70分,從成績的眾數比較,甲組的成績好一些. (2)[2(50-80)2+5(60-80)2+10(70-80)2+13(80-80)2+14(90-80)2+6(100-80)2]=1

9、72. [4(50-80)2+4(60-80)2+16(70-80)2+2(80-80)2+12(90-80)2+12(100-80)2]=(4900+4400+16100+20+12100+12400)=256. 因為,所以甲組的成績比乙組的成績穩(wěn)定. (3)甲、乙兩組成績的中位數、平均分都是80分,其中,甲組成績在80分及以上的有33人,乙組成績在80分及以上的有26人,從這一角度來看甲組的成績總體較好. (4)從成績統(tǒng)計表來看,甲組的成績不低于90分的人數為14+6=20,乙組的成績不低于90分的人數為12+12=24. 所以乙組成績集中在高分段的人數多,同時乙組得滿分的人數比

10、甲組得滿分的人數多6人,從這一角度來看,乙組的成績較好. 10.為了檢驗A,B兩條網線從網絡下載數據的穩(wěn)定性,現選取一天內的10個不同的時間點,測得分別用A,B兩條網線在同一網址下載同一文件所需要的時間(單位:s)如下表: A 40.0 39.8 40.1 40.2 39.9 40.0 40.2 39.8 40.2 39.8 B 40.0 40.0 39.9 40.0 39.9 40.1 40.1 40.1 40.0 39.9 分別計算A,B兩條網線下載上面同一文件所用時間的標準差,并比較兩者下載時間的穩(wěn)定性. 解:從數據容易得到A,B兩條

11、網線下載同一文件10次所需時間的平均數=40(s). 分別計算出它們下載10次所用時間的標準差: sA=≈0.161(s), sB=≈0.077(s). 由上面的計算可以看出:A,B兩條網線下載同一文件10次所需時間的平均數相同,而A網線下載時間的標準差約為0.161s,比B網線下載時間的標準差0.077s大,說明B網線下載時間更穩(wěn)定一些. 11.某班4個小組的人數為10,10,x,8,已知這組數據的中位數與平均數相等,求這組數據的中位數. 解:該組數據的平均數為(28+x),中位數一定是其中兩個數的平均數,由于x未知,所以要分下列幾種情況討論. (1)當x≤8時,原數據按從小到

12、大的順序排列為x,8,10,10,其中位數為(10+8)=9.若(x+28)=9,則x=8,此時中位數為9. (2)當810時,原數據按從小到大的順序排列為8,10,10,x,其中位數為(10+10)=10.若(x+28)=10,則x=12,此時中位數為10. 綜上所述,這組數據的中位數為9或10. 12.甲、乙兩人在相同條件下打靶10次,每次打靶的成績情況如圖所示: (1)請?zhí)顚懴卤? 平均

13、數 中位數 命中9環(huán)及以上次數 甲 7 乙 (2)從下列三個不同角度對這次測驗結果進行分析: 從平均數和中位數相結合看,誰的成績好些? 從平均數和命中9環(huán)及以上(包含9環(huán))的次數相結合看,誰的成績好些? 從折線圖中兩人射擊命中環(huán)數的走勢看,誰更有潛力? 解:(1)甲:中位數是7.5,命中9環(huán)及以上(包含9環(huán))的次數為3; 乙:平均數是6.7,中位數是6.5,命中9環(huán)及以上(包含9環(huán))的次數為1. (2)由(1)知,從平均數和中位數結合看,甲的成績好些;從平均數和命中9環(huán)及以上(包含9環(huán))的次數相結合看,甲的成績好些;從折線圖中兩人射擊命中環(huán)數的走勢看,甲的潛力更大些. 4